数学归纳法、同一法、整体代换法

2024年4月9日发(作者：河北23年专升本数学试卷)

数学归纳法、同一法、整体代换法

第一篇：数学归纳法、同一法、整体代换法

数学归纳法、同一法、整体代换法

一、函数方程思想

从而解决问题的一种思维方式，函数方程思想就是用函数、方程

的观点和方法处置变量或未知数之间的关系。很重要的数学思想。

并研究这些量间的相互制约关系，1.函数思想：把某变化过程中

的一些相互制约的变量用函数关系表达进去。最后解决问题，这就是

函数思想；

确立变量之间的函数关系是一关键步骤，2.应用函数思想解题。

大体可分为下面两个步骤：1根据题意建立变量之间的函数关系式，把

问题转化为相应的函数问题；2根据需要构造函数，利用函数的相关知

识解决问题；3方程思想：如何学好高中数学某变化过程中，往往需要

根据一些要求，确定某些变量的值，这时经常列出这些变量的方程或

（方程组）通过解方程（或方程组）求出它这就是方程思想；

之间相互渗透，3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念。

很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需

要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方

程思想。

二、数形结合思想

对于所研究的代数问题，数形结合是中学数学中四种重要思想方

法之一。有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）

或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得

以解决（以数助形）这种解决问题的方法称之为数形结合。

发挥数的思路的规范性与严密性，1.数形结合与数形转化的目的

为了发挥形的生动性和直观性。两者相辅相成，扬长避短。

宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，2.恩格斯是

这样来定义数学数学研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”这

就是说：数形结合是数学实质特征。数学学习中突出数形结合思想正

是充分掌握住了数学精髓和灵魂。

数量关系决定了几何图形的性质。3.数形结合的实质是几何图形

的性质反映了数量关系。形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分

家万事非。数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：

或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,4.华罗庚先生曾指出：数缺

性时少直观。或者借助于形的几何直观性来说明数之间的某种关系.历

年高考解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）

而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。5.把数作为手段的数

形结合主要体现在解析几何中。6.要抓住以下几点数形结合的解题要

领：

可直接从几何图形入手进行求解即可； 1对于研究距离、角或面

积的问题。

可通过函数的图象求解（函数的零点，2对于研究函数、方程或不

等式（最值）问题。顶点是关键点）作好知识的迁移与综合运用；

3对于以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离函数、斜率

函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解

题目的

三、分类讨论的数学思想

当问题的对象不能进行统一研究时，分类讨论是一种重要的数学

思想方法。就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，

给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。

引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： 1.有关分类讨论的

数学问题需要运用分类讨论思想来解决。

1涉及的数学概念是分类讨论的

2运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的 3求解

的数学问题的结论有多种情况或多种可能性； 这些参变量的不同取值

导致不同的结果的 4数学问题中含有参变量。需要采取分类讨论的解

题战略来解决的 5较复杂或非常规的数学问题。

中学数学中有极广泛的应用。根据不同规范可以有不同的分类方

法，2.分类讨论是一种逻辑方法。但分类必需从同一规范动身，做到