2024年1月11日发(作者：智学网数学试卷讲评教案)

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“YMO”青少年数学思维研学交流活动

初赛试卷

注意事项：

1、考生按要求用黑色、蓝色圆珠笔或钢笔在密封线内填好考生的相关信息。

2、考试时间60分钟。

3、本试卷共6页，满分100分。

4、不得在答卷上做任何标记。

总 分

5、考生超出答题区域答题将不得分。

6、考生在考试期间不得作弊，否则试卷记零分处理。

阅卷人

九年级试题

题一、选择题（把相应答案的序号填在括号里，每题3分，共30分）

答1、下列说法中不正确的是（ ）

要A.若 a 为任一有理数，则 a 的倒数是

不B.若∣a∣＝∣b∣，则 a＝±b

内C.x2＝（－2）2，则 x＝±2

D.x2＋1 一定是正数

线

2、已知关于x的不等式组封xa052x1只有2个整数解，则a的取值范围是（ ）

密 A．1a0

B．1a0

C．0a1

D．0a1

3、四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，给出下列四个条件：①AD∥BC;②AD＝BC;③OA＝OC;④OB＝OD,从中任选两个条件，能使四边形 ABCD为平行四边形的选法有（ ）

A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种

4、在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、等腰梯形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中一次性随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为（ ）

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A. B. C. D.

5、一个样本为1，3，2，2，已知这个样本的众数3，平均数为2，那么这个样本的方差是（ ）

A. 8 B. 4 C. D.

6、如图所示，半径为 5 的☉A 中，弦 BC、ED 所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知 DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦 BC 的弦心距等于（ ）

A. B. C.4 D.3

7、如图所示，P 为☉o 的直径 BA 延长线上一点，PC与☉O相切.切点为 C.点 D 是☉O 上一点，连接PD.已知 PC=PD=BC.下列结论：①PD 与☉O 相切；②四边形PCBD 是菱形；③PO=AB;④∠PDB=120°.其中正确的个数为（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

8、下列命题中正确的是（ ）

① 顶点在圆周上的角是圆周角； ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半；

③ 90o

的圆周角所对的弦是直径；④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；

⑤ 同弧所对的圆周角相等

A.①②③ B.③④⑤

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C.①②⑤ D.②④⑤

9、平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

10、如图，菱形 ABCD 中，AB＝2，∠B＝60°，M 为 AB 的中点，动点 P 在菱形的边上从点 B 出发，沿 B→ C→D 的方向运动，到达点 D 时停止。连接 MP，设点 P 运动的路程为 x，MP²＝y，则 y 与 x 之间的函数关系图象大致为（ ）

二、填空题（每题3分，共30分）

1、有8个球编号是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两个都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次：第一次①＋②比③＋④重，第二次⑤＋⑥比⑦＋⑧轻，第三次①＋③＋⑤和②＋④＋⑧一样重.那么，两个轻球的编号是 .

2、若关于 x 的方程 ax²－2x＋1＝0 有两个实数根，则 a 的取值范围是 .

3、已知∠AOB＝3∠BOC，射线 OD 平分∠AOC，若∠BOD＝20°，则∠BOC 的度数为 .

4、已知关于 x 的方程 2kx²－2x－3k－2＝0 的两实数根一个小于 1，另一个大于 1，

则 K 的取值范围是 .

5、对于实数x，定义[x]表示不大于x的最大整数，如[1.5]＝1，[5]＝5，[﹣3.3]＝﹣4，

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若[]＝3，则x的取值范围是 .

6、分解因式：x32x2x .

7、在数学中，为了简便，记nk123(n1)n，且1！1,2！21，k13!321,n!n(n1)(n2)321.则20182019kk2019!2018! .

k1k1

8、已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2mxm1的两个实数根，则(x12x2)(x22x1)的最大值是 .

9、已知点P是直线xy20上的一个动点，O为原点，则OP的最小值为 .

10、设x、y为实数，则代数式2x24xy5y24x2y5的最小值为 .

三、解答题（每题8分，共40分）

1、如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．

（1）求证：CT为⊙O的切线；

（2）若⊙O半径为2，，求AD的长．

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2、某商店经营一种成本为每千克40美元的水产品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为多少元时，获得的利润最大？最大利润是多少？

3、如图，AB是半⊙O的直径，点C是半圆弧的中点，点D是弧AC的中点，连结BD交AC、OC于点E、F。

（1）在图中与△BOF相似的三角形有

个；

（2）求证：BE=2AD；

（3）求DEBE的值。

4、如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃．设花圃的一边AB为xm，面积为Sm2．

（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

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（2）要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？

（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如不能，请说明理由。

5、如图。已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别为AB、BC上的点，且BE=2，BF=1，P为EF上的一个动点，作矩形PNDM，NP的延长线交AB于点G。

（1） 求证：EG=2PG

（2） 求矩形PNDM的最大面积。

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九年级数学参考答案

一、选择题AABCC DABAB

二、填空题

1、④⑤

2、a≤1 且 a≠0

3、10 0 或 20 0

4、.k＞0 或 k＜-4

5、3≤x＜5

6、x(x1)2

7、0

8、

98

9、2

10、－10

三、解答题

1、解：（1）证明：连接OT，

∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA.又∵AT平分∠BAD，

∴∠DAT=∠OAT，∴∠DAT=∠OTA.

∴OT∥AC

又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT，∴CT为⊙O的切线；

（2）解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四边形OTCE为矩形

∵CT=，∴OE=， 又∵OA=2，∴在Rt△OAE中，

∴AD=2AE=2

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2、解：设定价上涨x元时获得的利润最大,最大利润是y．根据题意得

y=（500－10x）(50+x)－(500－10x)×40

化简得y=－10(x－20) 2+9000

x=20时，y有最大值9000

答：定价定为70元时获得的利润最大，最大利润是9000元

3、解：（1）△BAD；△EAD；△BEC

（2）延长AD与BC相交于G，∵点C是半圆弧的中点，点D是弧AC的中点，∴∠CBE=∠GAC， ∠BCE=∠ACG=90°，

AC=BC，则△ACG≌△BCE

∴BE=AG，而AG=2AD，∴BE=2AD

（3）连结OD交AC于点H，则OD⊥AC，∴DH∥BC，

∴△DHE≌△BCE，∴DEBE=DHBC

设BC=2，则OD=OB=2，∴OH=1，DH=21，

∴DE21BE=2

4、解：（1）∵BC=243x，

∴

Sx243x3x224x，由0＜243x≤10，得143x＜8

（2）由s45，得x28x150，∴x13（舍去），x25，

∴AB=5

（3）S3x4248，∵143x＜8，

∴x143时，s有最大值是4623

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故能围成面积比45 m2更大的花圃，围法是花圃的长为10m，宽为143m。

5、（1） 由△EPG∽△EFB 可得EGEB1PGFB2

因此 EG=2PG

(2) 设PG=2x，则EG=2x, AG=2+2x

S232矩形=(4－x)(2+2x)=

（x2)252

因0≤x≤1，所以 当x=1时，S矩形取得最大值12

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