2023年12月3日发(作者：2022年安徽高考一模数学试卷)
2021-2022学年北京市海淀区七年级第一学期期中数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用
2B
铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用
0.5
毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用
2B
铅笔画出，确定后必须用
0.5
毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共30分，每小题3分）
1．2的倒数是（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．﹣
2．多项式3x2﹣2x+1的各项分别是（ ）
A．3，2，1
B．x2，x，1
C．3x2，2x，1
D．3x2，﹣2x，1
3．《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字47000余个．将47000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.47×105
B．4.7×104
C．4.7×103
D．47×103
4．计算﹣12的结果是（ ）
A．﹣1
B．1
C．﹣2
D．2
5．当a为任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（ ）
A．a
B．a+2
C．2a
D．a2+2
6．下列运算正确的是（ ）
A．3x2﹣2x2＝1
C．3xy﹣2yx＝xy
B．3x2+2x3＝5x5
D．3xy+2xy＝6xy
7．古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（ ）
A．﹣25
B．﹣5
C．10
D．20
8．有理数x在数轴上对应的点如图所示，下列各数中一定比x大的是（ ）
A．x﹣1
B．﹣x
C．2x
D．|x|
9．某校开展了丰富多彩的社团活动，每位学生可以选择自己最感兴趣的一个社团参加．已知参加体育类社团的有m人，参加文艺类社团的人数比参加体育类社团的人数多6人，参加科技类社团的人数比参加文艺类社团人数的多2人，则参加三类社团的总人数为（ ）
A．m+6
B．
C．
D．
10．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共16分，每小题2分）
11．用四舍五入法对0.618取近似数（精确到0.1）是
．
12．写出一个比大的负整数
．
13．计算：4×6÷（﹣2）＝
．
14．将多项式3x+x2﹣1按项的次数从高到低排列：3x+x2﹣1＝
．
15．一个整式与2x+1的和是3x﹣2，则这个整式为
．
16．一块三角尺的形状和尺寸如图所示，用代数式表示该三角尺的面积（阴影部分），结果是
．
17．为了保密，许多情况下需要采用密码，破译密码有一把“钥匙”．如图1，密码“钥匙”显示Ω﹣3，表示将密文中每个字母在图2中沿逆时针方向转动3位．例如，破译kdssb得happy．继续使用此密码“钥匙”，破译pdwk得
．
18．b在数轴上对应的点如图所示，
有理数a，若b﹣a＝3，且|a|＝2|b|，则a的值是
．
三、解答题（本大题共54分，第19题12分，第20题6分，第21-22题，每小题12分，第23-25题，每小题12分，第26题6分，第27题7分）
19．计算：
（1）10﹣7﹣（﹣9）；
（2）（﹣+）×（﹣12）；
（3）（﹣1）3﹣8÷4+|﹣3|．
20．化简：
（1）3x2y﹣2x2y+x2y；
（2）3a2﹣2a+2（a2﹣a）．
21．某商品每件进价a元，出售时的价格比进价高20%，现在由于该商品积压，按原出售价的80%出售，现售价多少元（用含a的式子表示）？此时商家卖一件该商品是亏钱还是赚钱？
22．已知2（3a﹣b）﹣3（a﹣2b）＝5，求1﹣9a﹣12b的值．
23．已知数轴上点A表示的数为a．
（1）判断：a
﹣1（填“＞”，“＝”或“＜”）； （2）用“＜”号将﹣，1，﹣a，a﹣1连接起来．
24．2021年7月24日，东京奥运会十米气步枪决赛中，中国选手杨倩为中国代表队摘得首金．其中最后10枪的成绩如下表所示：
序号
环数
①
10.2
②
10.8
③
10.0
④
10.6
⑤
10.6
⑥
10.5
⑦
10.7
⑧
10.6
⑨
10.7
⑩
9.8
若以10.5环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数，则上述成绩可表示为：
序号
相对环数
（1）请填写表中的两个空格；
（2）这10枪中，与10.5环偏差最大的那次射击的序号为
；
（3）请计算这10枪的总成绩．
25．可以验证，当一个大正方形的边长为10，而小正方形边长为5时，这个大正方形的周长等于两个小正方形的周长和．若用合适的方式摆放这两个小正方形的位置（不重叠），大正方形还可以同时覆盖两个小正方形，如图．
（1）进一步，猜想：当一个大正方形的边长恰好是小正方形边长的
倍时，这个大正方形的周长等于三个边长相同的小正方形的周长和；
（2）一般的，猜想：一个大正方形的边长恰好是小正方形边长的n倍时，这个大正方形的周长等于
个边长相同的小正方形的周长和；
（3）如图是三个边长不相等的小正方形和一个大正方形，若三个小正方形的周长之和恰好等于大正方形的周长，请将这三个小正方形互不重叠的摆放在一起，使得它们能被大正方形覆盖，画出示意图．
①
﹣0.3
②
0.3
③
﹣0.5
④
0.1
⑤
0.1
⑥
0
⑦
⑧
⑨
0.2
⑩
0.1
26．关于x的代数式，当x取任意一组相反数m与﹣m时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如代数式x2是“偶代数式”，x3是“奇代数式”．
（1）以下代数式中，是“偶代数式”的有
，是“奇代数式”的有
；（将正确选项的序号填写在横线上）
①|x|+1；②x3+x；③2x2+4．
（2）对于整式﹣x3+x+1，当x分别取2与﹣2时，求整式的值分别是多少．
（3）对于整式x5﹣x3+x2+x+1，当x分别取﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是
．
27．现有若干有理数排成一个圆圈，规定一次操作为：将任意相邻的两个数都加上同一个有理数，其余各数不变．图1是小云两次操作的示意图，将圆圈上的三个数变为了相同的数：
（1）请画出相应的操作示意图，将图2圆圈上的有理数都变为相同的数（箭头上不需标注具体操作）；
（2）如图3，若要将圆圈上的四个数都变为相同的数，最少需要通过几次操作？给出你的判断，并说明理由；
（3）能否将1，2，3，5这4个有理数以某种方式排列在圆圈上，使得通过若干次操作将这4个有理数变为相同的数？如果可以，请画出最初的排列方式与具体的操作步骤；如果不能，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．2的倒数是（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．﹣
【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．
解：∵2×＝1，
∴2的倒数是．
故选：C．
2．多项式3x2﹣2x+1的各项分别是（ ）
A．3，2，1
B．x2，x，1
C．3x2，2x，1
D．3x2，﹣2x，1
【分析】几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，由此可得出答案．
解：多项式3x2﹣2x+1的各项分别是3x2，﹣2x，1．
故选：D．
3．《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字47000余个．将47000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.47×105
B．4.7×104
C．4.7×103
D．47×103
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
解：47000＝4.7×104．
故选：B．
4．计算﹣12的结果是（ ）
A．﹣1
B．1
C．﹣2
D．2 【分析】﹣12表示1的二次方的相反数．
解：﹣12＝﹣1．
故选：A．
5．当a为任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（ ）
A．a
B．a+2
C．2a
D．a2+2
【分析】根据非负数的性质举特例判断即可．
解：A．a＝0时，|a|＝0，0既不是正数也不是负数，故本选项不合题意；
B．a＝﹣2时，a+2＝0，0既不是正数也不是负数，故本选项不合题意；
C．a＜0时，2a＜0，是负数，故本选项不合题意；
D．∵a2≥0，∴a2+1＞0，是正数，故本选项符合题意．
故选：D．
6．下列运算正确的是（ ）
A．3x2﹣2x2＝1
C．3xy﹣2yx＝xy
【分析】根据合并同类项法则解决此题．
解：A．根据合并同类项法则，3x2﹣2x2＝x2，那么A不正确．
B．根据合并同类项法则，3x2+2x3无法合并，那么B不正确．
C．根据合并同类项法则，3xy﹣2yx＝xy，那么C正确．
D．根据合并同类项法则，3xy+2xy＝5xy，那么D不正确．
故选：C．
7．古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（ ）
B．3x2+2x3＝5x5
D．3xy+2xy＝6xy
A．﹣25
B．﹣5
C．10
D．20
【分析】根据正负数以及绝对值表示的含义解题即可． 解：由题意可知，指针指向负数表示音调偏低，需放松琴弦，
∴选A或B，
又∵指针越接近0就越接近标准音，|﹣25|＝25，|﹣5|＝5，25＜5，
∴﹣5更接近0，
故选：B．
8．有理数x在数轴上对应的点如图所示，下列各数中一定比x大的是（ ）
A．x﹣1
B．﹣x
C．2x
D．|x|
【分析】直接利用数轴结合绝对值的性质分别判断得出答案．
解：由数轴可得：2＜x＜3，
A．故x﹣1＜x，故此选项不合题意；
B．﹣x＜0＜x，故此选项不合题意；
C.2x＞x，故此选项符合题意；
D．|x|＝x，故此选项不合题意；
故选：C．
9．某校开展了丰富多彩的社团活动，每位学生可以选择自己最感兴趣的一个社团参加．已知参加体育类社团的有m人，参加文艺类社团的人数比参加体育类社团的人数多6人，参加科技类社团的人数比参加文艺类社团人数的多2人，则参加三类社团的总人数为（ ）
A．m+6
B．
C．
D．
【分析】利用题干中的数量关系分别表示出参加文艺类社团的人数和参加科技类社团的人数，将参加三类社团的人数相加即可得出结论．
解：∵参加文艺类社团的人数比参加体育类社团的人数多6人，
∴参加文艺类社团的人数为：（m+6）人．
∵参加科技类社团的人数比参加文艺类社团人数的多2人，
∴参加科技类社团的人数为：（m+6）+2＝（m+5）人．
∴参加三类社团的总人数为：m+（m+6）+（m+5）＝（m+11）人．
故选：D． 10．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据分数乘法的意义求得剩下的长度．
解：由题意，第一次截取后剩余长度为1×（1﹣）＝，
第二次截取后剩余长度为×（1﹣）＝＝第三次截取后剩余长度为…，
第n次截取后剩余长度为∴第五次截取后剩余长度为故选：C．
二、填空题（本大题共16分，每小题2分）
11．用四舍五入法对0.618取近似数（精确到0.1）是
0.6 ．
【分析】要精确到0.1就要对百分位数字1四舍五入即可．
解：用四舍五入法对0.618取近似数（精确到0.1）是0.6．
故答案为：0.6．
12．写出一个比大的负整数
﹣1（或﹣2） ．
，
，
，
，
【分析】根据在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大可得答案．
解：比﹣大的负整数为﹣2和﹣1．
故答案为：﹣1（或﹣2）．
13．计算：4×6÷（﹣2）＝ ﹣12 ．
【分析】先进行乘法运算，再进行除法运算即可．
解：4×6÷（﹣2）
＝24÷（﹣2）
＝﹣12．
故答案为：﹣12． 14．将多项式3x+x2﹣1按项的次数从高到低排列：3x+x2﹣1＝
x2+3x﹣1 ．
【分析】根据多项式的项的概念和降幂排列的概念解答即可
解：将多项式3x+x2﹣1按项的次数从高到低排列：x2+3x﹣1．
故答案为：x2+3x﹣1．
15．一个整式与2x+1的和是3x﹣2，则这个整式为
x﹣3 ．
【分析】根据“其中一个加式＝和﹣另一个加式”列式，然后先去括号，再合并同类项化简．
解：3x﹣2﹣（2x+1）
＝3x﹣2﹣2x﹣1
＝x﹣3，
故答案为：x﹣3．
16．一块三角尺的形状和尺寸如图所示，用代数式表示该三角尺的面积（阴影部分），结果是
ab﹣πr2 ．
【分析】用三角形的面积减去中间圆的面积即可得出结论．
解：阴影部分的面积为：ab﹣πr2．
故答案为：ab﹣πr2．
17．为了保密，许多情况下需要采用密码，破译密码有一把“钥匙”．如图1，密码“钥匙”显示Ω﹣3，表示将密文中每个字母在图2中沿逆时针方向转动3位．例如，破译kdssb得happy．继续使用此密码“钥匙”，破译pdwk得
math ．
【分析】根据题意可知：表示将密文中每个字母在图2中沿逆时针方向转动3位可得答案． 解：破译pdwk得math．
故答案为：math．
18．有理数a，b在数轴上对应的点如图所示，若b﹣a＝3，且|a|＝2|b|，则a的值是
﹣2或﹣6 ．
【分析】根据|a|＝2|b|得到a＝±2b，再分别把b＝3+a带入求值即可．
解：∵b﹣a＝3，
∴b＝3+a，
∵|a|＝2|b|，
∴a＝±2b，
当a＝2b时，a＝2（3+a），
解得：a＝﹣6；
当a＝﹣2b时，a＝﹣2（3+a），
解得：a＝﹣2．
故答案为：﹣2或﹣6．
三、解答题（本大题共54分，第19题12分，第20题6分，第21-22题，每小题12分，第23-25题，每小题12分，第26题6分，第27题7分）
19．计算：
（1）10﹣7﹣（﹣9）；
（2）（﹣+）×（﹣12）；
（3）（﹣1）3﹣8÷4+|﹣3|．
【分析】（1）先将减法转化为加法，再根据有理数加法法则计算即可；
（2）利用乘法分配律计算即可；
（3）先算乘方与绝对值，再算除法，最后算加减即可．
解：（1）10﹣7﹣（﹣9）
＝10﹣7+9
＝12；
（2） ＝×（﹣12）﹣×（﹣12）+×（﹣12）
＝﹣4+6﹣9
＝﹣7；
（3）（﹣1）3﹣8÷4+|﹣3|
＝﹣1﹣2+3
＝0．
20．化简：
（1）3x2y﹣2x2y+x2y；
（2）3a2﹣2a+2（a2﹣a）．
【分析】（1）直接合并同类项即可得答案；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
解：（1）3x2y﹣2x2y+x2y
＝（3﹣2+1）x2y
＝2x2y；
（2）3a2﹣2a+2（a2﹣a）
＝3a2﹣2a+2a2﹣2a
＝5a2﹣4a．
21．某商品每件进价a元，出售时的价格比进价高20%，现在由于该商品积压，按原出售价的80%出售，现售价多少元（用含a的式子表示）？此时商家卖一件该商品是亏钱还是赚钱？
【分析】根据进价×（1+20%）×80%＝后期售价，即可列出代数式，进一步求得商家卖一件该商品是亏钱还是赚钱．
解：售价为a•（1+20%）•80%＝0.96a（元），
∵a＞0，
∴0.96a﹣a＝﹣0.04a＜0，
∴亏钱了．
22．已知2（3a﹣b）﹣3（a﹣2b）＝5，求1﹣9a﹣12b的值．
【分析】先将2（3a﹣b）﹣3（a﹣2b）＝5变形可得3a+4b＝5，再把3a+4b看作一个整体并代入代数式进行计算即可得解．
解：∵2（3a﹣b）﹣3（a﹣2b）＝5，
∴6a﹣2b﹣3a+6b＝5．
∴3a+4b＝5．
∴1﹣9a﹣12b
＝1﹣3（3a+4b）
＝1﹣3×5
＝﹣14．
23．已知数轴上点A表示的数为a．
（1）判断：a ＞ ﹣1（填“＞”，“＝”或“＜”）；
（2）用“＜”号将﹣，1，﹣a，a﹣1连接起来．
【分析】（1）根据数轴上右边的数比左边的数大判断即可；
（2）根据有理数大小比较法则判断即可．
解：（1）由题意得，a＞﹣1；
故答案为：＞；
（2）∵a＞0且|a|＞2，
∴．
24．2021年7月24日，东京奥运会十米气步枪决赛中，中国选手杨倩为中国代表队摘得首金．其中最后10枪的成绩如下表所示：
序号
环数
①
10.2
②
10.8
③
10.0
④
10.6
⑤
10.6
⑥
10.5
⑦
10.7
⑧
10.6
⑨
10.7
⑩
9.8
若以10.5环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数，则上述成绩可表示为：
序号
相对环数
（1）请填写表中的两个空格；
①
﹣0.3
②
0.3
③
﹣0.5
④
0.1
⑤
0.1
⑥
0
⑦
⑧
⑨
0.2
⑩
﹣0.7
0.2
0.1 （2）这10枪中，与10.5环偏差最大的那次射击的序号为
⑩ ；
（3）请计算这10枪的总成绩．
【分析】（1）根据有理数的减法，可得答案；
（2）绝对值越大，偏差越大；
（3）用10.5乘10再加上相对环数即可．
解：（1）10.7﹣10.5＝0.2，9.8﹣10.5＝﹣0.7，
故答案为：0.2，﹣0.7；
（2）∵|﹣0.7|＞|﹣0.5|＞|﹣03|＝|0.3|＞|0.2|＞|0.1|＞0，
∴⑩与10.5环偏差最大；
故答案为：⑩；
（3）10.5×10﹣0.3+0.3﹣0.5+0.1+0.1+0+0.2+0.1+0.2﹣0.7
＝105﹣0.5
＝104.5（环）．
∴这10枪的总成绩为104.5环．
25．可以验证，当一个大正方形的边长为10，而小正方形边长为5时，这个大正方形的周长等于两个小正方形的周长和．若用合适的方式摆放这两个小正方形的位置（不重叠），大正方形还可以同时覆盖两个小正方形，如图．
（1）进一步，猜想：当一个大正方形的边长恰好是小正方形边长的
3 倍时，这个大正方形的周长等于三个边长相同的小正方形的周长和；
（2）一般的，猜想：一个大正方形的边长恰好是小正方形边长的n倍时，这个大正方形的周长等于
个边长相同的小正方形的周长和；
（3）如图是三个边长不相等的小正方形和一个大正方形，若三个小正方形的周长之和恰好等于大正方形的周长，请将这三个小正方形互不重叠的摆放在一起，使得它们能被大正方形覆盖，画出示意图．
【分析】（1）根据大正方形的周长等于三个边长相同的小正方形的周长和列等式可得答案；
（2）根据小正方形的个数＝大正方形的周长÷一个小正方形的周长可得答案；
（3）根据三个小正方形的周长之和恰好等于大正方形的周长，可知三个小正方形的边长之和＝大正方形的边长，画图即可．
解：（1）设小正方形的边长为a，一个大正方形的边长恰好是小正方形边长的x倍时，这个大正方形的周长等于三个边长相同的小正方形的周长和，
则4ax＝4a+4a+4a，
∴x＝3，
∴当一个大正方形的边长恰好是小正方形边长的3倍时，这个大正方形的周长等于三个边长相同的小正方形的周长和；
故答案为：3；
（2）设小正方形的边长为a，
则＝n，
∴这个大正方形的周长等于n个边长相同的小正方形的周长和；
故答案为：n；
（3）画图如下：（答案不唯一）
例如：
26．关于x的代数式，当x取任意一组相反数m与﹣m时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如代数式x2是“偶代数式”，x3是“奇代数式”． （1）以下代数式中，是“偶代数式”的有
①③ ，是“奇代数式”的有
② ；（将正确选项的序号填写在横线上）
①|x|+1；②x3+x；③2x2+4．
（2）对于整式﹣x3+x+1，当x分别取2与﹣2时，求整式的值分别是多少．
（3）对于整式x5﹣x3+x2+x+1，当x分别取﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是
69 ．
【分析】（1）根据定义即可判定；
（2）分别代入计算即可；
（3）x5、x3、x是“奇代数式”，x分别取﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4时，它们的和为0，只需计算九个式子中的x2+1即可．
解：（1）∵|﹣x|+1＝|x|+1，（﹣x）3+（﹣x）＝﹣（x3+x），2（﹣x）2+4＝2x2+4，
∴“偶代数式”有①③；“奇代数式”有②，
故答案为：①③，②；
（2）当x＝2时，原式＝﹣23+2+1＝﹣5，
∴整式值为﹣5；
当x＝﹣2时，原式＝﹣（﹣2）3+（﹣2）+1＝7，
∴整式值为7；
（3）∵x5、x3、x是“奇代数式”，
∴x分别取﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4时，它们的和为0，
而x2+1是“偶代数式”，
∴当x分别取﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4时，
九个整式的值之和是2×[（﹣4）2+（﹣3）2+（﹣2）2+（﹣1）2]+02+9×1＝69，
故答案为：69．
27．现有若干有理数排成一个圆圈，规定一次操作为：将任意相邻的两个数都加上同一个有理数，其余各数不变．图1是小云两次操作的示意图，将圆圈上的三个数变为了相同的数： （1）请画出相应的操作示意图，将图2圆圈上的有理数都变为相同的数（箭头上不需标注具体操作）；
（2）如图3，若要将圆圈上的四个数都变为相同的数，最少需要通过几次操作？给出你的判断，并说明理由；
（3）能否将1，2，3，5这4个有理数以某种方式排列在圆圈上，使得通过若干次操作将这4个有理数变为相同的数？如果可以，请画出最初的排列方式与具体的操作步骤；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）由所给例子，即可求解，但答案不唯一；
（2）如果只进行一次操作，只能改变相邻2个数，剩下2个数不相等，因此至少需要操作两次；
（3）按顺时针方向排序，将4个位置的有理数分别记为a，b，c，d，令S＝a﹣b+c﹣d，则每次操作都不改变S的取值，若最后4个数相同，那么S＝0，最初1，2，3，5这4个数排列也需满足S＝0，即a+c＝b+d，1+2+3+5＝11，不能分为和相等的两组数．
解：（1）答案不唯一：
（2）最少需要操作两次，理由如下：如果只进行一次操作，只能改变相邻2个数，剩下2个数不相等，因此至少需要操作两次，而两次操作具体示意图如下； （3）结论：不论这4个数如何排列，均不能通过若干次操作将这4个有理数变为相同，理由如下：
按顺时针方向排序，将4个位置的有理数分别记为a，b，c，d，
令S＝a﹣b+c﹣d，则每次操作都不改变S的取值，若最后4个数相同，
那么S＝0，最初1，2，3，5这4个数排列也需满足S＝0，即a+c＝b+d，
∵1+2+3+5＝11，不能分为和相等的两组数，
∴不论这4个数如何排列，均不能通过若干次操作将这4个有理数变为相同．
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