考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析

2023年12月2日发(作者：小升初数学试卷南海区答案)

考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编2

(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． (16年)设随机变量X～N(μ，σ2)(σ＞0)，记p=P{X≤μ+σ2}，则

A．p随着μ的增加而增加．

B．p随着σ的增加而增加．

C．p随着μ的增加而减少．

D．p随着σ的增加而减少．

正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计

2． (97年)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X一2Y的方差是

A．8

B．16

C．28

D．44

正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计

3． (00年)设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y与η=X—Y不相关的充分必要条件为

A．E(X)=E(Y)

B．E(X2)一[E(X)]2=E(Y2)一[E(Y)]2

C．E(X2)=E(Y2)

D．E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2

正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计

4． (01年)将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于

A．一1

B．0

C．

D．1

正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计

5． (04年)设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且其方差σ2＞0，令Y=，则

A．

B．

C．

D．

正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计

6． (07年)设随机变N(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X,Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX Y(x|y)为

A．fX(x)．

B．fY(y)．

C．fX(x)fY(y)．

D．

正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计

7． (08年)设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则

A．P{Y=一2X—1}=1

B．P{Y=2X一1}=1

C．P{Y=一2X+1}=1

D．P{Y=2X+1}=1

正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计

8． (09年)设随机变量X的分布函数为F(x)=0．3φ(x)+其中φ(x)为标准正态分布的分布函数，则EX=

A．0．

B．0．3．

C．0．7．

D．1．

正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计

9． (11年)设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max{X，Y)，V=min{X，Y)，则E(UV)=

A．．

B．．

C．． D．．

正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计

填空题

10． (87年)已知连续型随机变量X的概率密度为则EX=______，DX=________．

正确答案：1； 涉及知识点：概率论与数理统计

11． (90年)已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，且随机变量Z=3X一2，则EZ=______．

正确答案：4． 涉及知识点：概率论与数理统计

12． (91年)设随机变量X服从均值为2、方差为σ2的正态分布，且P{2＜X＜4}=0．3，则P{X＜0}=_______．

正确答案：0．2． 涉及知识点：概率论与数理统计

13． (92年)设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E(X+e-2X)=__________．

正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计

14． (95年)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0．4，则E(X2)=_______

正确答案：18．4． 涉及知识点：概率论与数理统计

15． (96年)设ξ和η是两个相互独立且均服从正态分布N(0，)的随机变量，则E(|ξ-η|)=________

正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计

16． (04年)设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则=_______．

正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计

17． (08年)设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X=EX2}=_____．

正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计

18． (10年)设随机变量X的概率分布为P{X=k}=k=0，1，2，…，则EX2=_________．

正确答案：2 涉及知识点：概率论与数理统计

19． (11年)设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)=______．

正确答案：μ3+μσ2． 涉及知识点：概率论与数理统计

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

20． (89年)设随机变量X与Y独立，且X～N(1，2)，Y～N(0，1)，试求随机变量Z=2X—Y+3的概率密度函数．

正确答案：∵EX=l，DX=2，EY=0，DY=1 ∴EZ=E(2X—Y+3)=2EX一EY+3=2×1-0+3=5 DZ=D(2X—Y+3)=4DX+DY=4 × 2+1=9由正态分布的性质知：Z～N(5，9)故Z的概率密度为 涉及知识点：概率论与数理统计

21． (90年)设二维随机变量(X，Y)在区域D：0＜x＜1，|y|＜x内服从均匀分布，求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z=2X+1的方差DZ．

正确答案：D的面积(见图)为2 ××12=1∴(X，Y)的概率密度为：关于X的边缘概率密度fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy．当x≤0或x≥1时，fX(x)=0；当0＜x＜1时，fX(x)=∫-xx1dy=2x 涉及知识点：概率论与数理统计

22． (93年)设随机变量X的概率密度为 (1)求EX和DX； (2)求X与|X|的协方差，并问X与|X|是否不相关? (3)问X与|X|是否相互独立?为什么?

正确答案：本题出现的积分，可验证均收敛． (1)EX=∫-∞+∞xf(x)dx=∫-∞+∞=0而 EX2=∫-∞+∞x2=∫0+∞x2e-xdx =一x2e-x|0 (1)求EZ和DZ， (2)求X与Z的相关系数ρXZ。 (3)问X与Z是否相互独立?为什么?

正确答案：(1)显然EX=1，DX=9，EY=0，DY=16(3)由ρXZ=0，知X与Z不相关．故知X与Z相互独立． 涉及知识点：概率论与数理统计

24． (96年)设ξ和η是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为P(ξ=i)=，i=1，2，3．又设X=max(ξ，η)，Y=min(ξ，η)． (1)写出二维随机变量(X，Y)的分布律； (2)求EX

正确答案：(1)(X，Y)的分布律见表．(2)由(X，Y)的分布律可得关于X的边缘分布律为： 涉及知识点：概率论与数理统计

25． (97年)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通 岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望．

正确答案：分布函数F(x)=P(X≤x)．当x＜0时，F(x)=0当0≤x＜1时，F(x)=P{X=0}=当1≤x＜2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=当2≤x＜3时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=当x≥3时，F(x)=1 涉及知识点：概率论与数理统计

26． (98年)设两个随机变量X、Y相互独立，且都服从均值为0、方差为的正态分布，求|X—Y|的方差．

正确答案：记ξ=X—Y．E(|ξ|)2=Eξ2=Dξ+(Eξ)2=1+02=1 涉及知识点：概率论与数理统计

27． (00年)某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0＜p＜1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修．设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求E(X)和D(X)．

正确答案：记Ak={生产的第k个产品是合格品)，k=1，2，…．而X可能取的值为全体自然数．由题意得P(X=k)=P(A1A2…) =P(A1)P(A2)…P(Ak-1)=(1一p)k-1p，k=1，2，…(这里A1，A2，…都相互独立，且P(Ai)=1一p，i=1，2，…． 涉及知识点：概率论与数理统计

28． (02年)设随机变量X的概率密度为对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求Y2的数学期望．

正确答案：因为所以 EY2=DY+(EY)2=1+22=5 涉及知识点：概率论与数理统计

29． (03年)已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品．从甲箱中任取3件产品放人乙箱后，求：

(1)乙箱中次品件数X的数学期望； (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率．

正确答案：(1)X可能取的值为0，1，2，3(2)记A={从乙箱中任取一件产品是次品}，由全概率公式得： 涉及知识点：概率论与数理统计

30． (04年)设A，B为随机事件，且P(A)=，令求(I)二维随机变量(X，Y)的概率分布； (Ⅱ)X与Y的相关系数ρ(X,Y)．

正确答案：故(X，Y)的概率分布为：(Ⅱ)由(I)易得关于X、Y的概率分布(列)分别为： 涉及知识点：概率论与数理统计