教师资格证高中数学讲义

2024年1月21日发(作者：福建中考数学试卷202316)

第一讲应试攻略

一、考情分析

数学学科知识与教学能力是高中学段教师资格统考科目三的考试科目，主要考查申请教师资格人员数学专业领域的基本知识，教学设计、实施、评价的知识和方法，运用所学知识分析和解决教育教学实际问题的能力。

考试内容：数学学科知识、课程知识、教学知识、教学技能

试题题型：选择题、简答题、解答题、论述题、案例分析题、教学设计题

二、题型解读

(一）单项选择题

主要考查学科知识和课程知识，知识点覆盖范围比较广。

在历年考试真题中，学科知识6-7道，课程与教学知识1-2道。

（二）简答题

简答题稳定在5题，前面3题一般是学科知识，后面2题是课程知识与教学知识，总分值35分。

（三）解答题

一般考大学数学专业基础课程相关知识，分步骤给分，如果不能够完全解答，只要会的步骤，都要写在试卷上，阅卷老师看见答案中有相关步骤，都会给相应的分数。

（四）论述题

一般考课程知识、教学知识、教学技能。在答题时一般需要提出论点，并用论据进行论证，最后得出结论。

(五）案例分析题

一般考查教学知识或教学技能。案例分析题是给出教学片段，然后提出问题，在问题中要求考生阅读分析给定的资料，依据一定的理论知识，或作出决策，或给出评价，或提出具体的解决问题的方法或意见等。

（六）教学设计题

给出一个课题，按要求进行设计。一般从教学目标、教学重难点、教学过程几个问题进行考查。

三、备考策略

（一）研究真题，把握考试脉搏

考纲是了解考点的依据，真题是掌握考情的关键。对照教师资格考试大纲和近几年考试真题，也可参照“考情分析”与“题型解读”。

（二）学记结合，强化记忆效果

利用笔记将“厚”书读“薄”，提高学习效率。

1、对教材的重点内容做摘要笔记，概括其要点。

2、复习过程中在教材相应位置做好批注，加强记忆。

3、对所学内容做好心得笔记，将学习过程中的思考、分析、体会等随手记下来，巩固对知识点的理解。

（三）系统总结，梳理知识脉络

在理解的基础上系统梳理每个模块知识的脉络，整理出清晰明了的框架结构，加强识记效果，以便在考试中看到相关题目时能快速在脑中搜索到相关知识点，得出合理的答案。

（四）强化练习，及时查漏补缺

多做练习是检测复习效果的有效手段。进行适当的练习，以及时查看对所学知识点的掌握情况，对记忆模糊的知识点重新记忆，对薄弱环节进一步巩固，查漏补缺，科学备考。

第二讲考试大纲

一、考试目标

1、学科知识的掌握和运用。

掌握大学本科数学专业基础课程的知识、高中数学的知识。

2、高中数学课程知识的掌握和运用。

理解高中数学课程的性质、基本理念和目标，熟悉《义务教育数学课程标准》规定的教学内容和要求。

3、数学教学知识的掌握和应用。

理解有关的数学教学知识，具有教学设计、教学实施和教学评价的能力。

二、考试内容模块与要求

（一）学科知识

大学本科数学专业基础课程：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计。

包括数列极限、函数极限、连续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换。

要求：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。

高中数学知识：高中数学课程中的必修内容、选修课中的系列1、2的内容以及选修3—1（数学史选讲），选修4—1（几何证明选讲）、选修4—2（矩阵与变换）、选修4—4（坐标系与参数方程）、选修4—5（不等式选讲）。

要求：理解高学数学中的重要概念，掌握高学数学中的重要公式、定理、法则等知识，掌握中学数学常见的数学思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力以及综合运用能力。

（二）课程知识

1、了解高中数学课程的性质、基本理念和目标。

2、熟悉《新课标》所规定的教学内容的知识体系，掌握《新课标》对教学内容的要求。

3、能运用《新课标》指导自己的数学教学实践。

（三）教学知识

1、掌握讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法等常见的数学教学方法。

2、掌握概念教学、命题教学等数学教学知识的基本内容。

3、了解包括备课、课堂教学、作业批改与考试、数学课外活动、数学教学评价等基本环节的教学过程。

4、掌握合作学习、探究学习、自主学习等中学数学学习方式。

5、掌握数学教学评价的基本知识和方法。

（四）教学技能

1、教学设计

a、能够根据学生已有的知识水平和数学学习经验，准确把握所教内容与学生已学知识的联系。

b、能够根据《课标》的要求和学生的认知特征确定教学目标、教学重点和难点。

c、能正确把握数学教学内容，揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质、渗透数学思想方法，体现应用与创新意识。

d、能选择适当的教学方法和手段，合理安排教学过程和教学内容，在规定的时间内完成所选教学内容的教案设计。

2、教学实施

a、能创设合理的教学情境，激发学生的数学学习兴趣，引导学生自主探索、猜想和合作交流。

b、能依据数学学科特点和学生的认知特征，恰当地运用教学方法和手段，有效地进行数学课堂教学。

c、能结合具体数学教学情境，正确处理数学教学中的各种问题。

3、教学评价

a、能采用不同的方式和方法，对学生知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面进行恰当地评价。

b、能对教师数学教学过程进行评价。

c、能够通过教学评价改进教学和促进学生的发展。

三、试卷结构

四、题型示例

1、单项选择题

a、学科知识模块

b、课程与教学知识模块

在某次测试中，用所有参加测试学生某题的平均分除以该题分值，得到的结果是（B）（2016年下半年真题）

A.区分度 B.难度 C.信度 D.效度

区分度：把不同水平的人区分开来。

信度：测试结果的一致性、稳定性及可靠性。

效度：所测量到的结果反映所想要考察内容的程度。

2、简答题

以“二项式定理”的教学为例，阐述数学定理教学的基本环节。（2016年下半年真题）

解题思路：（1）介绍定理的背景或特殊情形。

（2）了解定理的内容，理解定理的含义，认识定理的条件和结论，能 够解决什么问题。

（3）定理的证明或推导过程：学生与老师一起研究证明方法，如不需证明，学生根据老师提供的材料体会定理规定的合理性。

（4）熟悉定理的使用。

（5）引申和拓展定理的运用。

3、解答题

设函数f(x)=x2在R上连续且可导。

（1）当f(x)=x2，且g(x)=exf(x)时，求证f(x)与g(x)有共同驻点。

（2）当f(a)=f(b)=0(a

4、论述题

函数的单调性是刻画函数变化规律的重要概念，也是函数的一个重要性质。

（1）请叙述函数严格单调递增的定义，并结合函数单调性的定义，说明中学数学课程中函数单调性与哪些内容有关（至少列举两项内容）。

（2）请列举至少两种研究函数单调性的方法，并分别简要说明其特点。（2016年下半年真题）

5、案例分析题

概念同化指从已有概念出发，理解并接纳新概念的过程，实质是利用演绎方式理解和掌握概念。由于数学中大多数概念是以属概念加种差的方式定义的，所以适宜采用概念同化的方式进行教学。以“奇函数，，概念教学为例简要说明概念同化的教学模式：

(1)向学生提供“奇函数”概念的定义

(2)解释定义中的词语、符号、式子所代表的含义

突出概念刻画的是：对定义域中的任意一个自变量，考察χ与-χ对应的函数值f(χ)与f(-χ)之间的关系以f(-χ)=-f(χ)。因此函数的定义域应该关于原点对称，满足这个条件后再考察f(-χ)=-f(χ).

(3)辨别例证，深化概念

教师向学生提供丰富的概念例证，例证中以正例为主，但也要包合适\"-3的反例，尤其是一些需要考察隐含条件的例子。

(4)概念的运用

提供各种形式来运用概念，达到强化对概念的理解，促进概念体系的建构的目的，可以利用个别有一定综合性但难度不大的问题。

问题：(1)请举出反例说明(3)辨别例证，深化概念。(5分)

(2)请举例补充(4)概念的运用。(5分)

(3)请结合案例，总结出概念同化的教学模式的过程。(10分)

6、教学设计题

“对数的概念”是高中数学教材中的重要概念。教师在教学中，应基于课程标准和学生学情，确定教学目标，实现教学重点，突破教学难点，设计教学方法、教学过程、师生活动和教学评价等。

请完成下列任务：

（1）设计“对数的概念”的教学目标；

（2）写出“对数的概念”的教学重点和难点；

（3）设计“对数的概念”的引入过程（要求能够让学生认识到引入对数的概念的必要性）。（2016年下半年真题）

第一部分 数学学科知识

第三讲

第一章、数学分析

考点：1、掌握数列极限与函数极限的定义

2、求极限的方法

3、导数与微分的应用

4、求解定积分与不定积分

5、能够运用微积分基本定理求解问题

1、数列极限的定义：

设 {Xn} 为实数列，a 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N

时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限，并记作 或Xn→a（n→∞）

读作“当 n 趋于无穷大时，{Xn} 的极限等于 或 趋于 a”．

若数列 {Xn} 没有极限，则称 {Xn} 不收敛，或称 {Xn} 为发散数列．

该定义常称为数列极限的 ε—N定义．

对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性。

定理1：如果数列{Xn}收敛，则其极限是唯一的。

定理2：如果数列{Xn}收敛，则其一定是有界的。即对于一切n（n=1,2……），总可以找到一个正数M，使|Xn|≤M。

2、函数极限的定义：

设f(x)在x0点附近（除x0点以外）有定义，A是一定数，若对任意给定的 ε >0，存在 δ >0

当

的时候，有

则称A是函数f(x)当x趋于xo的时候的极限，

记为 或者记为：

3、求极限的一般方法：

⑴直接代入法。以x=x0代入f(x)，如f(x0)有意义，则极限为f(x0)

⑵约分法。如f(x)为分式，且分子、分母可约分，约分后所得的式子g (x0)有意义，则函数极限为g (x0)。

⑶ 有理化法。如f(x)为分式，且分子、分母中其一为无理式，可将其有理化后再约分，如所得g (x0)有意义，则极限为g (x0)。

⑷若x→∞，f(x)为分式，分子、分母均为多项式时，可将分子、分母同除以x的最高次幂，再逐项求极限。

4、导数的应用

（1）求可导函数f(x)极值的步骤：

求导数f\'(x);

求方程f\'(x)=0的根；

检验f\'(x)在方程f\'(x)=0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值。

（2）函数的最大值和最小值

设y=f(x)是定义在区间[a,b]内有导数，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值，可分两步进行：

求y=f(x)在（a,b)内的极值；

将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

若函数f(x)在[a,b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a,b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值。

5、微分学基本定理

拉格朗日（Lagrange）中值定理

这个定理也称为微分学的中值定理，它是微分学中的一个很重要的定理。

设函数 f (x) 满足：

(i) f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续;

(ii) f(x) 在开区间 (a, b) 内可导.

那么在开区间（a,b）内 至少 存在一点

, 使得

-----拉格朗日公式.

注：当f(a)=f(b)时，拉格朗日定理就是罗尔定理，可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例.

罗尔 ( Rolle ) 定理

Y=f(x)满足:

(1) 在区间 [a , b] 上连续

(2) 在区间 (a , b) 内可导

(3) f ( a ) = f ( b )

在( a , b ) 内至少存在一点

柯西中值定理

设函数f(x), g(x) 在区间[a,b]上满足

1) f(x) , g(x) 在闭区间 [a, b] 上连续;

则在开区间（a,b）内必定 (至少) 存在一点 , 使得

三者关系

第四讲

第二章 高等代数

考点：1、掌握矩阵、行列式的性质，求解线性方程组的方法。

2、会化二次型为标准型，会判断二次型的正定性。

3、了解线性空间的定义及简单性质，线性变换的定义、性质及欧氏空间的一些概念。

考点聚焦：1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。

2、在历年考试中，行列式的计算和性质、克莱姆法则、矩阵的概念及运算、矩阵的性质、线性空间的定义及简单性质是考查的重点，考生在复习这部分知识的时候，要注意多加练习，在掌握理论的基础上灵活运用。

1、行列式的性质：

性质1：行列互换，行列式不变。

性质2：

即一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行列式。

性质3：

即如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。

性质4：如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。

性质5：如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。

性质6：把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

性质7：对换行列式中两行的位置，行列式反号。

2、矩阵：

（1）定义： 由mxn个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成 m行n列的数表，

叫做m行 n列矩阵，简称mxn矩阵。这mxn 个数叫做矩阵A的元素 ，aij叫做矩阵A的第i行第j列的元素。

上述的矩阵A也简记为A=(aij)mxn或A=(aij)

mxn矩阵A也记为Amxn

（2）矩阵的加法：两个m行n列矩阵A=(aij)mxn ，B =(bij)mxn 对应位置相加得到的m行n列的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记为A+B，即

注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。

矩阵加法的运算律：

由此规定矩阵的减法为

（3）数与矩阵相乘：以数λ乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵称为数λ与矩阵A的积，记作λA或Aλ，如果A=(aij)mxn ，那么

数乘矩阵的运算规律：

注意： 矩阵的数乘与行列式的数乘是不一样的，矩阵的数乘是数乘矩阵每一个元素，行列式的数乘是数乘行列式的某行（某列）的每一元素。

矩阵的特征值与特征向量

定义 设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx (1)成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成，( A-λE)X=0 (2)

这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0 , (3)

3、线性空间

定义：设V是一个非空集合，R为实数域．如果对于任意两个元素

总有唯一的一个元素

若对于任一数 与之对应，称为α与β的和，记作ϒ = α+ β。

与任一元素 ，总有唯一的一个元素

与之对应，称为λ与α的积，记作δ= α+λ。

如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那

么V就称为数域R上的向量空间（或线性空间）．

3、线性空间

线性空间的性质： 1．零元素是唯一的．

2．负元素是唯一的．向量α的负元素记为 — α

4．如果 λα=0则λ=0或 α=0 .

4、欧氏空间的定义

设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量α、β，定义一个二元实函数，记作

（ α、β ） 若（ α、β ）满足性质：

则称（ α、β ）为 α 和 β 的内积，并称这种定义了内积的

实数域 R上的线性空间V为欧氏空间.

考试真题

下列命题正确的是（ ）（2016年下半年真题）

A.若三阶行列式D=0，那么D中有两行元素相同

B.若三阶行列式D=0，那么D中有两行元素对应成比例

C.若三阶行列式D中有6个元素为零，则D=0

D.若三阶行列式D中有7个元素为零，则D=0

解析：三阶行列式D中若7个元素为零，则至少有一行（或列）的元素全是零，所以它的值为0.

第五讲

第三章 空间解析几何

1、空间直角坐标系及有关概念

(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做原点．x轴，y轴，z轴统称 坐标轴 ．由坐标轴确定的平面叫做坐标平面．

(2)空间一点M的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标 ，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．

2、空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.

3．空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

①两向量的夹角

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a,b〉．

(2)数量积的运算律

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

4．空间向量坐标表示及应用

(1)数量积的坐标运算

若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝ a1b1+a2b2+a3b3

(2)共线与垂直的坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．

5、两平面的相关位置

定义两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.（通常取锐角）

按照两向量夹角余弦公式有

1:A1xB1yC1zD10,n1{A1,B1,C1},2:A2xB2yC2zD20,n2{A2,B2,C2},

（两平面夹角余弦公式）

两平面位置特征：

(1)12A1A2B1B2C1C20;

(2)1//2A1B1C1.A2B2C2

6、直线与平面的关系

定义：直线和它在平面上的投影直线的夹角

设

称为直线与平面的夹角．

L:xx0yy0zz0,mnp

:AxByCzD0,

直线与平面的夹角公式

sin|AmBnCp|ABCmnp2222227、空间两直线的相关位置

定义：两直线的方向向量的夹角称之为该两直线的夹角.（锐角）

设：L1:

xx1yy1zz1,m1n1p1

L2:

xx2yy2zz2,m2n2p2

两直线的位置关系：

两直线的夹角公式:

第四章 概率论与数理统计

1、随机事件

定义：一个随机试验E中可能发生也可能不发生的事件称为该试验的随机事件（简称事件）通常用字母A、B、C等表示。

事件的运算规律：（1）交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA

（2）结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)， (AB)C＝A(BC)

（3）分配律：(AB)∪C＝(A∪C)·(B∪C) (A∪B)C＝(AC)∪(BC)

(4)德摩根公式：

概率的公理化定义:设E是随机试验，Ω是E的样本空间，对于E的每一个事件A对应唯一的实数值，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(A)满足下列条件：

（1）非负性：

（2）规范性：

（3）可列可加性： 是任意无穷多个互不相容的事件，有

则称P(A)为事件A的概率。

随机事件的独立性定义：设事件A、B是某一随机试验的任意两个事件，若满足

，则称事件A、B互相独立

2、随机变量的数字特征

随机变量函数的数学期望定理：设 X 为随机变量，y=g(x)为实函数，

（1）设 x为离散型随机变量，概率分布为

若 绝对收敛，则存在，且

（2）设x为连续型随机变量，密度函数为 f(x)，若

绝对收敛，则 存在，且

注：为求y=g(x)的数学期望，可以不必通过求y的概率分布（离散）或密度函数（连续），而只需直接利用x的概率分布或密度函数。

3、随机变量的方差的计算

（1）定义法 离散情形

若x为离散型随机变量，概率分布为

则

连续情形：若x为连续型随机变量，概率密度函数为 f(x),则

（2）公式法

4、常用离散型分布的数学期望和方差

分布名称 概率分布 数学期望 方差

0-1分布 p(x=1)=p,p(x=0)=q p pq

二项分布 np npq

泊松分布

几何分布

退化分布 p(x=c)=1 C 0

指数分布

正态分布

Ⅱ、高中数学学科知识

第六讲

第一章 集合、逻辑与算法初步 第二章 函数

第三章 不等式与数列 第四章 立体几何

第五章 解析几何 第六章 向量与复数

第七章 推理证明与排列组合 第八章 统计与概率

第九章 数学史

第一章、集合、逻辑与算法初步

考点：1、掌握集合之间的运算法则

2、能够使用常用的逻辑用语

3、能够运用算法基础知识求解实际问题

考点聚焦：

1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。

2、在历年考试中，逻辑用语中的充分条件、必要条件、充分

必要条件的运用，算法中的框图是考查的重点，考生在复习这部分知识的时候，要与第二部分课程知识内容结合起来，在掌握理论的基础上灵活运用。

1、集合的基本概念：

一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集，通常用大写字母A、B、C表示.集合中的每一对象叫做集合的一个元素，通常用小写字母a、b、c…表示

集合中元素的性质 ：

确定性、互异性、无序性

集合间的基本关系：

全集：一般地，如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.

子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就称两个集合有包含关系，称A为B的子集，记作

“A包含于B”

读真子集： A包含与B,A不等于B

2、集合间的基本运算

交集：定义：由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交集。记作

即 读作“A交B”。

并集：定义：由所有属于A或属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作

即 读作“A并B”。

补集：定义：设U是一个集合，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集），记作

（1）交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA

（2）结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)， (AB)C＝A(BC)

（3）分配律：(AB)∪C＝(A∪C)·(B∪C) ，

(A∪B)C＝(AC)∪(BC)

3、命题：可以判断真假的语句叫做命题。判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。真命题为真，假命题一定为假，真命题为假，假命题一定为真。

四种命题：原命题：若p则q；逆命题：逆命题若q则p；否命题：若 q；逆否命题：若 q则 p

p则

结论：（1）互为逆否的命题，同真同假； （2）原命题与逆命题，原命题与否命题，它们的真假性没有关系。

4、充分条件与必要条件

1．若p

若p

2．如果pq，则p叫做q的充分条件，则q叫做p的必要条件；

q,则p叫做q的充分必要条件，简称为充要条件.

q且q p,我们称p为q的充分不必要条件，如果p q 且

q p，则我们称p为q的必要不充分条件.

3.判断充要条件的方法

(1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；

(2)原命题为假，逆命题为真时p是q的必要不充分条件；

(3)原命题与逆命题都为真时，p是q的充分必要条件；

(4) 原命题与逆命题都为假时，p是q的即不充分也不必要条件.

真题再现

（2015年上半年真题）

A.充分条件但不是必要条件

B.充分必要条件

C.必要条件但不是充分条件

D.以上都不是

第二章 函数

考点：1、熟练掌握高中数学函数部分基础知识

2、把握函数、基本初等函数的分类

3、深入理解三角函数的性质

考点聚焦：1、本章知识在历年考试中大多以选择题、解答题的形式出现。

2、在历年考试中，函数的性质及应用尤其是三角函数的应用是考查的重点，考生在复习的时候，注意准确理解、灵活运用。

1、函数的定义：

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值.

2、函数的基本性质

A、奇偶性

（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

确定f(－x)与f(x)的关系；

作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数：若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

（3）简单性质：

①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称； 一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

②设f(x),g(x)的定义域分别是D1，D2那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶 ×偶=偶

B、单调性

（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；

（2）判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①任取x1，x2∈D，且x1

②作差f(x1)－f(x2)；

③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。

C、最值

（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实

数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法:①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值;②利用图象求函数的最大（小）值；③利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

D、周期性

（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数；

（2）性质：①f(x+T)= f(x)常常写作 若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为

2、三角函数

A.特殊角的三角函数值：

。

B.弧长及扇形面积公式：

弧长公式：扇形面积公式:S=

a----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径

C.任意角的三角函数

设a是一个任意角，它的终边上一点p（x,y）, r=

正弦sina= 余弦cosa= 正切tana=

D.同角三角函数的基本关系：

（1）平方关系： （2）商数关系：

E.诱导公式： (奇变偶不变，符号看象限。)

(口诀：函数名称不变，符号看象限．)

(口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．)

F.三角函数公式：

两角和与差的三角函数关系：

倍角公式：

G.正弦定理 ：

余弦定理：

三角形面积定理

真题再现

（2014年下半年真题）

A.f(x)在〔a,b〕上单调递增，且f(b)＞0

B.f(x)在〔a,b〕上单调递减，且f(b)＜0

C.f(x)在〔a,b〕上单调递减，但f(b)的正负无法确定

D.f(x)在〔a,b〕上单调递增，但f(b)的正负无法确定

第七讲

第三章 方程、不等式、数列与极限

考点：1、掌握一元二次方程、一元三次方程根与系数关系及方程根的判别法。

2、把握函数与不等式的关系，深入认识函数知识的应用。

3、掌握等差数列和等比数列的求和公式。

4、理解极限的含义，熟练掌握极限的计算。

考点聚焦：

1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。

2、在历年考试中，一元三次方程根与系数关系、不等式的求解、等差数列和等比数列的应用、极限的运算是考查的重点，考生在复习时要注意多加练习，以便灵活运用。

1、一元二次方程

只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。标准形式:ax²+bx+c=0（a≠0），设其两根为x1,x2，则x1+x2=-b／a,x1x2=c／a,Δ=b²-4ac;当Δ＞0，方程有两相异实根，当Δ=0，方程有一根，当Δ＜0，方程无解。

四种解法：

（1）直接开平方法

形如 x2=p 或 (nx+m)2=p(p≥o)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。

如果方程化成 x2=p 的形式，那么可得 x= √p.

①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。

②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

③方法是根据平方根的意义开平方。

（2）配方法

将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解

一元二次方程的方法叫配方法。

用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为一般形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果n≥0，用两边开平方来求方程的解；如果n＜0，则原方程无解。

配方法的理论依据是完全平方公式

配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

（3）公式法

用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。

在 Δ=b²-4ac≥0 的前提下，把a、b、c的值代入公式

进行计算，求出方程的根。

（4）分解因式法

利用因式分解求出方程的解的方法。

因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题（数学化归思想）。

2、一元三次方程

只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是ax3+bx2+cx+d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。

一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0根与系数的关系：

3、不等式

A.两个实数比较大小的法则：

如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b是负数，那么a

a＜b.

B.不等式的基本解法

分式不等式：分式不等式的解法就是整式化。

①当分母的值可以确定正负时，可直接去分母解之；

②当分母的值不能确定正负时：

不等式 f(x)／g(x)＞0(或<0)与不等式f(x).g(x)＞0(或<0)同解。

a＞b;a-b=0 a=b;a-b＜0

不等式 f(x)／g(x)≥0(或≤0)与不等式组

同解。

无理不等式：转化为有理不等式，首先考虑不等式两边的未知数的取值范围，然后在考虑把不等式同解变形为需要的形式。

不等式 √f(x) ≥g(x)的同解不等式组是：

不等式√f(x)≤g(x) 的同解不等式组是：指数不等式：

af(x)＞ag(x)(a ＞0 且a ≠ 1）的同解不等式是：

当a>1时， f(x)＞g(x)；当0

对数不等式：皆需化为型如：logaf(x)＞logag(x)(a ＞0 且a ≠1）的同解不等式，与该不等式同解的不等式组是：当a>1时，

;

当0

。

含有绝对值不等式：化原不等式为等价的不含绝对值的不等式或不等式组，一般有以下方法：

①｜f(x)｜＞a

②｜f(x)｜＞｜g(x)｜ f(x)＞a或f(x)＜-a，｜f(x)｜＜a

f2(x)＞g2(x)

-a＜f(x)＜a

③ ｜x+a｜-｜x+b｜＞ c 可采用零点法讨论求解。

4、等差数列

A.定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．

B.通项公式 ：

若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝

(n－m)d ＝p.

C.等差中项

如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和 y的等差中项，则A＝

xy2

D.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N* )．

(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq(m，n,p,q∈N* )．

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N* )是公差为md的等差数列．

(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

(5)S2n－1＝(2n－1)an.

E.等差数列的前n项和公式

若已知首项a1和末项an，则Sn＝n（a1＋an）／2，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d， 则其前n项和公式为Sn＝na1＋n（n－1）／2× d.

F.等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sn＝d／2 ×n2＋（a1－d／2）×n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

G.判断或证明数列是等差数列的方法有：

1、定义法：an＝a1＋(n－1)d(n∈N* ，d是常数）

2、中项法：2an+1=an+an+2 (n∈N*)

3、通项公式法： an=kn+b（k,b是常数）项和公式法：sn=An2+Bn （A,B是常数，A≠0 ）

2、等比数列

A.定义：

{an}为等比数列

B.通项公式 ：

an=a1qn-1=akqn-k （a1，q≠0）

C.求和公式

na1 (q=1)

an+1／an=q (q为常数）

｛an｝是等差数列；

｛an｝是等差数列；

｛an｝是等差数列；

｛an｝是等差数列；

sn= a1(1-qn)／1-q=a1-anq／1-q (q≠1)

D.中项公式:

G2=ab推广：an2=an-m×an+m

E.性质：

（1）若m+n=p+q则aman=apaq

（2）若｛Kn｝成等差数列 （其中kn∈N），则｛akn｝成等比数列。

（3）sn,s2n-sn,s3n-s2n成等比数列。

（4）qn-1=an／a1,qn-m=an／am(m ≠ n)

F.判断和证明数列是等比数列常用的方法：

(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an／an-1为同一常数；

(2)通项公式法；

(3)中项公式法:验证an+12=anan+2,n∈N都成立；

(4) 若{an}为等差数列，则{aan}为等比数列（a>0且a≠1）；

若{an}为正数等比数列，则{logaan}为等差数列（a>0且a≠1）。

第四章、立体几何

考点：1、掌握立体几何中基本的位置关系（平行、垂直）

2、掌握立体几何中的度量关系（面积、体积）。

考点聚焦：

1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。

2、在历年考试中，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间中的角、距离、面积及体积的计算是考查的重点，考生要注意理解和运用。

（一）空间直线、平面之间的位置关系

A.空间中直线与直线之间的位置关系

（1）共面直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

（2）异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

注：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（判断空间两条直线平行的依据。）

B.空间中直线与平面位置关系

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行 —— 没有公共点

C.直线与平面平行

(1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。

(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。

D.直线与平面垂直

直线与平面垂直是指直线与平面内任何一条直线垂直

（1）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

（2）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

（3）三垂线定理及逆定理：

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线和斜线的射影也垂直。

E.平面与平面之间的位置关系

空间两个平面的位置关系：相交、平行。

（1）平面与平面平行

判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行，面面平行）

性质定理：

如果两个平面平行，同时和第三个平面相交，那么它们交线平行（面面平行，线线平行）

（2）平面与平面垂直

判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直（线面垂直，面面垂直）

性质定理：

如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面（面面垂直，线线垂直）

（一）棱柱、棱锥与球

A.棱柱

（1）定义：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

（2）侧面积：S侧=cl（c为底面周长，l是高）利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出。

（3）表面积：侧面积+底面积

（4）体积：V=sh(s为底面积，h为高）

B.棱锥

（1）定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

（2）表面积：侧面积+底面积

（3）体积：V=1／3sh(s为底面积，h为高）

C.球

（1）定义：空间中到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。

球的截面是一个圆面，截面的半径r=√R2-d2（R为球的半径，d为球心与截面的圆心之间的距离）。

（2）表面积：S=4πR2

（3）体积：V=4／3πR3

第八讲

第五章 解析几何

考点：1、掌握解析几何中基本的位置关系(两条直线的位置关系、直线与圆的位置关系）。

2、掌握圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系。

3、灵活运用数形结合的思想求解数学问题。

考点聚焦：

1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。

2、在历年考试中，直线与圆的位置关系、圆锥曲线一直是考查的重点，考生要注意灵活运用数形结合的思想。

1. 直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角

①定义：直线向上的方向与x轴正方向所成的角,叫做直线的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00.

②倾斜角的范围为0°≤α<1800

(2)直线的斜率

①当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足 .

(2)直线的斜率

②已知两点P（x1,y1）,Q(x2,y2),如果x1≠x2,那么直线PQ的斜率为 K=y2-y1／x2-x1(x1≠x2)

③斜率图象：

2、点与直线

（1）两点间距离公式：

设p1(x1,y1)、p2(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点，则

｜p1p2｜=√(x1-x2)2+(y1-y2)2

(2)点到直线距离公式：

平面内点p1(x1,y1)到直线Ax+By+C=0的距离为：d=｜Ax1+By1+C｜／√A2+B2

设平面两条平行线l1:Ax+By+C=0，l2：Ax+By+C=0，C≠D,则l1与l2的距离为

d=｜C-D｜／√A2+B2

3、圆的方程

(1)圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),其中圆心为(a,b)，半径为r。

(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0), 其中圆心为

（-D／2，-E／2),半径为r=1／2√D2+E2-4F

(3)圆的方程的确定：数形结合是常用的方法，结合圆所具有的平面几何性质，能够使解题过程简化；待定系数法也是求圆的方程常用的方法。

①几何法：若已知圆心坐标或半径，用标准式方程，求a,b,r;

②代数法：若已知圆上三个点的坐标，用一般式求D,E,F.

4、直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

设直线l：Ax+By+C=0和圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0)，圆心(a,b)到直线l的距离为d，则d=｜Aa+Bb+C｜／√A2+B2

（1）相交 d=｜Aa+Bb+C｜／√A2+B2＜r（几何法）或直线与圆的方程组成的方程组，消去y或x转化为一元二次方程，其判别式∆＞0（代数法）

（2）相切

（3）相离

d=｜Aa+Bb+C｜／√A2+B2=r（几何法）或∆=0（代数法）

d=｜Aa+Bb+C｜／√A2+B2＞r（几何法）或∆＜0（代数法）

5.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质

6、直线与圆锥曲线的关系

其判断方法都是利用代数方法，将直线l的方程与圆锥曲线C的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0.

(1)当a≠0时，若有∆＞0，则l与C相交；若有∆=0，则l与C相切；若有∆<0，则l与C相离。

（2）当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则l与C相交，此时只有一个公共点，若c为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若c为抛物线，直线l与抛物线的对称轴平行。

所以当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线l与双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。

第六章、向量与复数

考点：1、熟练掌握向量运算，把握向量的基本性质。

2、理解向量作为几何的研究对象的重要性，熟练运用向量进行代数

运算。

3、掌握复数的意义与运算。

考点聚焦：

1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。

2、在历年考试中，向量几何是考查的重点，考生要能熟练运用向量及其运算研究几何图形的位置关系和度量关系。

1、平面向量

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量。常用一条有向线段的

的长度 表示向量的大小即向量的模（长度），记作|为0的向量，记为0.

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。0与任一向量平行。

向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法

设

表示，|，长度

向量加法满足交换律与结合律；

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量.

（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.

（3）向量的减法

① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。

②向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，记作a-b，即a-b=a+(-b).

（4）实数与向量的积：

①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）｜λa｜=｜λ｜｜a｜

（Ⅱ）当λ>0时，λa的方向与的a方向相同；当λ

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律

(5)平面向量的基本定理：

如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2使：a=λ1e1+λ2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2、空间向量及其运算

(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合则这些向量为共线向量或平行向量．

(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb

（3）共线向量定理的推论

如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足关系式OP＝OA＋t a

其中非零向量 a 叫直线l的方向向量

(4)共面向量：把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

(5)共面向量定理

如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使p＝xa＋yb

（6）推论

空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使

MP＝ xMA＋yMB ，或对空间任一定点O，有OP＝OM＋xMA＋yMB。

3．空间向量基本定理

（1）基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任意一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc

(2)推论

设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P都存

在唯一的有序实数组x，y，z，使OP＝xOA＋yOB＋zOC

第九讲

第七章 推理证明与排列组合

考点：1、掌握运用推理与证明的方法。

2、熟练运用加法原理、乘法原理、排列组合等计数思想和方法。

考点聚焦：

1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。

2、在历年考试中，排列组合等计数方法是考查的重点，推理与证明贯穿数学课程始终，考生要熟练掌握本章知识。

推理与证明知识结构

1、推理

（1）定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程。

（2）合情推理

归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。（特殊到一般）

归纳推理的特点：

①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。

③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

类比推理：

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

（3）演绎推理：

根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。（一般到特殊）

2、证明

（1）直接证明

从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．

①综合法

从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．

②分析法

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．

（2）间接证明

①反证法的定义

一般地，由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题

矛盾．从而判断¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．

②反证法的特点

先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾．

（3）数学归纳法

一个与自然数相关的命题，如果

(1)当n取第一值n0时命题成立；

(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．

排列组合与二项式定理

1、两个基本原理

（1）加法原理（分类计数原理）：做一件事情，完成它可以有n类方法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法...，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法，即N=m1++mn。

（2）乘法原理（分步计数原理）：做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法...，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法。即N=m1×m2×m3×...mn

2、排列

（1）排列的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

（2）排列数定义：从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示.

（3）排列数公式：Anm=n(n-1)...(n-m+1)=3、组合

（1）组合的定义：从n个不同的元素中任取m（m≤n)个元素并成一组，叫做

从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

（2）组合数定义：从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示.

（3）组合数公式：Cnm=

4、利用排列、组合的知识解决实际问题的常用方法

（1）直接法

（2）间接法：就是剔除不符合条件的情况，也叫排除法。 在直接法和间接法中常用以下方法解决排列与组合的问题。

（a）枚举法：将所有排列的情形一一列举出来（适用于排列数较少的问题）

（b）捆绑法：适用于两个（或更多）元素排在一起（看成一个元素）的问题。（例：看电影，一排六个座位，四个女生，两个男生，女生要坐在一起，有多少种坐法？）

（c）插空法：适用于两个（或更多）元素不相邻排列的问题。

（例： 看电影，一排8个座位，坐一排，6个学生，2个老师，老师在学生之间且不相邻，有多少种坐法？）

（d）隔板法：适用于相同的元素分成若干部分，每部分至少有一个排列的问题。(例：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？)

5、二项式定理

二项式定理：（a+b)n=Cn0anb0+Cn1an-1b+...+Cnna0bn

二项展开式的特点：（i）展开式共有n+1项；（ii）各项的次数之和等于n；

（iii）a的次数由n降到0，b的次数由0升到n。

（2）二项展开式的系数：Cnr

（3）二项展开式的通项公式： Tr+1=Cnran-rbr,(r=0,)表示二项展开式的第