idft是什么意思t在线翻译读音例句

离散傅⽴叶变换推导（DF、IDFT）

mazonex笔记

需要先了解

本⽂仅作为笔记，推导思想和图⽚来⾃视频

周期为的函数的复数形式展开(傅⾥叶级数)

在上⼀篇⽂章中part4中提到周期函数的复数形式展开为：

其中，

周期为时，并且令：

其中，

从连续函数到离散函数

假定是在⼀个周期内的等距离采样，采样N个点：

注意上⾯最后⼀个采样点不包括，因为属于国庆诗歌朗诵我的祖国 下⼀个周期。

2

T=2L

f(t)=Cen=−∞

∑

n

int

(1.1)

C=f(t)edtnT

1∫0

T

−int

==

L

T

2

2=1k=n

f(t)=cek=−∞

∑

k

ikt

(1.2)

c=f(t)edtkT

1∫0

T

−ikt

f(n)f(x)

f,f,⋯,f[01

N−1]

22

假如取带⼊式中：

什么是？

令，则

观察上图发现:

时，

时，

…

时，

所以式为：

结论:的函数值,只需要个基就能得到，不需要⽆穷多个基,只要得

到这个基的个系数就可以。

假如取带⼊式中：

可得：

t=N

2

(1.2)

f1=f=ce(

N

2)k=−∞

∑

k

kN

2i

=⋯+ce+ce+ce+ce+ce+⋯−2

−2N

2i

−1

−1N

2i

0

0N

2i

1

1N

2i

2

2N

2i

+ce+ce+ce+⋯N−1

(N−1)N

2i

N

NN

2i

N+1

(N+1)N

2i

(1.3)

ekN

2i

w=eN

2iw=kew=kN

2i

Nw=01

k=0,N,−N,2N,−2N...e=kN

2ie=0N

2iw=01

k=1,N+1,−N+1,2N+1,−=kN所见古诗ppt课件

2ie=1N

2iw1

k=N−1,2N−1,−1,3N−1,−N−1...e=kN

2ie=(N−1)N

2iwN−1

(1.3)

f1=f=ce(

N

2)k=−∞

∑

k

kN

2i

=c+c+c+c+c+⋯w(0N

−N

2N

−2N)0

+c+c+c+c+c⋯w(1

N+12N+1−N+1−2N+1)

1

+c+c+c+c+c⋯w(2

N+22N+2−N+2−2N+2)

2

⋯

+c+c+c+c+c⋯w(N−12N−13N−1冰心的十首短诗 −1−N−1)N−1

(1.3)

f(N

2

)N

NN

t=2N

2

(1.2)

同理可以求得时的展开形式。

⼩结：

对任何整数，都对应中的⼀个

所以上图中离散采样的8个点，都可以只⽤这8个基来表⽰。

⽽和是已知，把括号中当做未知数，那么8个⽅程可以解得8个未知数。

此外假设傅⾥叶变换展开系数只包含，那么就有结合式：

注意此时，与取值有关。

于是有下⾯矩阵关系：

f=2f2=c+c+c+c+c+⋯w(

N

2)(0N−N

2N

−2N)0

+c+c+c+c+c⋯w(1

N+12N+1−N+1−2N+1)

2

+c+c+c+c+c⋯w(2

N+22N+2−N+2−2N+2)

4

⋯

+c+c+c+c+c⋯w(N−12N−13N−1−1−N−1)2(N−1)

(1.4)

x=0,x=N

2

(N−N

2

N

2

1)N

2

f(x)

wkkw,w,⋯,w01N−1

w,w,⋯,w01N−1

f,f,⋯,f01

N−1w,w,⋯,w01N−1

c,c,⋯,c01

N−1(1.2)

f(x)=c+ce+ce+⋯+ce01

ix

2

i2x

N−1

i(N−1)x

f0=c+c+c+⋯+c(

N

2)012N−1

f1=c+cw+cw+⋯+cw(

N

2)0122

N−1

N−1

f2=c+cw+cw+⋯+cw(

N

2)012

2

4

N−1

2(N−1)

f3=c+cw+cw+⋯+cw(

N

2)013

2

6

N−1

3(N−1)

⋯

f(N−1)=c+cw+cw+⋯+cw(

N

2)01N−1

2

2(N−1)

N−1

(N−1)2

(1.5)

w=eixx

=⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎡f0

f1

f2

f3

⋮

fN−1⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎤

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎡1

1

1

1

⋮

1

1

w

w2

w3

⋮

wN−1

1

w2

w4

w6

⋮

w2(N−1)

1

w3

w6

w9

⋮

w3(N−1)

⋯

⋯

⋯

⋯

⋮

⋯

1

wN−1

w2(N−1)

w3(N−1)

⋮

w(N−1)2⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎤

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎡c0

c1

c2

c3

⋮

cN−1⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎤

(1.6)

其中，就是傅⾥叶矩阵，就是离散傅⾥叶变换(DFT)，就是离散傅⾥叶逆变换(IDFT)。

书上的DFT公式:

和矩阵形式对⽐有以下对应关系：

f=FcN

FF=NN

∗

NF=⎣

⎡1

0

0

0

⋱

0

0

0

1⎦

⎤

N

−1

F

N

1

N

∗

=

N

1⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎡1

1

1

1

⋮

1

1

w

w2

w3

⋮

wN−1

1

w2

w4

w6

⋮

w2(N−1)

1

w3

w6

w9

⋮

w3(N−1)

⋯

⋯

⋯

⋯

⋮

⋯

1

wN−1

w2(N−1)

w3(N−1)

⋮

w(N−1)2⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥送别李叔同原唱

⎥

⎤

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎡f0

f1

f2

f3

⋮

fN−1⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎤

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎡c0

c1

c2

c3

⋮

cN−1⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎤

(1.7)

Ff=N

−1

c

FNFf=N

−1

cFc=Nf

X[k]=x[n]en=0

∑N−1

−kN

2ni

=⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎡x[0]

x[1]

x[2]

x[3]

⋮

x[N−1]⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎤

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎡f0

f1

f2

f3

⋮

fN−1⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎤

注意在式中，

例1(复数函数)

对下列函数进⾏DFT：

N=4时：

于是：

因此：

即：

注意：式中在每个采样点展开形式不⼀样()，但是系数是⼀样的。也就可以确定函数的展开式

系数。

=⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎡X[0]

X[1]

X[2]

X[3]

⋮

X[N−1]⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎤

N⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎡c0

c1

c2

c3

⋮

cN−1⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎤

(1.7)=we−kN

2i

f(x)=1+e+ixe+i2xei3x(1.8)

f(0)=4f1=(

4

2)f2=(

42)f3=(

42)0

w=e=4

2i

i

=⎣

⎢

⎢

⎡1

1

1

1

1

w

w2

w3

1

w2

w4

w6

1

w3

w6

w9⎦

⎥

⎥

⎤

−1⎣

⎢

⎢

⎡4

0

0

0⎦

⎥

⎥

⎤

⎣

⎢

⎢

⎡1

1

1

1⎦

⎥

⎥

⎤

c=01,c=11,c=21,c=31

f(x)=1+e+ixe+i2xei3x

(1.5)f(x)w,w,⋯,w01N−1f(x)=c+0

ce+1

ixce+2

i2x⋯+ceN−1

i(N−1)x

N=3时：

于是：

因此：

即：

⽽实际上。假设傅⾥叶变换展开系数只包含就只能解得合并的结果。

N=6时：

于是：

f(0)=4f=(

3

2)1f2=(

32)1

w=e=3

2i−+

2

1

i

2

3

=⎣

⎡1

1

1

1

w

w2

1

w2

w4⎦

⎤−1⎣

⎡4

1

1⎦

⎤

⎣

⎡2

1

1⎦

⎤

c=02,c=11,c=21

f(x)=2+e+ixei2x

c+0c=32,c=11,c=21c,c,⋯,c01

N−1

f(0)=4f1=if2=1(

6

2)

3

(

62)

f3=0f4=1f4=−i(

6

2)(

62)(

62)

3

w=e=6

2i+

2

1

i

2

3

W=6

−1⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎡4

i

3

1

0

1

−i

3⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎤

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎡1

1

1

1

0

0⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎤

因此，

即：

例2(实值函数)

对下列函数进⾏DFT：

欧拉公式可知：

所以式可转为：

后⾯的DFT和例1⼀样。

例3

例1和例2都是已知函数，对其采样，进⾏DFT。

例3未知函数，在给出采样点情况下求DFT。

现在，不假设傅⾥叶变换展开系数只包含

已知周期(函数的4个采样点值：

则：

c=01,c=11,c=21,c=31,c=40,c=50

f(x)=1+e+ixe+i2xe+i3x0e+i4x0ei5x

f(x)=1+cos(x)+cos(2x)(1.9)

cos=e+e

2

1

(i−i)

sin=−ie−e

2

1

(i−i)

(1.9)

f(x)=e+

2

1

−i2x

e+

2

1

−ix1+e+

2

1

ixe

2

1

i2x

c,c,⋯,c01

N−1

T=2

⎣

⎢

⎢

⎡4

0

0

0⎦

⎥

⎥

⎤

w=e=4

2i

i

类似式和的求法：

f(x):⎩⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎧飞鸣镝(打一成语) f0=4(

4

)

f1=0(

4

2)

f2=0(

4

2)

f3=0(

4

2)

(1.3)(1.4)

f(x)=cek=−∞

∑∞

k

ikx

f0(

4

2)=⋯+c+c+c+⋯w(−404)0

+⋯+c+c+c+⋯w(−3

15)0

+⋯+c+c+c+⋯w(−2

26)0

+⋯+c+c+c+⋯w(−1

37)0

f1=(

4

2)

+

⋯+c+c+c+⋯w(−4

04)0

⋯+c+c+c+⋯w(−3

15)1

+⋯+c+c+c+⋯w(−2

26)2

+⋯+c+c+c+⋯w(−1

37)3

f2(

4

2)=⋯+c+c+c+⋯w(−404)0

+⋯+c+c+c+⋯w(−3

15)2

+⋯+c+c+c+⋯w(−2

26)4

+⋯+c+c+c+纳兰容若简介及生平事迹 ⋯w(−1

37)6

类似式，但是不假设傅⾥叶变换展开系数只包含，于是有：

可以发现是按模4取得。

求解上式可得：

于是下⾯求得的函数都满⾜

⽐如(4)：

f3=(

4

2)⋯+c+c+c+⋯w(−404)0

+⋯+c+c+c+⋯w(−3

15)3

+⋯+c+c+c+⋯w(−2

26)6

+⋯+c+c+c+⋯w(−1

37)9

(1.6)c,c,⋯,c01

N−1

=⎣

⎢

⎢

⎡f0(4

2

)

f1(4

2

)

f2(4

2

)

f3(4

2

)⎦

⎥

⎥

⎤

⎣

⎢

⎢

⎡1

1

1

1

1

w

w2

w3

1

w2

w4

w6

1

w3

w6

w9⎦

⎥

⎥

⎤

⎣

⎢

⎢

⎡⋯+c+c+c+⋯(−4

04)

⋯+c+c+c+⋯(−3

15)

⋯+c+c+c+⋯(−2

26)

⋯+c+c+c+⋯(−1

37)⎦

⎥

⎥

⎤

c

c==⎣

⎢

⎢

⎡1

1

1

1⎦

⎥

⎥

⎤

⎣

⎢

⎢

⎡⋯+c+c+c+⋯(−4

04)

⋯+c+c+c+⋯(−3

15)

⋯+c+c+c+⋯(−2

26)

⋯+c+c+c+⋯(−1

37)⎦

⎥

⎥

⎤

c

(1)：f(x)=1+e+e+eixi2xi3x

(2)：f(x)=1+e+e+eixi2x−ix

(3)：f(x)=e+1+e+e+e

2

1

−ixixi2x2

1

i3x

(4)：f(x)=1+e+e+e+e+e

3

1

ix3

1

i5x3

1

i9xi2xi3x

c=10

c=,c=,c=13

1

53

1

93

1

c=12

c=13

既然存在⽆限多函数组合，所以我们假设傅⾥叶变换展开系数只包含，于是有：

所以当原函数存在⾼频，就⽐如(4)存在这种函数就⽆法得出，因为我在上⾯假设情况下总是做低频处理。所以DFT的缺点就是丢

失了⾼频信号，但是当采样点⾜够多，⽐如原函数最⾼频率对应就为，⽽采样点数⽬刚好为9个，就可以完整恢复原函数。

c,c,⋯,c01

N−1

c==⎣

⎢

⎢

⎡1

1

1

1⎦

⎥

⎥

⎤

⎣

⎢

⎢

⎡c0

c1

c2

c3⎦

⎥

⎥

⎤

f(x)=1+e+ixe+i2xei3x

e,ei5xi9x

ei9x