2021年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编含答案

2024年4月14日发(作者：九上数学试卷青版全解)

各省数学竞赛汇集

高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

一、填空题（70分）

1、当

x[3,3]

时，函数

f(x)|x

3

3x|

最大值为__18___.

12,ACBA4,

则

AC

___4____. 2、在

ABC

中，已知

ACBC

3、从集合



3,4,5,6,7,8



中随机选用3个不同数，这3个数可以构成等差数列概率为

_____

3

_______.

10

2

4、已知

a

是实数，方程

x(4i)x4ai0

一种实根是

b

（

i

是虚部单位），则

|abi|

值为_____

22

___.

x

2

y

2

5、在平面直角坐标系

xOy

中，双曲线

C:

1

右焦点为

F

，一条过原点

O

且

124

倾斜角为锐角直线

l

与双曲线

C

交于

A,B

两点.若

FAB

面积为

83

，则直线斜率为

___

1

____.

2

a

lga

取值范畴是___

[1,)

_____. 6、已知

a

是正实数，

k

7、在四周体

ABCD

中，

AB

积为_____

5

8、已

ACADDB5

,

BC3

,

CD4

该四周体体

3

_______.

知等差数列



a

n



和等比数列



b

n



满足：

a

1

b

1

3,a

2

b

2

7,a

3

b

3

15,a

4

b

4

35,

则

a

n

b

n



___

3

n1

2n

___.

（

nN

）

*

71，75

这

7

个数排成一列，使任意持续

4

个数和为

3

倍数，则9、将

27,37,47,48,55，

这样排列有___144_____种.

10、三角形周长为

31

，三边

a,b,c

均为整数，且

abc

，则满足条件三元数组

(a,b,c)

个数为__24___.

二、解答题（本题80分，每题20分）

11、在

ABC

中，角

A,B,C

相应边分别为

a,b,c

，证明：

（1）

bcosCccosBa

C

cosAcosB

2sin

2

（2）



abc

2

12、已知

a,b

为实数，

a2

，函数

a

f(x)|lnx|b(x0)

x

.若

f(1)e1,f(2)

（1）求实数

a,b

；

（2）求函数

e

ln21

.

2

f(x)

单调区间；

（3）若实数

c,d

满足

cd,cd1

，求证：

f(c)f(d)

13、如图，半径为

1

圆

O

上有一定点

M

为圆

O

上动点.在射线

OM

上有一动点

B

,

AB1,OB1

.线段

AB

交圆

O

于另一点

C

，

D

为线段

OB

中点.求线段

CD

长取值范畴.

14、设是

a,b,c,d

正整数，

a,b

是方程

x

长是整数且面积为

ab

直角三角形.

2

(dc)xcd0

两个根.证明：存在边

全国高中数学联合竞赛湖北省初赛试题参照答案

（高一年级）

阐明：评阅试卷时，请根据本评分原则。填空题只设8分和0分两档；解答题评阅，

只要思路合理、环节对的，在评卷时可参照本评分原则恰当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．已知集合

A{x|xa},B{x|xb},a,b

N，且

AB

N

{1}

，则

ab

1 ．

2．已知正项等比数列

{a

n

}

公比

q1

，且

a

2

,a

4

,a

5

成等差数列，则

a

1

a

4

a

7

35

．



a

3

a

6

a

9

2

3．函数

f(x)

6

x1

[0,]

． 值域为

x

2

4x7

6

4．已知

3sin

2



2sin

2



1

，

3(sin



cos



)

2

2(sin



cos



)

2

1

，则

cos2(







)



1

．

3

5．已知数列

{a

n

}

满足：

a

1

为正整数，

a

n1



a

n



,a

n

为偶数,





2





3a

n

1,a

n

为奇数,

如果

a

1

a

2

a

3

29

，则

a

1



5 ．

6．在△

ABC

中，角

A,B,C

对边长

a,b,c

满足

ac2b

，且

C2A

，则

sinA

7

．

4

7．在△

ABC

中，

ABBC2

，

AC3

．设

O

是△

ABC

内心，若

AOpABqAC

，

则

3

p

值为．

q

2

55

x

3

8．设

x

1

,x

2

,x

3

是方程

x

3

x10

三个根，则

x

1

5

x

2

值为 －5 ．

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

2

9．已知正项数列

{a

n

}

满足

a

n

a

n1

a

n

a

n2

4a

n

a

n1

a

n1

3a

n

a

n1

且

a

1

1

，

a

2

8

，求

{a

n

}

通项公式．

解 在已知等式两边同步除以

a

n

a

n1

，得

1

a

n2

a

41

n1

3

，

a

n1

a

n

因此

1

分

令

b

n

1

a

n2

a

14(1

n1

1)

． ------------------------------------------4

a

n1

a

n

a

n1

1

,则

b

1

4,b

n1

4b

n

，即数列

{b

n

}

是以

b

1

＝4为首项,4为公比等比数

a

n

列，因此

b

n

b

1

4

n1

4

n

. ------------------------------------------8分

因此

1

分

于是，当

n1

时,

a

n

[(4

n1

1)

2

1]a

n1

[(4

n1

1)

2

1][(4

n2

1)

2

1]a

n2

a

n1

14

n

,即

a

n1

[(4

n

1)

2

1]a

n

. ------------------------------------------12

a

n





[(4

k1

n1

k1

1)1]a

1



2



[(4

k1

n1

k1

1)

2

1]

，

n1,



1,



n1

因而，

a

n





------------------------------------------16分

[(4

k1

1)

2

1],n2.





k1



10．已知正实数

a,b

满足

a

2

b

2

1

，且

a

3

b

3

1m(ab1)

3

，求

m

最小值．

解 令

acos



,bsin



，

0







2

，则

cos

3



sin

3



1

(cos



sin



)(cos

2



cos



sin



sin

2



)1

．-------------------------

m

(cos



sin



1)

3

(cos



sin



1)

3

---------------5分

x

2

1

令

xcos



sin



，则

x2sin(



)(1,2]

，且

cos



sin





．------------------

4

2



------------10分

于是

x

2

1

x(1)1

23xx

3

2xx

2

2x31

2

m

． ----------------------

332

2(x1)2(x1)2

(x1)2(x1)2(x1)

--------15分

由于函数

f(x)

31



在

(1,2]

上单调递减，因此

f(2)mf(1)

．

2(x1)2

因而，

m

最小值为

f(2)

分

324

． ------------------------------------------20

2

11．设

f(x)log

a

(x2a)log

a

(x3a)

，其中

a0

且

a1

．若在区间

[a3,a4]

上

f(x)1

恒成立，求

a

取值范畴．

5a

2

a

2

)]

． 解

f(x)log

a

(x5ax6a)log

a

[(x

24

22

由





x2a0,

得

x3a0,



x3a

，由题意知

a33a

，故

a

3

2

，从而

5a

2

a

2

5a3

(a3)(a2)0

，故函数

g(x)(x)

在区间

[a3,a4]

上单调递增.

24

22

------------------------------------------5分

（1）若

0a1

，则

f(x)

在区间

[a3,a4]

上单调递减，因此

f(x)

在区间

[a3,a4]

上最大值为

f(a3)log

a

(2a

2

9a9)

．

在区间

[a3,a4]

上不等式

f(x)1

恒成立，等价于不等式

log

a

(2a

2

9a9)1

成立，

从而

2a

2

9a9a

，解得

a

5757

或

a

．

22

结合

0a1

得

0a1

． ------------------------------------------10分

（2）若

1a

3

，则

f(x)

在区间

[a3,a4]

上单调递增，因此

f(x)

在区间

2

[a3,a4]

上最大值为

f(a4)log

a

(2a

2

12a16)

.

在区间

[a3,a4]

上不等式

f(x)1

恒成立，等价于不等式

log

a

(2a

2

12a16)1

成

立，从而

2a

2

12a16a

，即

2a

2

13a160

，解得

易知

13411341

．

a

44

13413



，因此不符合． ------------------------------------------15分

42

综上可知：

a

取值范畴为

(0,1)

． ------------------------------------------20分

全国高中数学联合竞赛湖北省初赛试题

（高二年级）

阐明：评阅试卷时，请根据本评分原则。填空题只设8分和0分两档；解答题评阅，

只要思路合理、环节对的，在评卷时可参照本评分原则恰当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．函数

f(x)

x1

值域为________________．

x

2

4x7

2．已知

3sin

2



2sin

2



1

，

3(sin



cos



)

2

2(sin



cos



)

2

1

，则

cos2(







)

_______________．



a

n



,a

n

为偶数,





2

如果





3a

n

1,a

n

为奇数,

3．已知数列

{a

n

}

满足：

a

1

为正整数，

a

n1

a

1

a

2

a

3

29

，则

a

1



．

4．设集合

S{1,2,3,,12}

，

A{a

1

,a

2

,a

3

}

是

S

子集，且满足

a

1

a

2

a

3

，

a

3

a

2

5

，那么满足条件子集

A

个数为 ．

x

2

y

2

5．过原点

O

直线

l

与椭圆

C

：

2



2

1(ab0)

交于

M,N

两点，

P

是椭圆

C

上异

ab

1

于

M,N

任一点．若直线

PM,PN

斜率之积为



，则椭圆

C

离心率为_______________．

3

6．在△

ABC

中，

ABBC2

，

AC3

．设

O

是△

ABC

内心，若

AOpABqAC

，

则

p

值为_______________．

q

7．在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，已知

AC1,B

1

C2,AB

1

p

，则长方体体积最大

时，

p

为_______________．

20122

k

]

． 8．设

[x]

表达不超过

x

最大整数，则



[

k1

2

k0

2012

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

2

9．已知正项数列

{a

n

}

满足

a

n

a

n1

a

n

a

n2

4a

n

a

n1

a

n1

3a

n

a

n1

且

a

1

1

，

a

2

8

，求

{a

n

}

通项公式．

10．已知正实数

a,b

满足

a

2

b

2

1

，且

a

3

b

3

1m(ab1)

3

，求

m

取值范畴．

11．已知点

E(m,n)

为抛物线

y

2

2px(p0)

内一定点，过

E

作斜率分别为

k

1

,k

2

两条直

线交抛物线于

A,B,C,D

，且

M,N

分别是线段

AB,CD

中点．

（1）当

n0

且

k

1

k

2

1

时，求△

EMN

面积最小值；

（2）若

k

1

k

2





（



0,



为常数），证明：直线

MN

过定点．

全国高中数学联合竞赛湖北省初赛试题参照答案

（高二年级）

阐明：评阅试卷时，请根据本评分原则。填空题只设8分和0分两档；解答题评阅，

只要思路合理、环节对的，在评卷时可参照本评分原则恰当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．函数

f(x)

6

x1

[0,]

． 值域为

2

x4x7

6

2．已知

3sin

2



2sin

2



1

，

3(sin



cos



)

2

2(sin



cos



)

2

1

，则

cos2(







)



1

．

3

3．已知数列

{a

n

}

满足：

a

1

为正整数，

a

n1



a

n



,a

n

为偶数,





2





3a

n

1,a

n

为奇数,

如果

a

1

a

2

a

3

29

，则

a

1



5 ．

4．设集合

S{1,2,3,,12}

，

A{a

1

,a

2

,a

3

}

是

S

子集，且满足

a

1

a

2

a

3

，

a

3

a

2

5

，那么满足条件子集

A

个数为 185 ．

x

2

y

2

5．过原点

O

直线

l

与椭圆

C

：

2



2

1(ab0)

交于

M,N

两点，

P

是椭圆

C

上异

ab

6

1

于

M,N

任一点．若直线

PM,PN

斜率之积为



，则椭圆

C

离心率为．

3

3

6．在△

ABC

中，

ABBC2

，

AC3

．设

O

是△

ABC

内心，若

AOpABqAC

，

则

3

p

值为．

q

2

7．在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，已知

AC1,B

1

C2,AB

1

p

，则长方体体积最大

时，

p

为

1

23

．

3

2012

20122

k

]

． 8．设

[x]

表达不超过

x

最大整数，则



[

k1

2

k0

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

2

9．已知正项数列

{a

n

}

满足

a

n

a

n1

a

n

a

n2

4a

n

a

n1

a

n1

3a

n

a

n1

且

a

1

1

，

a

2

8

，求

{a

n

}

通项公式．

解 在已知等式两边同步除以

a

n

a

n1

，得

1

a

n2

a

41

n1

3

，

a

n1

a

n

因此

1

分

令

b

n

1

a

n2

a

14(1

n1

1)

． ------------------------------------------4

a

n1

a

n

a

n1

1

,则

b

1

4,b

n1

4b

n

，即数列

{b

n

}

是以

b

1

＝4为首项,4为公比等比数

a

n

列，因此

b

n

b

1

4

n1

4

n

. ------------------------------------------8分

因此

1

分

于是，当

n1

时,

a

n

[(4

n1

1)

2

1]a

n1

[(4

n1

1)

2

1][(4

n2

1)

2

1]a

n2

a

n1

14

n

,即

a

n1

[(4

n

1)

2

1]a

n

. ------------------------------------------12

a

n





[(4

k1

n1

k1

1)1]a

1



2



[(4

k1

n1

k1

1)

2

1]

，

n1,



1,



n1

因而，

a

n





------------------------------------------16分

[(4

k1

1)

2

1],n2.





k1



10．已知正实数

a,b

满足

a

2

b

2

1

，且

a

3

b

3

1m(ab1)

3

，求

m

取值范畴．

解 令

acos



,bsin



，

0







2

，则

cos

3



sin

3



1

(cos



sin



)(cos

2



cos



sin



sin

2



)1

m

．-------------------------

(cos



sin



1)

3

(cos



sin



1)

3

---------------5分

x

2

1

令

xcos



sin



，则

x2sin(



)(1,2]

，且

cos



sin





．------------------

4

2



------------10分

于是

x

2

1

x(1)1

23xx

3

2xx

2

2x31

2

． ----------------------

m

2(x1)2(x1)2

(x1)

3

2(x1)

3

2(x1)

2

--------15分

由于函数

f(x)

又

f(1)

---20分

31



在

(1,2]

上单调递减，因此

f(2)mf(1)

．

2(x1)2

13243241

，因此

m[,f(2),)

． -----------------------------------

4224

11．已知点

E(m,n)

为抛物线

y

2

2px(p0)

内一定点，过

E

作斜率分别为

k

1

,k

2

两条直

线交抛物线于

A,B,C,D

，且

M,N

分别是线段

AB,CD

中点．

（1）当

n0

且

k

1

k

2

1

时，求△

EMN

面积最小值；

（2）若

k

1

k

2





（



0,



为常数），证明：直线

MN

过定点．

解

AB

所在直线方程为

xt

1

(yn)m

，其中

t

1



1

，代入

y

2

2px

中，得

k

1

y

2

2pt

1

y2pt

1

n2pm0

，

设

A(x

1

,y

1

),B(x

2

,y

2

)

，则有

y

1

y

2

2pt

1

，从而

x

1

x

2

t

1

(y

1

y

2

2n)2mt

1

(2pt

1

2n)2m

．

2

则

M(pt

1

nt

1

m,pt

1

)

．

CD

所在直线方程为

xt

2

(yn)m

，其中

t

2



2

N(pt

2

nt

2

m,pt

2

)

．

1

k

2

，同理可得

-----------------------------------

-------5分

22

（1）当

n0

时，

E(m,0)

，

M(pt

1

m,pt

1

)

，

N(pt

2

m,pt

2

)

，

22

|EM||pt

1

|1t

1

，

|EN||pt

2

|1t

2

．

又

k

1

k

2

1

，故

t

1

t

2

1

，于是△

EMN

面积

11

2

p

2

22

S|EM||EN||pt

1

t

2

|(1t

1

)(1t

2

)2t

1

2

t

2

2

222

p

2

4p

2

，

2

当且仅当

|t

1

||t

2

|1

时等号成立．

因此，△

EMN

面积最小值为

p

. ------------------------------------------10分

（2）

k

MN



p(t

1

t

2

)

p(t

1

t

2

)n(t

1

t

2

)

22

2



1

n

(t

1

t

2

)

p

1

n

p

，

MN

所在直线方程为

ypt

1

[x(pt

1

nt

1

m]

，

2

(t

1

t

2

)

n

即

y(t

1

t

2

)pt

1

t

2

xm

． ------------------------------------------15分

p

又

k

1

k

2



11





t

1

t

2

，即

t

1

t

2



t

1

t

2



，代入上式，得

tt

n

y(t

1

t

2

)p

12

xm

，

p



pny

即

(t

1

t

2

)(y)xm

．



p

p



y



ny

p



当

y0

时，有

xm0

，即



为方程一组解，

n

p





xm





因此直线

MN

恒过定点

(m



n

p

,)

． ------------------------------------------20分

上海市高中数学竞赛

一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4

A1

小题每小题8分）

1.如图,正六边形

A

1

B

1

C

1

D

1

E

1

F

1

边长为1,它6条对角线又围成

一种正六边形

A

2

B

2

C

2

D

2

E

2

F

2

,如此继续下去,则所有这些六边

形面积和是 .

2.已知正整数

a

1

,a

2

,,a

10

满足：

C1

B1A2

F2

F1

B2

E2

C2

D2

E1

a

j

3

,1ij10

,则

a

10

a

i

2

D1

最小也许值是 .

3.若

tan



tan



tan





174

，

cot



cot



cot





,

cot



cot



65

17

cot



cot



cot



cot





，则

tan

















.

5

A

D

4．已知关于

x

方程

lg



kx



2lg



x1



仅有一种实数解，则实数

k

取

值范畴是 .

5．如图，

AEF

是边长为

x

正方形

ABCD

内接三角形，已知

F

B

E

C

AEF90

，

AEa,EFb,ab

，则

x

.

6．方程

2

m

3

n

3

n1

2

m

13

非负整数解



m,n





.

7．一种口袋里有5个大小同样小球，其中两个是红色，两个是白色，一种是黑

色，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球颜色均不相似概率是 .

（用数字作答）

8．数列



a

n



定义如下：

a

1

1,a

2

2,a

n2



2



n1



n

a

n1

a

n

,n1,2,

n2n2

.若

a

m

2

2011

，则正整数

m

最小值为 .

2012

二、解答题

9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，

ABx

，

BC1

，对角

线AC与BD夹角

BOC45

，记直线AB与CD距离为

h(x)

．

求

h(x)

表达式，并写出x取值范畴．

10．（本题满分14分）给定实数

a1

，求函数

f(x)

值．

(asinx)(4sinx)

最小

1sinx

A

D

C

O

B