专谈数学中的恒字

2023年12月10日发(作者：全国高考数学试卷与答案)

专谈数学中的“恒”字

湖北省巴东县第二高级中学 张群立 444324

数学中的“恒”字主要表现在两个方面：一、等式恒成立；二、不等式恒成立。在数学中，恒成立即在定义域内，无论变量取任意实数，等式或不等式永远成立。

解决等式恒成立的主要思路：将其等式两边分别化简整理，使其形式一致，只需两边对应项的系数相等即可。如等式ax2+bx+c=dx2+ex+f恒成立a=d，b=e,c=f或转化为（a-d）x2+(b-e)x+(c-f)=0恒成立a-d=0,b-e=0,c-f=0。

解决不等式恒成立的主要思路：1、分离系数法。即将所求待定字母分离出来，从而转化为求函数的最值，即转化为：a>f(x)或a

有关恒成立的问题，几乎每年在高考中都占有相当大的比分，之所以青睐此类问题，是因为以恒成立为载体可以很好地考查学生基础知识的掌握情况、运用知识的能力、分析问题和解决问题的能力。故此，掌握解决恒成立问题的基本思路很有必要。

一、等式恒成立

例1 函数f(x)=（a-8）x4+2x3+(b-2)x2+3x是奇函数，求logab的值。

解析一：由题意可知，f(-x) =-f(x)恒成立，即（a-8）x4+2（-x）3+(b-2)x2+3（-x）=（8-

a）x4-2x3-(b-2)x2-3x恒成立，整理得，（a-8）x4-2x3+(b-2)x2-3x=（8- a）x4-2x3-(b-2)x2-3x恒成立，即a-8=8-a,b-2=2-b成立即可，所以a=8,b=2,所以logab=1。

3解析二：由题意可知，f(-x) =-f(x)恒成立，即（a-8）x4+2（-x）3+(b-2)x2+3（-x）=（8-

a）x4-2x3-(b-2)x2-3x恒成立，整理得，（2a-16）x4+(2b-4)x2=0恒成立，所以2a-16=0，2b-4=0，所以，a=8,b=2,所以logab=1。

3例2 若函数f(x)=sin(x+)是偶函数，求的值。

解析：由题意可知，f(-x) =f(x)恒成立，即sin(-x+) =sin(x+)恒成立，整理得-sinxcos+cosxsin=sinxcos+cosxsin恒成立，即-cos=cos,得 cos=0, 所以=k2，kZ。

例3 求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期。

解析：令y=f(x)=|sinx|+|cosx|的周期为T，则f(x+T)=f(x)恒成立，

即|sin（x+T）|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|恒成立，两边平方得|sin（2x+2T）|=|sin2x|,两边2平方得sin（2x+2T）=sin22x，降次得cos(4x+4T)=cos4x，整理得cos4xcos4T-sin4xsin4T=cos4x恒成立，即cos4T=1，sin4T=0，所以4T=2k,得T=的周期为k，kZ。所以函数y=|sinx|+|cosx|2k， kZ，最小正周期为。

22二、不等式恒成立

例4 设实数x、y满足x2+(y-1)2=1，若对满足条件的x、y使得x+y+c≥0恒成立，求c的取值范围。

解析：从已知x2+(y-1)2=1入手，可联想到三角代换。令x=cos，y=1+sin，〔0，2〕，采用分离系数法，可把x+y+c≥0恒成立转化为c≥-（x+y）恒成立，即c≥-（x+y）=-（sin+ cos）-1=-2sin(4)-1恒成立，只需求出f()=-2sin(4)-1的最大值即可。显然f()的最大值为-2-1，所以当c≥-2-1时，x+y+c≥0恒成立。

11n恒成立，则n的最大值为_________________。

abbcac11n解析：因为a>b>c，所以a-b>0,b-c>0,a-c>0,则“ ”恒成立可转abbcacacacacac化为n恒成立。只需求的最小值即可。又abbcabbcacac(ab)(bc)(ab)(bc)bcab==+2≥4，

abbcabbcabbcbcabacac当时，“=”成立，即的最小值为4.所以n的最大值为4.

abbcabbc2例6 不等式（a-3）x<(4a-2)x对于a (0,1)恒成立，求x的取值范围。

例5 设a>b>c且解析：由题意知，将其转化为关于a的一元一次不等式，问题就简单了。整理得关于a22222的不等式（x-4x）a+(2x-3x)<0.记f(a)= （x-4x）a+(2x-3x),此题等价于f(a)= （x-4x）a+(2x-3x)<0在a (0,1)上恒成立f(0)0,f(1)

0.解得x-1或x≥22。

3例7 已知向量ae,|e|=1,对任意实数t，恒有|ate|≥|ae|,则ae=____.

解析：|ate|≥|ae|恒成立（ate）≥（ae），可将其转化为关于t的22不等式t-2(ae)t+2ae-1≥0，记f(t)= t-2(ae)t+2ae-1,由二次函数的相关知识22可得f(t)= t-2(ae)t+2ae-1≥0在tR上恒成立0，又2=[2(ae)]2-4(2ae-1)

0,整理得ae=1.

例8 设f(x)=x-2ax+2,当x≥-1时，f(x)>a恒成立，求a的取值范围。

22解析：采用分离系数法。f(x)=x-2ax+2>a恒成立（2x+1）a

当2x+1=0即x=-219时，0<显然成立。

24x22x221当-1x<-时，a>，只需求的最大值，运用均值不等式可求出其最大值2x12x12为-3，所以a>-3.

x22x221当x>-时，a<，只需求的最小值，运用均值不等式可求出其最小值为1，

2x12x12所以a<1.综合可得，-3