高中数学解题中的“元化”思想

2024年3月17日发(作者：我国的数学试卷难吗)

高中数学解题中的“元化”思想

所谓“元”是指确定数学对象的要素称为该数学对象的元.而数

学对象的独立元个数的最大值称为该数学对象的元数.若某个对象

的元数是n，则称该对象为n元对象.元在数学教学中有着极其重要

的的地位与作用。如果在数学概念的教学中，引导学生正确认识数

学对象的元与元数，那么就能更好地使学生理解和运用数学概念。

如果在数学解题中，指导学生正确处理“元”，那么就能更好的指

导学生解决一些数学难题乃至偏题怪题。

一、“元化”是问题解决的重要途径

例1、设a，b∈r，求证： a2+b2+ab+1>a+b

[分析]如果本题看成是关于a或b的一元二次不等式，再结合

一元二次不等式与二次函数的关系，则本题便迎刃而解。

[证明]设f（a）=（a2+b2+ab+1）-（a+b）

=a2+（b-1）a+（b2-b+1）

所以，δ=（b-1）2-4（b2-b+1）=-3b2+2b-3=-3（b-13）2-830

恒成立，

故不等式a2+b2+ab+1>a+b成立。

二、处理“元”是数学解题的重要方法

1、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，

从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构

造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题

移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复

杂问题简单化，变得容易处理。换元的方法有：局部换元、三角换

元、均值换元等。

例2、实数x、y满足4x2-5xy+4y2=5（①式），设s=x2+y2，求

1smax+1smin的值。

[分析]由s=x2+y2联想到cos2α+sin2α=1，于是进行三角换元，

设x=scosαy=ssinα 代入①式求smax 和smin 的值。

[解]设x=scosαy=ssinα 代入①式得： 4s-5s·sinαcosα=5

解得 s=108-5sin2α ；

∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8-5sin2α≤13 ∴ 1013≤108-5sin

α≤103

∴ 1smax+1smin=310+1310=1610=85

[注]此种解法后面求s最大值和最小值，还可由sin2α=8s-10s

的有界性而求，即解不等式：|8s-10s|≤1。这种方法是求函数值

域时经常用到的“有界法”。

[另解]由s=x2+y2，设x2=s2+t，y2=s2-t，t∈[-s2，s2]，

则xy=±s24-t2代入①式得：4s±5s24-t2=5，

移项平方整理得 100t2+39s2-160s+100=0。

∴ 39s2-160s+100≤0 解得：1013≤s≤103

∴ 1smax+1smin=310+1310=1610=85

[注]此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件

s=x2+y2与三角公式cos2α+sin2α=1的联系而联想和发现用三角

换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均

值换元法”，主要是由等式s=x2+y2而按照均值换元的思路，设

x2=s2+t、y2=s2-t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还

用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

例3、设a>0，求f（x）=2a（sinx+cosx）-sinx·cosx-2a2的

最大值和最小值。

[解]设sinx+cosx=t，则t∈[-2，2]，由（sinx+cosx）

2=1+2sinx·cosx得：sinx·cosx=t2-12

∴ f（x）=g（t）=-12（t-2a）2+12（a>0），t∈[-2，2]

t=-2时，取最小值：-2a2-22a-12

当2a≥2时，t=2，取最大值：-2a2+22a-12 ；

当0[注]此题属于局部换元法，设sinx+cosx=t后，抓住

sinx+cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化

为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一

定要注意新的参数的范围（t∈[-2，2]）与sinx+cosx对应，否则

将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方

法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨

论。

2、消元法

数学解题时，有些题目中所含的元较多，我们可以根据某些公

式减少元的个数，从而使问题得到简化，这叫消元法。

例4、化简：sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β

[分析]这本是一道比较简单的化简题，但学生看完题目会觉得

一头雾水，即便部分同学得到答案也可能是很盲目地获得的结果。

如皋仔细分析一下本题，不难发现“角”有两个，“函数名”有两

个，如果能从“消元”这一指导思想出发，减少角的表达形式或减

少函数名，目标明确，自然能很快地完成本题的解答。

[解]（一）：原式消元成只含sin2α、sin2β的表达式进行化简。

原式=sin2α+sin2β-sin2αsin2β+（1-sin2α）（1-sin2β）

=sin2α+sin2β-sin2αsin2β+1-sin2α-sin2β+sin2αsin2

β

=1

[解]（二）：原式消元成只含cos2α、cos2β的表达式进行化简。

原式=1-cos2α+1-cos2β-（1-cos2α）（1-cos2β）+cos2αcos2

β

=1-cos2α+1-cos2β-1+cos2α+cos2β-cos2αcos2β+cos2α

cos2β

=1

[解]（三）：原式消元成只含cos2α、cos2β的表达式进行化简。

原式= 1-cos2α2+1-cos2β2-1-cos2α2·1-cos2β2+1+cos2α

2·1+cos2β2

=1-cos2α2-cos2β2-14+cos2α4+cos2β4-cos2αcos2β

4+14+cos2α4+cos2β4+cos2αcos2β4

=1

古人云：“会当凌绝顶，一览众山小”，用数学思想武装自己，

并有效地指导解题，这就是在高中数学学习中追求的境界。

3、“主、次元”交换

当不等式中含有两个字母，如果已知参数的取值范围，要求自

变量的范围时应考虑“主次元交换”

例5、已知不等式x2+px+1>2x+p，如果不等式当p≤2时恒成立，

求x的取值范围。

[分析]本题中的不等式含有两个字母x，p，由条件知应视p为

变量（主元），x为常量，利用函数的观点求x的范围。

[解]设f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，原不等式等价于f（p）>0

在p∈[-2，2]时恒成立。

当x=1时，f（p）=0，显然不符合题意。

当x≠1时，f（p）=（x-1）p+x2-2x+1（这是关于p的一次函

数），则x应满足

x-1>0f（-2）>0 或x-10

即x>1x2-4x+3>0 或x0

所以，x>3或x<-1

综上所述，x的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）。

“元化”思想仅是数学解题中的数学方法之一。从以上例子发

现，正是有了这个思想的指导，我们可以很轻松的完成诸如此类的

数学题的解答。由此可见，数学解题必须要有思想的指导，也就是

说，数学基本方法是具有思想性的。数学思想是数学基本方法的灵

魂，盲目的解题操作是低效的，机械的操作时低层次的。而当学生

的解题分析有思想方法的指导，解题操作就有明确的目标，从而形

成良好的思维素质。用数学思想去指导解题，就能从根本上提高思

维能力，提升思维层次，进而提高数学解题能力。（作者单位：常

州市新北区小河中学）