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《计算之书》中“elchataym”算法探源

郭园园

【摘要】《计算之书》中的“elchataym”算法是求解线性问题精确解的一种一

般性算法,作者斐波那契指出此算法源于阿拉伯,除此没有更多关于其来源的叙述.通

过对早期阿拉伯数学家萨马瓦尔《代数珍宝》阿拉伯文献的解读,将他所述阿拉伯

“双试错法”与《计算之书》中的“elchataym”算法从算法公式、算法满足条件

及算法证明等方面进行详细比较,发现二者可能是同源的.%Thealgorithmof

\"elchataym\"inLiberabaciisageneralalgorithmforacquiringexact

ccipointedoutthatthealgorithm

derivedfromtheArab,inadditiontonomorenarrativeaboutitssource.

Duetothereasonsoflanguagesandmaterials,thereisrarelystudyonthe

nthecomparingresearchbetweenthealgorithmof\"double

errors\"inal-Samawal\'sAl-Bahirand\"elchataym\"inLiberabaciintermsof

thealgorithmformulas,theconditionswhichthealgorithmshavetomeet

andalgorithmproofs,itcanbefoundthattheymayhavesamesources.

【期刊名称】《内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）》

【年(卷),期】2013(042)001

【总页数】6页(P84-89)

【关键词】elchataym;双试错法;斐波那契;萨马瓦尔

【作者】郭园园

【作者单位】上海交通大学科学史与科学文化研究院,上海200240

【正文语种】中文

【中图分类】O11

13世纪意大利数学家斐波那契（LeonardoBonacci，1170－1250）编著的《计

算之书》（Liberabaci，1202年）第13卷中讲述的是一种名为“elchataym”

的算法，此算法内容独立成章.斐波那契首先指出，阿拉伯语elchataym被翻译为

“双假设法”，利用这一方法几乎所有的问题都可求得解答［1］.

“elchataym”是阿拉伯语词组“双试错法”（，Hisabal－Khata’ayn）中单

词“双试错”（）的拉丁音译，它是求解线性关系问题精确解的一般性算法，与中

算的“盈不足”术有相似之处，从古代数学文明传播的角度上看二者之间的关系早

已引起了国内外学者的关注.当钱宝琮先生发现“盈不足”术与“elchataym”算

法之间的相似性，就曾著文［2］指出早期阿拉伯人著作中有一类算法称为

“Hisabal－Khata’ayn”，方法与中国的“盈不足”术一致，而其拉丁译名为

“Elchataym”、“elchataym”等.阿拉伯人曾称西辽人为“Khitan（契丹）”，

中古党的拼音 欧洲人将中国人称为“Cathay”，现在“Khataayn”、“chatayn”、

“Cataym”的读音与契丹（Khitan）的阿拉伯读音相似.因此可以推断阿拉伯的

“Hisabal－Khata’ayn”很可能就是指“契丹算法”，也就是中国“盈不足”

术.科学史家杜石然先生也倾向于钱宝琮先生的观点，即：“al－khata’ayn”是

由“契丹”一词的音译转化而成，并找到了更多历史文献的支持［3］.如上所述，

“elchataym”是上文中阿拉伯数学家用来表述“双试错法”的阿拉伯语单词“”

的拉丁语音译.这个阿语单词是阿语单词跃跃欲试是什么意思 “错误”（，khata’）的确指双数宾属格

变形，直译为“两个错误”，即两个所设数字对应结果分别与真实值之间的差，结

合上下文笔者认为应译为“双试错法”.由此可知，以往国内学者对此的推断是不

成立的.

尽管从名称上面我们无法得出更多的信息，但是据目前史料来看这种可能性是存在

的，所以以往国内学者认为“双试错法”自中国传入阿拉伯，经由欧洲又传回中国，

虽其“乡音未改”，但已“相见不相识”［4］.但是长久以来由于这个循环涉及众

多古代文明，加之语言和史料等研究的客观困难，致使在其上的众多链条还处于猜

测阶段.本文所要研究的是《计算之书》中“elchataym”算法的来源，尽管斐波

那契指出这是一种源于阿拉伯的算法，但是国内外学者还未就此问题进行过详细探

究.

本文中笔者首先详细解析《计算之书》中的“elchataym”算法，随后将其与阿拉

伯早期数学家伊本鲁伽（，QustaibnLuqa，820－912）和萨马瓦尔（，al－

Samaw’al，约1130－1180）著作中的相关内容作比较，以揭示斐波那契关于

此部分内容的阿拉伯数学来源.这对于进一步剖析《计算之书》的红杏枝头春意闹属于什么手法 相关内容来源以

及“双试错法”的传播脉络均具有重要意义.

1《计算之书》睁组词常用 中的“双试错法”

13世纪意大利数学家斐波那契所编著的《计算之书》第13卷的标题为：讨论

“双假设法”及其如何用这一方法解决几乎所有的数学问题［1］526.

如上所述，斐波那契首先指出这种算法源于阿拉伯数学，但除此之外在没有更多关

于其来源的信息，为此我们首先分析其算法内容.斐波那契在本章开始部分首先明

确给出了两种“双试错法”的算法描述，下面来看第1种算法术文：

事实上，两次假令是任取的；有时，两次假令可以都小于真解，有时可以都大于，

有时或者是一个大于，一个小于.真解的获得依赖于“差”的比例，这个差是一次

假令与另一次假令的差，这些位置上的数由四项比例算法产生，即已知其中三项，

而第四项为未知数，也就是要求的真解；第一个数是两次假令的差，第二个数是由

于两次假令产生的对于真值的逼近，第三个数是第二次近似值与真值的差.［1］

526

从上面术文来看，斐波那契对于第一种算法的描述有些模糊，通过紧接其后的例题

可以还原算法1的四项比例关系如下：

则通过（1）式容易求出“真解”：

接下来书中给出了第2种算法，术文如下：

事实上，另一种“双假设法”被称为“增损术”，在这一方法中，试错被置于它们

的假令之下，第一次试错与第二次假令相乘，第二次试错与第一次假令相乘.如果

两个试错都是“负”数，或者都是“正”数，从前述较大的乘积中减去较小者，所

得差数除以两次试错的差，从而得到问题的解.如果一个试错是正数，另一个是负

数，相应的乘积应相加，所得和除以两次试错的和.［1］527－528

据现有史料来看，很明显斐波那契所给的第2种“增损术”与中算“盈不足”术

在算法术文的表述以及运算时数码位置的摆放方面均相似，这也是“双试错法”进

行“中国－阿拉伯－欧洲－中国”循环这一假设成立的主要依据.随后山中送别拼音版图片 斐波那契对

于算法2中两个试错同为正、同为负或一正一负3种情况分别给出证明，下面以

两试错一正一负的情况为例进行比较研究.

如图1所示，取ab作为所求真解，从中取ag（＜ab）为第一次假令，相应的试

错为负数ez；第二次假令为数ad（＞ab），相应的试错为正数zi.随后斐波那契

指出如果此题可以利用“双试错法”求解，那么上面的（1）式一定成立，此处有

ezgd＝eibg.

利用第2种双试错法求解，有

图1Fig.1

证毕.

由上可知，斐波那契明确给出两种“双试错法”成立的前提条件均是（1）式，而

这个条件在实际应用过程中并不具备操作性.在下文的例题部分，斐波那契对于这

两种算法公式交替使用，无优劣之分；同时没有进行算法成立条件的检验.在例题

部分中斐波那契甚至可以利用其求解相当于五元线性不定方程组问题［1］547，

此处不再展开.考虑该题目过程繁琐，加之题目条件的特殊性，笔者认为此法不具

有一般性.

此外，15世纪法国数学家许凯（NicolasChuquet）在其《算数三编》

（TripartyenlaSciencesdesNombres，1484）中也提到了与斐波那契第2种

“双试错法”相同的算法［5］.16世纪德国数学家克拉维乌斯（Christoph

Clavius，1537－1612）在其《实用算数概论》（EpitomeArithmeticae

Practicae，1583）中也讲述了斐波那契的第2种“双试错法”，且可以利用与斐

波那契类似的算法求解线性方程组［6］.在西方数学复兴发展的时候，中国数学开

始逐渐衰落，传统数学的卓越成就，诸如“盈不足”术等没有能够得到进一步的发

展.明万历四十一年（1613年），意大利传教士利玛窦（MatteoRicci，1552－

1610）和李之藻根据克拉维乌斯《实用算数概论》编译成《同文算指》，原书第

23章双设法（regulafalsiduplicispositions），被李之藻译为（《同文算指》

卷4）“迭借互征”.

由此可见，斐波那契《计算之书》中的“elchataym”算法在“双试错法”的跨文

明传播过程中扮演者十分重要的角色.

2《计算之书》中“双试错法”的阿拉伯来源

据现有史料看，“双试错法”在阿拉伯数学史上最早见于10世纪数学家寇斯塔伊

本鲁伽（QustaibnLuqa，820－912）的著作中，后来12世纪数学家萨马瓦尔

（al－Samaw’al，约1130－1180）在其《光辉代数》（al－Bahirofalgebra）

中第3卷第5章中也论述了“双试错法”，其中首先转述了伊本鲁伽的算法及证

明，此外萨马瓦尔对其进行了补充.为了更好地了解萨马瓦尔对“双试错法”的认

识，首先来看《光辉代数》前两卷的主要内容，其章节标题如下：第一卷：前言、

乘法、除法、比例及其方根的运算（共5章，主要讲述算术化代数）；第二卷：

求未知数（共五章）.第一章：还原与对消；第二章：6道还原（与对消）问题

（即花拉子米在其代数学中所给的6种基本一元二次方程的求解方法）；此夜曲中闻折柳修辞手法 第三章：

（其他类型的还原与对消问题，例如高次方程或者可以化为上一章6类方程的问

题等）；第四章：有助于求解未知数性质的证明（其中包括算数三角形、数列求和

及平面图形的性质等内容）；第五章：“双试错法”.

第1卷中所涉及的“算术化代数”一词最早是由凯拉吉（al－Karaj，953－约

1029）提出，其继任者萨马瓦尔对此的解释是：将所有的应用于已知数上的计算

方法按照相同的方式应用于未知数［7］.这相当于系统地将加、减、乘、除、比例

和开方这几写蝉的古诗 种基本算术方法应用于代数表达式.由上不难看出，在算术化代数发展

的早期阶段，萨马瓦尔已经将“双试错法”视为求解未知数的一种独立算法，但是

从章节顺序和篇幅来看，其地位不及还原与对消算法.由于《光辉代数》一书主要

以算法的证明为主，书中并未给出使用这种算法的相关例题.

此处还要说明一下《计算之书》中译本［1］与笔者所翻译的阿拉伯文史料中相关

术语的异同：上文中《计算之书》中的“真解”一词对应于以下译文中的“所求

数”；《计算之书》“真值”一词对应于所求数得出的“结果”；“假令”一词对

应于两次“所设数“；两次”近似值”对应于两次所设数字得到的“结果”；“试

错”一词不变.

首先看萨马瓦尔转述伊本鲁伽的“双试错法”.

取任意两个不同的数字，分别检查每一个数字在此问题中的试错.两个试错相对于

所求数［此处指问题中的得数］而言或者均为正或者均为负或者一正一负.若两个

试错均为正或均为负时，求出二者的差值作为除数；若两个试错一正一负，将二者

之和作为除数.接下来将第一个数字［对应］试错乘以第二个数与第二个数［对应］

试错乘以第一个数的乘积，并按照前面处理两个试错时的方法求出二者的差或者和木兰诗原文带拼音及翻译 .

随后将这个和或者差除以前面的除数，所得即为此题的正确答案.［7］151

图2Fig.2

下面来看伊本鲁伽对此的几何证明，他利用图2分别证明了两个试错同正，或者

同负，或者一正一负3种情况，此处仅以两试错同负为例进行说明：设所求数为

AD，其对应的结果为DP，其中角D为直角，连接AP.任取两个均小于AP的数

AB、AC，分别过点B、C作AD的垂线交AP于点F、K，则有此时AB对应的结

果为BF，AC对应的结果为CK，随后补全矩形DM，并分别过点F、K作AD的

平行线EH、IL，如图1所示.此时第一个数字AB已知，其对应结果BF已知，其

与所求数对应结果DP之间的试错，即NF已知.同理，第二个数字AC及其对应结

果试错KO已知.将第一个试错NF乘以第二个数字AC得到矩形MG，类似地第二

个试错乘以第一个数字得到矩形MJ，二者相减得到矩尺形EGOJI.由《原本》第一

卷命题得到矩形OJ等于矩形LG，故前面矩尺形等于矩形EL，其宽度LH等于两

个试错之差，故相除后得到矩形EL的另一边EH，即AD，此为所求.对于两个试

错一正一负或者均为正的情况同理.

萨马瓦尔认为上述证明过程中当设两数AB、AC时，其对应结果恰为直角三角形

的另外两条直角边BF、CK，这个步骤不够完善，因此接下来他证明了对于任意成

比例的四条线段均可以构成两个相似直角三角形的对应直角边.在本章的后一部分

萨马瓦尔先给出了另一种关于上述“双试错法”公式的证明，萨马瓦尔首先给出了

一条引理.

如果将第一个数比上第二个数等于第三个数比上第四个数；第二个数比上第五个数

等于第四个数比上第六个数，则有第一个数与第二个数的和乘以第四个数与第六个

数的和等于第一个数加上第二个数再加上第五个数的和乘以第四个数加上第一个数

乘以第六个数的乘积.［7］160

所求证问题如图3所示.已知，求证ACEH＝AGEF＋ABFH.

萨马瓦尔采用从所求式两边向中间证明的思路.

左侧ACEH＝ACEF＋ACFH＝李白的诗300首五言绝句 ACEF＋ABFH＋BCFH.

所以BCFH＝CGEF.

所以左侧ACEH＝ACEF＋ABFH＋CGEF.

右侧AGEF＋ABFH＝ABEF＋BCEF＋CGEF＋ABFH＝ACEF＋ABFH＋CGEF.

原证成立.

接下来萨马瓦尔利用图4证明了“双试错法”的3种情况.首先设3个数字分别为

AD、BD、CD，其对应的结果分别为EH、FH、GH.不妨设BD为所求数，其中

AD＞BD，CD＜BD.第一个数AD乘以第二试错FG，加上第二个数字CD与第一

试错EF的乘积，将所得之和除以两个试错之和，即EG，相当于（ADFG＋CDEF）

EG，

由前面引理可得左式等于BD，即为所求，剩余两种情况同理.

但是无论是伊本鲁伽还是萨马瓦尔的证明本质上均是从结论入手通过四项比例关

系式对“双试错法”公式进行证明，在认知关系上是“本末倒置”.或许是出于这

个原因接下来萨马瓦尔通过上述比例关系式，即可以利用“双试错法”求解问题需

满足的条件来推导出新的算法公式，相当于：若求数字a，需要两个不等的已知数

字b、c，这些数字对应的结果分别为d、e、f，且有，算法的证明过程如下：

由（2）、（3）得

图3Fig.3

图4Fig.4

萨马瓦尔已经意识到上述证明过程中合比性质有多种变形，因此接下来他指出在求

解a的过程中既可以使用第一试错，也可以使用第二试错，即除了上面的解法外，

还可以使用

最后萨马瓦尔对这种算法进行了一般的描述.

很明显我们证明了将两个数字的差值乘以其中一个试错，将所得除以两个数字对应

结果的差值.如果前面所乘的结果的对应试错为负，则将前面所得的商加上此结果

的对应数字；如果所对应的试错为正，则从其中将其减去，此时所得的和或者差，

即为所求数.［7］163

尽管此法得到的计算公式与前面第1种证明算法公式的分母部分和公式结构略有

不同，但是通分变形之后可见二者是等价的.以上便是《光辉代数》中关于“双是

错法”的全部内容，虽然此书并没有给出相关例题，但是从其证明的过程来看，萨

马瓦尔全文转引伊本鲁伽的证法，随后利用大量的篇幅对其进行了补充论证可见

“双试错法”在当时求解未知数过程中的重要性.

综上所述，通过比较伊本鲁伽与萨马瓦尔所给“双试错法”，可以发现尽管“双

试错法”本身的公式形式没有发生改变，但是伊本鲁伽的算法证明中并没有明确

算法使用的前提条件，且鲁伽鲁伽与萨马瓦尔的证明方法有着明前的区别，前者

是利用平面图形的面积割补法，后者是利用比例算法，且据现有史料看后世的阿拉

伯数学家与欧洲学者也均是延续了萨马瓦尔的证明方法.

3结语

由于斐波那契所给出的两种“双试错法”公式与萨马瓦尔的论述极为相似，故将二

者进行比较，如表1所示.

表1Tab.1算法公式满足求解条件证明方法所求数法一其对应结果＝第一所设值

其对应结果＝第二所设值做出成比例线段图示，通过引理求证公式所求数＝第一所

设值第二试错第二所设值第一试错第一试错第二试错萨马瓦尔《光辉代数》

其对应结果法二真解＝第二假令两次假令之差第劝学一句原文一句翻译 二试错两个所设值对应结果之

差同上利用比例性质直接求证法一真解＝第二假令两次假令之差第二试错两

次试错之差斐波那契《计算之书》法二所求数＝第一所设值第二试错第二所设

值第一试错第一试错第二试错两次假令之差两次试错之差＝第二次假令与真解

之差利用比例性质直接求证第二试错同上做出成比例线段图示，直接求证公式

由表1不难看出，斐波那契《计算之书》中的“双试错法”在公式形式、满足算

法求解条件以及算法证明思路等方面都延续了12世纪阿拉伯数学中相关内容，我

们可以判断二者可能是同源的.

尽管如此，但是就“双试错法”在求解未知数过程中地位和作用的认识，斐波那契

与阿拉伯数学家的认识是不同的.在《计算之书》中，斐波那契在本章的开头便指

出“双试错法”几乎可以解决所有的问题，且在下文的例题中斐波那契甚至可以利

用其求解相当于五元线性不定方程组问题；而阿拉伯学者却将还原与对消算法视为

求解未知数问题的一般算法，其地位高于“双试错法”.与之相比，在《计算之书》

这本长达15卷的长篇著作中，仅有第15卷中的最后第3章才介绍了阿拉伯还原

与对消算法；且从《计算之书》全书的书写风格来看，还原与对消算法思想并未纳

入到斐波那契主流的知识体系结构中.对于这种“双试错法”地位认识其别的原因，

笔者认为在于由花拉子米在9世纪初创建的还原与对消算法早已对后世的阿拉伯

数学家们产生了深远的影响，使得他们可以利用这种更具一般性的算法工具去分析

和解决问题，故萨马瓦尔认为还原与对消算法在求解未知数过程中较“双试错法”

及其他算法更具优势，且伴随着高次问题、多元问题和不定分析等复杂问题的产生，

使得这种认识愈加强烈；同时斐波那契并没有全面接受还原与对消算法，加之早期

以求解线性关系题目为主，故其认为“双试错法”几乎可以解决所有的问题也就不

足为奇了.对于这种算法地位认识上的不同，恰恰体现出古代数学知识在跨文明传

播过程中的复杂性和多样性.

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