数学魔术系列之愚人节的计算器

2024年3月14日发(作者：2018贵州高考数学试卷)

数学魔术系列之愚人节的计算器

在某年的愚人节，小宝的朋友拿着一个计算器告诉小

宝，“最近有科学家发现了这种计算器具有灵异的作用，只

有输入你的出生年份，就可以预测出你将来的命运，不相信

的话你可以试试。〞小宝的朋友把计算器递给了小宝，“下

面，你按我说的做：首先在计算器中输入自己的出生年份，

你是1990年出生的吧？那就输入1990，然后计算这个数字

的对数(ln)值，再将得到的结果乘以45.278，之后再一次计

算这一个结果的对数值，再乘以45.278，以此类推，重复十

几次以后，计算器的超自然作用会逐步显现出来，最后的结

果小数点前的一串数字可以预示你的命运。〞

最后小宝算了半天，得出结果之后，身旁的朋友笑起来，他

知道自己中计了，可是不明白为什么。他又输入几个不同的

出生年份1960，1970，1980，试了几次，原来最后的数字都

是一样的。小宝的朋友说道“不管哪一年出生，是六零后，

七零后，八零后还是九零后，在计算器看来，最终的命运其

实都是一样的，哈哈。〞〔你猜得到结果是什么吗，参见文

章最后〕

其实刚刚计算器并没有在为小宝算命，而是小宝他自己稀里

糊涂地帮他的朋友做了一道数学题：解方程

45.278*ln(x)=x。大家知道怎样解这个方程吗？

你或许会说，我数学没有学好，忘记了这种方程的求解公式。

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可是令很多人意想不到的是这种方程根本没有求解公式，称

为超越方程，数学家也无法得到一个可以用有理数表示的

解，只知道它的解是像π一样的无限不循环小数，小数点

后面有无限多位。对于圆周率π，虽然“可望而不可即〞，

永远得不到100%准确的真实数值，可是却可以无限接近，在

2022年，日本筑波大学研究人员借助最新的超级计算机系统,

已经可以将圆周率计算到小数点后25769.8037亿位。而对

于这个方程的解，我们也有很多方法来接近它的真实值，像

计算圆周率一样揭开它的“庐山真面目〞。

首先，我们来看一张世界地图图片，七大洲、四大洋明晰可

见。我们如今要做的是翻开photoshop软件，把原来的图片

的长宽各缩小一半，然后把缩小的图片旋转任意角度，粘贴

到原来大图片上的任意位置，可想而知，小地图上指示的地

点和它背后大地图上的地点是错位的，南极洲的一点背后可

能是大西洋，中国背后可能是美国，洛杉矶可能跑到了印度

的位置，南非可能到了巴西头顶上……但是仔细想一下，无

论小地图旋转多少角度，被放到什么位置，大地图和小地图

一定有一点指示的是同一个位置，这一点叫不动点，可以用

圆规几何画图找到，但无论如何有一个事实是确定的，这一

点一定在大地图上小地图所盖住的区域内。

接下来，假如我们把这张由小地图和大地图叠在一起的图像

合成为一张图片，然后再把合成的图缩小、旋转，镶嵌到原

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来小地图的位置，这样就得到了一张由三张大小不同的地图

叠在一起的图片。假如继续进展下去，4层、5层、6层……

都可以得到，下半局部的那张图片显示的就是7张地图叠在

一起，“图中有图，像中有像〞的图片。此时，这大小不同

的7张图片仍然有一个共同的点，还是刚刚的那个不动点，

但是我们可以知道，这个点的范围已经缩小到最上面的小地

图在最下面的大地图上覆盖的范围了，从图中看，已经是很

小的、难以识别的一个长方形了。当越来越多的图片叠在一

起，那个不动点的位置就会被定位的越来越准确，例如最初

确定在亚洲范围内，之后缩小到中国，然后是青海省，然后

是玉树州，玉树县，拉秀乡日麻村……。整个过程如同在使

用谷歌地图上的放大功能一样。

事实上，“不动点〞无处不在，两张不同尺度的图片叠在一

起会有不动点，两个不同尺度的格尺叠在一起也有不动点

〔游标卡尺就是利用不动点使用的〕，台风中肆虐的狂风下

包围的风平浪静的风眼也是一个不动点，对于一个方程，它

的解就是一个不动点。刚刚小宝用计算器算来算去的过程其

实和“拼贴世界地图〞异曲同工，都是“一环套一环〞，将

不动点的范围不断缩小，这种解方程的方法有一个名字——

不动点迭代法。

无论最开场的x等于多少，经过下面这样的过程，最后都会

像被磁铁吸引一样，离方程的解的间隔 越来越近。

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45.278*ln(45.278*ln(45.278*ln(45.278*ln(45.278*ln(4

5.278*ln(45.278*ln(x)))))))……

不动点迭代的方法只是解超越方程方法的一种，我们还可以

用一种“猜〞的方法——二分法。首先大概估计一下

45.278*ln(x)-x=0的解是在什么范围内，比方0到10000，

从这么大的范围开场“海里捞针〞的旅程。计算一下中间值

x=5000的时候45.278*ln(x)-x的值是大于0还是小于0，

可以把解的范围缩小到原来的一半0到5000，再根据x=2500

时方程的值，把解的范围再缩小一半，这样一直下去，和不

动点迭代的方法一样，会使解的数值由模糊变得越来越准

确。不过相比起来，不动点迭代法的效率比二分法略胜一筹，

也就是说，前者的“地图缩小的速度〞快于后者的“地图缩

小速度〞。

这两种方法都叫数值方法，虽然不能像一个求根公式那样，

得到一个方程真正的解，但是可以得到一个小数点后任意多

位的数值去表示方程的解。你或许感觉这种数值方法很繁

琐，要一次又一次的按计算器，但是对于一秒钟可以计算上

万次、上亿次的计算机来讲，这种事情只是小菜一碟，缺乏

挂齿。利用计算机强大的计算才能，数值方法可以完成各种

各样的复杂方程的求解。

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