2024年3月11日发(作者：南阳2018年数学试卷)

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环聩嚣教离　

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２０１３年第１２期（上旬）　

高中Ａ　Ｐ数学微积分　

房欣宜　朱　虹（陕西省西安市高新第一中学国际课程班）　

ＡＰ课程是美国大学课程中可提前放在高中学习　

的课程．ＡＰ是Ａｄｖａｎｃｅｄ　Ｐｌａｃｅｍｅｎｔ的缩写，中文一　

成绩．我国中学生学习全英文教学的ＡＰ课程，有助　

于提前适应英语教学环境，为在美国读书打下坚实的　

基础．　

般翻译为美国大学先修课程，由美国大学理事会　

（Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｂｏａｒｄ）组织和指导．ＡＰ课程经过５０年的发　

展，现覆盖２２个门类，共３７个学科．　

本文以由美国的Ｒｏｓｓ　Ｉ　．Ｆｉｎｎｅｙ，Ｆｒａｎｋｌｉｎ　Ｄ．　

Ｄｅｍａｎａ，Ｂｅｒｔ　Ｋ．Ｗａｉｔｓ，Ｄａｎｉｅｌ　Ｋｅｎｎｅｄｙ四人编写，　

由美国权威出版社Ｐｅａｒｓｏｎ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ出版的Ｃａｌｃｕ—　

ＡＰ课程已在美国１５　０００多所高中普遍开设，具　

有ＡＰ考试成绩的学生在申请美国名校时受到青睐，　

同时可以得到美国众多大学的学分认可和高额奖学　

ｌｕｓ教材为蓝本，对美国中学数学教材加以介绍．这本　

Ｃａｌｃｕｌｕｓ教材为中学生进行深层数学学习提供了一　

金．学校提供这样一个让学生提前接触大学课程的机　

会，可以使一些优秀的学生通过教师的帮助获得学科　

知识和技能．据权威统计，像哈佛大学、耶鲁大学、普　

林斯顿大学等名校申请者人均提交４～５科ＡＰ课程　

套学习范本，直到今天，在教材版本越来越多的情况　

下，这本教材中广阔的知识内容和多样化的栏目设置　

仍然是一个亮点，同时也是很多美国中学教师和学生　

最喜爱的教材之一．　

ｌ　教材内容　

表１：教材内容　

…

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　。

　

（１）增量：直线斜率，平行线和垂直线，直线方程及其应用；（２）函数和图象：函数，定义域和值域，查看和解释图象，　

．　

…、

函数的奇偶性，分段函数，绝对值函数，复合函数；（３）指数函数：指数增长，指数减少及其应用，ｅ；（４）参数方程：圆，　

弧度制，三角函数的图象、周期性，三角函数的奇偶性，三角函数图象转换，反三角函数．　

知识　椭圆，直线和其他曲线．（　’函数和对数：一对一函数，反函数，求反函数，对数函数，对数性质及应用Ｉ（。）三角函数：　

。。　

～　

（１）变化率和极限：平均速度和瞬时速度，极限的定义，极限的性质，单边极限和双边极限，逼近定理；（２）无穷极限：　

当　一±　时的极限值・逼近定理复习’当Ｔ一“时极限值趋于无穷，理解　一±∞时的极限值；‘。　连续性：在某一　

点的连续性，连续函数，代数组合，复合函数，连续函数的中值定理；（４）变化率和切线：平均变化率，曲线切线，曲线　

的斜率．曲线的法线，速率复习．　

限　

…。　

～一。。　

（１）函数导数：导数定义，符号，，和ｌ，　的图象关系，用数据来画函数图象，单边导数；（２）可微性：／　（ａ）不存在的条　

件，可微性意味着局部是线性，用计算器求导，可微与连续的关系，导数的介值定理；（３）微分法则：正整数的幂，倍　

数法则，求和法则，求差法则，乘积的求导法则和商的微分法则，负整数的　幂的微分法则，二阶导数和高阶导数；　

…

’

一　

（４）速度和其他的变化率：瞬时变化率，沿直线运动模型，导数在经济学上的应用；（５）三角函数的导数：正弦函数的　

…，，

　’导数，余弦函数的导数，简谐振动，加速度，其他基本的三角函数的导数；（６）链式法则：复合函数求导法则，由外向　

内原则，重复使用链式法则，参数方程的斜率，幂函数的链式法则；（７）隐函数微分：隐函数的定义，晶状体，隐函数　

的切线和法线，隐函数的高阶导数；（８）反三角函数的导数：反函数的导数，反正弦的导数，反正切的导数，反正割的　

导数，其他反三角函数的导数；（９）指数和对数函数的导数：ｅ　的导数，“　的导数，ｉｎ　的导数，ｌｏｇ　的导数；（１０）　

工作中的微积分．　

…　

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中学数学教学参考　

２０１３年第１２期（上旬　

续表：　

（１）函数的极值：最值，极值，求极值；（２）中值定理：中值定理，中值定理的物理解释，函数的增减性，其他结果；（３）　

第四章　＿厂　、厂与ｌ厂图象之间的关系：一阶导数检验极值方法，函数的凸凹性，拐点，二阶导数检验极值，根据导数学习函数；　

导数应用　（４）建模与最优化：数学例子，商业和工业例子，经济例子；（５）线性逼近和牛顿方法：线性逼近，牛顿方法，微分，用　

微分估计变化；（６）相关变化率：相关变化率方程，求解策略．　

（１）有限和估计：距离，矩形近似法，球的体积；（２）定积分：黎曼和，定积分术语和符号，定积分和面积，常函数，计算　

第五章　

定积分　

器计算定积分，不连续函数定积分求法；（３）定积分和积分：定积分的性质，函数的平均值，定积分中值定理，微分和　

积分的联系

；（４）微积分基本定理：微积分基本定理第一部分，Ｊｉｆ（　）出的图象，微积分基本定理第二部分，积分与　

ｒ　ｒ　

面积的关系，用图形分析原函数；（５）梯形法则：梯形近似，其他算法，误差分析．　

第六章　

（１）斜率场和欧拉方法：微分方程，斜率场，欧拉方法；（２）换元积分：不定积分，莱布尼兹表示法和原函数，不定积分应　

用换元积分，定积分应用换元积分；（３）分部积分：微分中的乘积法则写成积分形式，求解未知积分，表格分部积分法，　

反三角和对数函数的积分；（４）指数增长和衰减：分离变量解决微分方程，复利，放射性，以其他数为底数的增长建模，　

牛顿冷却定律；（５）逻辑史蒂芬增长：人口增长模型，分式分解，逻辑史蒂芬微分方程，逻辑史蒂芬增长模型．　

（１）积分的净变化：再论线性运动，总体战略，随着时间消耗，从数据冲得到的净变化；（２）平面面积：曲线之间面积，　

相交的曲线围成的面积，对Ｙ积分，用几何公式节省时１９；（３）体积：用定积分求体积，正方形截面，圆形截面，圆柱　

微分方　

程和数　

学建模　

．．．，　

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…　

壳，其他横截面；（４）曲线长度：正弦　线，光滑曲线长度，垂直的切线，转角和尖点；（５）在科学和统计上的应用：复　

习工作，流体力学和流体压力，正态分布；（６）工作上的微积分．　

（１）数列：数列定义，等差等比数列，数列的图象，数列极限；（２）洛必达法则：罟型，罢型，。。・。型，。。一。。型，１　型，　

必达法则０一型，。。。型；（３）相对增长率：比较增长率，运用洛必达法则比较增长率，数列与二进制搜索；（４）反常积分：无穷积　

和瑕积分　分，无穷积分的被积函数不连续・收敛性和发散性检验，应用．　

．．．。　

数：构造级数，正弦和余弦的泰勒展开式，Ｂｅａｕｔｙ　Ｂａｒｅ，麦克劳林级数和泰勒级数，泰勒级数的整合，麦克劳林级数　

公示表；（３）泰勒定理：泰勒多项式，余项，余项估计定理，欧拉公式；（４）收敛半径：收敛，　项检验，比较非负级数，　

比率检验，端点收敛；（５）端点收敛检验：积分检验法，调和级数和　级数，比较检验，交错级数，绝对收敛与条件收　

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２栏目设置　

本教材共分为１Ｏ章内容，每章内容又分为３～９　

节的内容都始终贯穿这样的思维主线，给出定义　

（ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ）：直观解释和描述概念的内涵或语词的意　

义；例题（ｅｘａｍｐｌｅｓ）：通过举例帮助学生更好地理解　

节不等，而每一章的构成要点都一样，由以下内容　

组成：　

所要掌握的概念；图（ｆｉｇｕｒｅ）、表（ｔａｂｌｅ）、资料卡片辅　

助：通过一些补充的知识、信息，更明了地理解知识；　

快速复习（ｑｕｉｃｋ　ｒｅｖｉｅｗ）：在学习完本节的知识后，通　

（１）引言：章节的开端，列出一些数据，用生活中　

的事例来提出本章中要研究的问题，并指出将在本章　

的哪一节解决这个问题，引导学生阅读和理解．　

（２）概述（ｏｖｅｒｖｉｅｗ）：简单地定义将要学习的东　

西，概括本章的内容，简述本章节的学习目标，及所学　

内容的重要性、特点和用途．　

（３）教学内容：每章内容分为３～９节不等，而每　

过一些较为简单的习题练习，使学生更好地掌握知　

识；练习（ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ）：包含一些较难的习题，帮助学生　

巩固复习，做到举一反三；小测验（ｑｕｉｃｋ　ｑｕｉｚ）：涉及　

每一章中几节的知识点的习题，在学习更多的知识的　

同时，防止学生遗忘前面学习的知识．　

（４）术语（ｋｅｙ　ｔｅｒｍｓ）：这部分将整个章节所涉及　

｜６—４　

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一　…　戆罨　

、　

…　．　．　２　＾　ｌ　

可以解决很多生活中的问题，他们学会分析数据、模　

拟数据，用图形来表达数据，从图形中获取信息、拟合　

函数．　

３．４直击ＡＰ微积分ＡＢ／ＢＣ考试　

２０１３　豫、２搬　

的专业名词归结到一起，并在后面附上页码，使学生　

查阅定义较为方便，也可更直接地了解整章所学习的　

要点．　

（５）章末练习（ｒｅｖｉｅｗ　ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ）：每章节后有一　

个大练习，囊括本章节学的所有知识，帮助学生更好　

地巩固复习．　

（６）附录（ａｐｐｅｎｄｉｘ）：整本书中的一些重要公式、　

定义、表格等，对复习整本书的知识点有很大帮助，在　

平时做练习时，查阅附录能使做题速度提高很多．　

３特点分析　

３．１课程内容广泛，难度大　

ＡＰ课程中的数学教学内容是按照大学一年级数　

学科学生的学习内容进行设计的，这些内容牵扯很多　

大学的内容：微分，换元积分，分部积分，用黎曼和定　

义的定积分，旋转体的体积等．这些知识的加入使学　

生将所学的数学知识和国内的一些大学相关学科（如　

线性代数，数学分析等）知识直接相连，而这些都是学　

生将要进一步学习的数学专业知识，是想在数学专业　

上有所发展必不可少的学习内容．这些知识的加入，　

可以使学生在高中阶段对一些深层次的理论和研究　

方法有一个初步了解．通过这样的学科知识设置，不　

仅拓展了学生在数学学科领域的知识，更为学生在以　

后进入大学进行深层次的学习提供了有效的选择具　

体专业的基础．　

３．２丰富、多样的栏目设置及插图艺术　

除了最主要的文字叙述外，该教材还包括一些资　

料卡片、图表、实物图以及图画等．这些图表、实物图　

等的加入使得整本教材活泼、美观．图文并茂，以图代　

文和利用图画、资料等创设学习情境，使得一些不能　

用语言准确描述的东西变得生动活泼、简明扼要．让　

学生学会如何用图形来分析数据、模拟数据，用图形　

来表达数据，并学会从图形中获取信息、拟合函数，既　

直观又生动．　

表２：各辅助材料信息　

３．３注重学科应用　

本教材包含了一系列的在生物、商学、化学、经　

济、工程学、会计学、物理、社会科学和统计学方面的　

有趣的应用，一些应用来源于真实的数据，学生把函　

数作为工具来做数学建模，并从中感受到不同的函数　

本教材也非常小心地更新例题和练习中的数据，　

也使得在美国大学和学院中的微积分讲授过程中的　

教学目标和理论得到了淋漓尽致的体现．本教材的终　

极目标是把ＡＰ微积分ＡＢ／ＢＣ考试大纲中的内容重　

组和体现，出现了很多新形式的ＡＰ考试样题．例如，　

教材中的Ｑｕｉｃｋ　Ｑｕｉｚ　ｆｏｒ　ＡＰ　Ｐｒｅｐａｒａｔｉｏｎ（ＡＰ备考的　

小测试）和每个小节后面都有Ｓｔａｎｄａｒｄｉｚｅｄ　Ｆｅｓｔ　

Ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ（标准化考试题）．把ＡＰ考题按照不同的章　

节分类来测试，使学生能够把内容与考试很好地联系　

起来，更有的放矢的备考．　

３．５联系生活实际。注重问题解决能力的培养　

本教材不仅仅培养学生基本的数学思维、数学运　

算、数学知识的综合应用，更重要的是能够培养学生　

的实践与理论结合的能力，在理论证明给出之前，要　

求学生探索很多实践实例．例如，在学生首次接触微　

分方程时，先给学生讲斜率场，通过实践的图形让学　

生能够更好地理解微分方程这个理论性比较强的知　

识，当学习逻辑史蒂芬微分方程的时候，学生把这一　

数学模型和生活中息息相关的人口增长等问题紧密　

地结合在了一起．　

４结语　

目前，ＡＰ课程发展良好，在我国的十几个城市　

中也有所发展，它为我国的一些有志于出国留学的　

学生提供了一个平台，其课程体系以及教材内容的　

优点和特色值得我们进行研究，并期望它对我国新　

课程的发展有所帮助．笔者所在的学校是一所国际　

中学，目前学校给学生提供了很多ＡＰ课程，数学是　

其中一门，而且学生的成绩非常优异．作为其中的一　

名学生，笔者房欣宜在微积分的学习过程中受益匪　

浅．在了解我国数学教学内容及教学特点的基础　，　

深深觉得，美国数学的微积分学教材中，无论是其内　

容设置、栏目设置，还是在研究与实施方面，对发展　

学生主体性、创造性，培养学生创新精神和实践能力　

有着重要作用，也可使学校教育朝着自主的、有特色　

的课程教学方向发展．因此，本文旨在通过对这本教　

材的内容设置及栏目设置等方面的介绍，分析总结　

本教材的一些设置特点，以期对我国中学数学教材　

的编写工作有所启示．　


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