2023年12月2日发(作者：适合复读生数学试卷)

高试题

山东省泰安市2020-2021学年高二下学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．函数y=2x2㏑x的单调递减区间为

A．（1,1] B．（0,1]

x01C．[1，+∞） D．（0，+∞）

2．已知函数fxln3x4x，则limA．5 B．5

f12xf1（

）

xC．10 D．10

3．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为65，则事件A在一次试验中发生的概率为

811A．

32B．

55C．

63D．

44．已知fx是函数fx在R上的导函数，且函数fx在x2处取得极小值，则函数yxfx的图象可能是（

）

A． B．

C． D．

5．航空母舰“山东舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架飞机准备着舰，如果甲乙两机必须相邻着舰，而甲丁两机不能相邻着舰，则不同的着舰方法有（

）

A．36 B．24 C．16 D．12

6．整数5555除以7的余数为（

）

A．6

试题

B．5 C．3 D．1 高试题

7．某学校高三（5）班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件A:男生甲被选中，事件B:有两名女生被选中，则PBA（

）

1A．

81B．

7C．

383D．

78．某大学暑期将开展“贫困山区留守儿童支教”活动，学校打算安排3名老师和4名学生分别去甲，乙，丙三个山区，其中1名老师和2名学生去甲地支教，另外2名老师和2名学生分两组(每组老师和学生各1人)分别去乙，丙两地支教，则所有不同的安排方案有（

）

A．36种

二、多选题

9．下列结论正确的是（

）

m3m2C10A．若C10，则m3

B．48种 C．72种 D．144种

22B．若An1An12，则n6

C．在1x1x1x1x的展开式中，含x2的项的系数是220

D．x1的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大

823411110．若随机变量X，Y的概率分布密度函数分别为fxe2gx10.62x0.62x122，e20.62Xgx的图象如图所示，，fx，N1,12，Y2N2,210,20，则下列结论正确的是（

）

2附：若随机变量ZN,，则PZ0.6827，P2Z20.9545，P3Z30.9973.

试题 高试题

1A．PX1PY

2B．12

D．P0.7Y1.30.0428

ak1,2,5，aR，E，D分别k1C．PX20.15865

11．设随机变量的分布列为Pk为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是（

）

A．P03.55 B．E317

6C．D2 D．D316

12．已知函数fxlnx1asinx，aR，则下列结论正确的是（

）

A．当a1时，fx在0,f0处的切线方程为y0

B．当a1时，fx在1,上存在唯一极大值点x0

2C．存在a，使得fx有且仅有2个零点

D．存在a，使得fx有且只有一个零点

三、填空题

13．某射手射击所得环数的分布列如下：

P

7 8

0.1

9 10

0.4

x

y

已知的数学期望E8.9，则y______.

14．如图所示，将一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有5种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为______.

lnx,x015．已知函数fx，，若方程fxax有三个不同的实数根，则实数a2x1,x0的取值范围为______.

四、双空题

16．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是试题 高试题

次品的概率为______，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为______.

五、解答题

2n17．已知在二项式xn2,nN的展开式中，前三项系数的和是97.

x（1）求n的值；

（2）求其展开式中所有的有理项.

18．下图是某市2014年至2020年生活垃圾无害化处理量(单位：万吨)的散点图.

注：年份代码1-7分别对应年份2014-2020.

n

（1）由散点图看出，可用一元线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（2）建立y关于t的经验回归方程(系数精确到0.01)，预测2022年该市生活垃圾无害化处理量.

参考公式：rttyyiii1nttyy2iii1i1nn2，

经验回归方程ybta中bti1nitiyyiti1nt2，aybt.

参考数据：yi9.32，tiyi40.17，i1i1nni17yiy20.55，72.646.

19．已知函数fx12xaxa1lnx，其中a1.

2（1）若a2，求函数fx的图象在点2,f2处的切线方程；

（2）讨论函数fx的单调性.

20．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的甲，乙两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两试题 高试题

组，每组20人，第一组工人用甲种生产方式，第二组工人用乙种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下表格：

完成任务工作时间

甲种生产方式

乙种生产方式

60,70

2人

5人

70,80

3人

10人

80,90

10人

4人

90,100

5人

1人

（1）将完成生产任务所需时间超过80min和不超过80min的工人数填入下面列联表：工作时间

生产方式

超过80min

甲

乙

合计

不超过80min

合计

（2）根据（1）中的列联表，依据小概率值0.01的独立性检验，能否认为甲，乙两种生产方式的效率有差异？

（3）若从完成生产任务所需的工作时间在60,70的工人中选取3人去参加培训，设X为选出的3人中采用甲种生产方式的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

附：2nadbc2abcdacbd0.1

2.706

0.05

3.841

x

0.01

6.635

0.005

7.897

0.001

10.828

21．某果农在其承包的100亩果园中种植一种原生态水果(每年种植一季)，每亩的种植成本为5000元，由于受天气和市场供求关系的影响，此水果的亩产量和销售价格均具有随机性，且互不影响.根据近几年的数据得知，每季由产量为500kg的概率为0.4.亩产量为800kg的概率为0.6，市场销售价格c(单位：元/kg)与其概率p的关系满20,p0.3.

足c30,p0.7（1）设X表示此果农某季所获得的利润，求X的分布列和数学期望；

试题 高试题

（2）求5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率.

122．已知函数fxlnxmx2x2，其中m2.

2（1）若m2，求fx的极值；

ex（2）证明：fx.

x

试题 高试题

参考答案

1．B

【详解】

x210121x1对函数yxlnx求导，得yx（x>0）,令{x解得x(0,1]，因此函2xxx02数y12xlnx的单调减区间为(0,1]，故选B

2考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域

2．C

【分析】

求出函数的导函数，再根据极限的运算性质及导数的定义即可得解.

【详解】

解：fxlim34，

3xx0f12xf1f12xf12lim2f110.

x0x2x故选：C.

3．A

【详解】

分析：可从事件的反面考虑，即事件A不发生的概率为165，由此可易得结论．

814详解：设事件A在一次试验中发生的概率为p，则(1p)116516，解得p．

38181故选A．

点睛：在求“至少”、“至多”等事件的概率时，通常从事件的反而入手可能较简单，如本题中“至少发生1次”的反面为“一次都不发生”，若本题求“至多发生3次”的概率，其反面是“至少发生4次”即“全发生”．

4．A

【分析】

根据题意，确定以x2或x0为分界点各区间上yxfx的函数值的符号，进而可得大致图像.

试题 高试题

【详解】

函数fx在R上可导，其导函数为fx，且函数fx在x2处取得极小值，

当x2时，fx0；当x2时，fx0；当x2时，fx0.

所以，当x2时，xfx0；当x2时，xfx0；

当2x0时，xfx0；当x0时，xfx0；

当x0时，xfx0.

故选：A.

5．A

【分析】

先计算将甲、乙两机看成一个整体，与丁不相邻的排法，再计算甲乙丁相邻且乙在中间的排法可得答案.

【详解】

222先将甲、乙两机看成一个整体，与丁不相邻的排法有A2A3A224，甲乙丁相邻且乙在中间23的排法有A2A312，所以共有36种方法.

故选：A.

6．A

【分析】

变形55＝56﹣1，利用二项式定理展开即可得出答案．

【详解】

解：5555561

01C555655C55565415454C55561C551

54555501C555655C555654154C555611

5401C555655C555654154C5556176

5401C555655C5556541因为01C555655C5556541所以54C555617能被7整除，

54C5556176除以7的余数为6.

5454试题 高试题

故选：A.

7．B

【分析】

计算出事件A、AB的概率，利用条件概率公式可求得PBA的值.

【详解】

2C73由题意可得PA3，

C88C323事件AB:男生甲与两名女生被选中，则PAB3，

C856因此，PBA故选：B.

【点睛】

本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力和推理论证能力，考查数学运算和逻辑推理核心素养，属于中等题.

8．C

【分析】

分三步，先从3名老师中先1人，4名学生中选2人组成一组去甲地，然后把剩下的2名老师分到乙，丙两地各1人，再把剩下的2名学生分到乙，丙两地各1人即可

【详解】

12解：分三步，先从3名老师中先1人，4名学生中选2人组成一组去甲地，有C3C418种方PABPA381.

5637法，

2再把剩下的2名老师分到乙，丙两地各1人，有A22种方法，

2最后把剩下的2名学生分到乙，丙两地各1人，有A22种方法，

由分步乘法原理可得共有182272种不同的安排方案，

故选：C

9．BC

【分析】

试题 高试题

根据组合数的性质判断A，根据排列数公式，即可计算B，根据二项式系数和系数的公式，即可判断CD.

【详解】

m3m2若C10C10，则m3m2或m3m210，解得：m1或m3，故A错误；

22若An1An12，解得：n6，故B正确；

在1x1x1x1x的展开式中，含x2的项的系数是222232223C2C3C4...C11C3C3C4...C11C12220，故C正确；

23411x18的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，故D不正确.

故选：BC

10．AC

【分析】

根据正态密度曲线的对称性，以及3原则，分别判断选项.

【详解】

11A.函数fx关于x1对称，函数gx关于x对称，所以PX1PY，故A22正确；

B.由函数解析式可知，11，20.6，12，故B错误；

C.PX2PX10.68270.15865，故C正确；

20.99730.95450.0214，故D错误.

2D.P0.7Y1.3P2Y3故选：AC

11．ABC

【分析】

利用分布列的性质求a，而P03.5P1P2，根据期望、方差公式即可求E31、D、D31，进而可确定选项的正误.

【详解】

因为随机变量的分布列为Pkak1,2,5，

k1试题 高试题

由分布列的性质可知，P1P2P5∴P03.5P1P2aaa1，解得a1，

2365，A选项正确；

6111E1252，即有E313E13217，B选项正确；

236D1112221222522，C选项正确

236D319D18，D选项不正确.

故选：ABC.

12．ACD

【分析】

当a1时，利用导数的几何意义，即可判定A正确；当a1时，求得fx令gx1cosx，

x11cosx，结合导数的符号和极值点的概念，可

判定B错误；当a1时，先判x1定函数fx在(1,0)没有零点，再由零点的定义和函数hxlnx1与ysinx的图象的交点个数，可判定C正确；当a0时，根据对数函数的性质，可判定D正确.

【详解】

对于A中，当a1时，可得fxlnx1sinx，所以f00，即切点为(0,0)，

由fx1cosx，可得切线的斜率为kf00，

x1所以fx在0,f0处的切线方程为y0，所以A正确；

对于B中，当a1时，可得fx1cosx，

x111gxsinx在(1,)为单调递增函数，

cosx，可得令gx22x1x11g()10,g(0)1022由，所以存在x0(0,)，使得g(x0)0，

212当(1,x0)时，gx0，函数gx单调递减；

当(x0,)时，gx0，函数gx单调递增，

2所以fx在区间(1,)上有唯一的极小值点x0，所以B错误；

2试题 高试题

对于C中，当a1时，函数fxlnx1sinx，且fx当x(1,0)时，fx0，函数fx单调递增，

所以fxf00，即函数fx在(1,0)没有零点；

在x[0,)，令fx0，即lnx1sinx，

由函数hxlnx1和ysinx的图象，如图所示，

可得当x0时，h(0)sin00；当x当x3时，h(1cosx，

x1时，h()sin1；

22255)sin1，所以在x[0,)上仅有两个零点，

22综上可得，当a1时，函数fx有且仅有2个零点，所以C正确；

对于D中，当a0时，函数fxlnx1，

根据对数函数的性质，可得函数fxlnx1的图象与x轴仅有一个交点，

即当a0时，函数fx有且只有一个零点，所以D正确.

故选：ACD.

13．0.3

【分析】

根据分布列的概率之和等于1以及由分布列求期望的公式列方程即可求解.

【详解】

x0.1y0.41

由题意可得：7x80.19y100.48.9x0.2xy0.5

即解得：7x9y4.1y0.3试题 高试题

所以y0.3，

故答案为：0.3.

14．260

【分析】

首先分类，分AC相同和不同两类，再按照分计数原理，计算结果.

【详解】

第一种情况，当AC相同时，有541480种方法，

第二种情况，当AC不同时，有5433180种方法，

综上可知，共有80180260种方法.

故答案为：260

115．0,

e【分析】

先验证x0不是方程fxax的根，则当x0时，方程fxax可化为：ahxfx，xfx，分析出其单调区间，作出其函数图像，方程fxax有三个不同的实数根，x即ya与函数hx的图像有3个交点.从而数学结合得出答案.

【详解】

当x0时，f01，此时f01a0，所以x0不是方程fxax的根

当x0时，方程fxax可化为：alnx,x0fxx设hx，

1x2,x0xfx

x方程fxax有三个不同的实数根，即ya与函数hx的图像有3个交点.

当x0时，hx当x0时，hx112，此时hx单调递减，且h0，hx2

x21lnxlnx

，则hxx2x当xe时，hx0，当0xe时，hx0

试题 高试题

所以函数hx在0，e上单调递增，在e,上单调递减.

1且x0时，hx，h10，当x1时，hx0，x时,hx→0.he

e作出hx的图象如图.由图可得:

当a2时，ya与函数hx的图像没有交点

1当a2时，ya与函数hx的图像有1个交点

e当1a时，ya与函数hx的图像有2个交点

e1时，ya与函数hx的图像有3个交点

e当0a当a0时，ya与函数hx的图像有2个交点

所以方程fxax有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为0a1故答案为：0,

e1

e

16．0.0525

【分析】

3

7Ai＝“零件为第i台车床加工”(i首先用数学语言表示已知条件，设B＝“任取一个零件为次品”，＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.由条件概率公式计算P(B)；由条件概率公式P(A3|B)P(A3B)计算．

P(B)【详解】

试题 高试题

Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，设B＝“任取一个零件为次品”，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．根据题意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.

由全概率公式，

得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)

0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05

＝0.25×＝0.0525.

“如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率”，

就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率．

P(A3|B)P(A3B)P(A3)P(B|A3)

＝P(B)P(B)＝0.450.053＝.

70.05253故答案为：0.0525；

7245T9256x8. 17．8；（1）（2）共有5项，分别为T1x，T3112x，T51120x，T71792x，【分析】

（1）求出通项公式，可以得到前3项系数和可得答案；

（2）求出Tk1若为有理数，当且仅当【详解】

依题意：Tk1Ckn83k为整数即k0,2,4,6,8时可得答案.

2xnknkk2kk22Cnxx

xk2Cxknkn3k2k0,1,n，

（1）∵前3项系数和是97，

124Cn97，解得n8或n6（舍）∴12Cn，

∴n8.

（2）若Tk1为有理数，当且仅当∵0k8，kZ，

∴k0,2,4,6,8，

∴展开式中的有理项共有5项，分别为T1x4，T3112x，T51120x2，T71792x5，试题

83k为整数时，

2高试题

T9256x8.

18．（1）答案见解析；（2）1.83万吨.

【分析】

（1）由散点图中的数据和已知的数据，利用公式求解相关系数并判断；

（2）由散点图中的数据和已知的数据，利用公式求出线性回归方程，然后令t9代入回归方程中计算可预测2022年该市生活垃圾无害化处理量.

【详解】

解：(1)由散点图中数据和参考数据得，

t4，i177tit228，7i17i17yiy20.55，

ttyytytyiiiii1i1i40.1749.322.89，

∴r2.890.99.

0.5522.646因为y与t的相关系数近似为0.99.说明y与t的线性相关程度相当高.从而可以用一元线性回归模型拟合y与t关系.

(2)由y9.321.331及(1)得

7bti17itiyyi2tti172.890.10，

28aybt1.3310.1040.93.

所以y关于t的经验回归方程为：y0.930.10t

将2022年对应的t9代入经验回归方程得，y0.930.1091.83.

所以预测2022年该市生活垃圾无害化处理量将约1.83万吨.

19．（1）x2y2ln260；（2）答案见解析.

【分析】

（1）先把a2代入，对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；

（2）先对函数求导，对a进行分类讨论，即a2，1a2，a2三种情况进行讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性．

试题 高试题

【详解】

解：(1)当a2时，fx∴f21，

21，

2121x2xlnx，则fxx2，

2x∴函数yfx的图象在点2,f2处的切线的斜率为k又点2,f2在切线上.且f2ln22，

∴函数yfx的图象在点2,f2处的切线方程为x2y2ln260.

（2）fx的定义域为0,.

a1x2axa1x1x1a.

fxxaxxx①若a11.即a2时，则fx∴fx在0,上单调递增，

②若a11，即1a2时，

x1x20，

当xa1,1时.fx0；当x0,a1，x1,时，fx0，

∴fx在a1,1上单调递减，在0,a1，1,上单调递增.

③若a11.即a2时，

当x1,a1时，fx0；当x0,1，xa1,时，fx0，

∴fx在1,a1上单调递减，在0,1，a1,上单调递增.

20．（1）答案见解析；（2）认为甲，乙两种生产方式的效率有差异；（3）分布列见解析，EX6.

7【分析】

（1）根据已知数据即可补全22列联表；

（2）由公式计算2的值与临界值6.635比较即可判断；

（3）X的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率即可得分布列与数学期望.

【详解】

（1）根据已知数据可得列联表如下：

试题 高试题

工作时间

生产方式

超过80min

甲

乙

合计

15

5

20

不超过80min

5

15

20

20

20

40

合计

（2）设H0：甲，乙两种生产方式的效率无差异

40151555根据（1）中列联表中的数据，经计算得2106.635x0.01

20202020依据小概率值0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为甲，乙两种生产方式的效率有差异，此推断犯错误的概率不大于0.01.

（3）由题意知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2

3C52PX03，

C77212C2C4PX135，

C7721C2C1PX235，

C77所以X的分布列为

X

0

2

71

4

72

1

7P

2416所以EX012.

777721．（1）答案见解析；（2）0.2592.

【分析】

（1）根据题意先求出利润X的所有可能取值，再求出对应的概率，列出分布列，得出期望.

(2)由（1）得出第i年利润高于100万元的概率，从而可得出5年中恰有4年此果农的利润试题 高试题

高于100万元的概率.

【详解】

(1)设事件A“此水果的亩产量为500kg”，解：事件B“此水果的市场销售价格为20元/kg”.

由题知，PA0.4，PB0.3

因为利润=产量×市场销售价格-成本.所以X的所有可能取值为

100500205000500000.

100503050001000000.

1008002050001100000.

1008003050001900000.

∴PX=500000PAPB0.40.30.12，

PX1000000PAPB0.410.30.28，

PX1100000PAPB10.40.30.18，

PX1900000PAPB10.410.30.42.

所以X的分布列为

X

P

500000

0.12

1000000

0.28

1100000

0.18

1900000

0.42

∴EX5000000.1210000000.2811000000.1819000000.421336000.

(2)设事件Ci“第i年利润高于100万元”(i1,2,3,4,5)

由题知，C1，C2，C3，C4，C5，相互独立，由(1)知，

PCiPX1100000PX19000000.180.420.6i1,2,3,4,5

445年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率为PC50.610.60.2592

所以5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概宰为0.2592.

522．（1）极大值ln2，无极小值；（2）证明见解析.

4【分析】

试题 高试题

（1）首先求函数的导数，利用极值的定义求函数的极值；（2）首先根据m2，不等式放缩2x2x12x2x1为证明1x0，构造函数gxx0，证明gx1.

xxee【详解】

1mx2x1.

解：由题知，fx的定义域为0,，fxmx1xx2(1)若m2，则fxlnxxx2，

2x2x1fxxx1xx12，

当0x11时，fx0；当x时，fx0，

2211∴函数fx在0,上单调递增，在,上单调递减.

22111511∴当x时，fx取得极大值，极大值为fln2ln2，无极小值.

242422mx2x1(2)由(1)知，原不等式等价于1x0恒成立.

ex∵m2，

mx2x12x2x1∴.

xxeemx2x12x2x11x0恒成立即可.

1x0恒成立，只需证要证exex2x2x12x25x2.

令gxx0，则gxexex11令gx0，解得x2，令gx0，解得0x或x2，

2211∴gx在,2上单调递增，在0,，2,上单调递减.

22∴gx的最大值在x0或x2处取得，又g01，g2∴gxmaxg01

2x2x1∴1x0恒成立，

xemx2x12x2x1∴1在x0,上恒成立，

exexex∴fx.

x7，

e2试题


更多推荐

概率,函数,公式,数据,分布