burgers是什么意思gers在线翻译读音例句

2023年3月31日发(作者：国家公务员考试内容)第4卷第4期动力学与控制学报Vol. 4No. 4

2006 年12 月JOURNAL OF DYNAM ICS A春色恼人眠不得 ND CONTROL Dec. 2006

Burgers 方程的精确解

3

杨先林

(湖南大学力学与航空航天学院,长沙 410082) ( 湖南广播电视大学,长沙 410004)

摘要 引入一个变换,将二阶非线性偏微分方程—Burgers 方程降阶为一阶的非线性方程,再直接求解该方

程,得出了Burgers 方程精确解的新形式,并与已有结果完全吻合. 这种方法也适合于求解其他非线性偏微

分方程.

关键词 非线性偏微分方程, Burgers 方程,精确解

有降阶,求解困难, 由此制约了它的推广. 为此, 本

引言

孤立子、浑沌、分形等非线性现象普遍存在于.

.

1

文通过引入一个新的变换来求解B urgers 方程的精

确解并希望借此得出求解一类非线性方程精确解

的方法

Burgers 方程的精确解

自然科学和社会科学中,描述它们的数学模型一般

是非线性方程(包括非线性常微分方程、非线性偏

微分方程、),非线性差分方程和函数方程由于非线

工程技术和社会科学工

,性方程无统一的求解方法于是寻找非线性方程的

精确解成为广大自然科学、

作者研究非线性问题的一个重要课题. 近年来,出

现了许多求解非线性方程精确解的新方法,如齐次

平衡法[ 1 -5 ]描写冬天的四字词语大全 、sine -cosine 方法[ 6 ] 、Jacobi 椭圆函数

展开法[ 7 -10 ] 、双曲函数展开法[ 11 -14 ] 、非线性变换

法[ 15 ] 和试探函数法[ 16 -19 ] 等. 这些方法可以求出非

线性方程的周期解或冲击波解或孤立波解. 但它们

只能具体应用于某个或某类非线性方程的求解,因

此有必要继续完善和寻找非线性方程的求解方法.

作为一种有益的探索和尝试,文献[ 18 ] 采用

试探函数的方法研究了如下一类非线性偏微分方

程的解析解.

234

uuu

9u

+ u

9u

+

9

2+

9

3+

9

4+ =0

9t 9x 9t 9t 9t

(1)

在文献[ 19 ]中基于“能否不用引入试探函数(因为

试探函数的选取具有很大的灵活性,需要较多的经

验)而是直接求解呢?”的考虑, 引入一个变换将

Burgers 方程转化为二仆组词 阶非线性常微分方程, 从而

求解. 此方法遗憾之处正如文献[ 19 ]本身所提到

的推导过程的自恰性,以及转化后的非线性方程没

Burgers 方程是非线性的耗散(热传导、扩散和

黏性)方程,属二阶非线性偏微分方程,其一般形式

为:

2

9u

+ u

9u

-

99t 2

u

=0, ( > 0)(2) 9t 9x

其中 > 0 为耗散系数. 为求解方程( 2)的精确解,

引入变换

u = u(), =(x, t) (3)

这里=( x, t)是试探函数. 考虑到Burgers 方程为

波动方程,其解含有相位因子( kx -t) ,选择该试

探函数为:

= e( kx -t)

(4)

其中k和分别表示波数和圆频率.

由(3) 、(4)式可以求得

du

9u

=-(5)

9td



9u

= k du

(6)

9xd

2

u

= k2 du

+ k22 du

(7)

d299(2) x 2 d

将(5) — (7)式代入(2)式,整理得



( du

- du

+ ku

du

-k2 d

) =0 (8)

d d dd

2006 -04 -23 收到第1稿.

3 国家自然科学基金资助项目(10472029)



第4期杨先林:Burgers方程的精确解9 0 3

上式两边对积分一次得

-k2 du

-u +

1

ku 2=A(9)

2 d

其中A 是积分常数. 为简化且不失一般性,可取A

= 0. 上式就是经典的一阶非线性方程—B ernoulli

方程[20 ]. 这样方程(2)就从二阶的非线性偏微分方

程转化为一阶的变系数非线性方程.

作变换

1

z = ,(10)

u

则方程(9)化为

dz 1

d

-

k2z + =0 (11)

2k

这是关于z()的一阶线性方程,其解为

利用等式cothx =

cosh2x sinh2x

1

,(17)式可写为:

-c

u = c[1 +

sinh



( x ct)

cosh

-c



( x ct)

-1

] (19)

设

= i ’ (20)

’

这里i是虚数单位,是一常数. 利用等式sinh ( ix)

= isinx, cosh ( ix) = cosx. (18)式可写为

sinh

c

(x -ct)(’)

u = c[1 + i] (21)

cosh

c

(x -ct) + 1 (’)

(19)式可写为

k

z = Ck2+

2

i] (22)

其中C是积分常数. 代入(10)式求得方程(2)的精

确解为

2k2 ( -

k2 (-t)

ke kx

kx



/-t)

()

u =

c

’ ( x -)

c

’ ( x -) -1

,是2

12c[1 +

sinh ctcosh ct

这是Burgers 方程复数形式的三角函数解Bur

u =

-

C1+ e

上式就是Burgers 方程( 2 )的一般形式的行波解.

()13

式中C1 =

2Ck



为任意常数.

2x 2x

利用e

2 -1 + e 2x =

1 + e 2x =

1 (1 + tanhx)和e

1 (1 + cothx) ,分别取C1 =1和C1 =-1得出

2

-

u = [1 + tanh

2k2 (kx -t)] (14)

k

-

u = [1 + coth

2k2 (kx -t)] (15)

k



利用波速c =

k, (14) 、(15)式可宵的组词 分别写为:

u = c[1 + tanh

c

(x -ct)] (16)2(-) -c

u = c[1 + coth (x -ct)] (17)

2

(16)式为B urgers 方程(2)的扭状孤波解.(17)式

为Burgers 方程(2)的奇异行波解. 利用等式tanhx

sinh2x

=

cosh2x 山花子李璟古诗鉴赏 + 1

,(16)式可写为:

sinh

-c

(x -ct)



u = c[1 + ](18)

cosh

-c

(x -ct) + 1



gers 方程的解的新形式.

显然,利用文献[ 18 ]的关系式 = -k2 , 由

(14) 、(15)式可得到

u = -k[1 + tanh

1

2

( kx -t) ] (23)

u = -k[1 + coth

1

2

( kx -t) ] (24)

此结果与文献[ 19 ]的结果完全相同. 可见本文采

用的方法是可行的.

2 结论

本文引入的变换(3 ) 、( 4 )类似于行波解[20 ],

但不同于行波解,对B urgers 方程用行波变换,再积

分一次得出的方程不是方程(9). 虽然利用tanh 函

数展开法或试探函数法或其它方法也能得出方程

的精确解(13). 但本文的方法无需引入试探函数,

在此变换下把二阶的非线性偏微分方程转化为一

阶的非线性方程. 从而直接求得方程的解析解. 而

且利用双曲函数与

三角函数的关系得到了Burgers

方程复数形式的三角函数解. 据我们所知,此解在

别的文献中没有找到. 可以预见,这种方法可以推

广用于求解方程( 1 )这样一类非线性偏微分方程

的精确解析解, 如KDV 方程、KDV -Burgers 方程

等. 但需对转化后的降阶的非线性方程再作变换才



0 1 3 动 力 学 与 控 制 学 报2006年第4卷

能求解. 这需视具体的方程[ 21-23 ]来选择变换. 所有

这些仍然值得我们作进一步的研究.

参 考 文 献

1 W ang M L. Solitary W ave Solutions for variant Boussinesq

equations. Phys. Lett. A , 1995, 199 : 169～172

2 W ang M L , Zhou Y B and L i Z B. App lication of a homo2

geneous balance method to exact solutions of nonlinear e2

quations in mathematical physics. Phys. L ett. A , 1996,

216: 67～75

3 Yang L , Zhu Z and W ang Y. Exact solutions of nonlinear

equations. Phys. Lett. A , 1999, 260: 55～59

4 范恩贵、张鸿庆. 非线性孤子方程的齐次平衡法. 物理

学, 1998, 47: 353 ～362 (Fan E G and Zhang H Q. The

. . ～( 2

)

5 . --

～( . 2

--

. .

～(

6 . . .

. A ～

7 .

.

～(

. .

～(

8 .

. ～

(

2

. . ～(

9 . . 2

. . ～

. .

～(

. . ～( 2

.

. . . A ～

homogeneous balance method for solving nonlinear soliton

equationsA cta PhysS in, 1998, 47: 353 362 in Chinese

范恩贵齐次平衡法、W eiss Tabor Carnevale 法及

49: 14091412 Fan E GConnections among homogeneous balance method, W eiss Tabor Carnevale method

and Clarkson -Kruskal methodA cta PhysS in, 2000, 49:

14091412 in Chinese) )

Yan CA simp le transformation for nonlinear wavesPhysL ett1996, 224: 7784

刘式适、付遵涛、刘式达、赵强Jacobi 椭圆函数展开法

及其在求解非线性波动方程中的应用物理学报, 2001,

50: 20682073 L iu S K, Fu Z T, L iu S D and Zhao Q.

Expansion method about the Jacobi ellip tic function and its

app lications to nonlinear wave equationsA cta PhysS in,

2001, 50: 20682073 in Chinese) )

刘式适、付遵涛、刘式达、赵强变系数非线性方程的

Jacobi 椭圆函数展开解物理学报, 2002, 51: 19231926

L iu S K, Fu Z T, L iu S D and Zhao Q. Jacobi ellip tic

function expansion solu吐出的拼音 tion to the variable coefficient nonlinear equationsA cta PhysS in, 2002, 51: 19231926 in

Chinese) )

Fu Z T et alSolutions to generalized mKdV equationCom

m unTheorPhys, 2003 . 40: 641644

10 付遵涛、刘式适、刘式非线性波方程求解的新方法

物理学报, 2004, 53: 343348 Fu Z T, L iu S K and L iu

S D. A new method to construct solutions to nonlinear wave

equationsA cta PhysS in, 2004, 53: 343 348 in Chinese) )

Exact travelling

wave solutions of a class of nonlinear diffusion equations by

PhysLett, 1988, 128: 483

reduction to a quadrature

.Clarkson -Kruskal 约化法之间的联系物理学报, 2000,

11 Parkes E J and Duf

fy B R. Travelling solitary wave solu2

tions to a compound KdV -Burgers 李清照宋词 equation. Phys. L ett.

A, 1997, 229: 217～220

12 Fan E G. Extended tanh -fun《清明》古诗赏析 ction method and its app li2

cations to nonlinear equations. Phys. Lett. A , 2000, 277:

212～218

13 Yang L , L iu J and Yang K. Exact solutions of nonlinear

PDE, nonlinear transformations and reduction of nonlinear

PDE to a quadrature. Phys. L ett. A , 2001, 278: 267～270

14 张桂戌等. 非线性波方程的精确孤立波解. 中国科学,

2000, 30: 1103 ～ 1108 ( Zhang G X et al. Exact solitary

wave solutions for nonlinear wave equations. Science in

China (series A), 2000, 30: 1103～1108 ( in Chinese) )

15 Kudryashov NA Exact solutions of the generalized Kuramo2

to -Sivashinsky equation. . .PhysLettA , 1990, 147: 287～

292

16 O twinowski M , Paul R, L aidlaw W G

489

17 刘式适等. 求某些非线性偏微分方程特解的一个简洁

方法. 应用数学和力学, 2001, 22 (3) : 281 ～286( L iu S

K, et al. A simp le fast method in finding particular solu2

tions of some nonlinear PDE. Appl. M ath. M ech, 2001, 22

(3) : 281～286 ( in Chinese) )

18 谢元喜、唐驾时. 求一类非线性偏微分方程解析解的一

种简洁方法. 物理学报, 2004, 53 (9): 2828～2830 ( Xie

Y X and Tang J S. A simp le fast method in finding the ana2

lytical solutions to a class of nonlinear partial differential e2

quations. A cta Phys. S in, 2004, 53 (9): 2828 ～2830 ( in

Chinese)

19 谢元喜、唐驾时. 对“求一类非线性偏微分方程解析解

的一种简洁方法”一文的一点注记. 物理学报, 2005, 54

(3) : 1036～1038 (Xie Y X and Tang J S. A note on paper

“A simp le fast method in finding the analytical solutions to

.

a class of nonlinear partial differential equations”A cta

Phys. S in, 2005, 54 (3) : 1036～1038 ( in Chinese)

20 刘式适、刘式达. 物理学中的非线性方程. 北京:北京

大学出版社, 2000: 23～25, 167～170(L iu S K and L iu S

D. Nonlinear Equations in Physics. Beijing: Peking Univer2

sity Press, 2000: 23～25, 167～170 ( in Chinese) )

21 谢元喜,唐驾时. 求一类非线性偏微分方程精确解的

简化试探函数法. 动力学与控制学报, 2005, 3(1): 15

～18 (Xie Yuanxi , Tang J iashi. A simp lified trial func2

tion method for seeking the exact solutions to a class of non2



第4期杨先林: Burgers方程的精确解1 1 3

linear PDEs. Journal of D ynam ics and Control, 2005, 3 (2) : 54～59 ( in Chinese) )

(1): 15～18 ( in Chinese) )

22 胡彦梅, 陈建忠, 封建湖. 一种基于W ENO 重构的半

离散中心迎风格式. 动力学与控制学报, 2005, 3(2):

54～59 (Hu Yanmei, Chen J ianzhong , Feng J ianhu. A

sem i -discrete central -upwind scheme based on W ENO

reconstruction. Journal of D ynam ics and Control, 2005, 3

23 李雪臣, 申建伟. 一类非线性波方程尖波解及其动

力

学性质的分析. 动力学与控制学报, 2006, 4(1): 22～

26(L i Xuechen, Shen J ianwei. Cusp wave solutions and

dynam ical behaviors in a class of nonlinear equation. Jour2

nal of D ynam ics and Control, 2006, 4(1): 22 ～26 (in

Chinese) )

EXACT SOL UT IO NS O F BURGERS EQUAT IO N3

Yang Xianlin

(College of M echanics and Aerospace, Hunan U niversity, Changsha 410082, China)

(Hunan Radio and Television U niversity, Changsha 410004, China)

A bstract By introducing a new transformation, a nonlinear second -

.

order partial differential equation—Burgers

equation can be converted to a nonlinear first -order equation, which can be solved directlyFurthermore, the

new exact analytical so lutions of the Burgers equation can be derived, and the results obtained are in good agree2

quations.

. 2



ment w ith those given in other papersThis m ethod can also be used to solve other nonlinear partial differential eKey words nonlinear partial differential equations, B urgers equation, exact solution

Received 23 Ap ril 2006.

3 The p roject supported by the National Natural Science Foundation of China (10472029).