2024年3月16日发(作者：2022温州中考数学试卷填空)
高二数学复习考点知识与题型专题讲解
1.2 空间向量基本定理
【考点梳理】
考点一 空间向量基本定理
如果三个向量
a
，
b
，
c
不共面，那么对任意一个空间向量
p
，存在唯一的有序实数组(
x
，
y
，
z
)，使得
p
＝
xa
＋
yb
＋
zc
.我们把{
a
，
b
，
c
}叫做空间的一个基底，
a
，
b
，
c
都叫做基
向量．
考点二 空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位
正交基底 ，常用{
i
，
j
，
k
}表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量
a
，均可以分解为三个向量
xi
，
yj
，
zk
使得
a
＝
xi
＋
yj
＋
zk
. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量
进行正交分解．
考点三 证明平行、共线、共面问题
(1) 对于空间任意两个向量
a
，
b
(
b
≠0)，
a
∥
b
的充要条件是存在实数
λ
，使
a
＝
λb
.
(2) 如果两个向量
a
，
b
不共线，那么向量
p
与向量
a
，
b
共面的充要条件是存在唯一的
有序实数对(
x
，
y
)，使
p
＝
xa
＋
yb
.
考点三 求夹角、证明垂直问题
a
·
b
(1)
θ
为
a
，
b
的夹角，则cos
θ
＝.
|
a
||
b
|
1 / 50
(2)若
a
，
b
是非零向量，则
a
⊥
b
⇔
a
·
b
＝0.
知识点三 求距离(长度)问题
→→
|
a
|
＝
a
·
a
(
|
→
AB
|
＝
AB
·
AB
)．
【题型归纳】
题型一：空间向量基底概念
1．（2021·广东·广州市海珠中学高二期中）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．直线的方向向量有且仅有一个
2．（2021·云南师大附中高二期中）已知
a,b,c
能构成空间的一个基底，则下面的各组
向量中，不能构成空间基底的是（ ）
A．
ab,b,c
B．
a,ab,c
C．
ac,bc,ab
D．
a,b,abc
3．（2021·湖南·周南中学高二）设向量
a,b,c
不共面，则下列可作为空间的一个基底的
是（ ）
A．
{ab,ba,a}
B．
{ab,ba,b}
C．
{ab,ba,c}
D．
{abc,ab,c}
题型二：空间基底表示向量
4．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））如图，在三棱锥
OABC
中，设
OAa,OBb,OCc,
，若
ANNB,BM2MC
，则
MN
=（ ）
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