2023年12月11日发(作者：内蒙古暑假安排数学试卷)
经典难题〔一〕
1、：如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO．
求证：CD＝GF．〔初二〕
2、：如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：△PBC是正三角形．〔初二〕
A
A
D
G
O
P
F
D
B
C
E
3、如图,四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、A
D
D2
A2
DD1的中点．
A1
D1
求证：四边形A2B2C2D2是正方形．〔初二〕
C
B
B1
C的延长线交1
4、：如图,在四边形ABCD中,AD＝BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BCB2
MN于E、F．
求证：∠DEN＝∠F．
B
E
N
D
C
F
C2
C
经典难题〔二〕
1、：△ABC中,H为垂心〔各边高线的交点〕,O为外心,且OM⊥BC于M．
A
〔1〕求证：AH＝2OM；
〔2〕假如∠BAC＝600,求证：AH＝AO．〔初二〕
M
B
A
O
·
H
E
2、设MN是圆O外一直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条直线,交圆于B、C与D、G
B
M D
E
C
E,直线EB与CD分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．〔初二〕
O
·
C
B
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,如此由此可得以下命题：
D
设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于E
M N
Q
P
A
C
A
P、Q．
Q
M
·
N
P
·
O
B
.
D 求证：AP＝AQ．〔初二〕
4、如图,分别以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点．
求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．〔初二〕
E
D
G
C
P
Q
B
D
E
经典难题〔三〕
A
1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE＝AC,AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．〔初二〕
A
F
2、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE＝CA,直线EC交DA延长线于F．F
求证：AE＝AF．〔初二〕
F
A D
C
D
B
． 3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE求证：PA＝PF．〔初二〕
A
B
C
4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D．求A
证：AB＝DC,BC＝AD．〔初三〕
B
E
F
经典难题〔四〕
P
B
P
O
C
D
F
E
1、：△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA＝3,PB＝4,PC＝5．
E
求：∠APB的度数．〔初二〕
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA＝∠PDA．
P
求证：∠PAB＝∠PCB．〔初二〕
B
A
P
C
A
C
D
3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．〔初三〕
A
B
4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．〔初二〕
B
.
C
D
C F
A
D
经典难题〔五〕
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点,L＝PA＋PB＋PC,求证：B
≤L＜2．
P
E
C
A
2、：P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA＋PB＋PC的最小值．
B
A
P
C
D
3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA＝a,PB＝2a,PC＝3a,求正方形的边长．
P
A
P
04、如图,△ABC中,∠ABC＝∠ACB＝800,D、E分别是AB、AC上的点,∠BDCA＝30A,
∠EBA＝
200,求∠BED的度数．
B
D
E
D
C
经典难题〔一〕
C
1.如如下图做GH⊥AB,连接EO.由于GOFE四点共圆,所以∠GFH＝∠OEG,
即△GHF∽△OGE,可得EOGOCO==,又CO=EO,所以CD=GF得证.
B
GFGHCDC
2. 如如下图做△DGC使与△ADP全等,可得△PDG为等边△,从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150
所以∠DCP=300
,从而得出△PBC是正三角形
3.如如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点,
连接EB2并延长交C2Q于H点,连接FB2并延长交A2Q于G点,
1110由A2E=12A1B1=2B1C1= FB2
,EB2=2AB=2BC=FC1
,又∠GFQ+∠Q=90和
. ∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 ,
可得△B2FC2≌△A2EB2 ,所以A2B2=B2C2 ,
又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,
从而可得∠A2B2 C2=900
,
同理可得其他边垂直且相等,
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形.
4.如如下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN＝∠F.
经典难题〔二〕
1.<1>延长AD到F连BF,做OG⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD,
可得BH=BF,从而可得HD=DF,
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2
<2>连接OB,OC,既得∠BOC=1200,
从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证.
3.作OF⊥CD,OG⊥BE,连接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ.
由于ADABACAECDBE2FD2BGFD,
BG 由此可得△ADF≌△ABG,从而可得∠AFC=∠AGE.
又因为PFOA与QGOA四点共圆,可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ,
∠AOP=∠AOQ,从而可得AP=AQ.
. 4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG,CI,FH.可得PQ= 由△EGA≌△AIC,可得EG=AI,由△BFH≌△CBI,可得FH=BI.
从而可得PQ=EG2FH.
AI2BI=AB,从而得证.
2经典难题〔三〕
1.顺时针旋转△ADE,到△ABG,连接CG.
由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B,G,D在一条直线上,可得△AGB≌△CGB.
推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC为等边三角形.
∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠A EC=750.
又∠EFC=∠DFA=450+300=750.
可证：CE=CF.
2.连接BD作CH⊥DE,可得四边形CGDH是正方形.
由AC=CE=2GC=2CH,
可得∠CEH=300,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,
又∠FAE=900+450+150=1500,
从而可知道∠F=150,从而得出AE=AF.
3.作FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出GFEC为正方形.
令AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X .
tan∠BAP=tan∠EPF=X=YYZXZ,可得YZ=XY-X2+XZ,
即Z
得到PA＝PF ,得证 .
. 经典难题〔四〕
1. 顺时针旋转△ABP 600 ,连接PQ ,如此△PBQ是正三角形.
可得△PQC是直角三角形.
所以∠APB=1500 .
2.作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使AE∥DC,BE∥PC.
可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP,可得：
AEBP共圆〔一边所对两角相等〕.
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP,得证.
3.在BD取一点E,使∠BCE=∠ACD,既得△BEC∽△ADC,可得：
BEAD=,即AD•BC=BE•AC, ①
BCAC 又∠ACB=∠DCE,可得△ABC∽△DEC,既得
ABDE=,即AB•CD=DE•AC, ②
ACDC 由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC
4.过D作AQ⊥AE ,AG⊥CF ,由SADE=SABCD2=SDFC,可得：
AEPQAEPQ=,由AE=FC.
22 可得DQ=DG,可得∠DPA＝∠DPC〔角平分线逆定理〕.
经典难题〔五〕
1.〔1〕顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE为等边三角形.
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上,
即如如下图：可得最小L= ；
〔2〕过P点作BC的平行线交AB,AC与点D,F.
. 由于∠APD>∠ATP=∠ADP,
推出AD>AP ①
又BP+DP>BP ②
和PF+FC>PC ③
又DF=AF ④
由①②③④可得：最大L< 2 ；
由〔1〕和〔2〕既得：≤L＜2 .
2.顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE为等边三角形.
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上,
即如如下图：可得最小PA+PB+PC=AF.
既得AF=14(321)2 =
23=
423
2 =
2(31)2(31) =
22622 .
=
3.顺时针旋转△ABP 900 ,可得如如下图：
既得正方形边长L =
(222)2(22)a =
5222a .
4.在AB上找一点F,使∠BCF=600 ,
连接EF,DG,既得△BGC为等边三角形,
可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ,
得到BE=CF , FG=GE .
推出 ： △FGE为等边三角形 ,可得∠AFE=800 ,
. 既得：∠DFG=400①
又BD=BC=BG ,既得∠BGD=800 ,既得∠DGF=400②
推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ,
从而推得：∠FED=∠BED=300 .
.
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