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非线性随机延迟微分方程半隐式Milst二狗子的春天 ein方法的均方稳定性

王梅真

【摘要】针对一般的非线性随机延迟微分方程,证明了如果系统本身的理论解满足

均方稳定性条件,那么当方程的漂移项和扩散项满足一定的条件时,半稳式Milstein

方法也是均方稳定的.

【期刊名称】《商丘师范学院学报》

【年(卷),期】2010(026)009

【总页数】4页(P38-41)

【关键词】非线性随机延迟微分方程;半隐式Milstein方法;均方稳定

【作者】王梅真

【作者单位】福州大学,数学与计算机科学学院,福建,福州,350108

【正文语种】中文

【中图分类】O211.63

由于考虑了噪声环境及时间滞后对系统的影响,随机延迟微分方程往往能够更真实

地描述科学实际中的问题.它已经被广泛地应用于诸如经济学、机械控制、生物和

人口动力学等研究领域.然而除了少古文字体扫描翻译器 数的线性方程,一般的随机延迟微分方程都很难

得到显式的解析解,因而数值方法的构造就显得尤为重要.在算法理论中,稳定性分析

是个重要的课题.目前,这方面的理论成果不多.

2004年,曹婉容[1]针对线性随机延迟微分方程给出了Euler-Maruyama方法,半隐

式Euler方法和半隐式Milstein方法MS-稳定和GMS-稳定的条件.2005

年,Baker和Buckwar[2]运用Hal右溪记翻译及原文 anay-type不等式得到线性随机延迟微分方程

Euler-Maruyama方法的均方稳定性条件.2006年,Wang和Zhang[3]研究了线性

随机延迟微分方程Milstein方法的均方稳定性.2007年,王文强[4]针对一般的非线

性随机延迟微分方程研究了Euler-Maruyama方法和半隐式Euler方法的均方稳

定性并对Fokker-Planck方程,得到了Milstein方法的稳定性结论.2008年,王志

勇和张诚坚[5]针对一般的非线性随机延迟微分方程,给出Milstein方法均方稳定

的条件.

本文主要针对一般的非线性随机延迟微分方程,证明了如果系统本身的理论解满足

均方稳定性条件,那么当方程的漂移项和扩散项满足一定的条件时,半稳式Milstein

方法也是均方稳定的.

设(,F,{Ft}t≥0,P)是完备的概率登科后孟郊古诗朗读 空间,流{Ft}i≥0满足通常条件,即它们右连续且每个

Fi都包含所有的F中的P-零集.

考虑非线性标量随机延迟微分方程

其中常数>0为延迟量,w(t)是一维标准wiener过程,初值函数(t)∈(C[-,0],R)

是F0可测的,且满足表示R空间中向量的范数,如果函数f,g充分光滑且满足

Lipschitz条件和线性增长条件,则方程(1)有唯一强解X(t).

对于方程(1)的解,由[6]中的推论6.5不难得到下面的稳定性结论.

定理1如果存在正数和非负实数0,1,0,1,使得对任意的t≥0,X,Y,∈R有

若则方程(1)的零解是均方稳定的,即

对方程(1)应用半隐Milstein方法

其中步长h>0,且对于m∈Z+满足=mh,tn=nh,XnX(tn),当t≤0时Xn=(tn),参

数0≤≤1,wn=w(tn+1)-w(tn)是一系列相互独立服从N(0,h)分布的随机变量

接下来,我们首先给出数值方法均方稳定的定义

定义1如果存在常数h0>0,使得当步长0

得到的数值解Xn金玉其外败絮其中出处原文 满足则称该数值方法是均方稳定的.

由[3]中引理3.1和[7],可以得到如下引理

引理1随机变量wn和随机积分I1,I2有如下关系

下面给出本文的主要结论

定理2如果对于任意的t≥0,X,Y∈R,方程(1)满足下列条件

(1)存在正数使得

(2)存在非负实数0,1,0,1,1,2,M,N使得

则半隐式Milstein方法(2)是均方稳定的,其步长的限制为

其中

证明:由(2)得

上式两边同时平方移项整理得

又根据条件(1)、(2)得

又因为Xn,Xn-m,Xn-2m均是Ftn可测的,由引理1和(6),(7)有

类似地

对式(3)两边同时取数学期望,由(4),(5),(8)～(11),可得

整理得

即

其中

令,又由条件(3)>0,有

当(1-2)C1+C2≤0时,对任意的0

当(1-2)C1+C2>0时,取,当0

因此结论得证.

【相关文献】

[1]曹婉容.随机延迟微分方程几种数值方法的收敛性和稳定性[D].博士论文,哈尔滨工业大学,2004.

[2],EvelynBuckwar,Exponentialstabilityinp-thmeanof

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[3]WangZhiyong,ysisofstabilityofMilsteinmethodfor

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[4]王文强.几类非线性随机延迟微分方程数值方法的收敛性与稳定性[C].湘潭:湘潭大学,2007.

[5]王志勇,张诚坚.随机延迟微分方程的Milstein方法的非线性均方稳定性[J].应用数

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