2024年1月23日发(作者：唐河二模数学试卷答案)

圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台矩阵的初等变换与线性方程组[视频讲解]第3章3.1本章要点详解本章要点■初等变换的概念与性质■矩阵之间的等价关系■初等变换与矩阵乘法的关系■初等变换的应用■矩阵的秩■线性方程组的解重难点导学一、矩阵的初等变换1/15

圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台1．初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换：(1)对调两行（对调i，j两行，记作ri↔rj）；(2)以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记为ri×k）；(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作ri＋krj）．把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换．2．矩阵等价(1)定义①若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作②若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作③若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A～B．（2）矩阵之间的等价关系的性质①反身性A～A；②对称性若A～B，则B～A；③传递性若A～B，B～C，则A～C．（3）矩阵的类型①两个矩阵；；2/15

圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台，矩阵B4和B5都称为行阶梯形矩阵.行阶梯形矩阵B5又称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且非零元所在的列的其他元素都为0．结论：对于任何非零矩阵Am×n总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．②标准形矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0．对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数．所有3/15

圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台与A等价的矩阵组成一个集合，标准形F是这个集合中形状最简单的矩阵．3．初等变换与矩阵乘法的关系（1）定理设A与B为m×n矩阵，则：①②的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA＝B；的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使AQ＝B；③A～B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ＝B．（2）初等矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．（3）性质①设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，等价于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，等价于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵．②方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，…Pl，使A＝P1P2…Pl．③方阵A可逆的充分必要条件是4．初等变换的应用当|A|0时,由APP12Pl,有111111Pl1Pl1P1AE及PlPl1P1EA.所以11Pl1Pl1P1A|E11111Pl1Pl1P1A|PlPl1P1EE|A1即对n×2n矩阵A|E施行初等行变换，当把A变成E时，原来的E就变成A1．-4/15

圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台二、矩阵的秩1．秩的定义（1）k阶子式在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．注：m×n矩阵A的k阶子式共有（2）矩阵的秩设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r＋1阶子式（如果存在的话）全等于0，则D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）．注：零矩阵的秩等于0．（3）最高阶非零子式由行列式的性质可知，在A中当所有r＋1阶子式全等于0时，所有高于r＋1阶的子式也全等于0，因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式，而A的秩R（A）就是A的非零子式的最高阶数．5/15个．

圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台（4）满秩矩阵与降秩矩阵可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数．因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵．（5）等价矩阵的秩①若A～B，则R(A)=R(B).②若可逆矩阵P，Q使PAQ＝B，则R(A)＝R(B)．2．秩的性质（1）0≤R(Am×n)≤min{m，n}（2）R(AT)=R(A)；（3）若A～B,则R(A)=R(B)；（4）若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)；（5）max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)特别地，当B＝b为非零列向量时，有R(A)≤R(A，b)≤R(A)＋1；（6）R(A＋B)≤R(A)＋R(B)；（7）R(AB)≤min{R(A)，R(B)}；（8）若Am×nBn×l＝0，则R(A)＋R(B)≤n.3．满秩矩阵矩阵A的秩等于它的列数，称这样的矩阵为列满秩矩阵．当A为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵．4.结论（1）设A为n阶矩阵，则R(A＋E)＋R(A－E)≥n．（2）若Am×nBn×l＝C，且R(A)＝n，则R(B)＝R(C).6/15


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