九年级上数学典型题例精选

2024年1月22日发(作者：初3数学试卷期末)

九年级上期数学典型例题

一、三角形内切矩形问题

如图：△ABC内的有一个矩形DEGF。D点在AB上，E点在AC上，

F点和G点在BC上，AH是BC边上的高。AH交DE于点I。

（1）如果BC=a，AH=h，DE=x，EG=y。写出a、h、x、y之间的关系

（2）如果BC=20，AH=24，矩形DEGF的面积是30。求矩形的长和

宽各是多少？

（3）如果BC=20，AH=24，四边形DEGF是正方形，

求这个正方形的边长。

（4）如果BC=20，AH=24，矩形DEGH的面积为S，DE=x，

B

D

I

E

A

F

写出S和x之间的函数关系，并判断当DE等于多少时矩形DEGF

的面积最大？

题目点评：数形结合

二、矩形的对折问题 (关键是打直角三角形，用勾股定理)

此题包含了以下知识：

1、 相似（列比例式）

H

G

C

2、 分式的计算（整理比例式）

3、 一元二次方程

4、 配方法求极值。

其中相似是基础，分式的计算是关键，难点是函数思想。提高是用配方法来求函数的极值。

（1）已知四边形ABCD是矩形。AB=6，BC=10。将AD沿AE对折，点D正好落在BC边点F上。求：① CE的长 ② DE的长 ③ 折痕AE的长

A

④ △CFE的面积

B

（2）已知四边形ABCD是矩形。AB=6，BC=10。将AB沿AE对折，点B正好落在对角线AC边点F上。求：① CE的长 ② BE的长

D

A

③ 折痕AE的长 ④ △CFE的面积

F

F

C

D

E

B

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E

C

（3）已知四边形ABCD是矩形。AB=6，BC=10。将BC沿BD对折，

点C正好落在E点F上。PF是△BDF边BD上的高。

F

A

求：① EF的长 ② DF的长

③ PF的长 ④ △BDF的面积。

（4）已知四边形ABCD是矩形。AB=6，BC=10。将BD对折，

点B正好落在点D上,A点落在E点上。求：

① EF的长 ② BE的长 ③ 折痕FG的长

④ 四边形BGDF是什么图形? (注意体会与上图的联系)

三、商品的涨跌与销售问题

B

A

F

B

E

D

P

C

E

D

P

G

C

例题：新华商场销售某种冰箱。每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多卖4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

分析：

（1） 每台冰箱赚多少元？[现定价（不是2900元）—成本]

（2） 每台冰箱降多少元？(2900—现价)

（3） 降价后现在售出多少台？(8台+增加的台数)

（4） 怎样列出方程？1台赚的钱×卖出台数=8000元

（5） 怎样设计算最简便（可设现定价，也可设降价）

（6） 选哪种方法解方程最简单（配方法）

（7） 方程的根要检验是否合题意。

y

四、动点变化与方程（或函数）问题

（1）坐标轴内的动点问题

如图：直角坐标内有三点A（a,0），B（0，a），

B

C（a+4，2），且三角形ABC 的面积为24。求a的值。

(0，a)

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C (a+4，o

A

(a，0)

x

（2）图形中的动点问题（关键是用含用未知数的代数式表示相关线段）

如图：矩形ABCD中AB=12cm，BC=20cm。

A

AD边上有一动点，从A到D，每秒移动2cm，

BC边上有一动点，从C到B，每秒移动3cm。

（1） 几秒时PO距离为10cm？

（2） 几秒时梯形ABQP的面积为100cm？

（3） 几秒时，梯形ABQP的面积等于梯

形CQPD的面积？

五、求代数式的值问题

（1）根据已知条件求代数式的值

①已知：2x2004x100的一个根为a，

求a1001a

②已知：x2x53，求3x6x9的值。

③已知：x2P

D

2

B

Q

C

小结：整体代入法

2这类题，如果用方程求出x的值，然后再代入求值，计算难度相当大，往往计算出错。最好的办法采取整体代入法。代入一个式子来计算。如①题代入a1002a5

②题代入x2x8

③题代入x2250102a2的值。

52413

224130，求：2x24x2623的值。

2x（2）用配方法求代数式的极值（最大值与最小值）

① 说明不论x取何实数，代数式x4x7的值

总大于3。

②说明不论x取何实数，代数式3x4x5的

值总大于—

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22配方法求二次三项式的极值：

关键看二次项和一次项。

配一次项系数一半的平方，注意加上一次项系数一半的平方后立即在常数项中减下来，这样才不会改变代数式的结果。

193。

③说明不论x取何实数，代数式2x4x18的值总小于20。

六、投影与三角形问题

（1） 平行投影 (关键是相似(直角)三角形的运用 )

①如图AB和CD两根木杆竖立立在地面上，同一时刻在

阳光下AB的影子如图所示，作出CD的影子DF。

② 同时量得DE=3.2m，CD=1m，CD的影子长80cm

求AB的高度。

（2） 中心投影 （找出图中的相似三角形列出比例式求解）

如图：AB和CD是两根相距4米的同样高的标杆，

在灯光P下的影子。已知AB的影子BE长6米。

求灯P的垂直高度PQ。

E

B

D

Q

A

C

A

C

B D

P

2E

七、三类函数综合问题（正比例函数、一次函数、反比例函数）

1、如图，正比例函数ykx (k>0)与反比例函数y1x的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC，求△ABC面积S。

2、正比例函数yk1x与反比例函数ykx2的图象相交于点P（a,b），a,b异号且OP=5，过P作x轴的垂线PQ交x轴于Q，且S△PQO=6（如图）求这两个函数的解析式。

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3、D为反比例函数：ykx(k＜0)图象上一点.过D作DC⊥yy轴于C, DE⊥x轴于E,一次函数yxm与y33DEOCBAxB两点。x2的图象都过C点,与x轴分别交于A、若梯形DCAE的面积为4，求k的值.

4、已知反比例函数y8xy

与一次函数y=-x+2的图象交于

A

x

O

B

A、B两点， 求：(1)A、B两点的坐标；(2)△AOB的面积。

5、如图所示，一次函数ykxb的图像与反比例函数

ykxy

的图像交于M、N两点。

M(2,m)

x

N (－1,－kx（1）求反比例函数和一次函数的解析式

（2）根据图像写出使反比例函数的值大于

一次函数的值的x的取值范围

6、如图，已知反比例函数y(k0)的图象经过点A

y3。

(3，m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为ACBOx(1) 求k和m的值；

(2)

若一次函数yax1的图象经过点A，并且与x轴相

(3)

交于点C，求∠ACO的度数和AO:AC的值。

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小结：

（1） 对称

反比例函数关于原点对称，反比例函数与正比例函数的交点也关于原点对称。

（2） 代入

一点代入法：正、反比例函数只代入一点就可以求出解析式；

两点代入法：一次函数需要代入两点才可以求出解析式。

（3） 求k值

y

反比例函数的；一次函数可平移成正比kxy；正比例函数的k（注意符号与象限）x

例函数来求k值。

（4） 函数与方程组

求两个函数的交点，就是解这两个函数组成的方程组。

（5） 函数与面积

图象中关键点的横坐标和纵坐标就是图形的高。注意：反比例函数的K值就是矩形面积。

不好直接求的三角形可分成几个小三角形来求解。

八、韦达定理和根的判别式

1、方程2x57 的两个根分别为

①

x1⑤ |

x1

2x1和x2 ,求：

2x2 ②

x1x2 ③

x314x22 ④

x421x212

x2|= ⑥

x1x23 ⑦

x1x2 ⑧

1x1x

22、 已知方程xkx

230 的一个根是 – 1，求 另一根与K的值。

3、已知a、b、c为三角形三边长，且方程b(x1)2axc(x1)0有两个相等的实数根.

试判断此三角形形状，说明理由.

2224、若一元二次方程a系?

xbxc0(a0) 的两根之比为2：3，那么a、b、c间有怎样的关九年级数学上期复习资料 第

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