2023年12月10日发(作者：南京到江苏高考数学试卷)

高三上期末考试数学试题分类汇编

立体几何

一、填空、选择题

1、（宝山区2019届高三）将函数y1x2的图像绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是 ．

2、（崇明区2019届高三）设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于

3、（虹口区2019届高三）关于三个不同平面、、与直线l，下来命题中的假命题是（ ）

A. 若，则内一定存在直线平行于

B. 若与不垂直，则内一定不存在直线垂直于

C. 若，，l，则l

D. 若，则内所有直线垂直于

4、（金山区2019届高三）在120的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A、B两点，则这两个点在球面上的距离是

5、（浦东新区2019届高三）已知圆锥的体积为3，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积33为

6、（浦东新区2019届高三）下列命题正确的是（ ）

A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行

B. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行

C. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行

D. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行

7、（普陀区2019届高三） 如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为4，记AC11B1D1F，BC1B1CE，若AEBF，则此棱柱的体积为

8、（青浦区2019届高三）已知直角三角形△ABC中，A90，AB3，

AC4，则△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的体积为

9、（徐汇区2019届高三）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ） （A）16 （B）163 （C）16128 （D）

3310、（杨浦区2019届高三）若圆锥的母线长l5(cm)，高h4(cm)，则这个圆锥的体积等于

(cm3)

11、（长宁区2019届高三）若圆锥的侧面面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为

12、（闵行区2019届高三）如图，在过正方体ABCDA1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线的条数为

13、（闵行区2019届高三）已知a、b为两条不同的直线，、为两个不同的平面，a，a∥b，则下

列结论不可能成立的是（ ）

A.

b，且b∥ B.

b，且b∥

C.

b∥，且b∥ D.

b与、都相交

14、（青浦区2019届高三）对于两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，以下结论正确的是（ ）

A. 若m，n∥，m、n是异面直线，则、相交

B. 若m，m，n∥，则n∥

C.

m，n∥，m、n共面于，则m∥n

D. 若m，n，、不平行，则m、n为异面直线

参考答案

一、填空、选择题

1、 2、233 3、D 4、2 5、3 6、D

33

37、322 8、12π 9、C 10、12 11、12、12 13、D 14、C

二、解答题 1、（宝山区2019届高三）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA4，设E为侧棱PC的中点．

（1）求正四棱锥EABCD的体积V；

（2）求直线BE与平面PCD所成角的大小．

2、（崇明区2019届高三）如图，设长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，

直线A1C与平面ABCD所成的角为（1）求三棱锥AA1BD的体积；

（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小.

.

4

3、（奉贤区2019届高三） 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABAC，D是BC的中点.

（1）求证：BC平面A1AD1；

（2）若BAC90，BC4，三棱柱ABCA1B1C1的体积是83，求异面直线A1D与AB1所成角的大小.

4、（虹口区2019届高三）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，

点D是母线PA的中点.

（1）求该圆锥的侧面积与体积；

（2）求异面直线AB与CD所成角的大小.

5、（金山区2019届高三） 如图，三棱锥PABC中，PA底面ABC，M是 BC的中点，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为（1）三棱锥PABC的体积；

（2）异面直线PM与AC所成角的大小.

（结果用反三角函数值表示）

. 求：

3

6、（浦东新区2019届高三）已知直三棱柱A1B1C1ABC中，ABACAA11，BAC90.

（1）求异面直线A1B与B1C1所成角；

（2）求点B1到平面A1BC的距离.

7、（普陀区2019届高三）如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O，钉尖为Ai（i1,2,3,4）.

（1）记OAia（a0），当A1、A2、A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成

角的大小（结果用反三角函数值表示）；

2（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为32cm，要用某种线型材料复制100

枚这种“钉”（耗损忽略不计），共需要该种材料多少米？

8、（青浦区2019届高三）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为3，A1D5.

（1）求该正四棱柱的侧面积与体积；

（2）若E为线段A1D的中点，求BE与平面ABCD所成角的大小.

9、（徐汇区2019届高三）如图，已知正方体ABCDA\'B\'C\'D\'的棱长为1.

（1）正方体ABCDA\'B\'C\'D\'中哪些棱所在的直线与直线A\'B是异面直线？

（2）若M,N分别是A\'B,BC\'的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小.

10、（杨浦区2019届高三）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PAAB1，AD2，点F是PB

的中心，点E在边BC上移动.

（1）求三棱锥EPAD的体积；

（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE.

11、（长宁区2019届高三） 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马PABCD中，PD底面ABCD.

（1）已知ADCD4m，斜梁PB与底面ABCD所成角为15，求立柱PD的长；

（精确到0.01m）

（2）求证：四面体PDBC为鳖臑.

参考答案

二、解答题

1、解：（1）因为正方形ABCD的边长为2，所以SABCD4，…………2分

116VPABCDSABCDPA， …………………………………4分

3318因为E为侧棱PC的中点，所以VVPABCD.…………………………………………………623分

（2）建立空间直角坐标系，A(0,0,0)，

如图所示：B(2,0,0)，P(0,0,4),C(2,2,0),E(1,1,2)，……8分

BE1,1,2,PC2,2,4,DC2,0,0,……………9分 设平面PCD的一条法向量为n(a,b,c)

PCn02a2b4c0，

CDn02a0令c1，则n(0,2,1)，……………………………………………………11分

故sinBEnBEn230， ……………………………………………13分

15230.……………………14分

15所以，直线BE与平面PCD所成角大小arcsin17. 2、解：（1）联结AC，

因为AA1平面ABCD，

所以A1CA就是直线A1C与平面ABCD所成的角，……………………………………2分

所以ACA14，所以AA122……………………………………4分

14所以VAA1BDVA1ABDSABDA1A2……………………………………7分

33（2）联结A1D，BD

因为A1B1//CD，所以A1D//B1C

所以BA1D就是异面直线A1B与B1C所成的角或其补角………………………3分

(23)2(23)2(22)22在BA1D中，cosBA1D

3223232……………………………………6分

32所以异面直线A1B与B1C所成角的大小是arccos……………………………………7分

3所以BA1Darccos3、 4、

5、

6、解：（1）在直三棱柱A1B1C1ABC中，AA1AB，

AA1AC,ABACAA11,BAC90

所以，A1BA1CBC2．…………………………2分

因为，BC//B1C1，所以，A1BC为异面直线A1B与B1C1所成的角或补角．……4分

在A1BC中，因为，A1BA1CBC所以，异面直线A1B与B1C1所成角为2，

．…………………………7分

3（2）设点B1到平面A1BC的距离为h，

1322sin，…………………………9分

23211SA1B1B11，…………………………11分

22因为，VB1A1BCVCA1B1B，…………………………12分

由（1）得SA1BC311h．

ShSCAA1BCA1B1B所以，，解得，3333所以，点B1到平面A1BC的距离为．…………………………14分

3或者用空间向量：

（1） 设异面直线A1B与B1C1所成角为，如图建系，则A1B1,0,1，…………4B1C11,1,0，分 因为，cosA1BB1C1A1BB1C11221

23所以，异面直线A1B与B1C1所成角为．…………7分

3（2）设平面A1BC的法向量为nu,v,w，

则nBC,nA1B．又BC1,1,0，A1B1,0,1，……………9分

所以，由uv0nBC0，得n1,1,1．…………12分

nA1B0uw0所以，点B1到平面A1BC的距离d7、

B1Bnn3．…………………………14分

3 8、解：（1）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，

∵AA1平面ABCD，AD平面ABCD，∴AA1AD，故AA12594，

∴正四棱柱的侧面积为(43)448，体积为(32)436．

（2）建立如图的空间直角坐标系Oxyz，由题意

可得D(0,0,0),B(3,3,0),A1(3,0,4),D(0,0,0),E(,0,2),AA1(0,0,4)，BE(,3,2)，

设AA1与BE所成角为，直线BE与平面ABCD所成角为，

则cos3232AA1BE|AA1||BE|84614461，

61461461，arcsin．

6161又AA1是平面ABCD的一个法向量， 故sincos所以直线BE与平面ABCD所成的角为arcsin461．

619、解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD,DC,CC\',DD\',D\'C\',B\'C\'所在的直线与直线A\'B是异面直线 ……………….6分

(2)连结BC\',A\'C\'，因为M,N分别是A\'B,BC\'的中点，

所以MN∥A\'C\'，又因为BC∥B\'C\'， 所以异面直线MN与BC所成角为A\'C\'B\'(或其补角)，…….9分

由于A\'B\'B\'C\',A\'B\'C\'90

于是A\'C\'B\'45， ………………13分

所以异面直线MN与BC所成角的大小为45. ………….14分

D\'A\'C\'B\'NMDCBA11

PASADE

33（2）只需证明AF面PBC

因为PA面ABCD，故PABC，又BCAB，

故BC面PAB，所以BCAF；

10、解：（1）VPADE

…… 6分

……10分

PAB中，PAAB，点F是PB的中点，故AFPB ……12分

所以，AF面PBC，故无论点E在边BC的何处，都有AFPE. ……14分

11、（1）解：因为侧棱PD底面ABCD，

则侧棱PB在底面ABCD上的射影是DB，

所以PBD就是侧棱PB与底面ABCD所成的角，即PBD15．……2分

在PDB中，PDB90,DB由tanPBDAD2CD242(m)， ………3分

PDPD得

tan15，解得

PD1.52(m)． ………5分

DB42所以立柱PD的长约为

1.52m． ………………………………6分

（2）由题意知底面ABCD是长方形，

所以BCD是直角三角形． ………………………2分

因为侧棱PD底面ABCD，

得PDDC,PDDB,PDBC，

所以PDC、PDB是直角三角形． …………………………4分

因为BCDC，BCPD，又PDDCD，DC,PD平面PDC，

所以BC平面PDC． …………………………………………6分

又因为PC平面PDC，所以BCPC，

所以PBC 为直角三角形． …………………………………7分

由鳖臑的定义知，四面体PDBC为鳖臑． ………………………8分


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