全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

2023年12月2日发(作者：数学试卷得分区)

第一届全国大学生数学竞赛预赛试题

一、填空题（每小题5分，共20分）

y(xy)ln(1)xdxdy__ ，其中区域D由直线xy1与两坐标轴所围成三角形区域. 1．计算D1xy2．设f(x)是连续函数，且满足f(x)3x2f(x)dx2, 则f(x)____________.

02x2y22平行平面2x2yz0的切平面方程是__________. 3．曲面z24．设函数yy(x)由方程xef(y)d2yeln29确定，其中f具有二阶导数，且f1，则2_____.

dxyexe2xenxx)，其中n是给定的正整数. 二、（5分）求极限lim(x0ne

三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)f(xt)dt，且lim01x0f(x)A，A为常数，求g(x)并讨论g(x)x在x0处的连续性.

四、（15分）已知平面区域D{(x,y)|0x,0y}，L为D的正向边界，试证：

5（1）xesinydyyesinxdxxesinydyyesinxdx； （2）xesinydyyesinydx2.

2LLL

五、（10分）已知y1xexe2x，y2xexex，y3xexe2xex是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

六、（10分）设抛物线yax2bx2lnc过原点.当0x1时,y0,又已知该抛物线与x轴及直线1x1所围图形的面积为.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

3

e(x)un(x)xe(n1,2,), 且un(1), 求函数项级数un(x)之和. 七、（15分）已知un(x)满足unnn1n1x八、（10分）求x1时, 与xn等价的无穷大量.

2n01

第二届全国大学生数学竞赛预赛试题

一、（25分，每小题5分）

（1）设xn(1a)(1a2)1(1a2),其中|a|1,求limxn. （2）求limex1。

xnxnx2（3）设s0，求Iesxxndx(n1,2,)。

02g2g1（4）设函数f(t)有二阶连续导数，rxy,g(x,y)f，求22。

xyr22xy0x2y1z3（5）求直线l1:与直线l2:的距离。

421z0二、（15分）设函数f(x)在(,)上具有二阶导数，并且f(x)0,limf(x)0,limf(x)0,且xx存在一点x0，使得f(x0)0,证明：方程f(x)0在(,)恰有两个实根。

x2tt2(t1)所确定，其中(t)具有二阶导数，曲线三、（15分）设函数yf(x)由参数方程y(t)y(t)与yeudu1t223在t1出相切，求函数(t)。

2en四、（15分）设an0,Snak,证明：（1）当1时，级数k1an收敛； （2）当1且sn(n)n1Sn时，级数

an发散。

n1Snx2y2z2五、（15分）设l是过原点、方向为(,,)，（其中1)的直线，均匀椭球2221，abc222其中（0cba,密度为1）绕l旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,,)的最大值和最小值。

六、(15分)设函数(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分c2xydx(x)dy2xydx(x)dy22(x2)y1,的值为常数。（1）设为正向闭曲线证明0; （2）L42xyx4y2c2xydx(x)dy。

42xy求函数(x)；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求c2

第三届全国大学生数学竞赛预赛试题

一． 计算下列各题（共3小题，每小题各5分，共15分）

11cosx（1）.求limsinxx0x； （2）.求lim111；

...nn1n2nn2txln1e（3）已知tytarctaned2y，求。

2dx二．（10分）求方程2xy4dxxy1dy0的通解。

f0,f\'0,f\"0均不为0，三．（15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得limh0k1fhk2f2hk3f3hf0h20。

x2y2z2222四．（17分）设1:2221，其中abc0，2:zxy，为1与2abc的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。

x23y21五．（16分）已知S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（z0）取上z0侧，是S在Px,y,z点处的切平面，x,y,z是原点到切平面的距离，,,表示S的z正法向的方向余弦。计算：（1）（2）zx3yzdSdS；x,y,zSS

六．（12分）设f(x)是在实数a0，定义an

七．（15分）是否存在区间,内的可微函数，且f、xmfx，其中0m1，任取lnfan1,n1,2,...,证明：anan1绝对收敛。

n10,2上的连续可微函数f(x)，满足f0f21，

f、x1,0fxdx1请说明理由。

3

2 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一. 每题6分共30分

1x11.求极限lim(n!)n； 2.求极限lim3x2sinttcostnxxdt；

2xy3z03.求通过直线L:的两个相互垂直的平面1,2，是其中一个平面过点（4,3,1）；

5x5y4z304.已知函数zu(x,y)e2zzzz0；

xyxxaxby2u0，确定常数a和b，使函数zz(x,y)满足方程，且xy5.设函数uu(x)连续可微，u(2)1，且(x2y)udx(xu3)udy在右半平面上与路径无关，求u(x)；

L二.（10分）计算e2x|sinx|dx；

0

三.（10分）求方程x2sin

四.（12分）设函数yf(x)二阶可导，且f(x)0,f(0)0,f(0)0，求limx012x501的近似解，精确到0.001；

xx3f(u)，其中u是3f(x)sinu曲线yf(x)上点P(x,f(x))处切线在x轴上的截距；

五.（12分）求最小实数C，使得对满足|f(x)|dx1的连续的函数f(x)，都有f(x)dxC；

0011

六.（12分）设f(x)为连续函数，t0，区域是由抛物面zx2y2和球面x2y2z2t2所围起来的上半部分，定义三重积分F(t)f(x2y2z2)dv，求F(t)；



七.（14分）设an与bn为正项级数那么（1）若lim(n1n1anan1bnn1（1）若)0，则an收敛；bnn1lim(anann1bn1)0，则若bn发散，an收敛。

bnn1n14

第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、

解答下列各题（每小题6分共24分）

1.求极限lim1sin14nn2n. 2.证明广义积分0sinxdx不是绝对收敛的

x3.设函数yyx由x33x2y2y32确定，求yx的极值。

4.过曲线y3xx0上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为求点A的坐标。

3，4二、（12分）计算定积分I

xsinxarctanexdx

21cosxfx10。证明 ：级数f收敛。 三、（12分）设fx在x0处存在二阶导数f0，且limx0xnn1

四、（12分）设fx,fx0axb，证明sinfxdxab2

m

五、（14分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分

Ix3xdydz2y3ydzdx3z3zdxdy。试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值。

六、（14分）设IarlimIar

Cydxxdyx2y2a，其中a为常数，曲线C为椭圆x2xyy2r2，取正向。求极限r

112n的敛散性，若收敛，求其和。 七（14分）判断级数n1n1n215

第六届全国大学生数学竞赛预赛试题

一 填空题(共有5小题，每题6分，共30分)

1.已知y1ex和y1xex是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是_

2.设有曲面S:zx22y2和平面L:2x2yz0。则与L平行的S的切平面方程是_

3.设函数yy(x)由方程xnyx1dyt_____

sin2dt所确定。求dx4x01x4.设xnf(x)kf(x)e3。则lim2__ 。则limxn_ 5.已知lim1xx0x0xnxk1(k1)!1二 （12分）设n为正整数，计算I2ned1coslndx。

dxx

三 （14分）设函数f(x)在[0,1]上有二阶导数，且有正常数A,B使得|f(x)|A，|f\"(x)|B。证明：对任意x[0,1]，有|f\'(x)|2A

四 （14分）（1）设一球缺高为h，所在球半径为R。证明该球缺体积为B。

23球冠面积为2Rh；(3Rh)h2。（2）设球体(x1)2(y1)2(z1)212被平面P:xyz6所截得小球缺为，记球冠为，方向指向球外。求第二型曲面积分Ixdydzydzdxzdxdy



五 （15分）设f在[a,b]上非负连续，严格单增，且存在xn[a,b]，使得[f(xn)]n求limxn

n1bn[f(x)]dx。aba

六 （15分）设An

nnnlimnA。求

n22222nn1n2nn46

第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）

2sinsinsin（1）极限limn2n2n2 .

nnnn1n2zz（2）设函数zzx,y由方程Fx,y0所决定，其中Fu,v具有连续偏导数，且yxxFuyFv0。则xzzy .

xy（3）曲面zx2y21在点M1,1,3的切平面与曲面所围区域的体积是 .

3,x5,0(4)函数fx在5,5的傅立叶级数在x0收敛的值是 .

0.x0,5（5）设区间0,上的函数ux定义域为的uxe0xt2dt，则ux的初等函数表达式是 .

二、（12分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。

三、（12分）设fx在a,b内二次可导，且存在常数,，使得对于xa,b，有fxfxfx，则fx在a,b内无穷次可导。

n32n四、（14分）求幂级数x1的收敛域，及其和函数。

n0n1!

五、（16分）设函数fx在0,1上连续，且fxdx0,xfxdx1。试证：

0011（1）x00,1使fx04 （2）x10,1使fx14

222六、（16分）设fx,y在x2y21上有连续的二阶偏导数，且fxx2fxyfyyM。若

f0,00,fx0,0fy0,00,证明：

x2y21fx,ydxdyM4。

7

第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，满分30分）

1fan . 1、若fx在点xa可导，且fa0，则limnfa2、若f10，f1存在，求极限Ilimx0nfsin2xcosxtan3xex21sinxzz，求fx在x0的表达式.

x.

3、设fx有连续导数，且f12，记zfexy2，若4、设fxexsin2x，求0an2，f40.

x25、求曲面 zy2平行于平面2x2yz0的切平面方程.

2二、（14分）设fx在0,1上可导，f00，且当x0,1，0fx1，

试证当a0,1，

三、（14分）某物体所在的空间区域为:xy2zxy2z，密度函数为xyz，求质量222222a0fxdx2f3xdx.

0aMx2y2z2dxdydz.



四、（14分）设函数fx在闭区间0,1上具有连续导数，f00，f11，

11n证明：limnfxdxfnnk10

1k.

2n五、（14分）设函数fx在闭区间0,1上连续，且I使得

fxdx0，证明：在0,1内存在不同的两点x,x0112，112.

fx1fx2I六、设fx在,可导，且fxfx2fx3. 用Fourier级数理论证明fx为常数.

8

第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一填空

1. 已知可导函数满足, 则f(x)

2．求limsin2n2n

n3. 设wf(u,v)具有二阶连续偏导数，且u=xcy，v=x+cy，其中c为非零常数。则wxx1wyy=____。

c2f(sin2x)4. 设f(x)有二阶导数连续，且f(0)f\'(0)0,f\"(0)6，则lim=______

x0x4esinxsin2xdx=________. 5不定积分I2(1sinx)6. 记曲面zxy和z2224x2y2围成空间区域为V，则三重积分zdxdydz=__________.

V二（本题满分14分) 设二元函数f(x,y)在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度，定义一元函数dg(0)d2g(0)g(t)f(tcos,tsin).若对任何都有0且0. 证明f(0,0)是f(x,y)的极小值.

2dtdt

三 (本题满分14分) 设曲线为在xyz1，xz1，x0,y0,z0

上从A(1,0,0)到B(0,0,1)的一段. 求曲线积分Iydxzdyxdz

222

四(本题满分15分)

设函数f(x)0且在实轴上连续，若对任意实数t，有e|tx|f(x)dx1，则a,b(ab)，f(x)dxabba2。

2

五(本题满分15分) 设{an}为一个数列，p为固定的正整数。若limnanpan，其中为常数，证明lim

an。

nnp9