高等数学教案1

2023年12月31日发(作者：小学数学试卷有几部分构成)

高等数学教案

课程名称 高等数学Ⅰ

授课班级

计算机科学系

授课时间

授课学时

授课教师

教学系部 数学系

教 研 室 高等数学

别 《高等数学Ⅰ》教案

第一次课

章节

教学准备

教学目的

重点难点

授课方式

第一章 函数与极限

学时 2

第一节 映射与函数

查阅“计算机与数学的联系”的相关资料

1. 了解数学与计算机的联系；

2. 理解映射与函数的概念，掌握函数的各种性态，为研究微积分做好准备。

重点：映射与函数的概念，中学所学的函数的性质

难点：映射与函数的概念

讲授、交流讨论

1

《高等数学Ⅰ》

1. 提问：

（1） 经过12年的学习，你对数学是怎样认识？

（2） 数学与素质教育的关系怎样？

（3） 数学与计算机有什么样的联系？

2. 集合概念与运算

教

学

过

程

（1） 集合、元素、子集、空集、平凡子集、属于、包含

（2） 交、并、补及满足的运算规律

（3） 区间与邻域、去心邻域

3. 映射与函数的概念

注：与中学的概念对比来讲

4. 复习中学所学的函数的性质与六个基本初等函数，其性质与图形留作作业

5. 反函数、复合函数、分段函数的概念，并举例说明

2

别 《高等数学Ⅰ》教案

教

学

过

程

归纳小结：本次课不作归纳小结

一、数学与计算机

(一)

(二)

(三)

二、集合

(一)

板书计划

(二)

(三)

集合、元素、子集、空集、平凡子集、属于、包含

交、并、补及满足的运算规律

区间与邻域、去心邻域

对数学的认识

数学与素质教育即数学对人发展的影响

数学与计算机的联系

三、映射与函数

(一)

(二)

(三)

(四)

映射、单射、满射、双射（一一映射）

函数、定义域、值域、对应关系

函数的性质

六个基本初等函数

四、反函数、复合函数、分段函数的概念及例子

作业布置

习题1-1： 3，9，18

画表列出六个基本初等函数性质与图形

3

《高等数学Ⅰ》

课后小结

4

别 《高等数学Ⅰ》教案

第二次课

章节

教学准备

教学目的

重点难点

授课方式

第一章 函数与极限

学时 2

第二节 数列的极限

无

使学生初步了解有限与无限、精确与近似、量变到质变的辨证关系，培养学生的辩证唯物主义观点

重点：数理极限的N定义

难点：数理极限的N定义

讲授、交流讨论

5

《高等数学Ⅰ》

一、 数列极限概念的引入

1、 无穷数列：

2、引例：。

3、提出问题：通过观察有限项分析以上四个数列当项数n无限增大时，数列的项有什么变化趋势？

教

学

过

程

二、 数列极限的定义

1. 定性描述数列极限定义：

2. 定量描述数列极限定义：

3、anA(n)的几何意义

4. 举例

[重点提示] 求N的方法是：解不等式 |xn－a|＜ε

5. 练习

6

别 《高等数学Ⅰ》教案

教

学

过

程

归纳小结：定义、几何意义、定义的应用

一、数列极限概念的引入

1、 无穷数列：

2、引例：

3、结论：当项数n无限增大时，数列的项接近某个常数

二、数列极限的定义

1. （定性描述）数列极限定义：

2. （定量描述）数列极限定义：

板书计划

[定义]

对于给定的无论怎样小的正数ε，总存在一个自然数N，使得当n＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立，那么，就称a是数列{xn}的极限。记作：limxna

n注意：(1)不能用定义求数列的极限，只能验证某常数是否是数列的极限；

(2)是任意给定的，用作表示xn与常数a无限接近；

(3)N与给定的有关，一旦给定后就确定下来，否则无法确定N

3、anA(n)的几何意义是：

4、例题

7

《高等数学Ⅰ》

作业布置

习题1-2： 3（3）

课后小结

8

别 《高等数学Ⅰ》教案

第三次课

章节

教学准备

教学目的

重点难点

授课方式

第一章 函数与极限

学时 2

第二节 数列的极限

无

同上

重 点：数列极限的性质、数列极限的运算

难 点：数列极限的性质

讲授、交流讨论

9

《高等数学Ⅰ》

一、收敛数列的性质

1、

2、

3、

4、

唯一性：

有界性：

收敛数列与其子数列间的关系

保号性

二、数列极限的四则运算法则

教

学

过

程

三、极限的运算

三个基本极限

运用下面介绍的三个基本极限，可以利用数列极限的运算性质把复杂的数列极限化为简单的数列极限来解。

⑴

limnn10

nn ⑵

limq0 (|q|＜1＝

⑶

nlimcc, 即常数列的极限就是常数本身。

10

别 《高等数学Ⅰ》教案

教

学

过

程

学生练习：习题1-5：1.（12）

归纳小结：性质与运算

一、收敛数列的性质

1、 唯一性：如数列xn收敛，则极限唯一；（ba）

22、 有界性：如数列xn收敛，则数列xn一定有界；

3、 收敛数列与其子数列间的关系

4、 保号性

二、数列极限的四则运算法则

如果数列xn和数列yn的极限都存在，且

板书计划

nlimxna,limynb则

n（1）

nlim(xnyn)limxnlimynab

nnnn（2）

lim(xnyn)limxnlimynab

n

lim(cxn)climxnca

nnlimxnxnanlim （3）

n

ynlimynbn三、 三个基本极限

⑴

lim ⑶

作业布置

n10 ⑵

limqn0 (|q|＜1)

nnnlimcc

习题1-2：5

习题1-5：1.（11）、（13）

11

《高等数学Ⅰ》

课后小结

12

别 《高等数学Ⅰ》教案

第四次课

章节

教学准备

教学目的

重点难点

授课方式

第一章 函数与极限

学时 2

第三节 函数的极限

无

掌握函数极限的概念

重 点：函数极限的概念。

难 点：函数极限的定义

讲授、交流讨论

13

《高等数学Ⅰ》

复习：

1、 数列极限的定义、性质；

2、 无穷与有限的理解；（参见阅读资料《数学无穷思想的发展历程》）

3、 介绍《芝诺悖论》

新课：

前言：

一、自变量趋于无限时的函数极限

教

学

过

程

1. x→+∞时函数的极限

2. x→-∞时函数的极限

3. x→∞时函数的极限

4、几何意义：

5、举例

二、自变量x趋于某有限值x0时的函数极限

1、[定义]

2、几何意义：

3、举例

14

别 《高等数学Ⅰ》教案

教

学

过

程

三、练习

习题1－3：5、(2)

归纳小结：函数极限概念

数列极限的定义、性质；

一、自变量趋于无限时的函数极限

研究函数f(x)图象：

1. x→+∞时函数的极限

[定义]

2. x→-∞时函数的极限

[定义]

x1

x板书计划

3. x→∞时函数的极限

[定义]

4、几何意义：图象：

例：证明：lim2x12

xx1二、自变量x趋于某有限值x0时的函数极限

1、[定义]

2、几何意义：图象：

例2 证明：limxx0

xx0x244 例3 证明：limx2x2

15

《高等数学Ⅰ》

作业布置

课后小结

习题1-3： 5、(4)

16

别 《高等数学Ⅰ》教案

第五次课

第一章 函数与极限

章节

第三节 函数的极限、第四节 无穷小与无穷大 第七节

学时 2

无穷小的比较

教学准备

无

1、掌握左、右极限的定义及判断函数极限的存在；

教学目的

2、理解函数极限的性质；

3、掌握无穷小与无穷大的概念、理解无穷小与无穷大的关系；

4、掌握无穷小的性质及其比较。

重点难点

授课方式

重 点：1、左、右极限的定义及判断函数极限的存在。

2、无穷小的性质及其比较

难 点：左、右极限的定义。

讲授、交流讨论

17

《高等数学Ⅰ》

一、左、右极限的定义：

1、 左、右极限的定义

2、 定理

3、 用上述定理判断函数极限的存在与否：

例1- 例3

二、关于函数极限的两个定理：

（1）极限的局部保号性1及等价性质。

（2）保号性2

教

学

过

程

第四节 无穷小与无穷大

一、无穷小

1、 [定义] 例1：lim2、定理

二、无穷大

lim[定义] 例如：1、x112limx0

0 2、x0n2n12lnxlimx。 2、lim 3、

xx0x1三、无穷小量与无穷大量的关系

[定理]

三、无穷小的阶与无穷小的比较

[定义] 例子1-3

[定理]

18

别 《高等数学Ⅰ》教案

教

学

过

程

归纳小结：左、右极限的定义及判断函数极限的存在、函数极限的性质、无穷小与无穷大的概念、无穷小与无穷大的关系、掌握无穷小的性质及其比较。

一、左、右极限的定义：

1、 左、右极限的定义

2、 定理

3、 用上述定理判断函数极限的存在与否：

例1- 例3

二、关于函数极限的两个定理：

（1）极限的局部保号性1及等价性质。

（2）保号性2

板书计划

第四节 无穷小与无穷大

一、无穷小

1、 [定义] 例1：lim2、定理

二、无穷大

lim[定义] 例如：1、x110 2、limx20

nx0n21lnx 3、limx2。 2、lim

xx0x1三、无穷小量与无穷大量的关系

[定理]

四、无穷小的阶与无穷小的比较

[定义] 例子1-3

[定理]

19

《高等数学Ⅰ》

作业布置

课后小结

习题1-3：4、11

习题1-4：4

习题1-7：3、4（4）

20

别 《高等数学Ⅰ》教案

第六次课

章节

教学准备

教学目的

重点难点

授课方式

第一章 函数与极限

学时 2

第五节 极限的运算法则

无

掌握用极限运算的几个法则计算函数的极限

重 点：用极限运算的几个法则计算函数的极限

难 点：用极限运算的几个法则计算函数的极限。

讲授、交流讨论

21

《高等数学Ⅰ》

一、 复习旧课

1、 左、右极限；2、无穷大与无穷小；3、函数极限的性质

二、讲授新课

1、 定理1：有限个无穷小的和仍是无穷小。

2、 定理2：有界函数与无穷小的乖积仍是无穷小。

推论1：常数与无穷小的乖积仍是无穷小。

推论2：有限个无穷小的乖积仍是无穷小。

教

学

过

程

例1：求limxsinx01

x3、四则运算法则：及推论

补充：定理3：设f(x)与g(x)在x0某邻域内有定义。如果对邻域内任意的x有f(x)g(x)，而limf(x)a，limg(x)b，则：ab

xx0xx04、由引例导出：求x时的极限的规律：

anbnanxa0mlim0xbxmbm0当nm当nm

当nm5、举例：

22

别 《高等数学Ⅰ》教案

教

学

过

程

归纳小结：

1、 一定理1：

2、 定理2：

推论1：

推论2：

例1：求limxsinx01

x板书计划

3、四则运算法则及推论

4、定理3：

5、由引例导出：求x时的极限的规律：

anbnanxa0mlim0xbxmbm0当nm当nm

当nm5、举例：

作业布置

课后小结

习题1-5：3、（1）

23

别 《高等数学Ⅰ》教案

第7次课

章节

教学准备

教学目的

第一章 函数与极限

学时 2

第六节 极限存在准则 两个重要极限

无

1、掌握两个重要极限及其应用；

2、掌握极限存在准则．

重点：1、两个重要极限的证明；

重点难点

2、极限存在准则Ⅰ、Ⅱ．

难点：1、两个重要极限的证明和应用；

2、极限存在准则Ⅰ、Ⅱ．

授课方式

讲授、交流讨论

24

《高等数学Ⅰ》

一、极限存在准则

1、准则Ⅰ：[数列]与[函数]

举例

2、准则Ⅱ：

举例

教

学

过

程

3、柯西（Cauchy）极限存在准则

二、两个重要的极限

1、lim举例

2、（1）lim(1sinx1

x0x1n)e

nn1x（2）lim(1)e

xx1x （3）lim(1x)e

x0举例

25

别 《高等数学Ⅰ》教案

教

学

过

程

归纳小结：

一、极限存在准则

1、准则Ⅰ：

[数列]

[函数]

例题

2、准则Ⅱ：

板书计划

例题

3、柯西（Cauchy）极限存在准则

二、两个重要的极限

1、lim例题

2、（1）lim(1sinx1

x0x1n)e

nn1x（2）lim(1)e

xx1x （3）lim(1x)e

x0例题

作业布置

课后小结

习题1-6：1、（5），（6）；2、（4）；4、（3）

26

《高等数学Ⅰ》

第八次课

章节

教学准备

教学目的

重点难点

授课方式

第一章 函数与极限

学时 2

第八节 函数的连续与间断

无

1、理解函数连续的概念；

2、会判断函数间断点的类型．

重点：连续的定义，间断点的分类．

难点：连续的定义，间断点的分类．

讲授、交流讨论

27

《高等数学Ⅰ》

一、函数的增量

定义：

举例

二、连续函数的概念

1、函数在点x0连续的三个等价定义

函数连续的定义包括三个方面的要求

教

学

过

程

（1）函数y＝f(x)在x0处有定义;

（2）函数y＝f(x)当x→x0时有极限存在;

（3）极限值与函数值f(x0)相等．

2、连续函数的定义：

3、函数f(x)在点x0的左、右连续

三、函数的间断点

1、间断点定义：

2、第一类间断点与第二类间断点

28

别 《高等数学Ⅰ》教案

教

学

过

程

归纳小结：

一、函数的增量

定义：

举例

二、连续函数的概念

1、函数在点x0连续的三个等价定义

函数连续的定义包括三个方面的要求

板书计划

（1）函数y＝f(x)在x0处有定义;

（2）函数y＝f(x)当x→x0时有极限存在;

（3）极限值与函数值f(x0)相等．

2、连续函数的定义：

3、函数f(x)在点x0的左、右连续

三、函数的间断点

1、间断点定义：

2、第一类间断点

第二类间断点

作业布置

课后小结

习题1－8：4、7

29

《高等数学Ⅰ》

第九次课

章节

第一章 函数与极限

第九节 连续函数的运算与性质

学时 2

教学无

准备

教学目的

重点难点

1、理解函数连续的概念；

2、会判断函数间断点的类型．

重点：连续的定义，间断点的分类．

难点：连续的定义，间断点的分类．

授课讲授、交流讨论

方式

30

《高等数学Ⅰ》

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的四则运算性质

1、定理1

2、定理2

3、定理3

4、定理4

5、定理5

教

学

二、初等函数的连续性

过

程

第九节 闭区间上连续函数的性质

一、 最大值与最小值定理

1、定理1：

2、定理2（有界性定理）

二、介值定理

1、定理3：(零点定理)

2、定理4：(介值定理)

31

别 《高等数学Ⅰ》教案

教

学

过

程

归纳小结：

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的四则运算性质

1、定理1

2、定理2

3、定理3

4、定理4

板书计划

5、定理5

二、初等函数的连续性

第十节 闭区间上连续函数的性质

一、 最大值与最小值定理

1、定理1：

2、定理2（有界性定理）

二、介值定理

1、定理3：(零点定理)

2、定理4：(介值定理)

作业布置

课后小结

习题1－9：2、6

习题1－10：2、5

32

《高等数学Ⅰ》

第十次课

章节

第一章 函数与极限

讲评作业及复习

学时 2

教学无

准备

教学理解极限的思想，掌握极限概念的简单应用。

目的

重点难点

授课讲授、交流讨论

方式

33

《高等数学Ⅰ》

一、讲评作业

二、习题课

（一）求极限

思路与方法：

1、利用极限的运算法则求极限；

2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质；

3、利用两个重要极限：limx0sinx11，lim1e；

xxxx教

4、利用极限存在准则；

学

过

5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其程

无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。

6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现0,,等类型的未定式时，0总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。

（二）蛛网模型（讨论）

在市场经济中存这样的循环现象：若去年的猪肉生产量供过于求，猪肉的价格就会降低；价格降低会使今年养猪者减少，使今年猪肉生产量供不应求，于是肉价上扬；价格上扬又使明年猪肉产量增加，造成新的供过于求，……

34

别 《高等数学Ⅰ》教案

教

学

过

程

归纳小结：

一、讲评作业

二、习题课

（一）求极限

思路与方法：

举例：

（二）蛛网模型（讨论）

据统计，某城市1991年的猪肉产量为30万吨，肉价为6.00元/公斤．1992年板书计划

的猪肉产量为25万吨，肉价为8.00元/公斤．已知1993年的猪肉产量为28万吨．若维持目前的消费水平与生产模式，关假定猪肉产量与价格之间是线性关系，问若干年以后猪肉的生产量与价格是否会趋于稳定？若能够稳定，请求出稳定的生产量和价格．

y

yf(x)

xg(y)P3

P4P2O

P5

P1x

作业布置

课后小结

35

《高等数学Ⅰ》

36

别 《高等数学Ⅰ》教案

第11次课

章节

第二章 导数与微分

第一节 导数概念

学时 2

教学无

准备

教1、掌握函数导数的概念；

学目2、了解用导数的定义求函数导数．

的

重点难点

重点：函数导数的概念．

难点：函数导数的概念．

授课讲授、交流讨论

方式

37

《高等数学Ⅰ》

第一节 导数概念

一、引例：

1 瞬时速度的求法

2.切线斜率的求法

二、定义

教

学

过

程

三、几何意义

举例说明利用几何意义求切线和法线方程的方法

四、可导与连续的关系

定理1:如果函数y＝f (x)在x0处可导，则y＝f (x)在x0处连续。

f\'(x0)limf(x0x)f(x0)ylimx0xx0x

举例说明用定义求导数的方法

38

别 《高等数学Ⅰ》教案

教

学

过

程

归纳小结：

第一节 导数概念

一、引例：

1 瞬时速度的求法

2.切线斜率的求法

板书计划

二、定义

[定义]

例1-3

三、几何意义

例4

四、可导与连续的关系

定理1:如果函数y＝f (x)在x0处可导，则y＝f (x)在x0处连续。

例5作业布置

课后小结

习题2－1：3、20

39

《高等数学Ⅰ》

40

别 《高等数学Ⅰ》教案

第12次课

章节

第二章 导数与微分

第二节 函数的求导法则

学时 2

教学无

准备

教掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反学目函数的导数，掌握复合函数的求导法则，熟练复合函数的求导方法．

的

重重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法，复合函数的求导法则．

点难难点：反函数求导，复合函数的求导法则．

点

授课讲授、交流讨论

方式

第二节 函数的求导法则

一、函数和、差、积、商的求导法则：

举例

教

学

过

程

二、反函数的导数

举例

三、复合函数求导

举例

四、初等函数求导小结

练习及讲评

41

别 《高等数学Ⅰ》教案

教

学

过

程

归纳小结：本节讲述了导数的四则运算法则，求反函数的导数的方法，复合函数的求导法则，训练了复合函数的求导方法及抽象的复合函数的求导方法

第二节 函数的求导法则

一、函数和、差、积、商的求导法则：

法则：1-4

例1-2

二、反函数的导数

板书计划

法则：1-4

例3

三、复合函数求导

法则：1-4

例4-6

四、初等函数求导小结

练习

作业布置

课后小结

习题2－2：3（3）、4、8（9）（10）10

42

《高等数学Ⅰ》

43

别 《高等数学Ⅰ》教案

第13次课

章节

第二章 导数与微分

第三节 高阶导数

学时 2

教学无

准备

教学目的

了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数．

重重点：高阶导数的求法．

点难难点：高阶导数的归纳方法．

点

授课讲授、交流讨论

方式

44

《高等数学Ⅰ》

第三节 高阶导数

一、复习求导法则：

四则运算法则，求反函数的导数的方法，复合函数的求导法则及导数公式

二、高阶导数

教

学

过

程

[定义]

举例

练习

[莱布尼茨（Leibniz）公式]

举例

练习

45

别 《高等数学Ⅰ》教案

教

学

过

程

归纳小结：本节讲述了高阶导数的概念及求高阶导数的归纳方法

第三节 高阶导数

一、复习求导法则：

1、四则运算法则

2、求反函数的导数的方法

3、复合函数的求导法则

板书计划

4、导数公式

二、高阶导数

[定义]

例1-4

[莱布尼茨（Leibniz）公式]

例5

作业布置

课后小结

习题2－3：1（12）3、10（2）

46

《高等数学Ⅰ》

第14次课

章节

第二章 导数与微分

第四节

隐函数的导数，参数方程的求导方法

学时 2

教学无

准备

教学目的

掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数．

重点：隐函数和参数方程确定的函数的求导方法．

重点难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求难点

导法．

授课讲授、交流讨论

方式

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《高等数学Ⅰ》

第四节 隐函数的导数，参数方程的求导方法

一、隐函数求导

[方法]

举例

练习及讲评

教

二、取对数求导法

学

过

[方法]

程

举例

练习及讲评

三、由参数方程确定的函数的求导法练习及讲评

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