全国高中数学竞赛专题三角函数

2023年12月10日发(作者：江苏初1初2数学试卷)

三角恒等式与三角不等式

一、基础知识

定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。

弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=L,其中r是圆的半径。

r定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距xyy,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数rrxrxrcotα=，正割函数secα=,余割函数cscα=.

yyx111定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=；

cotcscsecsincos商数关系：tanα=；

,cotcossin离为r,则正弦函数sinα=乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；

平方关系：sin2α+cos2α=1,

tan2α+1=sec2α,

cot2α+1=cscα.

定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα,

cos(π+α)=-cosα,

tan(π+α)=tanα,

cot(π+α)=cotα;

（Ⅱ）sin(-α)=-sinα,

cos(-α)=cosα,

tan(-α)=-tanα,

cot(-α)=cotα;

（Ⅲ）sin(π-α)=sinα,

cos(π-α)=-cosα,

tan=(π-α)=-tanα,

cot(π-α)=-cotα;

（Ⅳ）sin=cosα,

costan=sinα,

=cotα（奇变2222偶不变，符号看象限）。

定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。

3单调区间：在区间2k,2k上为增函数，在区间2k,2k上为2222减函数，

最小正周期：2. 奇偶性：奇函数

有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时,

y取最小22值-1，值域为[-1，1]。

对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心。这里k∈Z.

2定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。 单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。

最小正周期：2π。 奇偶性：偶函数。

有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。

对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点k,0均为其对称中心。这里k∈Z.

2定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)222上为增函数,

最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对2称中心。

定理6 两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,

sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;

(tantan).

tan(αβ)=(1tantan) 两角和与差的变式：sin2sin2cos2cos2sin()sin()

tantantantantantan三角和的正切公式：tan()

1tantantantantantan定理7 和差化积与积化和差公式:

sinα+sinβ=2sincos, sinα-sinβ22=2sin2cos2,

cosα+cosβ=2cos2cos2,

cosα-cosβ=-2sinsin,

2211sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],

cosαsinβ=[sin(α+22β)-sin(α-β)],

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)], sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].

定理8 二倍角公式：sin2α=2sinαcosα,

cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,

2tan.

tan2α=2(1tan)三倍角公式及变式：sin33sin4sin3，cos34cos33cos

sin(60)sinsin(60)sin3，cos(60)coscos(60)cos3

定理9 半角公式: sin(1cos)(1cos)=,

cos=,

2222sin(1cos)(1cos).

tan==sin2(1cos)(1cos)121214142tan1tan22tan2,

cos2,tan2. 定理10 万能公式:

sin1tan21tan21tan222222定理11 辅助角公式：如果a,

b是实数且a+b0，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a,

b)的一个角为β，

则sinβ=bab22,cosβ=aab22，对任意的角α.asinα+bcosα=(a2b2)sin(α+β).

定理12 正弦定理：在任意△ABC中有abc2R，

sinAsinBsinC其中a,

b,

c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。

定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。

定理14 射影定理：在任意△ABC中有abcosCccosB，bacosCccosA，cacosBbcosA

定理15 欧拉定理：在任意△ABC中，OI2R22Rr，其中O,I分别为△ABC的外心和内心。

定理16 面积公式：在任意△ABC中，外接圆半径为R,内切圆半径为r，半周长p则11abcSahaabsinCrp2R2sinAsinBsinCrR(sinAsinBsinC)

224Rabc

2定理17 与△ABC三个内角有关的公式：

（1）sinAsinBsinC4coscoscos;

（2）cosAcosBcosC14sinsinsinABC;

222（3）tanAtanBtanCtanAtanBtanC;

ABBCCA（4）tantantantantantan1;

222222（5）cotAcotBcotBcotCcotCcotA1;

A2B2C2（6）sin2Asin2Bsin2C4sinAsinBsinC.

定理18 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到y=sinx(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(,

>0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移y=Asinx的图象。

定义4 函数y=sinxx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，

,22个单位得到函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanxx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +,22∞]).

函数y=cotx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).

定理19 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina,

n∈Z}。

方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa,

k∈Z}.

如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana,

k∈Z}。

恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.

22定理20 若干有用的不等式：

（1）若x0,，则sinx

2sinxtanx（2）函数y在(0,)上为减函数；函数y在(0,)上为增函数。

xx2（3）嵌入不等式：设A+B+C=π，则对任意的x,y,z∈R，

有x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC

等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC.

二、方法与例题

1．结合图象解题。

例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。

2．三角函数性质的应用。

例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。

【解】 若x,，则-1

22所以sin(cosx) ≤0,又00，所以cos(sinx)>sin(cosx).

若x0,，则因为sinx+cosx=2sin(x+)≤2<，所以2420

22-cosx)=sin(cosx).

2综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)

3．最小正周期的确定。

例3 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。

【解】 因为cos(-x)=cosx，所以cos|x|=cosx,

所以T=2π是函数的周期；

4．三角最值问题。

所以cos(sinx)>cos(例4 已知函数y=sinx+1cos2x，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令sinx=2cos,1cos2x2sin430,

44则有y=2cos2sin2sin().

30，所以，所以0sin()≤1，

442443所以当，即x=2kπ-(k∈Z)时，ymin=0，当，即x=2kπ+(k∈Z)4422因为时，ymax=2.

【解法二】 因为y=sinx+1cos2x2(sin2x1cos2x)=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)），

且|sinx|≤1≤1cos2x，所以0≤sinx+1cos2x≤2，

所以当1cos2x=sinx，即x=2kπ+(k∈Z)时,

ymax=2，

2当1cos2x=-sinx，即x=2kπ-5．换元法的使用。

(k∈Z)时,

ymin=0。

2sinxcosx的值域。

1sinxcosx22sinxcosx2sin(x). 【解】 设t=sinx+cosx=2224例5 求y因为1sin(x)1,所以2t2.

4x21t21t12又因为t=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以y2，所以21t22121y.

22t1因为t-1，所以1，所以y-1.所以函数值域为221211,y,1.

226．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A,

,

>0).

3例6 已知f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M,0对4称，且在区间0,上是单调函数，求和的值。

2【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(x+)=sin(-x+)，

所以cossinx=0，对任意x∈R成立。又0≤≤π，解得=，

2333因为f(x)图象关于M,0对称，所以f(x)f(x)=0。

4443323取x=0，得f()=0，所以sin0.所以k(k∈Z)，即=(2k+1)

244234(k∈Z). )在[0，]上是减函数；

22取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；

2210取k=2时，≥，此时f(x)=sin(x+)在[0，]上不是单调函数，

3222综上，=或2。

37．三角公式的应用。

553例7 已知sin(α-β)=，sin(α+β)=- ，且α-β∈,，α+β∈,2，求131322sin2α,cos2β的值。

12【解】 因为α-β∈,，所以cos(α-β)=-1sin2().

132123又因为α+β∈,2，所以cos(α+β)=1sin2().

132所以120sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,

169cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.

112AC例8 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且，试求coscosAcosCcosB2的值。

AC【解】 因为A=1200-C，所以cos=cos(600-C)，

21111cos(1200C)cosC又由于

00cosAcosCcos(120C)cosCcosCcos(120C)2cos600cos(600C)2cos(600C)22， =11[cos1200cos(12002C)]cos(12002C)22AC2AC32ACAC所以42cos2或cos。

2cos32=0。解得cos222822AC2AC又cos>0，所以cos。

222例9 求证：tan20+4cos70=3

又>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+sin20sin204sin20cos20sin202sin40【解】

tan20+4cos70=+4sin20

cos20cos20cos20例10 证明：cos7x7cos5x21cos3x35cosx64cosx

7分析：等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为sinx、

cosx的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次. 证明：因为cos3x4cos3x3cosx,所以4cos3xcos3x3cosx,

从而有16cos6xcos23x6cos3xcosx9cos2x

评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令11zcosisin,则2cosz,从而,128cos7(z)7，展开即可.

zz 已知1tan2001,求证:sec2tan22001.1tan例11

1tan1cos(2)1tan1sin221tan证明：sec2tan2

tan()2001.cos241tansin(2)22001.例12 证明：对任一自然数n及任意实数xm(k0,1,2,,n,m为任一整数），

2k有1sin2x11cotx4xsin2x

思路分析：本题左边为n项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项.

12cos2xcos2x2cos2xcos2x证明：cotxcot2x,

sin2xsin2x2sinxcosxsin2x1n1n 同理1cot2xcot4x ……

cot2xcot2x

nsin2xsin4x评述：①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.

②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：

tantan2tan2tan3tan(n1)tanntannn.

tansinBcotCcosB例13 设ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列，则sinAcotCcosA 的取值范围是（

） 222[解] 设a,b,c的公比为q，则baq,caq2，而sinAcotCcosAsinAcosCcosAsinCsinBcotCcosBsinBcosCcosBsinCA.

(0,) B.

(0,51) C.

(51,51) D.

(51,)

2

sin(AC)sin(B)sinBbq．

sin(BC)sin(A)sinAa因此，只需求q的取值范围．

因a,b,c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a,b,c要构成三角形的三边，必需且只需abc且bca．即有不等式组

1551q,aaqaq,qq10,22即解得

22aqaqaqq10.q51或q51.2222从而5151q，因此所求的取值范围是(51,51)．故选C

2222例14 △ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，

则AA1cosABCBB1cosCC1cos222的值为（ ）

sinAsinBsinCA．2

解：A2B．4

如图C．6

，连D．8

BA1，则AA1=2sin(B+)2sin(

A.

ABCBCBC)2cos()

22222cos(B)sinCsinB,同理BB1cosBsinAsinC,CC1cosCsinAsinB,

222ABC2(sinAsinBsinC)AA1cosBB1cosCC1cos2(sinAsinBsinC),原式=2.选222sinAsinBsinC例15 若对所有实数x，均有sinkxsinkxcoskxcoskxcosk2x，则k（ ）.

A、6；

B、5；

C、4；

D、3．

k解：记fxsinkxsinkxcoskxcoskxcos2x ，则由条件，fx恒为0，取x2，得sinkk1，则k为奇数，设k2n1，上式成为sinn1，因此n为偶数，令22n2m，则k4m1，故选择支中只有k3满足题意．故选D 例16 已知fxx2a2b21xa22abb2是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是

A．2 B. 2 C.

22 D. 4

解：由已知条件可知，a2b210，函数图象与y轴交点的纵坐标为a22abb2。令22sincosacos,bsin，则a22abb2cossin2cos2sin22。因此 选 A。

例17 已知,R，直线xyxy1与1

sinsinsincoscossincoscos的交点在直线yx上，则sincossincos 。

解：由已知可知，可设两直线的交点为(x0,x0)，且sin,cos为方程x0x01，

tsintcos的两个根，即为方程t2(cossin)tsincosx0(cossin)0的两个根。

因此sincos(sincos)，即sincossincos0。

1、cos(1x25x7x25x6)＝ 。

2、已知函数f(x)3、已知sin(πx)cos(πx)215(x)，则f(x)的最小值为_____。

44xtan()sin(2)1的值是_ __.

3，且k,n(n,kZ)。则tansin224、设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立，则bcosc=

a25、设0<<π，求sin(1cos)的最大值。

6、求证：3tan18tan18tan123tan121.

7、已知a0=1,

an=1an121an1(n∈N+)，求证：an>2n2.

8、已知sinAsin(),|A|1,求证:tan()sin.cosA9、若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。

10、证明：sinsin()sin(2)sin(n)sin(nn1)sin

2x

xcoscos11、已知α，β为锐角，且x·（α+β-）>0，求证：sinsin2.

212、求证：①cos6cos42cos66cos781451 ②sin1°sin2°sin3°…sin89°=()610.

416全国高中数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式 实战演练答案

1、解：根据题意要求，x25x60，0x25x71。于是有x25x71。因此

cos(1x25x7x25x6)cos01。因此答案为 1。

π2sin(πx)215π1542、解：实际上f(x)设g(x)2sin(πx)(x)，则g(x)≥0，(x)，44444x13353g(x)在[,]上是增函数，在[,]上是减函数，且y=g(x)的图像关于直线x对称，则对444441335任意x1[,]，存在x2[,]，使g(x2)=g(x1)。于是444435g(x1)2g(x2)2g(x2)2f(x1)f(x2)，而f(x)在[,]上是减函数，所以44x1x1x24554515f(x)f()，即f(x)在[,]上的最小值是。

54544sin(2)11[sin(2)sin]tan()sin()cos231sin2. 3、解：1sin(2)tancos(ab)sin31[sin(2)sin]12sin14、解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f(x)+f(x−c)=2，于是取ab，c=π，则对任2bcosc意的x∈R，af(x)+bf(x−c)=1，由此得1。

aπ一般地，由题设可得f(x)13sin(x)1，f(xc)13sin(xc)1，其中0且22c)=1可化为13asin(x)13bsin(xc)ab1，即

tan，于是af(x)+bf(x−313asin(x)13bsin(x)cosc13bsinccos(x)(ab1)0，

所以13(abcosc)sin(x)13bsinccos(x)(ab1)0。

abcosc0(1)(2)， 由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有bsinc0ab10(3)若b=0，则由(1)知a=0，显然不满足(3)式，故b≠0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z)。当c=2kπ时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=−1。由(1)、(3)知ab，所以12bcosc1。

a5、【解】因为0<<π，所以0222，所以sin>0,

cos>0.

222222所以sin（1+cos）=2sin·cos2=22sin2cos2cos2

22cos2cos22sin222=1643. ≤227932222当且仅当2sin=cos, 即tan=,

=2arctan时，sin(1+cos)取得最22222243大值。

936、思路分析：等式左边同时出现tan18tan12、tan18tan12，联想到公式tan()tantan.

1tantan证明：3tan18tan18tan123tan12

评述：本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证(1tan1)(1tan2)(1tan43)(1tan44)2等.

227、【证明】 由题设知an>0，令an=tanan,

an∈0,，

2则an=1tan2an11tanan1secan111cosan1atann1tanan.

2tanan1sinan1na11因为n1，an∈0,，所以an=an1，所以an=a0.

22221又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以an·。

442又因为当0x，所以antann2n2.

222注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x∈0,时，有2ntanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。

8、分析：条件涉及到角、，而结论涉及到角，.故可利用()或()消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A”入手.

证法1：

sinAsin(),

sin()Asin(),

sinsin()sin

sincossin()sincossin()证法2：sinsinA9、【解】 因为sinA+sinB=2sinABABABcos, ①

2sin222sinC+sin3C2sinC223cosC232sinC23, ②

32sin又因为sin44由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,

333333所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）max=.

2233ABsin2ABC3cosABC32sin，③

3注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。

110、证明：sinsin[cos()cos()],

2222 所以，sinsin()sin(n)sin(nn1)sin22.

sin2sinn1ncos()22.

sin评述：①类似地，有coscos()cos(n)2

nn1sincos2 ②利用上述公式可快速证明下列各式：coscos2cos3cosn2

sin211、【证明】 若α+β>0

sin，则x>0，由α>-β>0得cosαsin(0

sin-β)=cosβ, 所以2coscoscoscos所以2.

sinsinsinsin若α+β<，则x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0,所以2222cos>1。

sinxx00又01，

sin-β)=cosβ，所2coscoscoscos所以sinsinsin2，得sinxx00证。 注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。

cos42cos7812、证明：①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66°cos54

②sin1°sin2°sin3°…sin89°

=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°

=()29sin3sin6sin87143

4又(cos18sin36)21(1cos36)(1cos72)

4即

cos18sin365.

4所以

sin1sin2sin89()45610.

14