2023年12月3日发(作者：毕业班数学试卷分析报告)
2007年广东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（2007•广东）已知函数 的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=（ ）
A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＜1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．
2．（2007•广东）若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（ ）
A．2 B． C． D．﹣2
3．（2007•广东）若函数 ，则f（x）是（ ）
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为y=x的奇函数 C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为π的偶函数
4．（2007•广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间C之间关系的图象中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2007•广东）已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．（2007•广东）图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）
A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜9
7．（2007•广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
8．（2007•广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（ ）
A．（a*b）*a=a B．[a*（b*a）]*（a*b）=a C．b*（b*b）=b D．（a*b）*[b*（a*b）]=b
二、填空题（共7小题，每小题5分，13-15题为选做题，选做其中2道题，满分30分）
9．（2007•广东）甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为 _________ ．（答案用分数表示）
10．（2007•广东）若向量a，b满足| |=| |=1， 的夹角为60°，则 = _________ ．
11．（2007•广东）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是 _________ ．
12．（2007•广东）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 _________ 条，这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）= _________ ；f（n）= _________ ．（答案用数字或n的解析式表示）
13．（2007•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （参数t∈R），圆C的参数方程为 ，（参数θ∈[0，2π]），则圆C的圆心坐标为 _________ ，圆心到直线l的距离为 _________ ．
14．（2007•广东）设函数f（x）=|2x﹣1|+x+3，则f（﹣2）= _________ ；若f（x）≤5，则x的取值范围是 _________ ．
15．（2007•广东）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，垂足为A，以腰BC为直径的半圆O切AD于点E，连接BE，若BC=6，∠EBC=30°，则梯形ABCD的面积为 _________ ．
三、解答题（共6小题，满分80分）
16．（2007•广东）已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（C，0）
（1）若c=5，求sin∠A的值；
（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．
17．（2007•广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 ；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）
18．（2007•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2 的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆 =1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2007•广东）如图所示，等腰△ABC的底边 ，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，记BE=x，V（x）表示四棱锥P﹣ACFE的体积．
（1）求V（x）的表达式；
（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？
（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．
20．（2007•广东）已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，求a的取值范围．
21．（2007•广东）已知函数f（x）=x2+x﹣1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a1=1， （n=1，2，…）．
（1）求α，β的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有an＞α；
（3）记 （n=1，2，…），求数列{bn}的前n项和Sn．
2007年广东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（2007•广东）已知函数 的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=（ ）
A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＜1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．∅
考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法。
分析：根据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域M和N，再求它们的交集即可．
解答：解：∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，
∴由1﹣x＞0求得函数的定义域M={x|x＜1}，
和由1+x＞0 得，N=[x|x＞﹣1}，
∴它们的交集M∩N={x|﹣1＜x＜1}．
故选C．
点评：本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．
2．（2007•广东）若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（ ）
A．2 B． C． D．﹣2
考点：复数的代数表示法及其几何意义。
分析：本题主要考查复数的乘法运算以及纯虚数的概念等基础知识，属容易档次．
解答：解：（1+bi）（2+i）=（2﹣b）+（1+2b）i，
则 ，∴b=2
选A．
点评：高考中有关复数的考点主要是复数的有关概念及复数的运算，本题一石二鸟，涉及到所需考查的两方面，加大了对考试内容的覆盖力度． 3．（2007•广东）若函数 ，则f（x）是（ ）
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为y=x的奇函数 C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为π的偶函数
考点：二倍角的余弦；余弦函数的奇偶性。
分析：本题主要考查三角函数的最小正周期和奇偶性，也涉及到对简单三角变换能力的考查．见到三角函数平方形式，要用二倍角公式降幂，变为可以研究三角函数性质的形式y=Asin（ωx+φ）的形式．
解答：解：∵f（x）= ，
∴y=f（x）最小周期为π的偶函数，
故选D
点评：研究三角函数的性质，一般需要先利用“降次”、“化一”等技巧进行三角变换．本题解答过程中，先活用倍角公式进行降次，然后化为一个三角函数进行研究，涉及到对三角函数的周期性、奇偶性的考查．考查知识与能力的综合性较强，需要我们具有扎实的基础知识，具备一定的代数变形能力
4．（2007•广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间C之间关系的图象中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点：函数的图象与图象变化。
专题：数形结合。
分析：本题的常规方法建立实际问题中的分段函数模型，然后研究分段函数的图象．其实，客观题往往有打破常规的捷径，如此题抓住三个点，即（1，60），（1.5，60），（2.5，140），则很容易地得到答案C，体现了描点法的精细思考．
解答：解：由题意得；
，
抓住三个点，即（1，60），（1.5，60），（2.5，140），
对照选项选C．
故选C．
点评：本题主要考查分段函数的图象及应用，是一道简单的应用问题．该题以路程与时间的关系为背景，侧重考查数形结合思想以及解决实际问题的能力．
5．（2007•广东）已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
考点：数列递推式。
专题：计算题。
分析：先利用公式an= 求出an，再由第k项满足5＜ak＜8，求出k．
解答：解：an=
=
∵n=1时适合an=2n﹣10，∴an=2n﹣10．
∵5＜ak＜8，∴5＜2k﹣10＜8，
∴ ＜k＜9，又∵k∈N+，∴k=8，
故选B． 点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式an= 的合理运用．
6．（2007•广东）图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）
A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜9
考点：设计程序框图解决实际问题。
专题：操作型。
分析：由题目要求可知：该程序的作用是统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm））的学生人数，由图1可知应该从第四组数据累加到第七组数据，故i值应小于8．
解答：解：现要统计的是身高在160﹣180cm之间的学生的人数，即是要计算A4、A5、A6、A7的和，
当i＜8时就会返回进行叠加运算，
当i≥8将数据直接输出，
不再进行任何的返回叠加运算，故i＜8．
故答案为：i＜8．
点评：把统计与框图两部分内容进行交汇考查，体现了考题设计上的新颖，突出了新课标高考中对创新能力的考查要求．我们知道，算法表现形式有自然语言、程序框图、算法语句等三种．由于各版本的课标教材所采用的编程语言不同，因而考查算法语句的可能性很少，又由于程序框图这一流程图形式与生产生活等实际问题联系密切，既直观、易懂，又需要一定的逻辑思维及推理能力，所以算法考查热点应是以客观题的形式考查程序框图这一内容．
7．（2007•广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
考点：进行简单的合情推理。
专题：探究型。
分析：本题主要考查解决实际问题的能力，研究生活中的最优化模型，体现了对创新思维能力的考查．根据已知，现在要将A，B两个维修点的零件调往C、D两个维修点，由于A、D两个维修点相邻，且D维修点的零件缺口最大，故要首先考虑从A点调零件到D点．
解答：解：D处的零件要从A、C或B处移来调整，且次数最少．
方案一：从A处调10个零件到D处，从B处调5个零件到C处，从C外调1个零件到D处，共调动16件次；
方案二：从B处调1个零件到A处，从A处调11个零件到D处，从B外调4个零件到C处，共调动16件次．
故选B．
点评：对生活中最优化模型的研究，体现了数学与生活的密切联系．本题以与工农业生产息息相关的资源调配为背景，但并没有涉及到高中内容的函数、导数、线性规划等常见最优化模型，而只是涉及到简单的数字加减，背景确实新颖，解题途径简单，但需要一定的推理分析能力，可进一步树立数学应用意识，激发学好数学知识的欲望
8．（2007•广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（ ）
A．（a*b）*a=a B．[a*（b*a）]*（a*b）=a C．b*（b*b）=b D．（a*b）*[b*（a*b）]=b
考点：进行简单的合情推理。
专题：新定义。
分析：本题主要考查应用新定义解决数学问题的能力，体现了对创新思维能力的考查力度．根据已知中a*（b*a）=b，对四个答案的结论逐一进行论证，不难得到正确的结论．
解答：解：根据条件“对任意的a，b∈S，有a*（b*a）=b”，则：
选项B中，[a*（b*a）]*（a*b）]=b*（a*b）=a，一定成立．
选项C中，b*（b*b）=b，一定成立．
选项D中，（a*b）*[b*（a*b）]=b，一定成立．
故选A．
点评：创新是民族发展的灵魂，近几年高考对创新能力的考查，已经成为命题的热点，并有逐年加大比例的趋势．而应用新定义解决问题，是常见的考查题型，相当于在生产中给了一种生产工具和使用说明，我们能不能用好此工具，这一能力固然重要．
二、填空题（共7小题，每小题5分，13-15题为选做题，选做其中2道题，满分30分）
9．（2007•广东）甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为 ．（答案用分数表示）
考点：等可能事件的概率。
分析：本题是一个古典概型，从甲、乙两袋中各随机取出一个球取出的两球是红球表示从甲袋中取得一个红球且从乙袋中取得一个红球，试验发生的总事件数是C61C61，满足条件的事件数是C41C51+C21C11，由古典概型公式得到结果．
解答：解：由题意知本题是一个古典概型，
记“从甲、乙两袋中各随机取出一个球取出的两球是红球”，为事件A
试验发生的总事件数是C61C61=36，
满足条件的事件数是C41C11=4，
由古典概型公式得到P（A）= = ，
故答案为： ．
点评：本题考查的是一个古典概型，解决古典概型问题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
10．（2007•广东）若向量a，b满足| |=| |=1， 的夹角为60°，则 = ．
考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角。
专题：计算题。
分析：利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积，利用向量的模的平方等于向量的平方，将求出的值代入代数式即得．
解答：解：∵ ， ∴ =1+ = ．
故答案为
点评：本题考查向量的数量积公式、向量模的平方等于向量的平方．
11．（2007•广东）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是 x=﹣ ．
考点：抛物线的简单性质。
专题：计算题。
分析：先求出线段OA的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到准线方程．
解答：解：依题意我们容易求得直线的方程为4x+2y﹣5=0，
把焦点坐标（ ，0）代入可求得焦参数p= ，
从而得到准线方程x=﹣ ．
故答案为：x=﹣ ．
点评：本题主要考查抛物线的基本性质．基本性质的熟练掌握是解答正确的关键．
12．（2007•广东）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条，这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）= 12 ；f（n）= ．（答案用数字或n的解析式表示）
考点：进行简单的合情推理。
专题：规律型。
分析：本题主要考查合情推理，以及经历试值、猜想、验证的推理能力．凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，过顶点与底边上每个顶点都可确定一条侧棱所在的直线，过底面上任一点与底面上其它点均可确定一条直线（边或对角线），综合起来不难得到第一空的答案，因为底面上所有的直线均共面，故每条侧棱与不过该顶点的其它直线都是异面直线．
解答：解：凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，
所以可以分为两类：侧棱共有n条，
底面上的直线（包括底面的边和对角线） 条
两类合起来共有 条．
在这些直线中，每条侧棱与底面上不过此侧棱的端点直线异面，
所以f（4）=12，f（n）= ．
故答案为： ，12， ．
点评：一题多空是高考数学卷中填空题的一种新形式，结合合情推理出现一题多空，较好地再现了推理的过程．三空的问题环环相扣，难易程度十分合理，前两空简单易求，第三空难度有所增加，需要学生具备较高层次的数学思维能力．本题以组合计算为工具，考查了类比与归纳、探索与研究的创新能力．
13．（2007•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （参数t∈R），圆C的参数方程为 ，（参数θ∈[0，2π]），则圆C的圆心坐标为 （0，2） ，圆心到直线l的距离为 ．
考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程。
专题：计算题。
分析：先利用两式相加消去t将直线的参数方程化成普通方程，然后利用sin2θ+cos2θ=1将圆的参数方程化成圆的普通方程，求出圆心和半径，最后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即可．
解答：解：直线l的参数方程为 （参数t∈R），
∴直线的普通方程为x+y﹣6=0
圆C的参数方程为 （参数θ∈[0，2π]），
∴圆C的普通方程为x2+（y﹣2）2=4
∴圆C的圆心为（0，2），d=
故答案为：（0，2），
点评：本小题主要考查圆的参数方程及直线与圆的位置关系的判断，以及转化与化归的思想方法．本题出现最多的问题应该是计算上的问题，平时要强化基本功的练习，属于基础题．
14．（2007•广东）设函数f（x）=|2x﹣1|+x+3，则f（﹣2）= 6 ；若f（x）≤5，则x的取值范围是 [﹣1，1] ．
考点：绝对值不等式的解法；函数的值。
专题：计算题；综合题；转化思想。
分析：直接代入﹣2求出函数值f（﹣2），f（x）≤5，去掉绝对值符号，对x分类讨论，即x≥ ，和x 分别解不等式组即可．
解答：解：f（﹣1）=|2•（﹣2）﹣1|+（﹣2）+3=6，
将f（x）=|2x﹣1|+x+3≤5变形为
或 ，
解得 或 ，即﹣1≤x≤1．
所以，x的取值范围是[﹣1，1]．
故答案为：6；[﹣1，1]．
点评：主要考查绝对值不等式的解法，以及去绝对值、解不等式组等所需要的代数变形能力．只要理解绝对值的含义 ，就可结合分类讨论思想，将不等式进行等价转化，轻松完成此题的解答．《不等式选讲》这一专题，以基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式作为命题的热点，离不开必修部分《不等式》章节的扎实基础．
15．（2007•广东）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，垂足为A，以腰BC为直径的半圆O切AD于点E，连接BE，若BC=6，∠EBC=30°，则梯形ABCD的面积为 9 ．
考点：圆的切线的性质定理的证明。
专题：计算题。
分析：连接EC，EO．根据梯形的面积等于梯形的中位线长乘以高，显然中位线即是半圆的半径，即为3．故只需求得该梯形的高．根据梯形的中位线，只需求得DE的长，首先根据30度的直角三角形BCE求得CE的长，再根据弦切角定理求得∠CED=30°，进一步根据锐角三角函数求得DE的长，再根据梯形的面积公式进行计算．
解答：解：如图连接EC，
∵BC为半圆O的直径，
∴BE⊥EC（1分）
∵∠EBC=30°，
∴EC= BC= ×6=3
连接OE，∴OE=OB=3∠BEO=30°
∵AD与⊙O相切于点E，∴OE⊥AD ∴∠OEC=60°，∴∠DEC=30°
∴DC= EC= ∴DE= （3分）
∵OE∥DC∥AB，OC=OB，
∴OE是梯形的中位线∴AE=DE= （5分）
∴AD=2DE=3
∵AD⊥AB，
∴DA为梯形ABCD的高
∴S梯形ABCD=OE•AD=3×3 ．（7分）
故答案为：9 ．
点评：综合运用了切线的性质定理、平行线等分线段定理、梯形的中位线定理．能够发现此图中30度的直角三角形，熟练运用特殊角的锐角三角函数值进行计算．
三、解答题（共6小题，满分80分）
16．（2007•广东）已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（C，0）
（1）若c=5，求sin∠A的值；
（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．
考点：向量在几何中的应用。
专题：计算题。
分析：（1）通过向量的数量积求出角A的余弦，利用平方关系求出A角的正弦．
（2）据向量数量积的公式知向量的夹角为钝角等价于数量积小于0，列出不等式解．
解答：解：（1）根据题意，
， ，
若c=5，则 ，
∴ ，∴sin∠A= ；
（2）若∠A为钝角，
则 解得 ，
∴c的取值范围是 ；
点评：本题考查向量数量积在解三角形中的应用及向量的夹角为钝角转化为数量积小于0．
17．（2007•广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 ；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）
考点：散点图；线性回归方程。
专题：应用题。
分析：（1）依据描点一一描点画图即可；
（2）先算出x和y的平均值，有关结果代入公式即可求a和b的值，从而求出线性回归方程； （3）将x=100时代入线性方程得到y的值，就能预测生产100吨甲产品的生产能耗情况．
解答：解：（1）根据题意，作图可得，
（2）由系数公式可知，
，
，
，
所以线性回归方程为y=0.7x+0.35；
（3）x=100时，y=0.7x+0.35=70.35，
所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．
点评：本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．
18．（2007•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2 的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆 =1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程。
分析：（1）中，设出圆的标准方程，由相切和过原点的条件，建立方程求解．
（2）中，要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为圆心，半径为4的圆（x─4）2+y2=8与（1）所求的圆的交点数．
解答：解：（1）设圆心坐标为（m，n）（m＜0，n＞0），
则该圆的方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2=8已知该圆与直线y=x相切，
那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则 =2
即|m﹣n|=4①
又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入得m2+n2=8②
联立方程①和②组成方程组解得
故圆的方程为（x+2）2+（y﹣2）2=8；
（2）|a|=5，∴a2=25，则椭圆的方程为 =1
其焦距c= =4，右焦点为（4，0），那么|OF|=4．
通过联立两圆的方程 ，解得x= ，y= ．
即存在异于原点的点Q（ ， ），
使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长．
点评：本题考查的是圆的位置关系和圆锥曲线的基本概念的理解．对于题中第二小问中，探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长度4，转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆（x─4）2+y2=8与（1）所求的圆的交点数．可使问题简化．
19．（2007•广东）如图所示，等腰△ABC的底边 ，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，记BE=x，V（x）表示四棱锥P﹣ACFE的体积．
（1）求V（x）的表达式；
（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？
（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；函数的最值及其几何意义；异面直线及其所成的角。
专题：计算题；作图题；综合题。
分析：（1）先求底面面积，再求出高，即可求V（x）的表达式；
（2）利用导数，来求V（x）的最大值，
（3）过F作MF∥AC交AD于M，得到异面直线所成的角，然后求异面直线AC与PF所成角的余弦值．
解答：解：（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，
V（x）= （ ）
（2） ，所以x∈（0，6）时，v’（x）＞0，V（x）单调递增；
时v’（x）＜0，V（x）单调递减；
因此x=6时，V（x）取得最大值 ；
（3）过F作MF∥AC交AD与M，
则 ，
PM= ， ，
在△PFM中， ，
∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为 ．
点评：本题考查几何体的体积，导数的应用，异面直线所成的角，考查空间想象能力、逻辑思维能力，是中档题．
20．（2007•广东）已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，求a的取值范围．
考点：函数零点的判定定理。
专题：计算题；分类讨论；转化思想。
分析：y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点转化为（2x2﹣1）a=3﹣2x在[﹣1，1]上有解，把a用x表示出来，转化为求函数 在[﹣1，1]上的值域，再用分离常数法求函数 在[﹣1，1]的值域即可．
解答：解：a=0时，不符合题意，所以a≠0，
又∴f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a=0在[﹣1，1]上有解，⇔（2x2﹣1）a=3﹣2x在[﹣1，1]上有解
在[﹣1，1]上有解，问题转化为求函数 [﹣1，1]上的值域；
设t=3﹣2x，x∈[﹣1，1]，则2x=3﹣t，t∈[1，5]， ，
设 ， 时，g’（t）＜0，此函数g（t）单调递减，
时，g’（t）＞0，此函数g（t）单调递增，
∴y的取值范围是 ，
∴f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a=0在[﹣1，1]上有解⇔ ∈ ⇔a≥1或 ．
故a≥1或a≤﹣ ．
点评：本题是一道中档题，主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，函数与方程的思想得到了很好的体现． 21．（2007•广东）已知函数f（x）=x2+x﹣1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a1=1， （n=1，2，…）．
（1）求α，β的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有an＞α；
（3）记 （n=1，2，…），求数列{bn}的前n项和Sn．
考点：数列与函数的综合；数列的求和；数列递推式。
专题：综合题；规律型。
分析：（1）由f（x）=x2+x﹣1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β）可求得 ；
（2）由f’（x）=2x+1， = ，由基本不等式可知 ，依此有
（3） ， ，数列{bn}是等比数列，由其前n项和公式求解．
解答：解：（1）∵f（x）=x2+x﹣1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），
∴ ；
（2）f’（x）=2x+1，
= ，
∵a1=1，
∴有基本不等式可知 （当且仅当 时取等号），
∴ 同，样 ， （n=1，2），
（3）
而α+β=﹣1，即α+1=﹣β， ，
同理 ，
又
点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，还考查了数列的递推与前n项和公式．
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