2021年江苏数学高考真题(含答案)

2023年12月2日发(作者：日照莒县教师招聘数学试卷)

2021年江苏数学高考真题(含答案)

普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学I

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上

21.已知集合A1,2，Ba,a3，若AB={1}则实数a的值为________

2.已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是__________

3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.

4.右图是一个算法流程图，若输入x的值为1，则输出的y的值是 .

16

15.若tan-=,则tan= .

466.如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱O1 O2 的体积为V1 , 2021年江苏数学高考真题(含答案)

球O的体积为V2 ，则V1 的值是

V2

7.记函数f(x)6xx2 的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x，则x D的概率是

x2y21 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，其焦点是F1 , 8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线3F2 ,则四边形F1 P F2 Q的面积是

9.等比数列an的各项均为实数，其前n项的和为Sn，已知S3则a8=

10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是

763，S6，

4411.已知函数1fx=x2x+e-xe3x，其中e是自然数对数的底数，若fa-1+f2a20，则实数a的取值范围是 。

12.如图，在同一个平面内，向量OA,OB,OC,的模分别为1,1，2，OA与OC的夹角为，且tan=7，OB与OC的夹角为45°。若OC=mOA+nOB（m，nR），则m+n=

2021年江苏数学高考真题(含答案)

13.在平面直角坐标系xOy中，A（-12,0），B（0,6），点P在圆O：x2+y2=50上，若PA·PB20，则点P的横坐标的取值范围是

14.设f(x)是定义在R 且周期为1的函数，在区间0,1上，fxD=xxx2,xD其中集合x,xDn1,nN，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 .

n15.（本小题满分14分）

如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC.

16. （本小题满分14分）

已知向量a=（cosx,sinx）,（1）若a∥b，求x的值；

（2）记,求的最大值和最小值以及对应的x的值

,.

17.（本小题满分14分）

x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:2+2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率ab为1，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作2直线PF2的垂线l2.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.

2021年江苏数学高考真题(含答案)

18. （本小题满分16分）

如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；

（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度.

19.（本小题满分16分）

an1an1...ank1ank2kan 对于给定的正整数k,若数列lanl 满足ankank1...=2kan对任意正整数n(n> k) 总成立，则称数列lanl 是“P(k)数列”.学科@网

(1)证明：等差数列lanl是“P(3)数列”；

（1） 若数列lanl既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：lanl是等差数列.

20.（本小题满分16分）

已知函数fx=x3ax2bx1(a0,bR)有极值，且导函数f，x的极值点是fx的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

2021年江苏数学高考真题(含答案)

（1） 求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

（2） 证明：b²>3a;

（3） 若fx，f，x 这两个函数的所有极值之和不小于-2，求a的取值范围。

72017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学II（附加题）

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1. 本试卷共2页，均为非选择题（第21题 ~ 第23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答。若多做，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．则按作答的前两小题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分10分）

如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足。

求证：（1）∠PAC=∠CAB;

（2）AC2

=AP·AB。

B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

2021年江苏数学高考真题(含答案)

已知矩阵A=(1) 求AB;

，B=.

x2y2若曲线C1;=1

在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2

，求C2的方程.

82C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

x8t在平面坐标系中xOy中，已知直线l的参考方程为（t为参数）,曲线C的参数方程为ty22x2s,（s为参数）。设p为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值学@科@网

y22sＤ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）

已知a,b,c,d为实数，且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd8.

2x2s,

y22s22.（本小题满分10分）

如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=3 ，∠BAD=120º.

（1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

（2）求二面角B-A1D-A的正弦值。

23. （本小题满分10）

2已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m,n

N ,n 2）,这些球除颜色外全部相同。现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，……，m+n的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3，……，m+n）.

2021年江苏数学高考真题(含答案)

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;

（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x的数学期望，证明

2017年高考江苏卷数学试题（标准答案）

一

、填空题:

本题考查基础知识、

基本运算和基本思想方法.

每小题5

分，

共计70

分.

1. 1

6.

2.10

7.

3.18

4.2

9. 32

14. 8

5.7

53

25

9

8.

23 10.30

11.

[1,]

二

、

解答题

1212.3 13.[52,1]

15.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，

考查空间想象能力

和推理论证能力.满分14

分.

证明：（1）在平面ABD内，因为AB⊥AD，EFAD，所以EF∥AB.

2021年江苏数学高考真题(含答案)

又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.

（2）因为平面ABD⊥平面BCD，

平面ABD平面BCD=BD，

BC平面BCD，BCBD，

所以BC平面ABD.

因为AD平面ABD，所以BCAD.

又AB⊥AD，BC

ABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD⊥平面ABC，

又因为AC平面ABC，

所以AD⊥AC.

16.本小题主要考查向量共线、数量积的概念及运算，

考查同角三角函数关系、诱导公式、两角

和(差)的三角函数、三角函数的图像与性质，

考查运算求解能力.学科.网满分14

分.

(cosx,sinx)，b(3,3)，a∥b，

解：（1）因为a

所以3cosx3sinx.

若cosx0，则sinx0，与sin2xcos2x1矛盾，故cosx0.

于是tanx3.

3又，所以x5π.

6（2）f(x)ab(cosx,sinx)(3,3)3cosx3sinx23cos(x因为，所以xπ).

6ππ7π[,]，

6663.

2从而1cos(x)于是，当xπ6ππ，即x0时，取到最大值3；

66π5π当x，即x时，取到最小值23.

6617.本小题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基础知

识，

考查分析问题能力和运算求解能力.满分14

分.

解：（1）设椭圆的半焦距为c.

2021年江苏数学高考真题(含答案)

c12a21因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，8，

a22c解得a2,c1，于是ba2c23，

x2y2因此椭圆E的标准方程是1.

43（2）由（1）知，F1(1,0)，F2(1,0).

设P(x0,y0)，因为点P为第一象限的点，故x00,y00.

当x01时，l2与l1相交于F1，与题设不符.

当x01时，直线PF1的斜率为y0y0.

，直线PF2的斜率为x01x01x01x01l，直线2的斜率为，

y0y0因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l1的斜率为从而直线l1的方程：yx01(x1)，

①

y0直线l2的方程：yx01(x1).

②

y0221x01x0).

由①②，解得xx0,y，所以Q(x0,y0y021x02222y0，即x0y01或x0y01.

因为点Q在椭圆上，由对称性，得y022x0y0又P在椭圆E上，故1.

432222x0x0y01y01247372由x，解得x0；x2y2，无解.

,yy0000077114343因此点P的坐标为(4737,).

7718.本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念，

考查正弦定理、余弦定理等基础知识，

考查空间

想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16

分.

2021年江苏数学高考真题(含答案)

解:（1）由正棱柱的定义，CC1⊥平面ABCD，所以平面A1ACC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC.

记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.

因为AC107,AM40，

所以MC402(107)230，从而

sin∠MAC3，

4记AM与水面的焦点为P1,过P1作P1Q1⊥AC, Q1为垂足，

则 P1Q1⊥平面 ABCD，故P1Q1=12，

从而 AP1=

P1Q116.

sin∠MAC答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.

(

如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)

（2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心.

由正棱台的定义，OO1⊥平面 EFGH，

所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.

同理，平面 E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.

记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.学科&网

过G作GK⊥E1G，K为垂足，

则GK =OO1=32.

因为EG = 14，E1G1= 62，

621424，从而GG1KG12GK2 24232240.

24设∠EGG1,∠ENG,则sinsin(∠KGG1)cos∠KGG1.

253因为，所以cos.

25所以KG1=

在△ENG中，由正弦定理可得因为040147.

，解得sinsinsin2524.

，所以cos225 2021年江苏数学高考真题(含答案)

于是sin∠NEGsin()sin()sincoscossin424373().

5255255记EN与水面的交点为P2，过 P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则 P2Q2⊥平面 EFGH，故P2Q2=12，从而

EP2=P2Q220.

sin∠NEG答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.

(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm)

19.本小题主要考查等差数列的定义、通项公式等基础知识,

考查代数推理、转化与化归及综

合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16

分.

证明:（1）因为an是等差数列，设其公差为d，则ana1(n1)d，

从而，当n4时，ankanka1(nk1)da1(nk1)d

2a12(n1)d2an，k1,2,3,

所以an3an2+an1+an1an2+an36an，

因此等差数列an是“P3数列”.

（2）数列an既是“P2数列”，又是“P3数列”，因此，

当n3时，an2an1an1an24an，①

当n4时，an3an2an1an1an2an36an.②

由①知，an3an24an1(anan1)，③

an2an34an1(an1an)，④

将③④代入②，得an1an12an，其中n4，

所以a3,a4,a5,是等差数列，设其公差为d\'.

在①中，取n4，则a2a3a5a64a4，所以a2a3d\'，

在①中，取n3，则a1a2a4a54a3，所以a1a22d\'，

所以数列{an}是等差数列.

20.本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题,

考查综合运用数学思

想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16

分.

2021年江苏数学高考真题(含答案)

a2a2解：（1）由f(x)xaxbx1，得f(x)3x2axb3(x)b.

33322a2a当x时，f(x)有极小值b.

33因为f(x)的极值点是f(x)的零点.

aa3a3ab2a2310，又a0，故b. 所以f()327939aa21(27a3)0，即a3. 因为f(x)有极值，故f(x)=0有实根，从而b39aa3时，f(x)>0(x1)，故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；

aa23baa23b，x2=.

a3时，f(x)=0有两个相异的实根x1=33列表如下

x

(,x1)

+

x1

0

极大值

(x1,x2)

–

x2

0

极小值

(x2,)

+

f(x)

f(x)

故f(x)的极值点是x1,x2.

从而a3，

2a23，定义域为(3,). 因此b9a（2）由（1）知，b2aa3.

=9aaa232t2272t3设g(t)=，则g(t)=2.

9t9t29t当t(3636,)时，g(t)0，从而g(t)在(,)上单调递增.

22因为a3，所以aa33，故g(aa)>g(33)=3，即b>3.

a 2021年江苏数学高考真题(含答案)

因此b2>3a.

4a26b222（3）由（1）知，f(x)的极值点是x1,x2，且x1x2a，x1x2.

933232从而f(x1)f(x2)x1ax1bx11x2ax2bx21

x1x1222(3x122ax1b)2(3x22ax2b)a(x12x2)b(x1x2)2

33334a36ab4ab20

279记f(x)，f(x)所有极值之和为h(a)，

a21313a2，所以h(a)=a2，a3. 因为f(x)的极值为b39a9a23a20，于是h(a)在(3,)上单调递减.

9a7因为h(6)=，于是h(a)h(6)，故a6.

2因为h(a)=因此a的取值范围为(3，6].

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题.若多做，则，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.[选修4-1：几何证明选讲]

本小题主要考查圆与相似三角形等基础知识,

考查推理论证能力.满分10

分.

证明：（1）因为PC切半圆O于点C，

所以∠PCA∠CBA，

因为AB为半圆O的直径，

所以∠ACB90,

因为AP⊥PC，所以∠APC90，

所以PACCAB.

2021年江苏数学高考真题(含答案)

（2）由（1）知△APC∽△ACB，故所以AC2AP·AB.

B. [选修4-2：矩阵与变换]

APAC，

ACAB本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,

考查运算求解能力.满分10

分.

0110解：（1）因为A=， B=02，

10所以AB=011002=.

100210（2）设Q(x0,y0)为曲线C1上的任意一点，

它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x,y),

x0y2y0x02x0x则，即，所以x.

yy0100yx0y2x02y02因为Q(x0,y0)在曲线C1上，所以1，

88x2y2从而1，即x2y28.

88xy8.

因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：C. [选修4-5：坐标系与参数方程]

本小题主要考查曲线的参数方程及互化等基础知识,

考查运算求解能力.满分10

分.

解：直线l的普通方程为x2y80.

因为点P在曲线C上，设P(2s2,22s)，

222021年江苏数学高考真题(含答案)

从而点P到直线l的的距离d|2s242s8|(1)2(2)22(s2)24，

5当s2时，dmin45.

545.

5因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值D. [选修4-5：不等式选讲]

本小题主要考查不等式的证明,

考查推理论证能力.满分10分.

22222证明：由柯西不等式可得：(acbd)(ab)(cd)，

因为ab4,cd16,

所以(acbd)64，

因此acbd8.

22.

【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识,

考查运用空间向量解决问题的能力.满分10

分.

解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.

因为AA1平面ABCD，

所以AA1AE，AA1AD.

如图，以{AE,AD,AA1}为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz.

因为AB=AD=2，AA1=3，BAD120.

则A(0,0,0),B(3,1,0),D(0,2,0),E(3,0,0),A,3).

1(0,0,3),C1(3,1(1)

A,3),AC1(3,1,3)，

1B(3,1则cosA1B,AC122222A1BAC1(3,1,3)(3,1,3)1.

77|A1B||AC1|1.

7因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为 2021年江苏数学高考真题(含答案)

(2)平面A1DA的一个法向量为AE(3,0,0).

设m(x,y,z)为平面BA1D的一个法向量，

又A,3),BD(3,3,0)，

1B(3,1mA1B0,3xy3z0,则即

mBD0,3x3y0.不妨取x=3，则y3,z2，

所以m(3,3,2)为平面BA1D的一个法向量，

从而cosAE,mAEm(3,0,0)(3,3,2)3,

4|AE||m|343.

47.

4设二面角B-A1D-A的大小为，则|cos|2因为[0,]，所以sin1cos因此二面角B-A1D-A的正弦值为7.

423.【必做题】本小题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识,

考查组合数及其性质,

考查运算求解能力和推理论证能力.满分10分.

1Cnnmn1解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为:

p

.



nCmnmn 2021年江苏数学高考真题(含答案)

(2) 随机变量 X 的概率分布为:

X

P

1

n1Cnn1

Cnmn1

n11Cnn

Cnmn1

n21Cnn1

Cnmn…

…

1

k1Cnk1

Cnmn…

…

1

mn1Cnnm1

Cnmn随机变量 X 的期望为：

11Cn1E(X)nk1nCmnknkCmnmnmnknk(n1)!(kn)!.

mn1(k1)!所以E(X)1Cnmnmn(k2)!1n(n1)Cmkn(n1)!(kn)!n2Cnmn2)

(k2)!

(n2)!(kn)!kn1n2n2(1CCn1n(n1)Cnmn11n2n2(Cnn1Cn1Cnn(n1)Cmn1n1n2(CCnnn(n1)Cmn2Cnmn2)

2Cnmn2)

11n2(Cnmn2Cmn2)

n(n1)Cmn1Cnnmn1

(n1)Cn(mn)(n1)mnE(X)

n.

(mn)(n1)