2023年12月22日发(作者：2015宿迁中考数学试卷)
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
第一讲
极限与连续
主要内容归纳（略）
要点题型解说
一、极限问题
种类一：连加或连乘的求极限问题
1．求以下极限：
（ 1）
lim
1
1
1
(2n
1)(2n
1)
；
n
1
n
3
3
k
3
1
；
5
（ 2）
lim
nk 2
k
3
n
k 1
1
1
（ 3）
lim [
n
] n
；
k (k
1)
2．求以下极限：
（ 1）
lim
n
1
1
1
2
4n
2
2
；
4n
2
1
2
4n
2
n
3．求以下极限：
2
（ 1）
lim
n
1
2
1
2
1
2
；
n
n1
n
2
n
n
（ 2）
lim
n
n! ；
n
n
i 1（ 3）
lim
n
n
1
i
2
1
。
n
种类二：利用重要极限求极限的问题
1．求以下极限：
（ 1）
lim cos
cos
n
x
x
2
2
2
1
cos
n
(x
2
x
0)
；
（ 2）
lim
n
( n
1)
n 1
n
sin
1
n
；
n
2．求以下极限：
（ 1）
lim 1 sin x2 1 cos x ；
x 0
（ 3）
lim
x 0
1
tan x
1
sin x
1
x ln(1 2 x)
3
；
（4）
lim cos
x
1
x
2
；
x
种类三：利用等价无量小和麦克劳林公式求极限的问题
1．求以下极限：
（ 1）
lim
x 0
1
tan x
1
sin x
；
x(1
cosx)
3 [(
（ 2）
lim
x 0
ex
；
x(1
cosx)
1
2
etan x
（ 3）
lim
x 0
1
2 cos x
3
)
x
1]
；
（ 4）
lim (
x
1
2
)
；
x
0
xtan
x
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
（ 5）
lim
x 0
(3 x)x
2
x
3
；
x
ln(1
f (x)
)
f (x)
。
（ 6）设
lim
A
，求
lim
sin x
x
2
x 0 x 0
a
1
x
x
2
2cos x
e
2．求以下极限：
lim
3
x 0
x sin x
种类四：极限存在性问题：
1．设
x1
1, xn 1
1
xn
0
，证明数列 { xn}
收敛，并求
lim xn
。
n
2．设
f ( x) 在
[ 0,
)
上单一减少、非负、连续， an
k 1
lim an
存在。
n
种类五：夹逼定理求极限问题：
1
1．求
limsin
n
x
dx
；
n
0
1
x
1
2． lim (a
n
bn
cn )
n
(a,b,c非负 )
；
n
n
3．
lim
n
1
xn
x2
(x
0)
。
n
2
种类六：含参数的极限问题：
1．设
lim ( x
3
sin 3x
ax
2
b) 0
，求 a, b
；
x 0
2．设
limx2
1
x
ax
b)
3，求
a, b
；
x 1种类七：中值定理法求极限：
1、
lim n2
(arctan
arctan
)
；
n
n
n
1
1
1
2、
lim x2
(e2 x 1
e2 x 1 )
。
x
种类八：变积分限函数求极限：
x
et
2
costdtx
1、
lim0
x
2
。
x 0 ( x tan x)(
x 1
1)
1
x
f ( xt)dt
2、设
f ( x) 连续，且
f (1)
1
，则
lim
1
3
。
x 1
二、连续与中断的判断x1
n
nf (k)f (x)dx(n 1,2, )
1
，证明：
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
ln(1
x)
, x
0
x
1．设
f ( x)
0, x
0
，议论函数 f ( x)
在 x
0
处的连续性。
1 x 1
x
0
x
,
1 x
1
1
2．议论
f ( x)
(2
x
1)
(2
x
1) , x0
在 x
0
处的连续性。
1, x
0
三、连续性命题的证明
1．设
f ( x)
C [a,
)
且 lim
f ( x)
存在，证明
f ( x)
在 [ a,
)
上有界。
x
2．设
f ( x) 在
[ a,b] 上连续，任取
p
0, q 0
，证明：存在
(a,b)
，使得
pf (a)
qf (b)
( p
q)) f ( )
。
第二讲
微分学
第一部分
一元函数微分学
内容复习（略）
要点题型解说
（一）与导数定义有关的问题
1．设
f
(x
f (x0
h)
f ( x0h)
(
0 )
存在，求
lim
0)
。
h 0
h
2f ( x)
．设在 xlim
f ( x)
2
，求 f (1)
。
1处连续，且
x 1
x2
1
3．设
f ( x) 在
(
,
)
上有定义，对随意的
x, y
有 f ( x
y)
f (x) f ( y)
，且 f (0)
1
，求f ( x)
。
4．设
f ( x) 二阶连续可导，且
lim
f ( x)
1， f
(0) e，则
lim e
f ( x)
2
ex
______
。
x 0
x 0
x
x
5．设
f ( x) 在
(
,
)
上有定义，且对随意的
x
有
f (x
1)
2 f ( x)
，又当 x [ 0,1]
时，有f ( x)
x(1
x2 )
，议论
f ( x)
在
x
0
处的可导性。
（二）各种求导数的问题1 x
1．设
y e
x
e
x
，求 y
；
sin 1
1
x
1 x
arctan
2．设
y
e
1
x
，求 y
；
3．
y
x(x
1)( x
2) (x
100)
，求 y ( 0), y(101)
；
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
4．设
y
f ( x)
由
xx
t
ln(1
t)
2
d确立，求
y
；
y
t
3
t
2
5．设
x
y
y
，求
tan(xy)
dy
dx2
；
dx
6．设
exy
y
，求
dy
；
dx
x 0
7．设
y
y( x)
由
x
tet
确立，求
dy ；
ty
2
tan t
2
3sin y
5
dx
8．设
f ( x)
sin x
2aex , x 0
在 x 0
处可导，求 a, b；
9 arctan x
2b( x
1)3 , x
2dy2 x cost dt ，求 ；
0
9．求以下函数的导数：
（ 1）设
y
0
x
2
（ 2）设
y
tf (t
x2 )dt
，求
dy
；
dx
x
0
10．设
f ( x) 连续，
( x)
dx
1
0
f ( xt)dt
，且
lim
f (x)
x
A
，求
( x)
，并议论
( x)
在 x 0处
x 0
的连续性。
11．设
f (x)
g( x)
cosx
, x
0
，此中 g(x)
二阶可导且 g (0) 1。
x
a, x
0
（ 1）当
a 为什么值时，
性。
解答：
f ( x)
在 x
0
处连续；（
2）求 f ( x)
；（
3）研究 f (x)
在 x
0
处的连续
（ 1）
lim
f ( x) lim
g (x)
x 0
cosx
lim [
x
g (x)
g(0) g(0)
cosx
]
x
x 0
x
0
x
lim [ g(x) g( 0)
x 0
x
1
cos x]
g (0)
，
x
于是当 a
g (0)
时， f ( x)
在 x
0
处连续。
（ 2）当
x 0 时，
lim
f ( x)
g( x)
lim
x 0
cosx
x
x
g (0)
f (0)
x
x 0
2
lim
x 0
g( x)
cos x
g (0) x
即 f
(0)
12
x
lim g ( x)
x 0
[1 g
(0)]
；
g (0)
2x
sin x 12
[1 g (0)]
，
x[ g ( x)
sin x] g( x)
cos x
当 x
0
时， f ( x)
x2，于是
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
1
f
(x)
[1 g
(0), x
0
2
。
x[ g ( x)
sin x]
g( x)
cos x
, x
0
x2
（ 3）由于
lim f (x)
x 0
lim [
x 0
g ( x)
sin x]
g( x)
cos x
lim
x[ g (x)2
x 0
x
sin x
x [1
g (0)]
g( x)
2
cos x
]
2
x
1
f (0)
，
因此 f
( x)
在 x 0
处连续。
12 ． 设
f ( x) 在
[
1,1]
上 可 导 ， f ( x)
在 x
0
处 二 阶 可 导 ， 且 f (0) 0, f ( 0)
4
， 求
lim
f ( x)
f [ln( 1
x)]
x
x 0
3
。
13．设
f (x)
lim
n
x2en( x
1)
1e
n( x 1)
ax
b
，求 f (x)
，并议论 f ( x)
的连续性和可导性。
（三）高阶导数问题
1．设
y
ex sin x
，求 y
(n)
；
2．设
y ln( x2
3x
2)
，求 y( n)
。
x2 )
，求 f
(49) (0)
。
内容复习（略）
3．设
f ( x) x ln(1
第二部分
一元函数微分学的应用
附：中值定理部分的推行
1．设
f ( x) 在
x
x0
的邻域内 n
阶连续可导，则有
f ( x)
f ( x0 ) f (x0 )( x x0 )
f(n)( x) 0
( xx0 )n
o(( x x0 )n )
。
n!
2．（导数零点定理） 设
f ( x)
C[a,b]
，在 (a, b)
内可导，且
f (a) f (b)
使得 f
( )
0
。
0
，则存在
(a, b)
，
3．（导数介值定理）设设
f ( x)
C[ a,b]
， 在 (a, b)
内 可 导 ， 且
f
( a)
f (b)
， 不如 设
)
f (a)
f
(b)
，则对随意的
[ f
(a), f (b)]
，存在
0)
，则有
(a,b)
，使得 f (
。
4．设
f ( x)
C[a, b]
，且 f
(x) 0(
f ( x)
( ) f ( x0 ) f ( x0 )( x
x0 )
，等号成立当且仅当 x
x0
。
要点题型解说
（一）中值定理等式的证明
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
种类一：目标表达式中仅含
不含端点字母，且导数之间相差一阶
1．设
f ( x) 在
[ 0,1]
上连续，在
(0,1)
内可导，且 f (0)
1, f (1)
得
0
，证明：存在
(0,1)
，使
2 f (
)
f ( )
0
。
1
0
2．设
f ( x)
在
[ 0,1]
上可微，且
f (1)
3 3
ex
1
f ( x) dx
，证明：存在
(0,1)
，使得
f
( )
f ( )
0
。
3．设
f ( x)
在
[ 0,1]
上连续，在
(0,1)
内可导， f (0)
0, f ( )
1, f (1)
0
。证明：
1
（ 1）存在
( ,1)
，使得 f (
2
1
2
)
；
（ 2）对随意的
k
(
,
)
，存在
(0,
)
，使得
f ( )
k[ f ( )] 1。
种类二：目标表达式中含两此中值
1．设
f ( x)
在 [ a,b]
上连续，在 (a,b)
内可导，且 f (x) 0
，证明：存在
,
(a, b)
，使得
f
(
)
eb
ea
e
。
f
(
)
b
a
2．设
f ( x) 在
[ a,b] 上连续，在
( a, b) 内可导，
f (a)
得
f (b)
1
，证明：存在 ,
( a, b)
，使
f (
) f (
)
e
。
3．设
f ( x)
C[0,1]
，在 (0,1)
内可导，且
f (0)
a
f ( )
0, f
(1) 1，证明：对随意的正数
a,b
，存在
,
(0,1)
，使得
b
f
(
)
a b
。
4．设
f ( x)
C[ a, b]
，在 ( a,b)内可导（ a 0），证明：存在
123
,,(a,b)
，使
f (
1 ) (a b)
f (
2 )
2
2
(a
2
ab b2 )
f (
3 )
。
3
32
种类三：目标表达式中含有端点和中值
1．设
f ( x), g ( x)
[a, b]
，在 ( a,b)内可导，且 g ( x)
f ( )
g(b)
f
(
)
。
g (
)
0，证明：存在
(a, b)
，使得
f (a)
g( )
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
种类四：目标表达式为
f ( n )
(
) 0
1．设函数
f (x)
在区间
[0,3]
上连续，在
(0,3)
内可导，且 f (0) f
证明：存在
(1) f ( 2)
3
， f
(3) 1，
(0,3)
，使得 f
( )
0
。
3．设
f ( x) 在
[ 0,1] 上三阶可导，且
使得 H
(
)
4．设
f ( x)
f (0)
f (1)
0, H ( x)
x3 f ( x)
，证明：存在
(0,1)
，
0
。
C[ a, b]
，且
f (a) f
(b)
0
，证明：存在
(a,b)
，使得 f ( )
0
。
种类五：目标表达式为
1．设
f ( x)
f (n )
(
) C0
（此中 C0
为常数）
C[ a, b]
，在 ( a,b)内二阶连续可导，证明：存在
(a, b)
，使得
f (b)
2 f
a
b
2
f (a)
(b
a)2
f
(
)
。
4
2．设
f ( x) 在
[
1,1]
上三阶连续可导， 且 f (
1)
0,
f (1) 1, f (0)
使得 f
(
)
3．设
a1
0
，证明：存在
( 1,1)
，
3
。
an
为 n
个不一样的实数，函
a2
数
f ( x)
在
[ a1
,an
]
上有
n
阶导数，并知足
f (a1 )
f (a2 )
f ( c)
f (an )
0
，则对每个 c
[a1 ,an ]
，存在
(c an )
f
(n )
( )
。
(a1 , an )
知足等式
(c a1 )(c a2 )
n!
（二）中值定理不等式的证明
1．
f (x)
使得
C[a,b]
，在 (a,b)
内可导， f ( a)
f
(
)
0
。
f (b)
，且 f ( x)
不是常数， 证明：存在
(a, b)
，
2．设
f ( x)
C [ a, b]
，在 ( a,b)
内可导，且曲线
y
f (x)
非直线，证明：存在
(a, b)
，使
f (b)
f (a)
得
|
f
(
) |
b
a
。
3．
f ( x)
C[ a,b]
，在 (a, b)内二阶可导， 且
f (a)
f (b)
0
。
0, f (a)
0
，证明：存在
(a, b)
，
使得 f (
)
4．设
f ( x) 在
[ a,b] 上知足
f
( x) |
2
，且 f (x)
在 (a,b)
内取到最小值，证明：
| f
(a) |
| f
(b) |
2(b a)
。
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
5．
f ( x) 二阶可导，且
f (0)
f (1)
0, min
f (x)
0 x 1
1，证明： max f
(x)
0 x 1
8
。
6 ．设
f (x) 在
[ a, b] 上二阶可导，
（ 1 i n
），证明：
f
( x)
0
，对随意的
xi
[a,b]
（
1
i
n
）及
ki
0
f (k1 x1
k2 x2
7．设
lim
f ( x)
x 0
kn xn ) k1 f ( x1 ) k2 f ( x2 )
0
，证明： f ( x) x
。
kn f ( xn )
。
1且 f (x)
x
8 ．设
f (x) 在
[ 0,
)
上有定义且
f
( x)
0, f (0)
0
，证明：对随意的
a
0,b
0
，有
f ( a b)
f (a)
f (b)
。
9．设
f ( x) 在
[ a,b] 上二阶可导，且
f
(a)
f (b)
0
，证明：存在
(a,b)
，使得
| f
(
) |
4 | f (b)
f (a) | /(b
a)
2
。
10．设
f ( x) 在
x0
的邻域内四阶可导，且
于 x0
的 a
，有
| f
( 4) (x) |
M (M
0)
，证明：对此邻域内任一不一样
| f (x0 )
f (a)
f (b) 2 f (x0 )
|
M
12
2
( a x0 )
，
(a x0 )2
此中 b
是
a
对于
x0
的对称点。
11．设
f (x) 在
[0,1] 上二阶可导，
f
(0)
f (1)
且 | f
( x) |
2
，证明：对随意的
x
[0,1]
，有
| f ( x) | 1
。
12．一质点从时间
t
（三）求中值定理中
0
开始直线运动，挪动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都
4。
为零。证明：在运动过程中存在某个时辰点，其加快度绝对值不小于
的极限问题
1．设
f ( x) 二阶连续可导，且
证明： lim
h 0
f ( x)
0
，又 f ( x h)
f (x)
f ( x
h) h
（ 0
1
）。
1
。
2
2．设
x
1
x
1
2 x
( x)
(x
0)
，证明：
1
( x)
4
1
。
2
（四）与极值、最值有关的命题
1．设
f ( x), g( x) 在
[ a, b] 二阶可导，知足
f (x) f ( x)g ( x) f (x)
0
，且
f ( a) f (b) 0(a b)
，证明： f ( x) 0(x
2．求数列
{
n
n}
2 中的最大者。
[ a, b])
。
（五）不等式的证明问题
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
1．设
f (0)
g (0), f (0) g ( 0), f (x) g ( x)( x 0)
，证明：当 x 0
时， f ( x)
g( x)
。
2．证明：
1 x ln( x
1
x2 )
1
x2
。
3．证明：当
x 0 时，有
( x2
4．设
b
1) ln x
b
( x 1)
2
。
。
a
0
，证明： ln
2(b
a)
a
b
a
5．当
x
0
时，证明 arctanx
ln(1 x)
2
1。
2
（六）方程根的个数议论
1．议论方程
xe
x
a(a
0)
的根的个数。
0
，且 f
(0)
2．设
[ 0,
)
内有 f
( x)
一个根。
0
1, f
(0) 2
，证明： f (x) 0
在 (0,
)
内有且仅有
3．证明方程
ln x
x
1
cos 2xdx
在 (0,
)
内有且仅有两个根。
e
（七）选择题
1．设
f ( x) 在
x 0
处二阶可导，且
lim
f ( x)
f
( x)
2
，则
x
（
）
x
0
（ A ）
f (0) 是
f ( x) 的极大值 .
（ C）
(0, f (0)) 是曲线
y
曲线 y
（ B）
f (0) 是
f ( x) 的极小值 .
f ( x)
的拐点
.
（ D）
f ( 0) 不是
f ( x) 的极值点，
(0, f (0)) 也不是
f (x)
的拐点
.
2．设
f ( x) 二阶连续可导，
lim
x
，则
f ( x)
2 ( x
2)
3
3
2
（
）
( A) f (2)
是 f (x)
的极小值； ( B)
f (2)
是 f (x)
的极大值；
(C ) (2, f ( 2))
是曲线 y
f ( x)
的拐点；
(D ) f (2)
不是函数 f ( x)
的极值点， (2, f ( 2))
也不是曲线 y
3．设
f ( x) 二阶连续可导，且
f ( x)
的拐点。
lim
f ( x)
x 0
x
1，则（
）
( A) f (0)
是 f (x)
的极小值；
(C )(0, f (0))
是曲线 y
4．设
k
(B) f (0)
是 f ( x)
的极大值；
f (x)
的拐点；
( D )x
0
是 f ( x)
的驻点但不是极值点。
k
的零点个数为
0
，则函数
f (x) ln x
x
e
（
）
(A)0
个；
(B)
1
个；
(C)2
个；
(D)3
个。
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
5．曲线
y
x
x
211
1
ex 1
的渐近线的条数为
（
）
(A)0
条；
(B)
1
条；
(C)2
条；
(D)3
条。
第三部分
内容复习
（一）基本观点
多元函数微分学
1．多元函数的极限：设
z
f ( x, y)
的定义域为
D
，
M
0
(x0
, y0
)
为平面上一点，若对于随意的
( x
x0 )2
0
，总存在
0，当 0
( y
y0 )2
时，有
| f (x, y) A |
，
则称 f (x, y)
当
x
x0 , y
y0
时以
A
为极限，记为
lim f ( x, y) A
。
x
x0
y y0
2 ． 多 元 函 数 的 连 续 ： 设
z
x
f ( x, y)
在 点 M
0 ( x0 , y0 )
的 邻 域 内 有 定 义 ， 若
l
i mf ( x, y)
x0
f ( x0 , y0 )
，则称函数 z
f (x, y)
在点
M
0
(x0
, y0
)
处连续。
y
y0
3．偏导数：设
z
f ( x, y)
在点
M
0
( x0
, y0
)
的邻域内有定义，若
lim
x
0
f (x0
x, y0 )
x
f ( x, y)0
0
存在，称函数
zf ( x, y)
在点
M
0
( x0
, y0
)
处对
x
可偏导， 极限
记 为 f
x ( x0 , y0 ),
f
,
z
； 若 l i m
f ( x0 , y0
y 0
y)
f (x0
, y0 )
存在，称函数
x ( x0 , y0 )
x( x0 , y0 )
y
z f ( x, y)
在点
M
0
( x0
, y0
)
处对 y
可偏导，极限记为 f
y (x0 , y0 ),
f
,
( x0 , y0 )
z
( x0 , y0 )
。
y4．可微与全微分：设
y
z
f ( x, y)
在点
M
0
(x0
, y0
)
的邻域内有定义，记
z
f ( x0
若 z A x
x, y0
y) f (x0 , y0 )
，
B
y
o(
)
，此中 A, B
为常数，
( x)
2
( y)2
，则称
z
f ( x, y)
在点
M
0 ( x0 , y0 )
处可微，称
A x B
dz
讲解：
y
为 f ( x, y)
在点
M
0
( x0
, y0
)
处的全微分，记为
A
x
B
y
。
（ 1）若
z
f ( x, y)
在点
M
0
( x0
, y0 )
处可微，则
A
f
, B
(x0 , y0 )
fx（ 2）若
z
( x0 , y0 )
；
f ( x, y)
为可微函数时， dz
fy
dx
x
f
；
y
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
5．方导游数：设
z
设 M ( x0
若 lim
f ( x, y)
在点
M
0
( x0
, y0
)
的邻域内有定义，从点
M
0 ( x0 , y0 )
印一条射线
l
，
x, y0
y) l
，令
( x)
2
( y)
2
。
f (x00
x, y0
y)
f (x0 , y0 )
存在，称此极限为函数
z
f ( x, y)
在点
M
0
( x0
, y0
)
处沿
射线 l
的方导游数，记为
讲解：
f
|M0
。
l
（ 1）设
z
f ( x, y)
在点
M
0
( x0
, y0
)
处可微，则
f
l
|M
0
f
M
0
cos
x
|f |M
0 sin
（此中
y
为射线 l
与 x
轴正方向的夹角）
。
（ ）设 u
2
f ( x, y, z)
在点
M
0 ( x0 , y0 , z0 )
处可微，则
f
|M
0 cos
y
f
|M
0
l
f
|M
0
cos
x
f
|M
0 cos
，（此中
z
,
,
为射线 l
与
x
轴、 y
轴、
z
轴
正方向的夹角） 。
6 ．梯度：设
u
f (x, y, z)
为二元可微函数，称
u
i
x
u
j
y
j
u
k
{ ,
u
,
z
,
uuz
}
为函数
x
y
u
f ( x, y, z)
的梯度，记为
gradf ( x, y, z)
z
x
i
z
y
u
k
u
u
x
y
,
u
z
。
z
讲解：梯度的方向即为函数在一点处方导游数最大的方向，梯度的模即为方导游数的最大值，
由于
f
f cos
f cos
2
f cos
2
l
x
y
z
u
x
u
y
u
,
u
,
u
x
y
z
2
cos ，cos
，cos
u
,
u
,
u
e0
x
y
z
u
cos
（此中
z
为 l
与 gradf
的夹角），
2
2
2
因此当
0
时， cos
1
，此时方导游数最大，且最大值为
u
x
u
y
u
。
z
（二）偏导数求法
1．显函数求偏导数；
2．复合函数求偏导数：
（ 1）
z
f (u, v)
，此中 u
(t), v
(t )
，求
；
dt
dz
（ 2）
z
f (u, v)
，此中 u
u( x, y), v
v( x, y)
，求 ,
z
；
x
y
u( x, y), v
z（ 3）
z
f (u, v, x)
，此中 u
v( x, y)
，求
z
,
z
；
x
y
3．隐函数（组）求偏导数：
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
（ 1）设
F ( x, y)
0
，求
dy
；
z
dx
（ 2）设
F ( x, y, z)
0
，求
,
z
；
dzx y
（ 3）设
F ( x, y, z)
0,
，求 ， ；
G( x, , y, z)
0,
dx
dy
dzuuvvF ( x, y, u, v)
0,
，求 ,
及 ,
。
（ 4）
G( x, , y,u, v)
0,
x
yx y
（三）多元函数微分学在函数极值上的应用
1．无条件极值
求函数 z
f ( x, y)
极值的步骤：
（ 1）确立函数
z
f ( x, y)
的定义域；
（ 2）由
zx
zy
0
0
求出函数的驻点；
（ 3）利用鉴别定理，设
(x0 , y0 )
为一个驻点，令
A f
xx ( x0 , y0 ), B
Case I 若
AC
fxy ( x0 , y0 ), C
f
yy ( x0 , y0 )
，
B
2 0，则点
(x0
, y0
)
为函数的极值点， 当 A 0
时，(x0
, y0
)
为极小点；当 A
0
时， (x0 , y0 )
为极大点。
Case II 若
AC
B2
0
，则
(x0
, y0
)
不是极值点。
Case III 若
AC
B2 0，则没法确立点
(x0 , y0 )
能否为极值点。
2．条件极值
在 ( x, y) 0
下求函数 z
f ( x, y)
的极值点与极值，采纳
( x, y)
；
Lagrange
乘数法，步骤为：
（ 1）令
F
f (x, y)
fx
Fx
（2）由
Fy
x
0
F
f
y
y
( x, y)
0
求出可能的极值点； 0
（ 3）对可能的极值点进行确立。
（四）多元函数微分学在几何上的应用（数学一，该内容包括在空间分析几何部分）
1．空间曲线的切线与法平面
x
（1）设
: y
(t)
(t)
，取参数
t
(t)
t0
，对应的曲线上的点为 M
0 ( x0 , y0 , z0 )
，切线的方向向
z
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
量为 T
{ (t0 ), (t0 ),
(t0 )}
，
切线方程为：
x
x0
y y
z z
，
00(t0 )
法平面为：
(t0 )
(t0 )
(t0 )( x x0 )
F (x, y, z)
0
G( x, y, z)
0
(t0 )( y y0 ) (t0 )( z
，点 M
0 ( x0 , y0 , z0 )
z0 ) 0
。
（2）设
:
，则切线的方向向量为
。
T ({ Fx , Fy , Fz} { Gx , Gy , Gz} )
M
0
2．空间曲面的切平面与法线
设空间曲面
: F ( x, y, z)
0
，点
M
0
( x0
, y0
, z0
)
，则切平面的法向量为
n { Fx , Fy , Fz}
，
M
0
切平面方程为： Fx (M
0 )( x
x0 )
法线方程为：
Fy (M
0 )( y
y0 )
Fz( M
0 )( z z0 ) 0
，
0
。
( x x0 )
( y
y0 )
Fx (M
0 ) Fy ( M
0 ) Fz (M
0 )
( z z)
要点题型解说
（一）多元函数的观点、极限与连续
1．求以下极限：
x
0
（1）
lim (1
xy)
y a
sin( xy)
2
x
0
x
；
（ 2）
lim
x2 y2
4
2
y 0
x y
2 2
。
xy
x2
y
2
0, (x, y)
x2 y
,( x, y)
(0,0)
2．议论函数
f (x, y)
在点 (0,0)
处的连续性。
(0,0)
3．议论函数
f (x, y)
x4
y2
,( x, y)
0, (x, y)
xy sin
(0,0)
在点 (0,0)
处的连续性、可偏导性与可微性。
(0,0)
1
x
2
,( x, y)
y2
( 0,0)
4．议论函数
f (x, y)
在点 (0,0)
处的连续性、可偏导性与可
0, ( x, y)
(0,0)
微性。
（二）偏导数的求法
1．设
u
x
y
z
，求
du
；
2
2
2．设
f , g 二阶连续可微，
u
yf (
) xg (
y
x
x
y
)
，求
x
u
y
u
。
x2
z
f (2x
x y
y) g ( x, xy)
，求
3．设
f (t) 二阶可导，
g(u,v) 二阶连续可偏导，且
z
。
x y
2
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
4．设
z
f (e sin y, x
x2
y )
，且
f
二阶连续可微，求
22 z
。
x y
z
x
,
5．设
z
f ( x
y
g( x
y
z))
，此中 f , g
可微，求
z
y
。
6．设
u
f ( z)
，且
z
是由 z
u
y x
( z)
确立的 x, y
的函数， f ( z), ( z)
可微，证明：
(z)
u
y
。
x
7．设
y
f ( x, t )
，且
t
是由 G ( x, y,t )
0
确立的 x, y
的函数， f (x,t ),G ( x, y,t )
可微，求
dy
。
dx
z
8．设
F ( x
z
y
, y
z
x
)
0，且 F
可微，证明： x
z
x
y
z
y
xy
。
9．设u
f ( x, y, z)
连续可偏导，且 z
10 ．
y
z
z( x, y)
由
xex
yey
2
zez
确立，求
du
。
x
x
z
y
( y x) z
， 若 经 过 变 换
u x
y , v
21 1x
, w ln z ( x y)
,
其 中
y
w w(u, v)
，求原方程化成的方程形式。
1
得
解答：由
w
1
z
x
z
x
1,
w
y
1
z
z
y
z
z(1
wx
),
z
z(1
x
y
w v
v y
w
)
，
y
又
wx
w u w v
2x
w 1
u x2
u x
v x
w
,
w
v y
w u
u y
2 y
w 1 w
，
u y
2
v
代入原方程得
w
v
0。
11 ．
f (x, y) 知足方程
(
f
)
2
x
(
f
)
2
4
，利用 x
y
uv, y
1 (u
2
v2 )
把函数 f (x, y)
变为
2
g(u, v)
，且知足 a(
g
)2
b(
g
)2
u
2
v2
，求常数 a, b
。
u
v
122解答： g(u,v)
f [uv,
(u
v )]
，
2
g
f
f
g
f
f
u
,
u
v
，代入上述关系式得
v
u
x
y
v
x
y
a(v
f
u
f
)
2
b(u
f
v
f
)
2
u2
v2
，即
x
y
x
y
(av
2
bu )(
f
)
2
x
2
(2a
2b)uv
f
x
f
y
(au
2
bv )( )
2
u2
y
2fv2
，
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
则 2a
2b
220, a
b
，于是
a(u
v )[(
f
)
2
( ) ]
x
y
f2u
2
v
，进而 a
21 ,b
4
1
。
4
（三）偏导数在极值上的应用
1．求由方程
2x2
解 答 ： 由 zx
2 y2
z2
8xz z
8
0
所确立的函数
z
0, zy
z(x, y)
的极值。
4x
8z
2 z
8x
1
4 y
2z
8x
1
0
得 x
2z, y 0
， 代 入 原 方 程 得
8
，因此驻点为 (
2,0), ( ,0)
。
7
7
4zzz , B
xx
xy
yy
在 (
2,0)
处， A
0, C
15
z1
1, z2
z
在
(
16
4
， AC
15
B2
16
225
0
， A
0，函数在
z( x, y)
取极小值 z
1；
167
,0)
处， A
zxx
数在点 (
164
, B zxy
0, C
zyy
15
4
， AC
15
B
2
16
225
0
， A
0
，函
,0)
处取极大值 z
7
8
。
7
2．求 f ( x, y)
x3
4x2
2xy
y
2
在地区
D
小值。
解答：由
{( x, y) |
1
x
4, 1
y
1}
上的最大值与最
fx
3x2
8x 2 y 0
得
x 0
y
0
， 根 据 判 别 法 知 f (0,0)
0为极大值。令
f
y
2x
2 y
0
L1 : x
1(
1
y
1), L2 : y
1( 1
x
4), L3 : x
4(
1
y
1), L4 : y
1(
1
x
4)
在
L1
上 f (
1, y)
f (
1,
1)
5
2 y
y
2
，由于
f (
1, y)
8最小
。
2( y 1)
0
，因此 f (
1, y)
单一减少，故
4
最大，
f (
1,1)
在 L2
上 f ( x, 1)
x3
4 x2
2x 1，令 f
( x,
1)
3x2
8x
2
0，得
x1, 2
4
3
22
，
min{
f (
1,
1),
f ( x1 ,
1), f ( x2 ,
1), f ( 4, 1)}
44
22
226
，
27
44
22
226
max{
f (
1,
1), f ( x1,
1), f ( x2 ,
1), f (4,
1)
27
分别为 f (x,
1)
在
L2
上的最大值
与最小值。
近似可得在 L3
上 f (4, y)
的最大值与最小值分别为
f ( 4,1)
7
与 f (4,
1)
9，在
L4上
f ( x,1)
的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 f (4,1) 7
与 f ( 1,1)
8
， 综 上 所 述 ， f (4,1)
7
与
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
f (
422
, 1)
44 22
226
分别为 f ( x, y)
在 D
上的最大值与最小值。
3
27
3．求函数
z
x2 12xy
2 y2
在地区 D : 4x
2
y2
25上的最值。
解答：
（ 1）在
4
2
2
内，由
25
得 x
0, y 0
。
x
y
zx
2x
12 y
0, zy
12x
4 y
0
（2）在
4
2
2
25
2
2
2
2
x
y
上，令 F
x
12xy
2 y
(4x
y
25)
，
Fx
2x
12 y
8 x
0
3
由
Fy
12x
4 y
2 y
0
得 ( x, y)
(
2,
3), (
, 4)，
4x2
0
2
F
y
2
25
1
由于 z(0,0)
0, z(
2,
3)
50, z(
3
,
4)
106
，因此函数在地区上的最大值为
106
1
，最
2
4
4
小值为
50
。
4．求椭球
x2
y2
z2
a
2
b2
c21( a
0, b
0, c
0)
内接长方体的最大概积。
解答：设内接长方体在第一卦限的极点坐标为
( x, y, z)
，则 V
8xyz
。
令 F
xyz
( x2
y2
z2
1)
，
a2
b2
c2
由 F
2 x
x
yz
0, F
y
xz2 y
0, F
z
xy
2 z
0, F
x2
y
2
z2
1
0
得
a
2
a
2
a2
a2
b2
c2
x
a
, y
b
, z
c
，则最大概积为 Vmax
8
3abc
。
3
3
3
9
（四）偏导数在几何上的应用
1．求曲线
x
2
y
26
z2
在点 (1,
2,1)
处的切线与法平面。
x
y
z
0
10x
2 y
2z 27
2．过直线
作曲面 x
2
22
3
y
z
x
27
的切平面，求此切平面方程。
y
z
0
解答：
F
x
y z
x
2
y
2
z
2
n
{ 6x,2 y, 2 z}
(
,
,
)
3
27
，则
，过直线的平面束为
10 x 2 y 2z 27
(x y z) 0
，
其法向量为
{10
,2
,
2
}
。
设所求的切点为
(x0 , y0 , z0 )
，则有
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
(10
) / 6x0
(2
) x0
(2
) y0
) / 2 y0
(2
) / 2z0
，
3x02
y02
z02
27 0
(10
( 2
)z0
0
( x0 , y0 , z0 )
解得
1
( x0 , y0 , z0 )
( 3,
(3,1,1)
或许
19
17, 17)
，
故所求的切平面方程为
9x
y
z 27 0
或许 9 x
17 y 17z 27
0
。
x
t
2
3．曲面
4z
x2
y2
上一点
M
的切平面为
，若过
的曲线
:
y
t
在 t
1
的切线为
z
3(t
1)
L
，求平面
。
解答：切线 L
的方程为
x
n
{
x
0
,y01
2
y
1
1
z3
，曲面上点 M (x0 , y0 , z0 )
处的法向量为
,1}
，
2
2
则切平面方程为
x0
( x
x0 )
y0
( y
y0 )
( z
z0 )
2
2
0，即 xx0
yy0
2z
2z0
。
由于 L
，而 (1,1,0), (3,2,3)
L
，
x0
y0
2z0
因此 3x0
2 y0
6
2z0
，解得切点的坐标为
2
x0
2
y0
(12
,
5
69
4z0
, )
或许
(2,2,2)
，
5
5
故平面
: 6x
3y
5z
9
或许
x
2
2
: x
y
z
2
。
4．设曲面
S :
y
2
z2
4
1
，平面
: 2x
2y
z
5 0
。
（ 1）求曲面
S 上与
平行的切平面；
解答：（ 1）
S 上
M 处切平面法向量为
（ 2）曲面
S 与平面
n之间的最短距离。
1
{ x,2 y,
z}
，平面
的法向量为 n 2
{ 2,2,1}
，
2
由 1
或 x
2t, y
t , z
2t
，代入 S
得
2 y
z
1
t
2
2
t
2
，则
1
,
1)
，切平面方程为
2x 2 y
z 4
0
或许 2x
2 y
z
4 0
。
M
1(1, ,1), M
2 (
1,
2
2
x
n // n
得
2
1
2
（ 2）
d1
3, d2
1
，因此曲面 S
与平面
（五）方导游数与梯度
之间的最短距离为
1
。
3
3
1．设
n 是曲面
2x2
3y
2
z2
6
在点
P(1,1,1)
处指向外侧的法向量，
求 u
2
1
6x
2
8 y2
在 P
z
点处沿方向 n
的方导游数。
解答：令
(
,
,
)
2
2
3
2
F
x y
z
x
y
6
，则
，
z
{ Fx , Fy , Fz} |P
{ 4x,6 y,2z} |P
{ 4,6,2}
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
取 n
{ 2,3,1}
， 则
n
0
{
2
,
3
, }
， 而
u
16x
,
u
8y
，
14 14 14
u
2
x
z 6 x2 8 y2
u
3
14
u
y
z 6x2
1
14
8y
2
u
1
z2
6x2
8 y
2
，因此
u
11
。
7
z
n |P
x |P
14
y |P
z |P
第三讲
第一部分
积分学
不定积分
内容复习（略）
要点题型解说
（一）积分观点与直接积分法
1．设
f ( x) 的一个原函数为
sin xx
，求 xf
(x)dx
。
2．
e|x|dx
。
3．
max(1, x2
}dx 。
（二）换元积分法
1．计算以下不定积分
（1）
1
dx
；
（2）
1
5x
6
x
4
dx
；
（ 3）
x
2
5x
6
x
2
（ 4）
x2
2x
x 3
dx
；
2
dx
；
x2
2x
2
；
（ 5）
x(1
2 100
x )
dx
；
（ ）
1
x7
x(1
6
x7
)
dx
（ 7）
1
1
x
4
e
e x
xdx
。
dx
；
2．计算以下不定积分
（1）
dx
；
（ 2）
1
1
2
（ 3）
ln( x
1 x
1
x2
)
dx
；
5
x2
cos
3
x（ 4）
( xln x)
2
(1 ln x) dx。
2
（5）
ln x
2
x ln x(1
x ln
x)
dx
；
（6）
1
ln x
( x
ln x)
2 dx
；
3．计算以下不定积分
（
）
1
1
dx
；
（ ）
2
1
dx
。
ex
1
ex (1
e2 x )
4．计算以下不定积分
（ 1）
1
dx
；
（ 2）
x
dx
；
x(4
x)
1
x
x2
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
（3）
dx
x
3；
x
5．计算以下不定积分
（ 1）
cot x
dx
；
sin x
dx
（ 2）
dx
；
cos2x
3
sin x cos x
sin 2x
（ 3）
；
（ 4）
dx(a b)
；
sin
2 x
2 cos2
x
a2 cos2 x b2 sin
2 x
（ 6）
（ 5）
sin x
cos x
dx
；
(cos x
sin x)5
dx
；
1
1
2 tan x
sin x
dx
；
（ 7）
1
sin x
ex
dx
；
（ 8）
1
cos x
1
dx
；
（ 9）
1
sin x cos x
1
sin x
（ 10）
1
2
sin x
cos x
dx
。
（三）分部积分法计算不定积分
1．
x
2arc cot xdx
；
第二部分
内容复习（略）
要点题型解说
（一）基本不定积分的计算
1．计算以下定积分
5
4
定积分及其应用
（1）
(1
sin
x)dx
；
41
0
（ 2）
I
n
(1
x
) dx
；
2n
4
x
（3）
4
4
sin
2
x
；
1
e x
dx
（ 4）
1
xe
；
4
0 (1
x) 2
1
dx
（5）
x
sinx
sinxdx
；
0
2
（6）
I
ln(1
x)
2
dx
；
0
1
x
20
（ 7）
0
cos
6
xdx
______。
2．计算以下定积分
n
n
0
（1）
2
sin
7
x
1
（ 2）
) dx
；
(
10
1 x
1
2
cosx
| cosx | dx
；
（ 3）
0
x | cosx | dx
；
（ 4）设
f ( x)
C [
,
]
，且 f ( x)
x
1 cos x
2
f (x) sin xdx
，求 f ( x)
；
（ 5）设
f ( x)
1
x e
t
2 dt
，求
1 x
2 f ( x) dx
；
0
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
（ 6）设
f ( x) 可微，且
f (0) 0, F (x)
x
0
t f (xn 1n
t ) dt
，求
lim
F (x)
。
x 0
x 2n
n
1
3．设
f ( x)
1
2x
1
4
x
2
, x
, x
0
5
，求
f ( x
1)dx
。
1
0
x
0
4．设
f ( x) 为连续函数，且
F ( x)
( x
2t ) f (t )dt
，证明：
（ 1）若
f ( x) 为偶函数，则
F ( x) 也是偶函数；
（ 2）若
f ( x) 为非增函数，则
F ( x) 为非减函数。
5．设
g ( x) 为可微函数，
f ( x)
为其反函数（ x
x
0
），且
f ( x )
0
g(t )dt
1
3
3
2
(x
8)
，求 f ( x)
。
6．设
et
dt xe
x ，（ 1）求
0
；
b
a
（ 2）求
lim
x 0
b
a
及 lim
x
。
7．设
f ( x)
C[ a,b]
，且
f ( x)dx
xf (x)dx
0
，证明：函数 f (x)
在 (a,b)
内起码两个零
点。
b
b
a
（二）定积分等式的证明
1．设
f ( x)
C [a, b]
，证明：
f ( x)dx
f (a
b
1
x) dx。
a
b
a
2．设
f ( x)
C [a, b]
，证明：
f (x)dx
(b a) f [ a
0
(b a) x]dx
。
3．设
f ( x), g ( x) 在
[ a, b] 上连续，证明：存在
( a,b)
，使得
f ( )
b
g(x)dx
g( )
f ( x)dx
。
a
4．设
f ( x)
a
f (x)
A, g(x)
为偶函数，
（ 1）证明：
f ( x) g( x)dx
A
a
0
x
0
g(x)dx
； （
2）计算
2 |sin x |arctane dx
。
2
xa
5．设
f ( x) 是连续函数，证明：
[
u
0
f (t) dt]du
( x
u) f (u) du。
0
x
6．设
f (x)
C[ 2,4], f (3)
0
，证明：存在
a
(2,4)
，使得
f (
)
a
3 f ( x)dx
。
2
4
a
7．设
f ( x)
C[0, a]
，证明：
f ( x)dx
f ( y)dy
0
x
1
1
[
2
f (t )dt ]
2
。
0
8．设
f ( x) 在区间
[ 0,1] 上可导，
f (1) 2
20
x
2 f (x)dx
，证明：存在
(0,1)
，使得
2 f ( )
9．设
f ( x)
f (
)
0
。
x
0
0为以 T
为周期的连续函数，证明：
lim
x
1
x
f (t )dt
1
T
T
0
f (t) dt
。
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
10．设
f (x) 在
[ a, a]( a 0) 上二阶连续可导，且
f (0)
0。
（ 1）写出
f (x) 的带拉格郎日余项的一阶马克劳林公式；
（ 2）证明：存在
[ a, a]
，使得
a
f
3( )
3
f (x)dx
。
a
a
11．设
f ( x) 在区间
[ a, b] 上二阶连续可导，证明：存在
b
a
( a, b)
，使得
f ( x)dx (b a) f (
a b
2
b
a
)
(b
a)3
24
f ( )
。
（三）定积分不等式的证明
2
b
1．设
f ( x) C [a, b] ，证明：
f ( x) dx
(b
a)
f ( x) dx
。
2
a
2．设对随意的
x, y
[ a, b]
，有 |
f ( x)
f (a)(b a) |
f ( y) | | x
(b
a)
2
y |，证明：
|
b
a
f (x)dx
2
2)
，证明：
3．设
an
4 tan xdx(n
n0
an
1
2( n
1)
1
2( n
1)
。
4．设
f ( x)
C [a, b]
且单一增添，证明：
b
xf (x)dx
a
a b
b
f ( x) dx
。
2
a
k 1
n
5．设
f ( x) 在
(0,
)
上连续且单一减少，证明：
n 1
1
f ( x)dx
f (k) f (1)
1
0
n
1
f ( x) dx
。
6．设
f ( x)
C[0,1]
且单一减少，证明：对随意的
0
1，有
f (x)dx
f (x)dx
。
7．设
f ( x) 在区间
[ a, b] 上连续可导，且
f (a)
0，证明：
b
a
2
f (x)dx
(b
a)
2
b
a
2
f
( x)dx
。
2
8．设
f ( x) 在
[ a,b] 上连续可导，且
f (a)
x
f (b)
b)
。
0
，证明：
| f ( x) |
1
b
| f
( x) | dx(a
2
a
0
9．设
f ( x) 在
[ 0, a] 上连续可导，且
f (0)
此中 M max | f (x) |。
x [ 0,a ]
0
，证明：
a
0
f ( x)dx
M2
a
，
2
10．设
f (x) 在
[0,1]
上连续可微，且
f (0)
f (1)
0
，证明：
1
0
f ( x)dx
1 max | f ( x) |。
0
x 1
4
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
11．设
f ( x) 在
[ a,b] 上连续可微，证明：对随意的
x
[a,b]
，有
| f ( x) |
1
a
a
0
| f ( x) | dx
a
0
| f ( x) | dx
。
12．设
f (x) 有界，且
f (x) 连续，对随意的
x (
,
)
有 | f ( x)
f ( x) | 1，证明：
| f (x) |
1。
13．设
f (x) 连续可导，且
m
（ 1）求
lim
a 0
f (x)
M
，
f (t
a)) dt
；
1
a
a
（ 2）证明：
|
14a
2
( f (t
a)
a
a
f (t )dt
f (x) |
M m
。
2a
14．设
f ( x)
0, x
[ 0,1]
，证明：
1
0
f ( x )dx
2
（四）广义积分
f ( )
。
3
1
1．
1
dx
；
ex 1
e3
x
dx
。
2．
1
1
x
dx
；
x4
23．
3
dx
；
1
( x
1)(3
x)
dx
2
4．
1
5．
3dx
x2
2x
。 6．
x x 1
( x 1)
4
3
2
1
2
2
。 7．
| x
x |
ln sin xdx
。
0
（五）定积分的应用
1．设
y
f ( x)
为区间 [0,1]
上的非负连续函数。
[c,1]
上以
（ 1）证明存在
c (0,1)
，使得在区间 [ 0, c]
上以 f ( c)
为高的矩形面积，等于区间
y
f ( x)
为曲边的曲边梯形的面积。
2 f ( x)x
（ 2）设
f ( x) 在
(0,1) 内可导，且
f ( x)
，证明（ 1）中的
c 是独一的。
2．求由圆
x2
y2
2 y
与抛物线 y x
2
所围成平面图形的面积。
y
2 )
2
a2 (x
2
y
2 )
所围成的面积。
3．求双纽线
(x
2
4．求由曲线
y
4
x2
与 x
轴围成的部分绕直线
x
，由 y
x 3
旋转一周所成的几何体的体积。
f (x), x
1及
x
轴（ x
（ 1）曲线
y
5．设
f ( x) 知足
xf
( x)
2 f (x)
0
）所围成的平面地区
f (x)
的方程；
（2）
为 D
，若 D
绕
x
轴旋转一周所围成的几何体体积最小，求：
曲线的原点处的切线与曲线及直线
牛，缆绳每米重
x 1围成的图形面积。
2000 牛，提高速度为
6．为消除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口。设井深
50 牛，抓斗盛污泥
秒的速度从抓斗中遗漏。现将抓斗从井底提高至井口，问战胜重力做功多少？
第三部分
二重积分与三重积分
30 米，都自重 400
3 米/秒 ,在提高过程中 ,污泥以
20 牛/
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
内容复习（略）
要点题型解说
（一）重积分基本观点与性质
1．设
f
xy
( x, y) 连续，此中
D
{( x, y) | a
x b,c
y d}
，求
f
xy
(x, y)d
。
D
。2．设
D : x2
y2
r
2
，求
lim
1
x2
y2
cos(x y)dxdy
r
0 r ln(1 2r )
D
e3．设
f ( x, y), g( x, y) 在有界闭地区上连续，且
g( x, y) 0
，证明：存在 ( ,
f ( x, y)g( x, y)d
f ( , ) g( x, y) d
。
D
D
（二）二重积分的惯例计算
1
1
1．互换积分序次
4
y
1
dy
f ( x, y) dx
12dy
2
0
y
f ( x, y) dx。
y
4
2、计算
21
dy
1
x 2ex
dx
。
0 y
2 x
3．改变积分序次并计算x
sin
dy4 2
x
dx
。1
dxx
sin
dy
2y
2 x
2y
4
ydxdy
y
2x
y
x
4
．计算
，此中 D由
2
与
围成。
D
5．计算
cos xd
，此中 D
由 y
x
及
y
x2
围成。
D
x
6．计算
( x
y)dxdy
，此中 D : x2
y2
2x
。
D
（三）奇偶性计算
1．计算
(x
y
2 )dxdy
，此中
D
是由 y
x2 , y
4x2
及
y
1围成的地区。
D
2．计算
x
2dxdy
，此中 D : x2
y
2
4
。
D
3
f (u)
y
x
, x
1, y
1
、设
连续，地区 D
由
3
围成，计算
x[1
yf ( x2
y
2 )]d
。
D
（四）三重积分的惯例计算
1．计算
I
xy
2 z3dv
，此中 V
由 z
xy, y
x, z 0, x
1
围成。
V
2．
I
(1
x4 ) dv
，此中 V
由
x2
y
2
z2 , x
1, x 2
。
V
3．求
( x22z
y2
z)dv
，此中 V
是由
y
2
绕 z
轴旋转一周所得曲面与
V
x
0
体的体积。
) D
，使得
z
4
围成的几何
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
4．求
I
(x2
绕 z
轴一周所得旋转题介于
z
2与 z 8
y2 )dxdydz，此中
是由
y2
0
x
2z之间的几何体。
5．
V
( x2
y2
z2 )dv
，此中 V : 1
x2
y
2
z2
4, z
x2
y2
。
6．设
f (u) 可微，且
f (0)
0
，求 lim
1
4t
t 0
f (
x2
y2
z2 )dxdydz
，
此中
: x2
y2
z2
t2
。
a
0
2
（五）三重积分对称性及奇偶性的计算
1．求
V
( x
y
z)
2dv
，此中
V : x2
y2
a
z
21
。
（六）重积分等式与不等式的证明
1．设
f ( x)
[ a, b]
，证明：
a
0
f (x) dx
f ( y)dy
1
2
b
f (x)dx
。
x
2．设
f ( x)
[ a, b]
且 f ( x)
0
，证明：
b
a
f ( x)dx
1
dx
(b
a)
。
2
a
f ( x)
（七）重积分的应用
1．半径为
R 的球面
内的面积最大？
中心在定球面 x2
y2
z2
a2 ( a
时，
0)
上，问
R
为什么值在定球面
2．高度为
h(t) （此中
t 为时间）的雪堆在消融过程中其侧面知足
z
22 2( x
y )
，已知
h(t )h(t )
体积减少的速度与侧面面积所成比率系数为
间？
0.9
，问高度为
130
的雪堆所有消融需要多少时
第四部分 曲线与曲面积分
内容复习
一、曲线积分
（一）对弧长的曲线积分
1．问题的产生—曲线段的质量问题
设 L
为曲线段，其线密度为
( x, y)
，求其质量
m
。
（ 1）任取
ds
L
；
( x, y)ds
；
( x, y)ds
。
（ 2）
dm
（ 3）
m
L
2．对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）
称 f (x, y)ds
为函数 f ( x, y)
在曲线段 L
上的对弧长的曲线积分（课本的观点简单认识）
L
3．对弧长的曲线积分的性质
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
（1）
[ f ( x, y) g ( x, y)]ds
L L
f ( x, y)dsg(x, y) ds
；
L
（ 2）
L
kf (x, y) ds
k f (x, y) ds
；
L
（ 3）
L
f ( x, y)ds
L1
f (x, y) ds
L2
f ( x, y)ds
；
（ 4）
ds l
（曲线段的常数）
。
L
4．计算方法—定积分法
（ 1）设
L : y
(x)(a
b
a
x
b)
，则 ds
1
2 (x)dx
，于是
f ( x, y)ds
L
f [ x, ( x)]
1
2 ( x) dx
。
（ 2）设
x
y
(t )(
(t )
t
)
，则
ds
2 (t )
2 (t)dt
，于是
f ( x, y)ds
L
f [
(t),
(t)]
2 (t )
2
(t) dt
。
例题 1
计算
x2 ds
，此中
L : x
2
L
y
2
R
2
。
例题 2
计算
(x2
2xy) ds
，此中 L : x2
L
y
2
2x
。
（二）对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）
1．问题的产生—功
（ 1）理想状态
（ 2）一般状态
2．对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）
P( x, y)dx
Q( x, y)dy
L
P(x, y)dx
L
Q( x, y)dy
，称
L
L
P( x, y) dx
为函数 P( x, y)
在有向
曲线段 L
上对坐标
x
的曲线积分（课本定义认识即可）
。
3．性质：
P(x, y)dx
L
Q(x, y) dy
P( x, y) dx
Q ( x, y)dy
。
L
4．计算方法
方法一：定积分法
（ 1）设
L : y
(x)
（起点
x
b
a
a
，终点
x
b
），则
{ P[ x, ( x)]
Q[ x, ( x)]
( x)} dx
；
P( x, y)dx
Q(x, y) dy
L
（2）L:
x
y
(t)
(t )
（起点 t
，终点 t
），则
P( x, y)dx
Q(x, y)dy
L
{ P[ (t ), (t)]
(t ) Q[
(t ), (t)] (t )} dt
。
方法二：格林公式
定理
设
D 为连通地区（单连通或多连通，单连通界限正向为逆时针方向；多连通地区界限正
向是外圈为逆时针，内圈为顺时针）
，其界限为 L
， P( x, y),Q (x, y)
在地区 D
上一阶连续可偏
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
导，则有
L
P( x, y)dx Q( x, y)dy
D
(
Qx
Py
)dxdy
，
此中界限时正向是取正号，界限为负向时负号。
方法三：曲线积分与路径没关的条件
在单连通地区 D
上，在计算曲线积分时，有时起点和终点相同但路径不一样，则曲线积分的结果不相等，有时起点和终点相同，而路径不一样，但曲线积分的结果相同，这就是曲线积分与
路径没关的问题，在单连通地区
D
上，
L
P( x, y)dx Q( x, y)dy
与路径没关的等价命题有
（ 1）对
D 中随意的关闭曲线
C
，有
P( x, y)dx Q (x, y) dy 0
；
C
（ 2）在
D 内恒有
QP
x
（柯西—黎曼条件） ；
y
Q( x, y) dy
du( x, y)
。
x1
（ 3）存在
u( x, y) ，使得
P(x, y) dx
若曲线积分
L
P( x, y)dx
Q( x, y)dy
与路径没关，则
( x1 , y1 )
y1
y0
P( x, y)dx
L
Q(x, y) dy
P( x, y)dx Q( x, y)dy
P(x, y0 )dx
Q( x1 , y)dy
。
( x0 , y0 ) x0
增补：全微分方程及解法
对微分方程 P( x, y)dx
若
Q( x, y)dy
0
（ * ）
Qx
Py
，称 P( x, y) dx
Q( x, y)dy
0
为全微分方程，由曲线积分与路径没关的条件，存
在 u( x, y)
，使得 P(x, y) dx
Q ( x, y)dy
du
，进而 du
x
x0
0
，于是原方程的通解为
u(x, y) C
，
( x, y)
y
y0
此中 u(x, y)
P( x, y)dx
Q( x, y)dy
P( x, y0 )dx
Q (x, y)dy
。
( x0 ,y0 )
方法四：两类曲线积分之间的关系
（ 1）
Pdx
L
Qdy
( P cos
L
Q cos
)ds
，此中 cos
,cos
为有向曲线 L
切向量的方向
余弦；
（ 2）
Pdx
L
Qdy Rdz
L
( P cos
Q cos
R cos
) ds
，此中 cos
,cos ,cos
为有向
曲线 L
切向量的方向余弦。
二、曲面积分
（一）对面积的曲面积分（第一类曲面积分）
1．问题的产生—空间曲面的质量
设 为空间的有限曲面，其面密度为
（ 1）任取
ds
（ 2）
dm
；
(x, y, z)
，求其质量。
( x, y,.z)ds
；
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
（ 3）
m
(x, y, z)ds
。
2．对面积的曲面积分
称
f (x, y, z)ds
为函数
f (x, y, z)
在曲面
上对面积的曲面积分（课本定义认识即可）。
3．性质：（与定积分近似，略）
4．计算方法—二重积分法
对
f ( x, y, z)ds，不如将
向
xoy 面投影（也可向其余平面投影，要视二重积分的计算）
: z
( x, y), (x, y)
Dxy
；
。
（ 1）
（ 2）
ds
2 ) dxdy；
z
2
1
(
)(
x
y
z
（ 3）
f (x, y, z)ds
D
xy
f [ x, y, (x, y)] 1 ( )
z2
( )
2 dxdy
。
y
zx
（二）对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）
1．问题的产生—流量
设
为有侧的有限曲面，速度场为
v
{ P(x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)}
，求单位时间内流入指
定侧的流量。
（ 1）任取
ds
（ 2）
（ 3）
，此中 ds
{ dydz,dzdx, dxdy}
；
dv ds Pdydz Qdzdx Rdxdy
；
Pdydz Qdzdx
Rdxdy。
2．对坐标的曲面积分的定义
称
Pdydz
为函数
P( x, y, z)
在有侧曲面
上对坐标 y, z
的曲面积分，以此类推。
3．性质：
Pdydz Qdzdx Rdxdy
4．计算方法
方法一：二重积分法（以
Pdydz Qdzdx
Rdxdy
。
Rdxdy为例）
Dxy
；
（ 1）
: z ( x, y), (x, y)
Rdxdy
（ 2）
R[ x, y,
(x, y)]dxdy
（当曲面的侧为上侧时去正号，当曲面的侧取下侧
Dxy
时取负号）（同理可研究其余两种状况）
方法二：高斯公式
定理
设 为有侧曲面，
为其围成的几何体，且
P( x, y, z), Q ( x, y, z), R( x, y, z)
在
上一阶
连续可偏导，则有
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
Pdydz Qdzdx
Rdxdy
(
P
x
Q
y
Rz
)dv
。
（此中曲面取外侧时取正号，曲面取内侧时取负号）
方法三：两类曲面积分之间的关系
Pdydz Qdzdx Rdxdy
面 上一点的法向量的方向余弦。
三、斯托克斯公式
(P cos
Q cos
Rcos )ds
，此中
cos ,cos , cos
为曲
定理 设 为空间有侧曲面，其界限曲线为
，
的方向与
的侧按右手准则确立，函数
P( x, y, z), Q( x, y, z), R(x, y, z)
在包括
的地区内一阶连续可偏导，则有
dydz
dzdx
dxdy
Pdx Qdy Rdz
x
P
y
Q
z
R
cos
x
P
cos
y
Q
cos
ds
。
z
R
四、几个观点
u u
u
u f ( x, y, z)
，则 gradu { , , }
； x y z
i
{ P,Q, R}
，则 rot A
x
P
{ P,Q, R}
，则
div A
j
y
Q
Q
y
k
。
2．旋度：设
A
z
R
R
z
3．散度：设
A
P
x
。
要点题型解说
（一）曲线积分部分
1．
(3x 4 y) ds,此中
L : x2
L
( y 2)
2
1
。
2．
L
( x
L
2
y
2 )dx xdy
，此中 L
为
ya
2
x2
从点 A( a,0)经B(0, a)到C(a,0)
的弧段。
3
I
．
( xe
2 y)dy
(x e
) dx
L是过点 O(0,0), A(0,1), B(1,2)
，此中
y
y
的圆周从点
O到点 B
的一段。
2
2
ydx
xdy
2 ,此中 L为
x
4 求
2
L
x
4 y
y
1从
A(1,0)
经B(0,1)到C(
1,0)的曲线段
。
y
x
Q
P
y
x2
4 y2
( x2
4 y2 )2
，且 P,Q
在除原点的地区
L1 : x2
4 y
2
1的上半
解答： P
x2
4y2
,Q
x2
4 y 2
，由于x
上连续可偏导，因此在除原点的单连通地区上曲线积分与路径没关，取
椭圆且方向为逆时针，则有
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
ydx
xdy
0
，即
L L1
L
ydx
xdy
4 y2
L1
ydx
xdy
，
x2
4y
2
，因此
x2
4 y
2
ydx
L1
x
2
而
ydx
xdy
4 y
xdy
2
dxdy
ydx
xdy
L
。
L1
x2
2
D
2
，由于x2
4 y
2
2
5．此中
L 是从点
A(3,
2
)
到
B(1,2)
的直线段。
3
解答：
1 y2 f ( xy)
,
y
P
Q
x
[
2
(
)
1]
y2
y
f
xy
Q
P
1
x
y
f ( xy)
xyf
(xy )
y2，
因此曲线积分与路径没关，取路径
xy
2
，则有
1
y
2 f ( xy)
dx
x
[ yf ( xy)
1]dy
2
1
3
[(
x
2
2
x
f (2))
(
2
x
f (2)
x
2
)] dx
4
。
L
L
y
xdy
x2
y2
ydx
( y)
6．
A
（此中 A
为常数），
(1)
1, L是绕原点 O(0,0)
一周的随意正向闭曲线，
求 ( y)
。
7．位于
(0,1)的质点
A对证点
M
的引力大小为
kr
2 ( k
0,r
| AM
|)
，质点 M
沿
y
2x x2
从点 B(2,0)运动到 (0,0), 求质点 A对证点 M所作的功
。
解答： 在弧 BO上任取一点 M ( x, y),则 r
x2 ( y 1)2
，质点 A对证点 M
的引力为
F
k
r
2
xdx
1
{
x,1 y}
，
x2
( y
1)
2
(1
y)dy
3
3
则 W k
L
，令 P
x
[ x2
3 , Q
1
y
，
[ x2
( y 1) ]
3x( y
22
( y 1) ]
22
[ x2
( y 1) ]
22
由于
Q
x
P
y
0
2
1)
5
，因此曲线积分与路径没关，
[ x2
( y 1)2 ]
2
进而 W k
x
3 dx k (1
55
)
。
( x2
1)
2
8．在力
F
{ yz, zx, xy}作用下
，质点从原点沿直线运动到椭球
x
2
a
2
y2
b2
z2
c
2
1
上第一卦限
的点M( ,
, )，问当
t, y
, , 为什么值时 , 力F所作的功 W最大 ?并求最大值 W
。
解答： L : x
t, z
t (0
t 1)
， W
OM
yzdx
zxdy
xydz
，
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
2
2
2
Fx
2
2
0
a
2
b
2
Fy
Fz
令 F
(
1)
，由
b2
c2
0
0
2
得
a
2
2
2 2
c
2
F
a
abc
。
3
3
2
1 0
b2
c2
a
,
b
,
3
3
c
，则 Wmax
3
（二）曲面积分部分
1 计算以下曲面积分：
（ 1）
I
S
(2 x
4 y
此中 是平面
x
S
z)dS,
3
2
y
z
1在第一卦限的部分
；
3
4
x2
（ 2）
I
(
x2
y2
S
,此中 是椎面
)
z
z
dS
S
y
2
介于
z
0及
z
1之间的部分
。
2．
F (t)
为f ( x, y, z) dS
，此中
x2
x
2
y, z
y
2
z2
t
2 (t
0)
，
f ( x, y, z)
x2
y
2
0, z
x2
y
2
。
解答： 把 分为
1 : x2
则y2
z2
t
2 ( z
x2
y2 ),
2222 : x
y
z
t
2 (z
x2
y2 )
，
f ( x, y, z) dS
0
，
2
f (x, y, z) dS
1
1
( x2
y) dS
1x2 dS
1
2
(x2
1
y2 )dS
，
1在 xoy平面上的投影地区为
D
xy : x
2
y2
t
2
,由
2
(x1
1 : z
y
t
2
x2
y
2
，则
dS
tdxdy
， F (t )
t
2
x
2
y
2
2
y )dS
2
( xD
xy
2
2 )
tdxdy
t
2
x2
y
2
8
5 2
6
t
4
。
3．
设
S为
x2
y2
z2
4( z
0)的外侧 ,求
S
yzdzdx
2dxdy
。
4．
设f ( x, y, z)为连续函数
,
为x
y
z
1在第四卦限的上侧 ,计算
[ f ( x, y, z)
x]dydz
[ 2 f (x, y, z)
y]dzdx
[ f ( x, y, z)
z]dxdy。
xdydz
z2 dxdy
2
x
2
y
2
z
2
,此中 为由
x
2
2
5．计算
y
R
及 z
R, z
R( R
0)
所围成的曲面的外
侧。
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
6．
求
xdydz ydzdx
axdydz
zdxdy, 此中
为 z
x2
y
2 (0 z
(z
a)2 dxdy
2 y(z
a)dzdx
4)的上侧
。
2
2 2
7．求
I
x2
y2
z
2
,此中 为 z
a
x
y
的 上 侧
（ a
0
）。
曲线与曲面积分部分
8．
求
ydx
zdy
xdz,此中 为
x2
y2
x
y
z2
z
0
, 从y轴正向看 是逆时a
2
针
。
解答：
cos
x
y
cos
y
z
cos
z
x
ydx
zdy
xdz
dS
(cos
cos
cos
)dS
，
由于 cos
cos
cos
3
，因此
原式
3
3
dS
3 a2
。
9．求
y
2dx
z2dy
x2 dz,此中
为 x2
y2
z2
1与 x2
y2
x(z
0)
的交线， 从
x
轴正向
看 是逆时针。
解答： 设上半球 z
1
x2
y2 被柱面 x2
y2
x所截曲面为
,则为的界限，
由 Stokes 公式得
y2 dx
z2 dy
x2 dz
由于 cos
2 ( z cos
, cos
z2
xy
yz
y2
z2
xzdS
x y
22x cos
y
x2
y2
y cos )dS
，
, cos
z2
yz)dS
，
x
x2
y
2
2
xz
x2
z
x
2
y2
，
z2
因此
原式
dS 2
( xz
xy
由于
xydS
cos
yzdS
0,
x 1
x2
y2
x
1
1
x2
dxdy
y2
2
cos d
2
0
r dr
2
8
，因此
原式
4
。
第四讲 空间分析几何
内容复习（略）
要点题型解说
1 求经过平面
1
: x
y 1 0与
2
: x
2y 2z 0
的交线，且与平面
3
: 2x
y z
0
垂直
的平面方程。
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
2 求过直线
x 21
y 2
1
z
3
和 x 1
y 1
2
1
2
z 1
1
的平面方程。
3 求经过点
P1(5,
4,3)和 P2 ( 2,1,8)
及直线
L :
x 21
y
1
z
与平面
: x
y
z 0
交点
1
3
的平面方程。
4．设空间点
A(
1,0,4)
，平面
: 3x
4 y
z
10
0, 直线 L :
x
1
1
，求一条经过
y
3
1
2
z
点 A
与 平行且与 L
订交的直线方程。
5．求直线
x 10
y
1
z
绕z轴一周的旋转曲面的方
程
，并求其介于 z
1
0
与 z
5
之间的几
何体的体积。
6．求两异面直线
x 9
4
y 2
z
与 x
y
7
3
1
2
9
z
之间的距离。
2
2
第五讲 级数
内容复习
一、常数项级数
（一）基本观点与性质
1．定义
（ 1）级数—设
{ an
} 为一个数列，称
an
为常数项级数（即所有项之和或所有和）
n 1
（2）收敛—称 Sn a1 a2
an
为级数
n 1
an
的部分和， 所 lim Sn
极限存在， 称级数
n
an
n 1
收敛，设 lim Sn
n
S
，即
n 1
an
S
。
2．性质
（ 1）设un
n 1
A, vn
n 1
B
，则
(un vn ) A B
，
n 1 n 1
(un vn ) A B
。
（ 2）设
n 1
un S
，则
n 1
kun kS
，特别地，若 k
0，则
n 1
kun
与
n 1
un
敛散性相同。
（ 3）增添、减少、改变级数的前有限项，不改变级数的敛散性（若级数收敛，则级数的和可能产生改变）。
（ 4）若级数收敛，则随意增添括号后的级数收敛，且收敛于相同的和，反之不对。
（ 5）（级数收敛的必需条件）若级数
un
收敛，则 lim un
n
0
，反之不对。
n 1
例 1
1
发散，而 lim
0
。
n
n 1
n
n
1
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
例 2 判断级数
(
n
) 2n
的敛散性。
n 1
n
1
3．两个特别的常数项级数
（ 1）
p 级数
n 1
1
收敛 , p
1
1
。
n
p
发散 , p
（ 2）几何级数
n 1
发散,| q |
1
aqn
aq
（ a
,| q |
1
0）。
1
q
（二）正项级数敛散性判断
1．定义—对
n
u
n
，若全部的
un
1
0
，称
un
为正项级数。
n 1
特色： { Sn }
单一增添，若存在
M
0
，使
Sn
M
，则
lim Sn
存在，进而
un
收敛，于是有
n
n 1
以下的正项级数收敛鉴别法：
2．鉴别法
（ 1）方法一：比较审敛法
定理 1（基本形式）设
u
n
与
n 1
vn
皆为正项级数，
1
n
1）若
un
vn
且
n 1
vn
收敛，则
n 1
un
收敛；
n 1
2）若
un
vn
且
n 1
vn
发散，则
un
发散。
例子：判断
n 1
sin
n
的敛散性。
2
un
与
n 1 n 1
定理 1
（极限形式）设
vn
皆为正项级数，若
lim
n
un
l (0 l
)
，则
n 1
un
与
vn
vn
敛散性相同。
n 1
例子 判断
n 1
1
1
1
的敛散性。
n
n
（ 2）方法二：比值审敛法
定理 2 设un
n 1
为正项级数， lim
un 1un
，则
n
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
当
1时级数收敛；当
1
时级数发散；当
1
时级数的敛散性不确立。
例子 判断
n 1
2n n!
的敛散性。
n
n
（ 3）方法三：根值审敛法
定理3设
un
为正项级数， lim
n un
n
，则
n 1
当
1时级数收敛；当
1
时级数发散；当
1
时级数的敛散性不确立。
例子 判断
(
n
n 1
2n
)n
的敛散性。
1
（三）交织级数及审敛法
1．交织级数的定义—
(
1)n
1un
或
n 1
(
1)n un
（ un
n 1
0,n
1,2,
）称为交织级数。
2．鉴别法
定理 对交织级数
n
( 1)
n
1 un
（
un
1
0, n
1,2,
），若知足
（ 1）
{ un
}
n 1 单一减少；（ 2）
lim un
0
，则级数
(
1)n 1 un
收敛。
n 1
n
[ 讲解 ]
{ un
}
n 1 单一减少条件不行少。
n1
例 1(
n 1
1)
un
中，取 un
1
n
(
1)
n1 sin
1
，判断
(
1)
n 1 un
的敛散性。
n 1
n
sin
[ 解答 ] 由于当
x 0时，
sin x
x
，因此 0
11
，进而 un
0
，即
( 1)n 1 un
为交织
n
n
n 1
级数，又 lim un
0
，但
( 1)
n 1
un
[ ( 1)n 1
n
11
sin
]
，由于
n
n 1
n
n
(
1)
n 1
n
n 1
收敛，而
n 1
sin
1
n
发散，因此
( 1)n 1 un
发散，根来源因在于
{ un }
n 1
没有单一性。
n 1
例 2
设
an
收敛，问
n 1
n 1
an2
能否收敛？
例 3
若
an
为正项收敛级数，问
n 1
an2
能否收敛？
n 1
设例 4
{ an }
n 1
单一减少且 an
0
，若交织级数(
n 1
1)
n 1 an
发散，判断级数
(
n 1
1
an
n)
1
的敛
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
散性。
（四）一般常数项级数的条件收敛与绝对收敛
1．定义—若
收敛。
2．绝对收敛与条件收敛的关系
定理 若
n 1
un
收敛，而
n 1
| un |
发散，称
n 1 n 1
un
条件收敛；若
n 1
|un |收敛，称
un
绝对
n 1
un
绝对收敛，则
n 1
un
必定收敛。
二、幂级数
（一）基本观点
1．幂级数—
n 0
an xn
或
n 0
an ( x
x0 )n
称为幂级数。
2．收敛半径—对幂级数
an x
n
，若存在 R 0，当 | x | R
时，
n 0
an x
n
绝对收敛； 当 | x |
R
n 0
时，级数发散，称
R
为级数
n 0
an x
n
的收敛半径。
（二）收敛半径的求法及收敛域
1．收敛半径的求法
（ 1）方法一：对
n，设 lim |
n
an x
n 0
a1
|，则
R
1
（注意
n
an
0
时 R
；
时
R 0
）
（ 2）方法二：对
an x
，设 lim | an
|
n
n
n 0
n
，则 R
1
（讲解同上）
2．求收敛域的例子
（ 1）求
n 1
x
n
的收敛域。
n
（ 2）求
n 1
x
n
的收敛域。
n(n
1)
[讲解 ]（ 1）对
2 n 1，若 lim |
n
an x
n 1
a1
|
n
an
，则 R
1
。相同，若幂级数相邻两项次数跨
度为 3，则取倒数的同时要开
（ 2）若
3 次方。
an x
n
在 x x0
处条件收敛，则
n 0
R
| x0 |
。
（三）函数睁开成幂级数
1．方法一：公式法（直接法）
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
f ( x)
f (x0 )
( x
x0 )
，级数
( n)nf( n)(x) 0
(xx0 )
称为函数
nf (x)
的泰勒级数，当
n 0
n!
n 0
n!
x0 0
时， f ( x)
f
(n ) (0)
xn
称为函数
f ( x)
的马克劳林级数。
n 0
n!
记着：
（ 1）
ex
xn
(
x
)
；
n 0
n!
（ 2）
sin x
x2 n 1
(
x
)
；
n 0
(2n
1)!
（ 3）
cosx
x2 n
(
x
)
；
n 0
(2n)!
（ 4）
1
xn ( 1
x
1)
；
1
x
n 0
（ 5）
1
( 1)n xn ( 1
x
1)
；
1
x
n 0
（ 6）
ln(1
x)
x
x
2
x3
(
1)
n 1
xn ( 1
x 1)
；
2
3
n 1
n
（ 7）
ln(1
x)
x
x2
x3
x
n
(
1
x
1)
。
2
3
n 1
n
2．方法二：间接法
定理 1
设
an x
n
的收敛半径为
R
，则当 x
(
R,R)
时， (
an xn )
(an x
n )
n 0
n 0 n 0
nan x
n
1
，且两个级数的收敛半径相同。
n 1
x
定理 2
设
an xn
的收敛半径为
R
，则当 x
(
R, R)
时，
(
an xn )dx
an
xn 1
，且
n 0
0
n 0
n 0
n
1
收敛半径相同。
（四）幂级数的和函数及特别常数项级数的乞降
要点题型解说
（一）常数项级数问题
1．鉴别以下级数的敛散性：
（ 1）
arctan
1
2
；（ 2）( n 2 2 n 1n)
。
n 1
n
n 1
n 1
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
解答：（ 1）由
arctan
n
n
2
arctan
1
n
1
1
(n
1)
n
n(n
1)
arctan(n 1) arctan n
，得
Sn
k
[arctan( k
1
1)
arctan k ]
arctan(n 1)
4
，
由于
lim Sn
n
，因此原级数收敛。
4
n
（ 2）
Sn
( k
k 1
2 2 k
1
k ) ( n 2
n 1) ( 2 1)
，
由于 lim Sn
n
1
2
，因此原级数收敛。
2．鉴别以下级数的敛散性：
（ 1）
22n
n
； （
2）
n2n 1 2 n
n 1
n
n3
n 1
；
（ 3）
sin na
；
（ 4）
nn 1 2
(n 1)
n
n 1
n 1
1
。
n 4
1 x4
dx
0
3．判断级数
sin x
dx
的敛散性。
( n
n
x
解答：设
un
1)
sin x
dx
，当 n
为偶数时， un
0
；当 n
为奇数时， un
0
，进而级数
( n 1)
n
x
sin x
dx
为交织级数，
dx
x
| sin x |
dx
x
( n 1)n
n 1
x
(n 1)
n
0 | un |
2( (n 1)
n ) 0(n
)
，
又 | un |
( n 1)
n
| sin x |
x
x t
| sin t |
dx
(n 2)
(n 1)
dt
| un 1 |，
因此收敛。
4．鉴别以下级数是绝对收敛仍是条件收敛？
1
( 1)n (n
n
1)
n 1
1
1
1
1
解答：（ 1）
|un |( n
n
n 1
1)
，由于
lim ( n
n
1)/
1
lim (x
x
x
1)/1
，因此
(n
n
1)
。
n 1
n
n
ln x
2
x
n 1
1
令 f ( x) xx
1
，由于
f
1
( x) x
x
1
x
0(x
3)
，因此单一减少，又
lim (n
n
n1
1) 0，故
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
1
(
1)n (n
n
1)
条件收敛。
n 1
2
5．设
0
an
1 ,在
n 1
an ,
n 1
(
1) an ,
n 1
nan ,
( 1) an
n中哪个一个收敛？
n
n 1
6．设
an ,
cn
都收敛，且有
an
bn
cn
，证明：
n
bn
收敛。
1 n 1
n 1
7．设偶函数
f ( x)的二阶导数
f
n 1
(x)在 x
0的某邻域内连续
，且
f (0)
1, f (0) 2
，证明：
[ f (
1
)
1]
绝对收敛。
n
8．设
an 1
n 1
b( n
1,2,
, an
0,bn
0)
，证明：
an
bn
（ 1）若
bn
收敛，则
n 1
an
收敛； （
2）若
n 1
an
发散，则
bn
发散。
n 1 n 1
（二）幂级数问题
1．求以下幂级数的收敛区间：
n
( 1)
n
1 x
n
n
1
2．求幂级数
[ 3
( 1)
n ]
n
xn
的收敛区间。
n
n 1
解答：
[ 3
nn1) ]
xn
(
2 n 1 2
(n 1
x 2 n 1
42n
x2n )
n 1
22 n 1
x 2 n 1
2n 1
n 1
42 n
x2 n
，
2n
n 1
n
2n 1
2n
对
n
1
22 n
1
x2 n 1
，收敛区间为
(
112
2
,)；
2n
1
对
n 1
42 n
x2n
2n
，收敛区间为
(
1, )
，故原级数的收敛区间为
(
,)。
4
4
4
4
111
3．求以下幂级数的收敛区间与和函数：
（ 1）
n
n 0
n!
1
xn
；
（2）
n 1
x n 1
n( n 1)
，并求
1
n
；
n 1
n( n 1)2
（3）
( n
1)2
xn
。
n 1
n 1
4．求以下幂级数的收敛区间与和函数：
（ 1）
n
2
1
n
x
；
n 0
2n n!
（ 2）
(2n
1) xn
，并求
n 0
2n 1
；
（ 4）
n( x
1)
n
。
nn 0
2
n 1
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
5．将
f ( x)
arctan
4x2
睁开成
x
的幂级数。
4
x2
7．将以下函数睁开成
x 1 的幂级数：
（ 1）
f ( x)
； （ 3）
f ( x)
1
； （ 2）
f ( x)
x
x
2
x2
5x 6
( 1)
n
n 0
x2 n 1
。
42 n ( 2n 1)!
时级数
8．设
a1
a2
1，且知足 an 1
an
an 1( n
2,3,
)
，证明：当
| x |
1
an xn 1
收敛
n 1
2
并求其和函数。
解答：由于 a1
a2 1， an 1
an
an 1 (n
2,3,
)
，因此 an
0, an 1
an (n
1,2,
)
，
当 | x |
1
2
an 1x
n
an
时， |
an x
n 1
|
a
ann 1
an 1 xn
1
| x |
2 | x |
1，则 lim |
an x
n 1
| 2 | x |
1
，故当
| x |
时，
n
2
级数
an xn
1
收敛。
n 1
令 S(
x)
n 1
an xn 1
，则
S( x) a1
a2 x
n 3
an xn 1
1 x
n 3
(an 2
an 1)xn 1
1
x
n 3
an 2 xn 1
n 3
an
1x
n 1
1
xS( x)
x2 S( x)
，则 S( x)
。1
1
2
x
x
9．求以下常数项级数的和：
（ 1）
n 1
n 1
n!
；
（ 2）
n 1
(
1)n
(n2
n
1)
2n
。
（三）傅里叶级数问题
| x |,0
| x |
0,
1．将函数
f ( x)
2
| x |
睁开成傅里叶级数。
2
解答：明显
f ( x)
在 [
,
]
上知足收敛定理条件，将函数进行周期延拓，
由于 f (x)
为偶函数，因此
bn
0(n
1,2,
)
，
a0
2
0
f ( x)dx
，
4
an
2
f ( x)cosnxdx
0
2
(sin
，
n
2
12
cos
n
2
n
1n
2 )
（ n 1,2,
），
当 x
2
时，级数收敛于
4
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
故 f ( x)
2
8
n 1
(sin
n
2
1
cos
n2
2
n1
)cosnx
（ | x |
2
n
，且 x
）。
2
1
。
n 1
2．将函数
f ( x)
2
| x | (| x | 1)
睁开成以
2 为周期的傅里叶级数并求
n2
解答： f (x)
在 [
1
1,1]
上知足收敛定理的条件，且
f (x)
为偶函数，则
a0
2
f (x)dx
5
，
0
1
0
2[(
1)
n
1]
an
2
(2
x) cosn xdx
2 2
（ n
1,2,
），
n
bn
0
（
n
1,2,
2
| x |
5
2
），则
4
2 n 0
cos(2n
1)
（ | x |
1
），
(2n
1)2
x
2
取 x 0
，则
1
1)
2
2
，
1
。
n 0 (2n
8
2n 1 n
6
3．将函数
f ( x)
x
1(0
x
2)
睁开成以
4 为周期的余弦级数。
解答：将 f
( x)
进行偶延拓和周期延拓，则
a0
2
0
( x
1)dx
0
，
an
2
0
( x
1) cos
n x
2
dx
4
2
2 [(
1)
n
1]
，
n
bn
则
0
，
f ( x)
8
2
n
1
(2n
1)
x
0 ( 2n 1)
2 cos
2
（
0 x 2
）。
第六讲
注：欧拉方程及解法
1．定义：
xn
y(n)
微分方程
内容复习（略）
a1xn 1
y(n 1)
an 1 xy
an y
f (x)
称为欧拉方程。
， 则 xy
2 ． 解 法 ： 令
x et
dy
dt
Dy , x2 y
d
2 y dy
dt
2
dt
D ( D 1) y,，
xn
y( n )
D(D 1)
(D n 1) y
，代入原方程即为高阶常系数线性微分方程。
要点题型解说
1．求以下微分方程的通解：
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
（ 1）
xdy
( x
2 y) dx
0
；
（ 3）
( y2
22(2 xy y )dy y dx
0
；
（ 2）
6x) y 2 y
。0
；
（ 4）
y( xy 1)dx xdy
0
（ 5）
dydx
1
2
( x
y)
2．求以下微分方程的通解：
（ 1）
( x 1)
y
解答：（ 2）由
y
ny (1
x)
n 1 ex sin x
；（
2）
y
sin y
x cos y
x 0
；
sin y
x cos y x 0
得 sec2
12
y
y
2
tan
y
x
，则
tan
y
2
(1
x) Ce
x
。
2
3．求微分方程
y
2xy
2
0
知足初始条件
y(0)
1, y (0)
1
的特解。
2
0
，解得
解答：令 y
p
，则 y
p
，则原方程化为
dp
dx
2 xp2
1
p由于 y (0)
x C1
。2
1
，因此 C1
2
，即
y
2
1
得 C2
1
，所求解为 y
1
x2
，进而 y
2
1
ln |
2
2
x
x2
|
C2
，
2
再由 y(0)
1
ln |
2 2
x
x2
|
1
。
2
4．求微分方程
yy
解答：由 yy
y
2
2
y
的通解。
y
y
得
d( yy )
dy
，解得
dyy C1
，故原方程的通解为
dx
y
y
C1 ln( y C1 )
x
C2
。
5．求微分方程
y
3x2
1 x
3
y
知足初始条件 y(0)
0, y (0)
1, y (0)
4
的特解。
解答：令 y
p
，则有
dp
p
3x2
3 dx
，解得 p
C1(1
x3 )
，
1 x
4
，即 y
4(1
x3 )
，积分得 y
4x
由于 y (0)
4
，因此
C1
4x
x4
C2
，
2x2
由于 y (0)
1，因此
C2
1，进而
y
x4
1，再积分得
y
x5
5
x C3
，
由 y(0) 0
得
C3
0
，所求解为
y
2x2
x5
5
x
。
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
6．设二阶常系数线性微分方程
该方程的通解。
解答：由于 y e2 x
y
ay by
cex
有一个特解 y e2 x
(1
x)ex
，求
a,b, c
及
(1 x)ex
为方程的一个特解，因此 y1 ex , y2
y0
xex
，于是原方程的特色方程为
1
，即原方程为
y
x
e2x
为对应的齐次方程的
2
两个解，且原方程有一特解
3
2
0
，进而
a3,b 2
，把
y0
1xex
代入原方程得
c
2 x2x3 y
2 y
ex
，通解为
y
Ce
Ce
xe
。7．求拥有特解
8．求微分方程
9．求微分方程
xxxy e , y 2 xe , y
3e
的三阶常系数齐次线性微分方程。
23
1y
y
2 y
3y
y
3y
e
3x
的通解。
2 y
xex
的通解。
x
cos x
的通解。
10．求微分方程
y
11．求微分方程
tx2 y
3xy
3y
2x3
的通解。
解答：令 x e
，原方程化为
d y
2 dy
3 y
dt
2
dt
方程的通解为
y
e3t
，解得 y
C1e
3t
C
2e
t1 e3t
，进而原
C1 x
3
C
2 x
112
x3
。
12
12．在平
xoy 面的第一卦限内求一曲线，使由其上任一点
三角形面积为常数 k
，且曲线经过点
解答：设所求曲线为
P
处的切线、轴及线段
OP
所围成的
(1,1)
。
y
f (x)
，该曲线在 P( x, y)
点处的切线为 Y
y
y ( X
x)
，该切线与
x
轴交点为
( x
yy
,0)
，则有
1
(x
y ) y k
或
dx 1dy
x
2k
，
y
2
2
x Cy
y
y
解得
k
y
，由于曲线经过点
(1,1)
，因此所求曲线为
xy
(1
k ) y2
k
。
13．在上半平面内求一条上凹的曲线，
其上随意一点 P( x, y)
处的曲率等于此曲线在该点法线段
PQ
长的倒数（ Q
为法线与
x
轴的交点），且曲线在点
解答：曲线 y
(1,1)
处的切线与
x
轴平行。
1
(
f ( x)
在 P( x, y)
处的切线方程为
Y
y
)
y
X x
， Q
坐标为 ( x yy ,0)
，
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
于是
| PQ | y 1
y
2
，由题意得
yy
u
1
y
2
，
u
2 du
1
u
令 y
u
，则 y
du
，代入原方程得
dyy
，解得 1
u2
Cy2
，
dy
0
，因此 C 1，动而
dy
由于 u(1)
ex 1
dx
，解得
y
e1
x
2
。
y
2
1
14．过点
(0,2)
求一条曲线，使曲线上随意一点
离等于该切线在
M ( x, y)
的切线 MT
与
x
轴的交点 T
到 M
的距
x
轴上截距的绝对值
| OT |。
解答： 过 M作 x轴的垂线交 x轴于点 P
，
|PT |
y
tan
yy
,| MT |
y2ydx
2
y 1 (
y
2
dx
dx)
2
，
dy
2
dx
dy
2xy| OT | | PO | | PT | x y
dy
，则
y 1
(
dy )
x y dy
dx
x2
y
或2
，解得
x2 y2
2 y。
15．设物体
A 从点
(0,1) 出发，以速度大小为
v
常数沿
y
轴正向运动， 物体
B
从点
( 1,0)
与
A
同
时出发，其速度为
2v
，方向一直指向 A
，成立物体
B
运动轨迹所知足的微分方程及初始条件。
解答：设 t
时辰物体
B
位于
( x, y)
，则有
dy
dx
1
vt
，整理得 x
y
1
vt
，两边对
x
求导数得
x
dx
ydy
2 d
x y
v dt
0
。
dx2
由于 2v
dx
ds
dt
x
1
( dy
)2
dx
，因此 dt
dx
dt
dx
1 (
1
2v
2( )
，代入原方程得
1
dx
dy
d
2 y
1
dx2
2
dy
dx
)
2
0
，初始条件为
y(
1)
0, y ( 1) 1
。
16．一半球体的雪堆，其体积消融的速度与半、球表面积
在消融过程中雪堆一直保持半球形状，
问雪堆所有消融需要多少小时？
S
成正比率，比率系数为
k 0
，设
7
，
8
设半径为 r0
的雪堆在开始消融
3
小时内消融其体积的
解答：在 t
时辰雪堆体积为
V (t )
2
r
3
，侧面积为 S(t )
2
r
2
，
3
依据题意得
dV
dt
kS
，即 2
r
2
dr
dt
k2
r
2
，解得 r
kt
C
，由于
r ( 0)
r0
，因此 C
r0
，
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
即 r r0 kt
。
由于 V (3)
18
V (0)
，因此 k
1 r0
，进而 r
6
r0
1 r0t
，令 r
6
0
，得 t 6
，即雪堆所有消融
需要 6 小时。
17．某湖泊水量为
V ，每年排入湖泊内含污染物
流出湖泊的水量为
V
A
的污水量为
，流入湖泊内不含的水量为
6
VV
，
6
。设 1999 年湖泊中污染物
A
的含量为
5m0
严重超出国家标准，为治理污
3
染，从 2000 年起，限制排入湖中含
A
污水浓度不超出
m0V
，问需要多少年时间，湖泊中
A
的含
量降到 m0
内？
解答：设从 2000 年处起第
t 年湖中污染物
A
的含量为 m(t)
，浓度为
m
，在 [ t, t
dt ]
内，排入
湖泊中污染物
A
为
mV0
dt
m0
V
6
则 dm (
m0m6
dt
，流出湖泊的污染物
A
含量为 dt
dt
，
6
V 3
3
t
m VV
m
m(0) 5m0
，得
C
) dt
，解得 m
m0
Ce
3
，由
3
2
9
m0
，进而
2
m
m
0
(1
t
9e
3 )
，令
m m0
得 t
6 ln 3
，即最多经过
6 ln 3
年湖中 A
的含量在
m0
以下。
t
2
18．求可微函数
x(t) 知足
x(t ) cos2t
解答： x (t )
x(t) sin tdt
。
0
2 sin 2t x(t )sin t
，解得
x(t ) 4(cost
1) C1e
cos t
，
由 x(0) 1
得
C1
1，进而所求函数为
x(t)
4(cost 1)
y)
e cost
。
，又 f (0)
19．设
f (x) 可微，且对随意的
x, y 有
f ( x
f (x) f ( y)
1 f (x) f ( y)
2
，求 f ( x)
。
解答：
令 y
0, 得f (0)[1 f
2 ( x)]
0
，则 f ( 0)
0
。
( x)
lim
由于 f
f ( x
h 0
h)
h
f ( x)
lim f (h)
h 0
h
1
f
2 ( x)
1 f ( x) f (h)
2[1
f
2 (x)]
，
因此
df
1
f
2
2dx
，解得 f ( x)
tan(2x
C )
，由 f (0) 0
得 f ( x)
tan 2x
。
20 ． 设
u
f (v), v
ln r ,r
x2
y2
z2
满 足
2u 2u 2
u
1
， 且 u(0)
1
，
x2
y2
z2
r
3
u (0)
解答：
0
，求 f (v)
。
考研数学加强班高等数学讲义汤家凤
2
u 2u 2u
f (v)
r
2
f ( v)
1
(v)
r
v
x2
y2
z2
，则 f (v) f
e
，解得
f (v)
2
(1
v)e
v
。
21．设
f (x) 是以
2
为周期的二阶可微函数，且
f (x)
f
(x
C1ex
)
sin x
，求 f (x)
。
f ( x)
f
(x
f ( x
)
sin x
cosx
解答：由
，得 f ( x)
C2 e
x
12
(sin x cos x)
，
)
f
( x)
由于函数 f ( x)
以 2
为周期，因此 f ( x)
1 (sin x cos x)
。
2
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