2023年12月11日发(作者：数学试卷电子版下载免费)

2020年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)一.填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.在等比数列an中，a913,a131，则loga113的值为.2.在椭圆中，A为长轴的一个端点，B为短轴的一个端点，F1,F2为两个焦点.若AF1AF2BF1BF20，则ABF1F2的值为.3.设a0，函数f(x)x100在区间0,a上的最小值为m1，在区间a,上的最小值为m2，若x..6m1m22020，则a的值为4.设z为复数，若z2为实数(i为虚数单位)，则z3的最小值为zi5.在△ABC中，AB6,BC4，边AC上的中线长为10，则sinAAcos6的值为22.6.正三棱锥PABC的所有棱长都为1，L,M,N分别为棱PA,PB,PC的中点，则该三棱锥的外接球被平面LMN所截的截面面积为7.设a,b0，满足：关于x的方程.|x||xa|b恰有三个不同的实数解x1,x2,x3，且x1x2x3b，则ab的值为_____________.8.现有10张卡片，每张卡片上写有1,2,3,4,5中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同.将这10张卡片放入标号为1,2,3,4,5的五个盒子中，规定写有i,j的卡片只能放在i号或j号盒子中.一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数.则“好的”放法公共有____________种.二.解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本题满分16分）在ABC中，sinA2,求cosB2cosC的取值范围.2[x][x]110.（本题满分20分）对正整数n及实数x(0xn)，定义f(n,x)(1{x})Cn{x}Cn表示不超过实数x的最大整数，{x}x[x].若整数m,n2满足其中[x]12mn1f(m,)f(m,)f(m,)123，nnn求f(n,12mn1)f(n,)f(n,)的值.mmm11.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，点A,B,C在双曲线xy1上，满足ABC为等腰直角三角形，求ABC的面积的最小值.2020年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）

参考答案及评分标准

说明：

1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.

2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1. 在等比数列{an}中，a913,a131，则loga113的值为 ．

1答案：．

3a解：由等比数列的性质知1a9a9a132，故a13a92a13133．所以loga1131．

32. 在椭圆中，A为长轴的一个端点，B为短轴的一个端点，F1,F2为两个焦点．若AF1AF2答案：2．

2BF1BF20，则AB的值为 ．

F1F2x2解：不妨设的方程为2ay2b21(ab0)，A(a,0),B(0,b)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中cAF1AF2AB所以F1F2a2b2．由条件知

BF1BF2a2b22c(ca)(ca)2．

2(c2b2)a2b22c20．

2c22c3. 设a[a,100在区间(0,a]上的最小值为m1，在区间x)上的最小值为m2．若m1m22020，则a的值为 ．

0，函数f(x)xm1即a答案：1或100．

解：注意到f(x)在(0,10]上单调减，在[10,f(a),m2f(10)；当a[10,)时，m1)上单调增．当a(0,10]时，f(10),m2f(a)．因此总有

f(a)f(10)100a202020101，解得am1m22020，

1或a100．

4. 设z为复数．若为 ．

z2为实数（i为虚数单位），则zzi3的最小值1

答案：5．

解法1：设zabi(a,bR)，由条件知

(a2)(b1)aba2(b1)23)2b2)(a3)Im故a即zz2(a2)biImzia(b1)i2b2．从而

5z3(1222)((aaa22b2b2(b1)25，

0，

35．当a2,b2时，z3取到最小值5．

z2R及复数除法的几何意义，可知复平面中z所对应的点在zi2与i所对应的点的连线上（i所对应的点除外），故z3的最小值即为平面直解法2：由角坐标系xOy中的点(3,0)到直线x2y20的距离，即3212225．

5. 在ABC中，AB6,BC4，边AC上的中线长为10，则AAsin6cos6的值为 ．

22211答案：．

256解：记M为AC的中点，由中线长公式得

4BM2AC22(AB2BC2)，

可得AC2(6242)410CA28．

AB2BC28262427由余弦定理得cosA，所以

2CAAB2868AAAAAAAA

sin6

cos6=sin2cos2sin4sin2cos2cos422222222AAAAsincos23sin2cos2

2222321sinA

413211．

cos2A442566. 正三棱锥PABC的所有棱长均为1，L,M,N分别为棱PA,PB,PC的中点，则该正三棱锥的外接球被平面LMN所截的截面面积为 ．

22．

3解：由条件知平面LMN与平面ABC平行，且点P到平面LMN,ABC的距离之比为1:2．设H为正三棱锥PABC的面ABC的中心，

PH与平面LMN交于1点K，则PH平面ABC，PK平面LMN，故PKPH．

2正三棱锥PABC可视为正四面体，设O为其中心（即外接球球心），则O11在PH上，且由正四面体的性质知OH结合PKPH．PH可知OKOH，422

答案：


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