2023年12月7日发(作者：八市联考数学试卷出卷人)
初中数学解题模型之图形认识初步（欧拉公式）
一．选择题（共5小题）
1．将正方体的面数记为f，边数记为e，顶点数记为v，则f+v﹣e＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．一个多面体，若顶点数为4，面数为4，则棱数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．设长方体的顶点数为v，棱数为e，面数为f，则v+e+f等于（ ）
A．26 B．2 C．14 D．10
4．正多面体的面数、棱数、顶点数之间存在着一个奇妙的关系，若用F，E，V分别表示正多面体的面数、棱数、顶点数，则有F+V﹣E＝2，现有一个正多面体共有12条棱，6个顶点，则它的面数F等于（ ）
A．6 B．8 C．12 D．20
5．（2015秋•游仙区校级期末）欧拉公式中，多面体的面数F，棱数E，顶点数V之间的正确关系是（ ）
A．F+V﹣E＝2 B．F+E﹣V＝2 C．E+V﹣F＝2 D．E﹣V﹣F＝2
二．填空题（共13小题）
6．（2018秋•上杭县期末）简单多面体是各个面都是多边形组成的几何体，十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在一个有趣的关系式，称为欧拉公式．如表是根据左边的多面体模型列出的不完整的表：
多面体
四面体
长方体
正八面体
顶点数
4
8
面数
4
6
8
棱数
6
12
现在有一个多面体，它的每一个面都是三角形，它的面数（F）和棱数（E）的和为30，则这个多面体的顶点数V＝ ．
7．（2018秋•南江县期末）阅读下面的材料：1750年欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是，如果用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有V﹣E+F＝2．这个发现就是著名的欧拉定理．根据所阅读的材料，完成：一个多面体的面数为12，棱数是80，则其顶点数为 ．
8．（2013秋•南江县校级期末）阅读下面的材料：1750年欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有V﹣E+F＝2．这个发现，就是著名的欧拉定理．根据所阅读的材料，完成：一个多面体的面数为12，棱数是30，则其顶点数为 ．
9．（2013秋•郸城县校级月考）一个多面体的顶点数为12，棱数是30，则这个多面体的面数是 ． 10．（2012秋•高港区校级月考）任意一个多面体，它的面数记为a，顶点数记为b，棱的条数记为c，则a，b，c三者之间的关系式为 ．
11．（2011秋•市中区校级月考）n棱柱的面数+顶点数﹣棱数＝ ．
12．从每个顶点出发的所有棱长相等，所有面形状、大小完全相同的正多边形的几何体称为正多面体、其面数+顶点数﹣棱数＝ ．
13．（2021秋•南关区校级月考）如图，正四面体的顶点数（4）+面数（4）﹣棱数（6）＝2，仔细观察后计算，正八面体的顶点数+面数﹣棱数＝ ．
14．（2018秋•成都期中）瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为 个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个 面体．
15．（2017秋•高新区期末）一个多面体的面数为6，棱数是12，则其顶点数为 ．
16．（2011•南海区模拟）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型：
根据上面多面体模型，你发现顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）之间存在的关系式是 ．
17．正多面体共有五种，它们是 、 、 、 、 ，它们的面数f，棱数e、顶点数v满足关系式 ．
18．图1（1）、（2）、（3）依次表示四面体、八面体、正方体．
它们各自的面积数F、棱数E与顶点数V如下表：
四面体
八面体
正方体
F
4
8
6
E
6
12
12
V
4
6
8
观察这些数据，可以发现F、E、V之间的关系满足等式： ．
三．解答题（共12小题）
19．（2020秋•寿阳县期中）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
顶点数（V）
4
8
20
面数（F）
4
6
8
12
棱数（E）
12
12
30
（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
（3）一个多面体的面数与顶点数相同，且有12条棱，则这个多面体的面数是 ．
20．（2018秋•南丰县期中）图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．
（1）根据要求将表格补充完整：
图1
图2
图3
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
7
7
7
10
12
13
（2）猜想f、v、e三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4035条，试求出它的面数．
21．（2020秋•灵石县月考）观察下列多面体，并把下表补充完整．
名称
图形
三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
顶点数a
棱数b
面数c
6
9
5
12
10
12
8
观察上表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出发现的关系式．
22．（2019秋•沈北新区期中）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
（2）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
23．（2018•凉山州模拟）观察下列多面体，并把如表补充完整．
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形
12
10
12
8
顶点数a
棱数b
面数c
6
9
5
观察表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出关系式．
24．（2014秋•海陵区期末）回答下列问题：
（1）如图所示的甲、乙两个平面图形能折什么几何体？
（2）由多个平面围成的几何体叫做多面体．若一个多面体的面数为f，顶点个数为v，棱数为e，分别计算第（1）题中两个多面体的f+v﹣e的值？你发现什么规律？
（3）应用上述规律解决问题：一个多面体的顶点数比面数大8，且有50条棱，求这个几何体的面数．
25．（2013秋•泉港区期末）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E．
（1）观察与发现：三棱锥中，V3＝ ，F3＝ ，E3＝ ；
五棱锥中，V5＝ ，F5＝ ，E5＝ ；
（2）猜想：①十棱锥中，V10＝ ，F10＝ ，E10＝ ；
②n棱锥中，Vn＝ ，Fn＝ ，En＝ ；（用含有n的式子表示）
（3）探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： ；
②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：E＝ ；
（4）拓展：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间是否也存在某种等量关系？若存在，试写出相应的等式；若不存在，请说明理由．
26．（2020秋•兴庆区校级月考）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．
（1）根据要求填写表格：
图1
图2
图3
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
（2）猜想f、v、e三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数．
27．（2016秋•雁塔区校级月考）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格；
多面体
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
顶点数（V）
4
8
20
面数（F）
4
6
8
12
棱数（E）
12
12
30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
（2）正十二面体有12个面，那它有 条棱；
（3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是 ；
（4）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
28．（2015秋•龙岩校级月考）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
顶点数（V）
4
8
20
面数（F）
4
6
8
棱数（E）
12
12
30
（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
（3）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
29．（2017秋•太原期中）在对第一章“丰富的图形世界”复习前，老师让学生整理正方体截面的形状并探究多面体（由若干个多边形所围成的几何体）的棱数、面数、顶点数之间的数量关系，如图是小颖用平面截正方体后剩余的多面体，请解答下列问题：
（1）根据上图完成下表：
多面体
（1）
（3）
（5）
V（顶点数）
6
8
F（面数）
7
6
E（棱数）
15
9
（2）猜想：一个多面体的V（顶点数），F（面数），E（棱数）之间的数量关系是 ；
（3）计算：已知一个多面体有20个面、30条棱，那么这个多面体有 个顶点．
30．（2017秋•吉安期中）观察下列多面体，并把表补充完整．
名称
图形
三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
顶点数a
棱数b
面数c
6
9
5
12
6
10
12
8
（1）完成表中的数据； （2）若某个棱柱由28个面构成，则这个棱柱为 棱柱；
（3）根据表中的规律判断，n棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱；
（4）观察表中的结果，你发现棱柱顶点数、棱数、面数之间有什么关系吗？请直接写出来．
初中数学解题模型之图形认识初步（欧拉公式）
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．将正方体的面数记为f，边数记为e，顶点数记为v，则f+v﹣e＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】欧拉公式．
【分析】根据正方体的概念和特性进行分析计算即解．
【解答】解：正方体的顶点数v＝8，棱数e＝12，面数f＝6．
故f+v﹣e＝8+6﹣12＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了欧拉公式，解决本题的关键是明白正方体的构造特征为：正方体有6个面，8个顶点，12条棱．
2．一个多面体，若顶点数为4，面数为4，则棱数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】欧拉公式．
【分析】根据欧拉公式，简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2，代入求出棱数．
【解答】解：根据欧拉公式：V+F﹣E＝2，
可得4+4﹣E＝2，
解得E＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查欧拉公式：V+F﹣E＝2，属于基础题．
3．设长方体的顶点数为v，棱数为e，面数为f，则v+e+f等于（ ）
A．26 B．2 C．14 D．10
【考点】欧拉公式．
【专题】计算题．
【分析】根据长方体的概念和特性进行分析计算即解．
【解答】解：长方体的顶点数v＝8，棱数e＝12，面数f＝6．故v+e+f＝8+12+6＝26．
故选：A．
【点评】解决本题的关键是明白长方体的构造特征为：长方体有6个面，8个顶点，12条棱．
4．正多面体的面数、棱数、顶点数之间存在着一个奇妙的关系，若用F，E，V分别表示正多面体的面数、棱数、顶点数，则有F+V﹣E＝2，现有一个正多面体共有12条棱，6个顶点，则它的面数F等于（ ）
A．6 B．8 C．12 D．20
【考点】欧拉公式．
【专题】计算题． 【分析】根据题意中的公式F+V﹣E＝2，将E，V代入即解．
【解答】解∵正多面体共有12条棱，6个顶点，
∴E＝12，V＝6，
∴F＝2﹣V+E＝2﹣6+12＝8．
故选：B．
【点评】解决本题的关键是正确的审题，合理利用题目中给出的公式解答．
5．（2015秋•游仙区校级期末）欧拉公式中，多面体的面数F，棱数E，顶点数V之间的正确关系是（ ）
A．F+V﹣E＝2 B．F+E﹣V＝2 C．E+V﹣F＝2 D．E﹣V﹣F＝2
【考点】欧拉公式．
【专题】应用意识．
【分析】根据欧拉公式进行解答即可．
【解答】解：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：V+F﹣E＝2
故选：A．
【点评】本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题．
二．填空题（共13小题）
6．（2018秋•上杭县期末）简单多面体是各个面都是多边形组成的几何体，十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在一个有趣的关系式，称为欧拉公式．如表是根据左边的多面体模型列出的不完整的表：
多面体
四面体
长方体
正八面体
顶点数
4
8
面数
4
6
8
棱数
6
12
现在有一个多面体，它的每一个面都是三角形，它的面数（F）和棱数（E）的和为30，则这个多面体的顶点数V＝ 8 ．
【考点】欧拉公式；数学常识．
【专题】图表型；运算能力．
【分析】直接利用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，欧拉公式为V﹣E+F＝2，求出答案．
【解答】解：∵现在有一个多面体，它的每一个面都是三角形，它的面数（F）和棱数（E）的和为30，
∴这个多面体的顶点数V＝2+E﹣F，
∵每一个面都是三角形，
∴每相邻两条边重合为一条棱， ∴E＝F，
∵E+F＝30，
∴F＝12，
∴E＝18，
∴V＝，2+E﹣F＝8，
故答案为8．
【点评】此题主要考查了欧拉公式，正确应用公式是解题关键．
7．（2018秋•南江县期末）阅读下面的材料：1750年欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是，如果用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有V﹣E+F＝2．这个发现就是著名的欧拉定理．根据所阅读的材料，完成：一个多面体的面数为12，棱数是80，则其顶点数为 70 ．
【考点】欧拉公式；列代数式．
【专题】新定义；符号意识．
【分析】直接利用欧拉公式V﹣E+F＝2，求出答案．
【解答】解：∵用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有V﹣E+F＝2．
∴V＝E﹣F+2，
∵一个多面体的面数为12，棱数是80，
∴其顶点数为：80﹣12+2＝70．
故答案为：70．
【点评】此题主要考查了欧拉公式，正确应用公式是解题关键．
8．（2013秋•南江县校级期末）阅读下面的材料：1750年欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有V﹣E+F＝2．这个发现，就是著名的欧拉定理．根据所阅读的材料，完成：一个多面体的面数为12，棱数是30，则其顶点数为 20 ．
【考点】欧拉公式．
【分析】直接把面数、棱数代入公式，即可求得顶点数．
【解答】解：由题意可得，V﹣30+12＝2，
解得V＝20．
故答案为：20
【点评】此题考查欧拉公式的应用，直接代入计算即可．
9．（2013秋•郸城县校级月考）一个多面体的顶点数为12，棱数是30，则这个多面体的面数是 20 ．
【考点】欧拉公式．
【分析】根据常见几何体的结构特征进行判断．
【解答】解：∵顶点数记为V，棱数记为E，面数记为F，
V+F﹣E＝2，
∴12+F﹣30＝2，
解得：F＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了欧拉公式及几何体的特征，是一道简单的基础题．
10．（2012秋•高港区校级月考）任意一个多面体，它的面数记为a，顶点数记为b，棱的条数记为c，则a，b，c三者之间的关系式为 a+b﹣c＝2 ．
【考点】欧拉公式． 【分析】简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2，这个公式叫欧拉公式．
【解答】解：由欧拉公式可得：a+b﹣c＝2．
故答案为：a+b﹣c＝2．
【点评】本题考查了欧拉公式，属于基础知识的考察，欧拉公式的内容需要同学们熟练掌握．
11．（2011秋•市中区校级月考）n棱柱的面数+顶点数﹣棱数＝ 2 ．
【考点】欧拉公式．
【分析】根据欧拉公式，得出正多面体的面数+顶点数﹣棱数的结果．
【解答】解：从每个顶点出发的所有棱长相等，所有面形状、大小完全相同的正多边形的几何体称为正多面体，其面数+顶点数﹣棱数＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了欧拉公式中多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系，灵活运用公式是解题关键．
12．从每个顶点出发的所有棱长相等，所有面形状、大小完全相同的正多边形的几何体称为正多面体、其面数+顶点数﹣棱数＝ 2 ．
【考点】欧拉公式．
【分析】根据欧拉公式，得出正多面体的面数+顶点数﹣棱数的结果．
【解答】解：从每个顶点出发的所有棱长相等，所有面形状、大小完全相同的正多边形的几何体称为正多面体，其面数+顶点数﹣棱数＝2．故答案为2．
【点评】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
13．（2021秋•南关区校级月考）如图，正四面体的顶点数（4）+面数（4）﹣棱数（6）＝2，仔细观察后计算，正八面体的顶点数+面数﹣棱数＝ 2 ．
【考点】欧拉公式．
【专题】投影与视图；几何直观．
【分析】只需分别找出正八面体的顶点数，面数和棱数即可．
【解答】解：正八面体有6个顶点，12条棱，8个面．
∴正八面体的顶点数+面数﹣棱数＝6+8﹣12＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查欧拉公式，正确找出正八面体的顶点数，面数，棱数是求解本题的关键．
14．（2018秋•成都期中）瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为 12 个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个 12 面体．
【考点】等边三角形的性质；数学常识；规律型：图形的变化类；欧拉公式．
【专题】图表型．
【分析】①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有利用欧拉公式构建方程即可解决问题．
【解答】解：①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有由题意F＝20，
∴n+20﹣＝2，
条．
条．利用欧拉公式构建方程即可解决问题．②设顶点数V，棱数E，面数F，每个点属于三个面，每条边属于两个面，解得n＝12．
②设顶点数V，棱数E，面数F，每个点属于三个面，每条边属于两个面
由每个面都是五边形，则就有E＝由欧拉公式：F+V﹣E＝2，代入：
F+﹣＝2
，V＝
化简整理：F＝12
所以：E＝30，V＝20
即多面体是12面体．棱数是30，面数是12，
故答案为12，12．
【点评】本题考查欧拉公式的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
15．（2017秋•高新区期末）一个多面体的面数为6，棱数是12，则其顶点数为 8 ．
【考点】欧拉公式．
【分析】因为多面体的面数为6，棱数是12，故多面体为四棱柱．
【解答】解：根据四棱柱的概念，有8个顶点．
故答案为8．
【点评】本题考查的棱柱的定义，关键点在于：棱柱的面与面相交成棱，棱与棱相交成点．
16．（2011•南海区模拟）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型：
根据上面多面体模型，你发现顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）之间存在的关系式是 v+f﹣e＝2 ．
【考点】欧拉公式．
【分析】先根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数（v）、面数（f ）、棱数（e）之间存在的关系式即可．
【解答】解：四面体的顶点数为4、面数为4，棱数为6，则4+4﹣6＝2；
长方体的顶点数为8、面数为6，棱数为12，则8+6﹣12＝2；
正八面体的顶点数为6，面数为8，棱数为12，则8+6﹣12＝2；
则关系式为：v+f﹣e＝2；
故答案为：v+f﹣e＝2．
【点评】本题考是一个找规律的题目，查了欧拉公式，由特殊到一般的思想在数学教学中常用到．
17．正多面体共有五种，它们是 用正三角形做面的正四面体 、 用正三角形做面的正八面体 、 用正三角形做面的正十二面体 、 用正方形做面的正六面体 、 用正五边形做面的正十二面体 ，它们的面数f，棱数e、顶点数v满足关系式 f+v﹣e＝2 ．
【考点】欧拉公式．
【专题】常规题型．
【分析】根据正多面体的面是正三角形，正方形，正五边形三种情况写出即可；再根据欧拉公式进行解答．
【解答】解：正多面体只能有五种，
用正三角形做面的正四面体、正八面体，正二十面体，用正方形做面的正六面体，用正五边形做面的正十二面体．
f+v﹣e＝2．
【点评】本题考查了正多面体的分类与欧拉公式，都是基础知识，需要熟练掌握．
18．图1（1）、（2）、（3）依次表示四面体、八面体、正方体．
它们各自的面积数F、棱数E与顶点数V如下表：
四面体
八面体
正方体
F
4
8
6
E
6
12
12
V
4
6
8
观察这些数据，可以发现F、E、V之间的关系满足等式： F﹣E+V＝2 ． 【考点】欧拉公式．
【专题】计算题．
【分析】根据题给图形中各图具体的面积数F、棱数E与顶点数V，即可得出答案．
【解答】解：根据表中所列可知：四面体有4﹣6+4＝2；
八面体有8﹣12+6＝2；
正方体有6﹣12+8＝2；
故有F﹣E+V＝2．
故答案为：F﹣E+V＝2．
【点评】本题主要考查了欧拉公式的知识，属于基础题，注意对欧拉公式的熟练掌握．
三．解答题（共12小题）
19．（2020秋•寿阳县期中）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
顶点数（V）
4
8
6
20
面数（F）
4
6
8
12
棱数（E）
6
12
12
30
（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 V+F﹣E＝2 ．
（3）一个多面体的面数与顶点数相同，且有12条棱，则这个多面体的面数是 7 ．
【考点】欧拉公式；数学常识．
【专题】几何图形；几何直观．
【分析】（1）依据多面体模型，即可得到棱数和顶点数；
（2）依据表格中的数据，即可得出顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式；
（3）依据欧拉公式进行计算，即可得到这个多面体的面数．
【解答】解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；
故答案为：6，6；
（2）顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F﹣E＝2，
故答案为：V+F﹣E＝2；
（3）设这个多面体的面数是x，则
2x﹣12＝2，
解得x＝7，
这个多面体的面数是7，
故答案为：7． 【点评】本题主要考查了欧拉公式，多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律．
20．（2018秋•南丰县期中）图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．
（1）根据要求将表格补充完整：
图1
图2
图3
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
7
7
7
7
8
10
12
13
15
（2）猜想f、v、e三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4035条，试求出它的面数．
【考点】截一个几何体；欧拉公式．
【专题】规律型；几何直观．
【分析】（1）根据图形数出即可．
（2）根据（1）中结果得出f+v﹣e＝2．
（3）把数值代入f+v﹣e＝2求出即可．
【解答】解：（1）填表如下：，
图1
图2
图3
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
7
7
7
7
8
10
12
13
15
故答案为：7，8，15．
（2）f+v﹣e＝2．
（3）∵v＝2018，e＝4035，f+v﹣e＝2
∴f+2018﹣4035＝2，
解得f＝2019．
故它的面数是2019．
【点评】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律．
21．（2020秋•灵石县月考）观察下列多面体，并把下表补充完整．
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形
顶点数a
棱数b
面数c
6
9
5
12
10
12
8
观察上表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出发现的关系式．
【考点】欧拉公式．
【分析】只要将各个图形的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内，通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐藏着的数量关系，这个数量关系用公式表示出来即可．
【解答】解：填表如下：
名称
图形
三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
顶点数a
棱数b
面数c
6
9
5
8
12
6
10
15
7
12
18
8
观察上表中的结果，能发现a、b、c之间有的关系是：a+c﹣b＝2．
【点评】本题考查了欧拉公式的知识，在找顶点数，棱数，面数的时候，如何做到不重不漏是难点
22．（2019秋•沈北新区期中）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
顶点数（V）
4
8
6
20
面数（F）
4
6
8
12
棱数（E）
6
12
12
30 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 V+F﹣E＝2 ．
（2）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 12 ．
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
【考点】欧拉公式；数学常识．
【专题】图表型；创新意识．
【分析】（1）观察可得顶点数+面数﹣棱数＝2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值．
【解答】解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F﹣E＝2；
（2）由题意得：F+8+F﹣30＝2，解得F＝12；
（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2＝36条棱，
那么24+F﹣36＝2，解得F＝14，
∴x+y＝14．
故答案为：（1）6；6；V+F﹣E＝2．
（2）12；
（3）14．
【点评】考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
23．（2018•凉山州模拟）观察下列多面体，并把如表补充完整．
名称
图形
12
10
12
8
三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
顶点数a
棱数b
面数c
6
9
5
观察表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出关系式．
【考点】欧拉公式．
【专题】常规题型．
【分析】结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知n棱柱一定有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱，进而得出答案，
利用前面的规律得出a，b，c之间的关系．
【解答】解：填表如下：
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形
8
12
6
10
15
7
12
18
8
顶点数a
棱数b
面数c
6
9
5
根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有n+2个面，共有2n个顶点，共有3n条棱；
故a，b，c之间的关系：a+c﹣b＝2．
【点评】此题主要考查了欧拉公式，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱是解题关键．
24．（2014秋•海陵区期末）回答下列问题：
（1）如图所示的甲、乙两个平面图形能折什么几何体？
（2）由多个平面围成的几何体叫做多面体．若一个多面体的面数为f，顶点个数为v，棱数为e，分别计算第（1）题中两个多面体的f+v﹣e的值？你发现什么规律？
（3）应用上述规律解决问题：一个多面体的顶点数比面数大8，且有50条棱，求这个几何体的面数．
【考点】展开图折叠成几何体；欧拉公式．
【分析】（1）由长方体与五棱锥的折叠及长方体与五棱锥的展开图解题．
（2）列出几何体的面数，顶点数及棱数直接进行计算即可；
（3）设这个多面体的面数为x，根据顶点数+面数﹣棱数＝2，列出方程即可求解．
【解答】解：（1）图甲折叠后底面和侧面都是长方形，所以是长方体；
图乙折叠后底面是五边形，侧面是三角形，实际上是五棱锥的展开图，所以是五棱锥．
（2）甲：f＝6，e＝12，v＝8，f+v﹣e＝2；
乙：f＝6，e＝10，v＝6，f+v﹣e＝2；
规律：顶点数+面数﹣棱数＝2．
（3）设这个多面体的面数为x，则
x+x+8﹣50＝2
解得x＝22．
【点评】本题考查了欧拉公式，展开图折叠成几何体的知识，有一定难度，同时考查了学生的想象和动手能力．
25．（2013秋•泉港区期末）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E．
（1）观察与发现：三棱锥中，V3＝ 4 ，F3＝ 4 ，E3＝ 6 ；
五棱锥中，V5＝ 6 ，F5＝ 6 ，E5＝ 10 ； （2）猜想：①十棱锥中，V10＝ 11 ，F10＝ 11 ，E10＝ 20 ；
②n棱锥中，Vn＝ n+1 ，Fn＝ n+1 ，En＝ 2n ；（用含有n的式子表示）
（3）探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： V＝F ；
②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：E＝ V+F﹣2 ；
（4）拓展：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间是否也存在某种等量关系？若存在，试写出相应的等式；若不存在，请说明理由．
【考点】欧拉公式．
【分析】（1）观察与发现：根据三棱锥、五棱锥的特征填写即可；
（2）猜想：①根据十棱锥的特征填写即可；
②根据n棱锥的特征的特征填写即可；
（3）探究：①通过列举得到棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系；
②通过列举得到棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系；
（4）拓展：根据棱柱的特征得到棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系．
【解答】解：（1）观察与发现：三棱锥中，V3＝4，F3＝4，E3＝6；
五棱锥中，V5＝6，F5＝6，E5＝10；
（2）猜想：①十棱锥中，V10＝11，F10＝11，E10＝20；
②n棱锥中，Vn＝n+1，Fn＝n+1，En＝2n；（用含有n的式子表示）
（3）探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：V＝F；
②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：E＝V+F﹣2；
（4）拓展：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间也存在某种等量关系，相应的等式是：V+F﹣E＝2．
故答案为：4，4，6；6，6，10；11，11，20；n+1，n+1，2n；V＝F，V+F﹣2．
【点评】考查了欧拉公式，本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和多面体的性质等知识，属于基础题．
26．（2020秋•兴庆区校级月考）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．
（1）根据要求填写表格：
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图1
图2
图3
7
6
7
9
8
10
14
12
15
（2）猜想f、v、e三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数．
【考点】截一个几何体；欧拉公式．
【专题】规律型．
【分析】（1）根据图形数出即可．
（2）根据（1）中结果得出f+v﹣e＝2．
（3）代入f+v﹣e＝2求出即可．
【解答】解：（1）题1，面数f＝7，顶点数v＝9，棱数e＝14，
题2，面数f＝6，顶点数v＝8，棱数e＝12，
题3，面数f＝7，顶点数v＝10，棱数e＝15，
故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15．
（2）f+v﹣e＝2．
（3）∵v＝2018，e＝4036，f+v﹣e＝2
∴f+2018﹣4036＝2，
f＝2020，
即它的面数是2020．
【点评】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律．
27．（2016秋•雁塔区校级月考）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格；
多面体
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
顶点数（V）
4
8
20
面数（F）
4
6
8
12
棱数（E）
12
12
30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 V+F﹣E＝2 ．
（2）正十二面体有12个面，那它有 30 条棱；
（3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是 20 ； （4）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
【考点】欧拉公式．
【分析】（1）观察表格可以看出：顶点数+面数﹣棱数＝2，关系式为：V+F﹣E＝2；
（2）根据题意得出是十二面体，得出顶点数；
（3）代入（1）中公式进行计算；
（4）根据欧拉公式可得顶点数+面数﹣棱数＝2，然后表示出棱数，进而可得面数．
【解答】解：（1）根据题意得：四面体的棱数为6，正八面体顶点数为6，
∵4+4﹣6＝2，8+6﹣12＝2，6+8﹣12＝2，
∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F﹣E＝2；
故答案为：V+F﹣E＝2；
（2）正十二面体有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有30条棱，20个顶点；
故答案是：30；
（3）由（1）可知：V+F﹣E＝2，
∵一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，
∴V+V﹣8﹣30＝2，即V＝20，
故答案是：20；
（4）∵有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有48×3÷2＝72条棱，
设总面数为F，
48+F﹣72＝2，
解得F＝26，
∴x+y＝26．
【点评】本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，得出欧拉公式是解题关键．
28．（2015秋•龙岩校级月考）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
四面体
长方体
顶点数（V）
4
8
面数（F）
4
6
棱数（E）
6
12 正八面体
正十二面体
6
20
8
12
12
30
（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 V+F﹣E＝2 ．
（3）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 20 ．
【考点】欧拉公式．
【分析】（1）观察图形即可得出结论；
（2）观察可得顶点数+面数﹣棱数＝2；
（3）代入（2）中的式子即可得到面数．
【解答】解：（1）观察图形，四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；正十二面体的面数为12；
（2）观察表格可以看出：顶点数+面数﹣棱数＝2，关系式为：V+F﹣E＝2；
（3）由题意得：F﹣8+F﹣30＝2，解得F＝20．
故答案为：（1）6，6，12；（2）V+F﹣E＝2；（3）20．
【点评】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
29．（2017秋•太原期中）在对第一章“丰富的图形世界”复习前，老师让学生整理正方体截面的形状并探究多面体（由若干个多边形所围成的几何体）的棱数、面数、顶点数之间的数量关系，如图是小颖用平面截正方体后剩余的多面体，请解答下列问题：
（1）根据上图完成下表：
多面体
（1）
（3）
（5）
V（顶点数）
10
6
8
F（面数）
7
5
6
E（棱数）
15
9
12
（2）猜想：一个多面体的V（顶点数），F（面数），E（棱数）之间的数量关系是 V+F﹣E＝2 ；
（3）计算：已知一个多面体有20个面、30条棱，那么这个多面体有 12 个顶点．
【考点】截一个几何体；欧拉公式．
【专题】几何图形．
【分析】（1）观察图形即可得出结论；
（2）观察可得顶点数+面数﹣棱数＝2；
（3）代入（2）中的式子即可得到面数．
【解答】解：（1）观察图形，多面体（1）的顶点数为10；多面体（3）的面数为5；多面体（5）的棱数为12；
故答案为：10，5，12；
（2）观察表格可以看出：顶点数+面数﹣棱数＝2，
即关系式为：V+F﹣E＝2；
故答案为：V+F﹣E＝2；
（3）由题意得：V+20﹣30＝2，解得V＝12．
故答案为：12． 【点评】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律．
30．（2017秋•吉安期中）观察下列多面体，并把表补充完整．
名称
图形
三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
顶点数a
棱数b
面数c
6
9
5
8
12
6
10
12
18
8
15
7
（1）完成表中的数据；
（2）若某个棱柱由28个面构成，则这个棱柱为 26 棱柱；
（3）根据表中的规律判断，n棱柱共有 （n+2） 个面，共有 2n 个顶点，共有 3n 条棱；
（4）观察表中的结果，你发现棱柱顶点数、棱数、面数之间有什么关系吗？请直接写出来．
【考点】欧拉公式；规律型：图形的变化类．
【专题】图表型；规律型．
【分析】（1）结合三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，即可填表：
（2）（3）根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知n棱柱一定有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱，进而得出答案；
（4）利用前面的规律得出a，b，c之间的关系．
【解答】解：（1）填表如下：
名称
图形
三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
顶点数a
棱数b
面数c
6
9
5
8
12
6
10
15
7
12
18
8
（2）若某个棱柱由28个面构成，则这个棱柱为26棱柱；
（3）根据表中的规律判断，n棱柱共有 （n+2）个面，共有 2n个顶点，共有 3n条棱；
（4）a，b，c之间的关系：a+c﹣b＝2
故答案为：8；15，18；7；26；（n+2），2n，3n．
【点评】此题主要考查了欧拉公式，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱是解题关键． 考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
3．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
4．欧拉公式
（1）简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律．
（2）V+F﹣E＝X（P），V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X（P）是多面体P的欧拉示性数．
5．展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
6．截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． （2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
7．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
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