考研数学一(向量代数和空间解析几何)-试卷1

2024年3月15日发(作者：燕子数学试卷视频)

考研数学一（向量代数和空间解析几何）-试卷1

(总分：48.00，做题时间：90分钟)

一、 选择题(总题数：11，分数：22.00)

1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

解析：

2.已知a，b均为非零向量，(a+3b)⊥(7a一5b)，(a一4b)⊥(7a一2b)，则向量a与b的夹角为( )

（分数：2.00）

A.

B. √

C.

D.

解析：解析：由题设知

（分数：2.00）

A.0．

B.1．

C.2．

D.3． √

解析：解析：由题设知a，b，c两两相互垂直，则 ｜a｜=｜b×c｜=｜b｜｜c｜， ｜b｜=｜a｜｜c｜， ｜

c｜=｜a｜｜b｜， 由此可得｜a｜=｜b｜=｜c｜=1，故｜a｜+｜b｜+｜c｜=3．

4.已知曲面z=4一x 一y 上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z一1=0，则点P的坐标是( )

（分数：2.00）

A.(1，一1，2)．

B.(一1，1，2)．

C.(1，1，2)． √

D.(一1，一1，2)．

解析：解析：由面z=4一x 一y在点(x

0

，y

0

，z

0

)处的法线向量为(2x

0

，2y

0

，1)．由题设知，

则x=y=1，代入z=4一x 一y 得z=2，故选C。

5.已知向量a，b的模分别为｜a｜=2，｜b｜=

（分数：2.00）

A.2． √

B.

C.

D.1．

解析：解析：

相交于一点，则λ等于( )

．

．

，且a.b=2，则｜a×b｜=( )

22

2

22

3.设a，b，c为非零向量，且a=b×c，b=c ×a，c=a×b，则｜a｜+｜b｜+｜c｜=( )

6.已知直线L

1

：x+1=y一1=z与直线L

2

：

（分数：2.00）

A.0．

B.1．

C.一

D.

．

． √

的方向向量为s

解析：解析：直线：L

1

：x+1=y一1=z的方向向量为s

1

=(1，1，1)，直线L

2

：

2

=(1，2，λ)． 显然s

1

与s

2

不平行，则L

1

与L

2

相交于一点的充要条件是L

1

与L

2

共面，即

之间的关系是( ) 7.直线

1

：

（分数：2.00）

A.L

1

∥L

2

． √

B.L

1

与L

2

相交但不垂直．

C.L

1

⊥L

2

且相交．

D.L

1

，L

2

是异面直线．

解析：解析：由题干知，

23

23

8.函数f(x，y，z)=x y +3y z 在点(0，1，1)处方向导数的最大值为( )

（分数：2.00）

A.

B.

．

． √

C.117．

D.107．

解析：解析：函数f(x，y，z)=x y +3y z 在点(0，1，1)处方向导数的最大值等于f(x，y，z)在点

(0，1，1)处梯度向量的模． gradf(0，1，1)=(0，6，9)，‖g‖= ， 故选B．

2323

9.设可微函数f(x，y，z)在点(x

0

，y

0

，z

0

)处的梯度向量为g，l=(0，2，2)为一常向量，且g.l=1，

则函数f(x，y，z)在点(x

0

，y

0

，z

0

)处沿l方向的方向导数等于( )

（分数：2.00）

A.

B. √

C.

D.

解析：解析：设l的方向余弦为cosα，cosβ，cosγ，则

23

故选B．

10.在曲线x=t，y=一t ，z=t 的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线( )

（分数：2.00）

A.只有一条．

B.只有两条． √

C.至少有三条．

D.不存在．

解析：解析：曲线x=t，y=一t ，z=t 在点t=t

0

处的切向量为t=(1，一2t

0

，3t

0

)．平面x+2y+z=4

的法线向量为n=(1，2，1)．由题设知n上t，即1—4t

0

+3t

0

=0，则t

0

=1或t

0

=

2

232

，故选B．

11.设L是圆周x +y =1，n为L的外法线向量，u(x，y)=

（分数：2.00）

A.0．

B.

C.π．

D.一π．

解析：解析：

． √

22

等于( )

(n，y)，这里的cos(n，x)，cos(n，y)为曲线L的外法线向量的方向余弦，设t为L

的逆时针方向的切线向量，则cos(n，x)=cos(t，y)，COS(n，y)=—cos(f，x)，则

二、 填空题(总题数：11，分数：22.00)

12.过(1，1，一1)，(一2，一2，2)和(1，一1，2)三点的平面方程为 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x一3y一2z=0）

解析：解析：设已知的三个点分别是A(1，1，一1)，B(一2，一2，2)和C(1，一1，2)，因此可知向量

=(0，一2，3)． 平面的法向量n与以上两个向量垂直，因此 n==3i一9j一6k=(3，一9，一6)， 由

点法式可得3(x一1)一9(y一1)一6(z+1)=0，化简得x一3y一2z=0．

13.经过平面∏

1

：x+y+1=0与平面∏

2

：x+2y+2z=0的交线，并且与平面∏

3

：2x—y—z=0垂直的平面

方程是 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3x+4y+2z+2=0）

解析：解析：联立∏

1

与∏

2

的方程 取x=0，可得点P

0

(0，一1，1)． 由所求平面∏过点P

0

且

故π的方程为3z+4y+2z+2=0． π

1

，π

2

交线的方向向量s与n

3

=(2，一1，一1)垂直，因此

14.与直线厶：

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x—y+z=0）

解析：解析：设所求平面方程是Ax+By+Cz+D=0，根据题意可得

方程是tx—ty+tz+0=0，即x一y+z=0．

15.若α∥β，α={6，3，一2}，而｜β｜=14，则β= 1．

（分数：2.00）

都平行，且经过坐标原点的平面方程是 1，

解得A=t，B=一t，C=t． 则所求平面

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：±2{6，3，一2}）

解析：解析：设β=λα，则｜β｜=｜λ｜｜ α｜，即 14=

一2}．

16.设(a×b).c=2，则[(a+b)×(b+c)].(c+a)= 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）

解析：解析：[(a+b)×(b+c)].(c+a) =[(a+b)×b].(C+a)+[(a+b)×c].(c+a) =(a×b).c+(b×c).a

=(a×b).c+(a×b).c=4．

， 解得｜λ｜=2，故β=±2{6，3，