数学教育概论

2023年12月9日发(作者：如皋二模数学试卷答案解析)

数学教育概论

目录

第一章 绪论：为什么要学习数学教育学

第一节 数学教育成为一个专业的历史

第二节 数学教育成为一门科学学科的历史

第三节 数学教育研究热点的演变

第四节 几个数学教育研究的案例

理论篇

第二章 与时俱进的数学教育

第一节 20世纪数学观的变化

第二节 作为社会文化的数学教育

第三节 20世纪我国数学教育观的变化

第四节 国际视野下的中国数学教育

第五节 改革中的中国数学教育

附录：我国影响较大的几次数学教改实验

第三章 数学教育的基本理论

第一节 弗赖登塔尔的数学教育理论

第二节 波利亚的解题理论 第三节 建构主义的数学教育理论

第四节 我国“双基”数学教学

第四章 数学教育的核心内容

第一节 数学教育目标的确定

第二节 数学教学原则

第三节 数学知识的教学

第四节 数学能力的界定

第五节 数学思想方法的教学

第六节 数学活动经验

第七节 数学教学模式

第八节 数学教学的德育功能

第五章 数学教育研究的一些特定课题

第一节 数学教学中数学本质的揭示

第二节 学习心理学与数学教育

第三节 数学史与数学教育

第四节 数学教育技术

第五节 数学优秀生的培养与数学竞赛

第六节 数学学差生的诊断与转化

附录：数学学差生诊断与转化个案

第六章 数学课程的制定与改革

第一节 中外数学课程改革简史

第二节 《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的制定与实验

第三节 关于义务教育数学课程标准的争论与修订

第四节 《普通高中数学课程标准（实验）》的基本理念

第五节 《普通高中数学课程标准（实验）》对有关数学内容的取舍和处理

第六节 数学建模与数学课程

第七节 研究性学习与数学课程

第八节 社会主义市场经济与中学数学

第七章 数学问题与数学考试

第一节 数学问题和数学解题

第二节 数学应用题、情境题、开放题

第三节 数学问题解决的教学

第四节 数学考试中的命题探讨

第八章 数学教育研究

第一节 数学教育研究的有关认识

第二节 数学教育论文习作

实践篇

第九章 数学课堂教学观摩与评析 第一节 师范生走向课堂执教时的困惑

第二节 案例学习——数学弄懂了还要知道怎么教

第三节 一些特定类型的课例赏析

第四节 一些案例（课堂教学片段）的评析

第十章 数学课堂教学基本技能训练

第一节 如何吸引学生

第二节 如何启发学生

第三节 如何与学生交流

第四节 如何组织学生

第五节 形成教学艺术风格

第十一章 数学教学设计

第一节 教案三要素

第二节 数学教学目标的确定

第三节 设计意图的形成

第四节 教学过程的展示

第五节 优秀教学设计的基本要求

第一章 绪论:为什么要学习数学教育学

一、数学教育的沿革与发展

（一）专业培养目标 本专业主要培养学生掌握数学科学的基本理论与基本方法，能够运用数学知识解决实际中的一些问题，具有现代教育观念，适应教育改革需要，以及具有良好的知识更新能力。

就业面向

九年制义务教育阶段中学数学师资和教育、教学管理工作人员、教学研究人员及其他教育工作者。

数学教育作为一门专业培养的是教师。它是随着数学课程在学校教育中所占的地位越来越重要而产生的。在文明古国，经世致用的数学是学校启蒙教育中一个必不可少的内容。在西方，数学教育的目的主要是为了训练学生的心智，在七艺教育（文法、修辞、逻辑学、算术、几何、天文、音乐）中，算术和几何的地位排在第三以后）而中国则主要是为了经世致用，地位不高。

直到19世纪初，西方国家的科学技术迅速发展，但传统的人文学科依然在学校教育中占领着统治地位。坚持古典教育的人自诩其教学几门课程便能给人的以智以一般的训练，并使得能力能够迁移到后来的学习中去。他们攻击科学教育课程只重视琐碎的事实担负不起道德培养的重任。而倡导科学教育的人则强烈要求将近代科学引进学校教育，坚持自然科学知识应占最重要的地位，应以实用的知识代替那些不切实际的装饰性知识。总于在产业革命的发祥地英国科学教育思想战胜了古典教育思想，接着在其它的工业大国也相继建立起以科学为中心的学校课程体系。数学因其与自然科学密不可分，从此也在学校教育中占有了重要的地位。

在这一段时间里，中国古代数学教育虽然也在不断地发展经历了四次高峰。如隋唐时期，建立了数学专门学校，高置算学博士和算学助教，学制6年；并以皇帝的名字钦定数学教科书，[共十本，史上称为《算经十书》（《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《夏侯阳算经》、《缀术》、《辑古算经》）]。宋元时期出现我国古代数学和数学教育的新高峰，产生了一大批杰出的数学家和数学教育家。这些数学家的成果把我国传统的实用性算法体系提升到了抽象性算法的高度，这些开拓性的工作和科研成果达到了当时世界的最高水平。但到了明（1368-1683）清两代，知识分子只攻四书五经，数学几乎停止发展，数学教育更谈不上了。直到辛亥革命，特别是“五四”运动（1919年，20世纪前期）以后，数学才真正在学校中普及。 随着数学教育在中学的地位的不断提升，如何培养优秀的数学教师也就提上了议程。从事数学教育的人一般是数学家或是数学优秀者。但根据Jeremy Kilpatrick(杰里米基尔帕特里克)在《一份数学教育研究的历史》中的介绍，除了数学还要懂得教学法才能胜任数学教师工作，这一点直到19世纪末才被人们充分认识到。

在一些国家的大学里，除了要求未来的教师学习数学课程，还安排他们学习数学教学法，了解一些课堂教学的原理、课堂管理的技能等。进入20世纪，各国培养教师计划中重视和加强教学法培训的倾向更加明显了，数学教育逐渐成长为一个需要具备一定特殊技能的专业。

（二）数学教育成为一门科学学科的历史

专业人员对学校数学教育的有关现象开始研究大约起于100年前，主要是研究数学教学活动和内容。在这一百年里，形成了它的理论基础，明确它的研究对象、任务和问题，具有它特有的研究方法，慢慢形成一门学科。

1.学科定义

| 数学教学论是研究数学教学过程中教和学的联系、相互作用及其统一的科学。它是数学教育学的一个重要组成部分。

| 具体地说，数学教学论是以一般教学论和教育学的基本理论为基础，从数学教育的实际出发，分析数学教学过程的特点，总结长期以来数学教学的历史经验，揭示数学教学过程的规律，研究数学教学过程中的诸要素（教学方法、教学组织形式、教学的物质条件等）及其相互间的关系，帮助教师端正教学思想和形成教学技能，并对数学教学的效果开展科学的评价。

2.学科发展历史

(1)数学教育的萌芽时期

中国是数学的发祥地之一。远在公元6世纪我国古算家已完成《算经十书》这样的伟大著作，成为长达近二千年流传着的算学教材，作为我国数学教育（初期）的媒介，起着巨大作用，直至清末算学教育也以此为借鉴。 我国早期的数学教育，实际上是来自田园、作坊、家庭，其教学形式不外是父教子、师带徒的个别传授。后来才进而发展为私塾、家馆及学社式的教学。 这一时期的数学教育，严格地说，只是一种教学行为，因为它并没有明确的教育制度、教学目的，甚至缺乏必要的教学手段。

(2)近代数学教育时期

18世纪欧洲工业革命以后，西方传教士东来中国，设立教会学校，西算开始输入中国。至20世纪末，我国改学堂为学校，数学也被列入教学课程，开始使用翻译的西书及国人编篡的数学教科书及讲究教学方法。

我国最早的数学教育理论学科，叫做“数学教授法”。在清末，京师大学堂里开始设有“算学教授法”课程。1897年，清朝天津海关道盛宣怀创办南洋公学，内设师范院，首开“教授法”课。 20世纪20年代前后，任职于南京高等师范学校的陶行知先生，提出改“教授法”为“教学法”的主张，虽被校方拒绝，但这一思想却逐渐深入人心，得到社会的承认。30年代至40年代，我国曾陆续出版了几本《数学教学法》的书，但这些书多半是对前人或外国关于教学法研究所得，并根据自己教学实践进行修补而总结的经验，但教育理论并未成熟。在50年代，我国的《中学数学教学法》，用的是从前苏联翻译的伯拉基斯的《数学教学法》，其内容主要介绍中学数学教学大纲的内容和体系，以及中学数学中的主要课题的教学法，这些内容虽然仍停留在经验上，但比以往只学一般的教学方法有所进步，毕竟变成了专门的中学数学教学方法。无论是“数学教授法”还是“数学教学法”，实际上只是讲授各学科通用的一般教学法， 这一时期的教学基本上是注入式的，除教科书外，也很少有可供教师和学生阅读、参考的读物，人们还普遍认为，教师能不能教好书，主要是方法问题，谈不上什么理论，也够不上一门“学”。

(3)数学教育发展成为独立的科学

70年代，我国的《数学教学法》或《数学教材教法》一直是高师院校数学系〈科〉体现师范特色的一门专业基础课。1979年，北京师大等全国13所高等师范院校合作编写的《中学数学教材教法》（《总论》和《分论》）一套书，作为高等师范院校的数学教育理论学科的教材，是我国在数学教学论建设方面的重要标志。

20世纪80年代， 我国的数学教学论不仅与国际数学教育共同发展，而且无论在数学教学活动还是数学教育理论研究方面都形成了自己的特色。在数学教学法的基础上，开始出现数学教学的新理论。国务院学位委员会公布的高等学校“专业目录”中，在“教育学”这个门类下设“教材教法研究”一科，使学科教育研究的学术地位得到确认。

1983年“教材教法”改为“学科教学论”从此学科教学论有了较大的发展。

| 把 “教材教法”改为“学科教学论”是一次理论上的飞跃，教材教法只是教育学的一个部分，学科教学论则变成了教育科学中的一个重要分支学科。

| 1985年，原苏联著名数学教育学家A.A.斯托利亚尔的《数学教育学》一书中译本由人民教育出版社出版发行。‘数学教育学’的名字在我国不胫而走。

| 我国在80年代也编写了《数学教育研究导引》一书。

| 1990年，曹才翰教授编著的《中学数学教学概论》问世，标志着我国数学教育理论学科已由数学教学法演变为数学教学论，由经验实用型转为理论应用型。

| 1991年出版张奠宙等著的《数学教育学》，把中国数学教育置于世界数学教育的研究之中，结合中国实际对数学教育领域内的许多问题提出了新的看法，对数学教育工作者涉及的若干专题，加以分析和评论，这是数学教育学研究的一个突破。

| 1992年，《数学教育学报》创刊，由天津师范大学主办，对数学教育理论研究与实践探索发挥了重要作用。

| 十几年来，涌现了一批优秀的科研成果，出版了一系列数学教育学著作， 研究内容包括“数学教学理论”、“数学学习理论”、“数学思维”、“数学方法论”、“数学课程与数学教育评价”、“数学习题理论”等多个方面，其内容已远远超过上述教材所包含的知识领域。

| 2003年4月，高等教育出版社出版了由张奠宙、李士錡、李俊编著的《数学教育学导论》，是基础教育新课程教师教育系列教材之一，本书用新的观点阐述了中小学数学教育的理论，构建了新的数学教育体系，并与正在实验的国家数学课程标准相适应，这是数学教育学研究的一个新发展。

3.对学科发展影响至深的两门学科

在这个过程中，有两门学科对数学教育研究有过根本性的影响，数学和心理学。 随着数学的发展，数学教学内容不断更新，从而使得研究如何进行数学课程教学的问题也不断变更，即数学教育研究的内容不断更新。数学家对数学教育的影响主要体现在教学内容的选取和安排上，而且经常是通过亲自编写教材来实现。

我国心理学工作者曹子方曾经运用这皮亚杰的方法，对幼儿计数的认知发展做地具体研究。数数这么一个每个人都经历过的概念发展过程，在使用科学方法加以研究之后才变得如此清晰。这些结果是我们把自己关在书房里做思辨式的研究所不可能发现的。

此外之外，随着时代的发展，数学教育学的理论基础包括了更广阔的学科领域，如生理数、脑科学、社会学、经济学、政治学、人类学等等。

4.学科研究问题及对象的演变

丹麦Roskilde（罗斯基勒）大学 Niss（尼斯）在2000年第九届国际数学教育大会上作了题为《数学教育研究的主要问题与趋势》的报告，提出了数学教育研究和几个变化：

（1）关注的对象年龄范围逐渐扩大，从主要关注中学教育到小学和中学以后的教育，到教师教育、学前教育、大学教育，再到研究生教育，研究已经涉及到各个年龄层次和群体的数学教育问题。

（2）关注的问题从课程问题到教师教育问题，到学习问题，到课堂教学问题，到社会、文化、语言问题和评价问题。

（3）数学教育研究方法呈多样性。可以通过说理来阐明观点、想法和计划，可以展示来自教学实际的经验，可以对自己或别人的经验和印象作系统的反思，可以作逻辑和哲学层面的观念分析，可以通过经实录像收集数据等等。具体方法有：教育实验法（访谈法，用录像带分析实例等），调查研究法，经验总结法，统计法等等。(课本四个案例）

(三)作为人类活动的数学教育

1.数学教育的本质 | 狭义的数学教育是指教育者利用数学科学文化知识作为基本内容，按照一定的社会要求，向受教育者的身心施加有目的、有计划、有组织的影响，以使受教育者发生预期变化的活动。

| 数学教育活动三要素： 教育者、受教育者、教育中介

2.数学教育系统的主要矛盾：数学教育要求与学生身心发展特点及水平之间的矛盾。

对立性：（1）数学教育的要求高于学生的现有心理水平。

（2）双方相互制约。

统一性：数学教育要求总是以学生身心发展的实际客观趋势、确实存在的未来因素和发展的可能性为依据的。

在数学教育这一主要矛盾的两个方面中，矛盾的主要方面应是数学教育的要求。因为一方面，学生的身心发展尤其是其数学素养水平统一于数学教育的要求，它是沿着数学教育要求所规定的方向发展的；另一方面，数学教育的要求在矛盾的两个方面来说，一般是比较积极、活跃的，它具有前瞻性和预测性。例如，九年义务教育新课程改革提出的数学课程理念、目标和要求是以广泛深入的调查研究为基础的，它充分考虑了国际数学教育改革的发展趋势及21世纪国际社会的发展方向特别是充分考虑了我国未来社会发展对人才培养的要求。数学教育要求的前瞻性体现在数学教育肩负着促进社会发展的有历史使命。

除了上述主要矛盾外，还有教育中介与教师、学生之间的矛盾，如新数学课程与教师的个体经验、知识结构之间的矛盾，教育改革提倡的教学方法与教师、学生的矛盾等。

3.数学课程价值

要了解数学课程的价值，应该对数学的价值有个正确的认识，即树立正确的数学观。

对数学意义的本质认识，是随着数学的发展而发展的。数学发展有四个高峰阶段：欧氏几何（古希腊的公理化数学），微积分（无穷小算法数学），（现代）公理化数学，信息时代数学。人们对数学的认识的变化：

③1964年，恩格斯给出 ④ 20世纪以来，数学的对象可以包括现实中的任何形式和关系。“数量”已从数扩展到复数、向量、张量、甚至以代数结构的抽象集合中的元素为“数量”；“空间”已从欧氏空间扩展到非欧空间、高维或无限维空间，甚至具有某种结构的抽象空间。

⑤近30年来，数学的性质及其应用的途径发生的巨大的变化，其中最显著的是计算机及其应用的爆炸性发展。计算机技术和用广泛应用性的统一概念处理现实世界的各种模式已成为当今数学发展的一个决定性特点。数学的研究对象已从原来的算术、代数、几何扩展到科学中的数据、测量、观测资料，推断、演绎、证明，自然现象、人类行为、社会系统的数学模型等。无论是数学中的概念和命题，或是问题和方法，事实上都应该看成是一种具有普遍意义的模式。现在，数学的研究领域和对象已不仅是数量关系和空间形式，而是数、机会、形状、算法和变化。数学的过程就是“抽象、符号变换和应用研究”。

香港中文大学黄毅英教授对数学教师的数学观进行了深入调查后指出：“尽管教师认为数学与社会实践、日常生活之间有联系，但却把在日常生活中有广泛应用的数学(如估算、记录、观察、数学决定等)看成是与数学无关的。于是在实际教学中学生所体验到的数学仍是一堆法则的集合”。虽然在中国当前的特定的社会结构和经济模式条件下，上述数学观有其必然性和合理性，然而，在我们看来，仅仅停留在这样的数学观定位上，是不能适应可持续发展的社会战略目标和数学课程改革需要的．

对数学价值的认识：

| 数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具

| 数学为其他科学提供了语言、思想和方法

| 数学是人类的一种文化，它的内容、思想和方法和语言是现代文明的重要组成部分。 ——全日制义务教育《数学课程标准（实验稿）》

| 数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具

| 数学是人类文化的重要组成部分 ——高中《数学课程标准（实验稿）》

数学课程的价值： | 数学课程的基础性、工具性价值

| 数学课程的应用价值

| 数学课程的人文价值

4.数学教育的改革与发展

二、数学教学论的内容及学习意义与方法

（一）研究的对象与任务

数学教学论是研究数学教学理论、教学过程和教学规律、方法的学科。 即就是研究“教什么”和“怎样教”的问题。

苏联数学教育专家斯托利亚尔把教学过程分成以下几个要素：

教学目的（为什么教？）、教学对象（教给谁？）、教学内容（教什么？）、教学方法（如何教？ ）、学习方法（如何学？）

（二）课程特点

数学教学论是一门边缘性学科．

数学教学论是一门实践性很强的理论学科．

数学教学论是一门发展中的理论学科．

（三）课程目标

通过该学科的学习要使学生达到以下几个目标：

| 知识目标：了解数学教育发展的历史和现状；掌握中学数学教育的基本理论和方法；理解中学数学课程的制定与改革的历史与现状。

| 能力与技能目标：掌握中学数学概念、命题、解题教学的基本方法和技能；具备应用中学数学教育理论和方法于中学数学教学实践的能力；提高中学数学教育研究的能力。 | 态度与情感目标：克服对中学数学教学工作的畏难心理，激发学习兴趣。扩大数学视野，培养数学思维品质；

（四）学习方法

重视理论学习，加强实践活动；

勤于交流反思，善于总结提高。

第二章 与时俱进的数学教育

课题： 20世纪数学观、数学教育观的变化

内容提要：

1、20世纪数学观的变化。

2、20世纪数学教育观的变化。

教学目标：

通过本节的学习使学生了解数学教育的历史发展(纵向)和国际视野(横向)， 并对某些基本问题作一些初步的理论性探讨，增强对数学教育的理性认识，建立正确的数学观和数学教育观。

教学重点、难点：

对数学观和数学教育观的理解

教学方法：

讲授法、讨论法

教学过程：

一、20世纪数学观的变化

（一）数学发展史上的四个高峰 2000年8月，在日本东京举行了国际数学教育大会，大会主席藤田宏教授提到数学发展史上的四个高峰（引用时有所修改）：

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《几何原本》 为代表的古希腊的公理化数学（公元前700-300）；

牛顿发明微积分为代表的无穷小算法数学 （17-18世纪）；

以希尔伯特为代表的现代公理化数学（19-20世纪中叶）；

以现代计算机技术为代表的信息时代数学（20世纪中叶 –今天）。

各个数学高峰的特征：古希腊数学比较注重严密性；

无穷小算法数学十分有用；

现代公理化数学注重形式化；

信息时代数学 注重联系与应用。

（二）20世纪的数学观

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数学不等于逻辑。

数学不等于形式。

3、注重数学的应用性。

4、注重数学的文化价值。

二、 20世纪数学教育观的变化

（一）由关心教师的“教”转向也关注学生的“学”

1951年,新中国首个《中学数学课程标准草案》中把课堂教学等同于“讲授”，而对课堂教学的基本要求是：“讲授须依教案进行，并须随时注意班情，加以变通。口齿要清楚，板书要整齐，画图要正确而有普遍性。多发问题，随机开导。上堂时须照顾前课，下堂时须总结大纲。”

1963年，《全日制中学数学教学大纲（草案）》发表，教学大纲主要论述教的问题，很少直接论述学生的数学学习问题，以“教”为主的思想比较突出。 1982年，从我国公布《全日制六年制重点中学数学教学大纲（征求意见稿）》中可见，当时我国教育界已经对学生的学习积极性、认识规律以及能力的发展表示了较大的关注。

1996年，我国发表《全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）》，由该大纲可见，20世纪末，学生在教学中的主体地位已经明确。

（二） 从“双基” 与“三力”观点的形成，发展到更宽广的能力观和素质观

20世纪 50 年代，我国重视讲授“数量计算，空间形式及其相互关系之普通知识为主”， 1954年发表的《中学数学教学大纲（修订草案）》指出，重视“双基”。

从60年代开始，“双基”和“三力”一直成为我国大陆数学教学的基本要求。

1982年《全日制六年制重点中学数学教学大纲（征求意见稿）》，明确地指出了“双基”和“三力”的关系，我国不但要求学生掌握“双基”和“三大能力”，对数学思想方法的学习，也提出了明确的要求。

1996年，我国《全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）》对“基础知识” 和“基本技能”的学习要求分别给予了明确的界定，该大纲中增加了培养学生“分析和解决实际问题的能力”的提法。

进入21世纪，我国《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》于2001年发表，《普通高中数学课程标准（实验）》于2003年问世，上述两个标准提出了数学教学的许多新理念。提出了新的数学能力观。

（三）从听课、阅读、演题，到提倡实验、讨论、探索的学习方式

1、重视解题训练，要求逐步明确

20世纪50－90年代，我国一直把解题训练视为数学教学的重要组成部分。

1951年，我国《中学数学课程标准草案》关于“演题”的要求是：“演题是透彻理论，熟练方法，触类旁通，学以致用的不二法门，学者必须认真耐烦，及时演就，妥善保存”。

1963年，我国《全日制中学数学教学大纲（草案）》对于数学练习的处理作了更详细的说明。①明确了数学练习的目的；② 指出了数学练习的分量应该适当控制；③阐述了练习的组织安排，即先复习，再练习；循序渐进，先作基本题，再做综合题；④提出了保证练习收到效果的要领，包括仔细审题，独立思考，格式规范，认真批改，及时纠正。

2、提倡实验与探索，鼓励合作与交流

进入21世纪以来，我国数学课程中关于数学学习的理念发生了显著的变化，开始注重创新意识和探索能力的培养。

（四）从看重数学的抽象和严谨，到关注数学文化、数学探究和数学应用

1951年，我国《中学数学课程标准草案》对数学的应用价值以及它的思维训练价值都给予同样的重视。

1963年，我国《全日制中学数学教学大纲（草案）》对于数学教学中理论联系实际的问题作了适当的调整，是对1958-1962年间勉强盲目地联系实际的一种批评与反思。

在1966-1976年间，我国教育面临一场浩劫。直到1976年文化革命结束，1977年恢复高考，学校的教学秩序才得以正常。

1992年《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》反映了人们对理论联系实际的新认识。

2001年《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》把“应用意识”作为该标准中的关键词，要求在中小学数学教学中予以贯彻实施。

2003年《普通高中数学课程标准（实验）》把“数学应用意识”作为高中数学课程的基本理念之一。该大纲把发展数学应用意识和提高实践能力结合起来，作为对数学学习的基本要求。

第三章 数学教育的基本理论

课题: 数学教育的基本理论

内容提要：

1. 弗赖登塔尔的数学教育理论

2. 波利亚的解题理论

3. 建构主义的数学教育理论

4. 我国“双基”数学教学的成功与不足 教学目标：通过本章的学习，使学生掌握数学教育的一些基本理论,并形成对我国“双基”数学教学的正确认识，能用辨证思维方法分析问题。

教学重、难点：重点掌握弗赖登塔尔的数学教育理论，确定我国“双基”数学教学的成功与不足为本章的教学难点。

教学方法：讲授法

教学过程：

一、弗赖登塔尔的数学教育理论

（一）“数学现实”原则

弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”。数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。因此，在教学过程中，教师应该充分利用学生的认知规律，已有的生活经验和数学的实际。在运用“现实的数学” 进行教学时，必须明确认识以下几点：

第一，数学教学内容来自于现实世界．把那些最能反映现代生产、现代社会生活需要的最基本、最核心的数学知识和技能作为数学教育的内容．

第二，数学教育的内容不能仅仅局限于数学内部的内在联系，还应该研究数学与现实世界各种不同领域的外部关系和联系。这样才能使学生一方面获得既丰富多彩而又错综复杂的“现实的数学”内容，掌握比较完整的数学体系．另一方面，学生也有可能把学到的数学知识应用于现实世界中去．

第三，数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的不同层次的人对数学的不同水平的需求。

（二）“数学化”原则

弗赖登塔尔认为，数学教学必须通过数学化来进行。

现实数学教育所说的数学化有两种形式：一是实际问题转化为数学问题的数学化，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理；二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理。

对于前者，基本流程是：

1、确定一个具体问题中包含的数学成分；

2、建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联系；

3、通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公式化；

4、找出蕴含其中的关系和规则；

5、考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的体现；

6、作出形式化的表述。

对于后者，基本流程是：

1、用数学公式表示关系；

2、对有关规则作出证明；

3、尝试建立和使用不同的数学模型；

4、对得出的数学模型进行调整和加工；

5、综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型；

6、用已知数学公式和语言尽量准确的描述得到的新概念和新方法；

7、作一般化的处理、推广。

（三）“再创造”原则

弗赖登塔尔说的“再创造”，其核心是数学过程再现。学生“再创造”来学习数学的过程实际上就是一个“做数学”(doing mathematics)的过程，这也是目前数学教育的一个重要观点。

需要特别注意的是，弗赖登塔尔的数学教育理论不是“教育学+ 数学例子”式的论述， 而是抓住数学教育的特征，紧扣数学教育的特殊过程，因而有“数学现实”、“数学化”、“数学反思”、“思辩数学”等诸多特有的概念。他的著作多数根据自己研究数学的体会，以及观察儿童学习数学的经历，思辩性的论述比较多。于是有人批评说弗赖登塔尔的数学教育理论缺乏实践背景和实验数据。其实，他的许多研究成果尚未被大家仔细研究，有兴趣的读者不妨阅读他的著作。

二、波利亚的解题理论

（一）波利亚对数学教育的基本看法

波利亚认为：中学数学教育的根本目的就是“教会年轻人思考”，这种思考既是有目的的思考，产生式的思考，也包括形式的和非形式的思维。数学教育中注重培养学生的兴趣、好奇心、毅力、情感体验等非智力品质的重要性。

要成为一个好的解题者，如果“头脑不活动起来,是很难学到什么东西的,也肯定学不到更多的东西”。“学东西的最好途径是亲自去发现它”, 最富有成效的学习是学生自己去探索、去“发现”。

教学是一门艺术。教学过程本身应该遵循一些规律性的东西,并尤其强调兴趣对学生学习数学的重要性。

（二）波利亚关于解题的研究

波利亚专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表，并以例题表明这张表的实际应用。书中各部分基本上是配合这张表，是对该表的进一步阐述和注释。

《怎样解题》表包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四个阶段。“弄清问题”是认识、并对问题进行表征的过程，应成为成功解决问题的一个必要前提；“拟定计划”是关键环节和核心内容；“实现计划”较为容易，是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置；“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来。其中，他对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。

他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”他还把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。

三、 建构主义的数学教育理论

（一）建构主义概述

建构主义(constructivism)有时候也译作结构主义，理论根源可追溯到2500多年前。现代建构主义主要是吸收了杜威的经验主义和皮亚杰的结构主义与发生认识论等思想，并在总结60年代以来的各种教育改革方案的经验基础上演变和发展起来的。

在教育领域中常常谈论的建构主义具有认知理论和方法论的双重身份。

1. 构主义理论关于数学教育的一些基本认识

1、数学知识是什么

·数学知识不是对现实的纯粹客观的反映，任何一种传载知识的符号系统也不是绝对真实的表征，它只不过是人们对客观世界的一种解释、假设或假说。它不是问题的最终答案，它必将随着人们认识程度的深入而不断地变革、升华和改写，出现新的解释和假设。

·数学知识不可能以实体的形式存在于个体之外，真正的理解只能是由学习者自身基于自己的经验背景而建构起来的，取决于特定情况下的学习活动过程。否则，就不叫理解，而是叫死记硬背或生吞活剥，是被动的复制式的学习。

2、学生如何学习数学

·学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自己建构知识的过程。学生不是简单被动地接收信息，而是主动地建构知识的意义，这种建构是无法由他人来代替的。

·学习不是被动接收信息刺激，而是主动地建构意义，是根据自己的经验背景,对外部信息进行主动地选择、加工和处理，从而获得自己的意义。外部信息本身没有什么意义，意义是学习者通过新旧知识经验间的反复的、双向的相互作用过程而建构成的。因此，学习不是象行为主义所描述的“刺激—反应”那样。

·学习意义的获得，是每个学习者以自己原有的知识经验为基础，对新信息重新认识和编码，建构自己的理解。在这一过程中，学习者原有的知识经验因为新知识经验的进入而发生调整和改变。 3、教师如何开展课堂教学

与传统教学的三个假设相对应的是，建构主义指导下的课堂教学是基于如下三个基本假设：

·教师必须建立学生理解数学的模式。教师应该建立反映每个同学建构状况的“卷宗”，以便判定每个学生建构能力的强弱；

·教学是师生、生生之间的互动；

·学生自己决定建构是否合理。

根据上述教学目的和假设，一个数学教师在建构主义的课堂上就需要做以下六件事：

·加强学生的自我管理和激励他们为自己的学习负责；

·发展学生的反省思维；

·建立学生建构数学的“卷宗”；

·观察与参与学生尝试、辨认与选择解题途径的活动；

·反思与回顾解题途径；

·明确活动、学习材料的目的。

需要强调的是：对于建构主义学说， 我们应当吸取精华，拒绝一些“极端的”、“唯心”的成分， 以便真正有助于我国的教育改革。

四、 我国“双基”数学教学的成功与不足

（一） “双基”——“数学基础知识”和“数学基本技能”

“双基”数学教学理论的基本内容可以概括为：一个统一，两个基础，三大能力，四个结合，五个环节。

1、全国统一的课程与考试制度

2、打好两个基础：基础知识和基本技能

3、培养三大能力：基本运算能力、空间想象能力和逻辑思维能力 4、提倡四个结合：⑴教师主导作用和学生的主体作用相结合；⑵抽象理论和具体实践相结合；⑶有效讲授和变式演练相结合；（4）逻辑严密和淡化形式相结合。

1. 课堂教学实行5个环节的模式：复习旧课→导入新课→讲授讨论→巩固练习→布置作业。

（二） “双基”数学教学理论的独特认识

1、运算速度

2、知识的记忆

3、适度形式化的逻辑要求

4、重复训练

（三） “双基”数学教学理论的形成

1、“双基数学教学”是中国传统文化的一种传承。

2、中国千余年“考试文化”下的教育评价体系， 是形成“双基”数学教学理论的重要动因。

（四）“双基”数学教学过程

（1）“启发式”教学

（2）“精讲多练”

（3）“变式练习”

（4）“小步走，小转弯， 小坡度”的三小教学法

（5）“大容量、快节奏、高密度”的复习课

近年来， 我国数学教学在“双基”数学教学的基础上已经有所发展。 例如， 开展数学思想方法的教学，倡导数学开放题的教学，提倡“研究性学习”， 加强数学建模的教学， 进行数学应用题的解题训练等等，这对提升中国“双基”数学教学的品位有很大帮助。但是， 这些新的教学策略， 应该和“双基”教学密切结合，而不应该互相对立，互不联系，各搞一套。

问题与思考： 1、简述各数学教育基本理论的主要观点。

2、我国的“双基”教学是否能成为一种理论？如何才能使它成为一种科学的理论？

第四章 数学教育的核心内容

课题：数学教育目标的确定和数学能力的界定

教学目的：

通过本课题的学习使学生了解数学教育目标、数学能力观的历史变迁,掌握确定中学数学教育目标的主要依据，树立正确的数学能力观。

内容提要：

1、数学教育目标的确定

2、数学能力观

教学重点、难点：

确定中学数学教育目的的主要依据、数学能力观的界定

教学方法：

讲授法、讨论法

教学过程：

一、 数学教育目标的确定

（一）数学教育的基本功能

思考与讨论：“为什么要学习数学”？ 可能回答是：

答案A：“数学有用”。 俗话说：“学了语文会写信，学了数学会算帐。”

答案B：“数学能训练人的思维”。 一句名言说：“数学是思想的体操。”

答案C：“数学是升学的主课”。 常言道：“数学是筛选人才的过滤器”。

这是很有代表性的关于数学教育目标的回答。代表着三种对数学教育功能的不同看法： 1、实用性功能。强调数学教育的实用性目标。

2、思维训练功能。强调数学教育的思维训练和公民素质养成的目标。

3、选拔性功能。 强调数学教育在选拔人才中的特殊目标。

对于“教育目标”这个词，许多教育文件和论著都会提到，但提法却并非一致。 无论“教育目标”， 还是“教学目标”，“课程目标”，提法上大同小异。这里不把目标与目的加以区分。数学教育目的则指数学教育的总目标，表现出普遍的、总体的、终极的价值。

（二）我国20世纪数学教育目标的变迁

1、1922年11月1日北京政府公布《学校系统改革令》，1923年6月刊布《初级中学算学课程纲要》，其中规定的教学目的是：

1. 使学生依据数理关系， 推出事物的当然结果；

2. 供给研究自然科学的工具；

（3）? 适应社会上生活的需要；

（4）? 以数学的方法发展学生的论理能力。

2、1951年的数学教学大纲规定的教学目的是：

（1）形数知识：本科讲授数量计算、空间形式及其相互关系之普通知识为主；

（2）科学习惯：本科教学须因数理之严谨以培养学生观察、分析、归纳、判断、推理等科学习惯，以及探讨的精神，系统的好风尚．

（3）辩证思想： 本科教学须相机指示因某数量(或形式)之变化所引起之量变质变；藉以启发学生之辩证思想．

（4）应用技能： 本科教学须训练学生熟悉工具(名词、记号，定理、公式、方法)使能准确计算、精密绘图，稳健地应用它们去解决(在日常生活，社会经济及自然环境所遇到的)有关形与数的实际问题．

分析：这一提法强调数学的实用功能。

3、1963年，中国数学教育的重点有变化。 数学教学的目的是： “使学生牢固地掌握代数、平面几何、立体几伺、三角和平面解析几何的基础知识，培养学生正确而且迅速的计算能力，逻辑推理能力和空间想象能力，以适应参加生产劳动和进一步学习的需要”．

分析：这一提法重点突出“三大能力”，加强了思维培养的功能，但却削弱了实用功能。

4、20世纪80年代，拨乱反正， 依然回到1963年的提法。 由于社会上追求升学率需求的驱使， 数学教育的选拔性功能日益加强。

5、20世纪90年代， 中华人民共和国教育部颁布的《义务教育初中数学教学大纲》规定了义务教育阶段初中数学的教学目的是：使学生学好当代社会中每一个公民适应日常生活、参加生产和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技能，进一步培养运算能力，发展思维能力和空间观念，使他们能够运用所学知识解决简单的实际问题，并逐步形成数学创新意识。培养学生良好的个性品质和初步的辩证唯物主义的观点。

分析：这一提法依然保留1963年教学大纲的基本精神，注重素质与能力的发展。

6、2001年颁布的《义务教育阶段数学课程标准》设置的总体目标是：

通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：

（1）获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；

（2）初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；

（3）体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；

（4）具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。

分析：这一总目标的提法，在实用功能和思维培养功能上得到比较好的平衡，在了解数学价值， 情感态度，实践能力上都有新的提法。

（三）确定中学数学教育目标的主要依据

从以上数学教育目标的变迁可以看出，数学教育目标是一个“与时俱进”的、动态的、变化着的研究课题，那么它的确定与哪些因素有关呢？

1、教育的总目标。

各门学科的教育目标服从于总的教育目标，并为完成总体教育目标服务。 因此数学教育必需服从总目标。

2、社会的需求

教育的作用是要把自然的人培养成社会的人、社会的生产力。所以，社会的政治经济和科学技术的需求也在很大程度上影响着数学课程的目标和内容。

3、数学学科的特点

数学本身的特点包括模型化，数量化，算法化， 论述的逻辑严谨性，简约的语言表达，问题解决的思维过程，

辨证因素等诸多方面。 让学生学习和理解这些特点， 都是数学教育应当努力达到的目标。

4、教师的状况

教师是数学教学目的的贯彻者，系统数学知识的传授者，教学活动的组织者和学生活动的引导者。 因此， 大多数数学教师的数学学科基础能力的状况是确定中学数学教学内容的基本依据。

5、学生的年龄特征

在数学教学过程中，学生既是教学的客体，又是教学的主体。 因此确定数学教育目标，必须慎重考虑学生的年龄特征和认识水平。 超过了学生的认知水平， 学生学不会。 过低的目标， 学生会觉得缺乏挑战性。

数学教育目标的确定除了要考虑以上面的五个方面的因素外，自然还要符合社会环境和经济发展的水平。

二、 数学能力的界定

思考：什么是数学能力？

（一）前苏联克鲁捷茨基的数学能力观

克鲁捷茨基在《中小学生数学能力心理学》”一书中提到数学能力的组成部分是：(1)把数学材料形式化；(2)概括数学材料发现共同点；(3)运用数学符号进行运算；(4)连贯而有节奏的逻辑推理；(5)缩短推理结构进行简洁推理；(6)逆向思维能力；(7)思维的灵活性；(8)数字记忆；(9)空间概念。 分析：强调“形式化’’的抽象、记忆、推理能力。但没有包括数学建模、数学应用的能力， 显然在数学形式主义的观点下进行数学能力的考察。

（二）20世纪90年代以来的我国数学能力观变化

“三大能力”→? “三大能力”+“逐步培养分析和解决实际问题的能力”→“三大能力”+“提出问题、分析问题、解决问题的能力”+“数学建模能力”

（三）进入21世纪后，国内外关于数学能力提法的新变化

2000年，美国数学教师协会发布《数学课程标准》[5]，其中提到6项能力：(1)数的运算能力；(2)问题解决的能力；(3)逻辑推理能力；(4)数学联结能力；(5)数学交流能力；(6)数学表示能力。

奚定华等在最近出版的《高中数学能力型问题研究》[4]中，强调在高考中要着重考察“一般数学能力”，其中包括以下四项：学习数学新知识的能力；探究数学问题的能力；应用数学知识解决实际问题的能力；以及数学创新能力。

2002年颁布的全日制高中《数学教学大纲》，对高中学生应具备的数学能力有了更细致的描述。除了提到一般数学能力之外，更明确地界定了惟有数学学科才有的“数学思维能力”。它包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面”。

（四）常规数学思维能力的界定

新颁布的数学教学大纲对常规的数学思维能力作了界定。本文拟沿着这一思路作更具体的阐述，提出了以下十个方面。

1．数学感觉与判断能力。2．数据收集与分析。3．几何直观和空间想象。4．数学表示与数学建模。5．数学运算和数学交换。6．归纳猜想与合情推理。7．逻辑思考与演绎证明。8．数学联结与数学洞察。9．数学计算和算法设计。10．理性思维与构建体系。

（五）数学创新能力的界定

数学创新能力，属于一般的数学能力。那么数学创新有什么特点?还应该有更进一步的阐述。具体说来，也可分为以下10点。

1、提出数学问题和质疑能力。具有能疑、善思、敢想的品质。

2、建立新的数学模型并用于实践的能力。

3、发现数学规律的能力。包括提出定义、定理、公式。

4、推广现有数学结论的能力。放松条件或加强结论。

5、构作新数学对象(概念、理论、关系)的能力。

6、将不同领域的知识进行数学联结的能力。

7、总结已有数学成果达到新认识水平的能力。

8、巧妙地进行逻辑连接作出严密论证的能力。

9、善于运用计算机技术展现信息时代的数学风貌。

10、知道什么是“好”的数学，什么是“不大好”的数学。

课题：数学教学模式及相关内容

教学目的：

通过本课题的学习使学生了解几种基本的数学教学模式及教学模式的发展趋势，并对数学思想方法教学与数学教学的德育功能作一定的探讨。

课题：数学教学模式及相关内容

教学目的：

通过本课题的学习使学生了解几种基本的数学教学模式及教学模式的发展趋势，并对数学思想方法教学与数学教学的德育功能作一定的探讨。

内容提要：

1、数学教学模式

2、数学思想方法教学 3、数学教学的德育功能

教学重点、难点：

对数学教学模式的类型的掌握与应用

教学方法：讲授法、讨论法

教学过程：

一、 数学教学模式

俗话说“教学有法，教无定法”。本节将对数学教学模式的几种基本类型、数学教学模式的意义与作用以及现代数学教学模式发展的主要趋势作简要介绍，以实现教师教学由“有模式”向“无固定模式”的转化。

（一） 几种基本的教学模式

1、 讲授式教学模式

讲授式教学模式也被称为“讲解——传授”模式或“讲解——接受”模式，自20世纪50年代以来，一直在我国中小数学课堂教学中占有重要的地位。

该模式的操作方式：组织教学——引入新课——讲授新课——巩固练习——布置作业。

该模式的特点是：（1）以教师为中心；（2）学生的被动接受与机械训练；（3）大容量、快节奏、高密度

2、 讨论式教学模式

讨论式的教学模式主要是通过师生之间问答式的谈话来完成教学任务。

该模式的操作方式是：（1）提出要谈的问题；（2）将未数学化的问题数学化，并在需要时对问题进行解释；（3）组织谈话，鼓励学生讨论与争辩，对学生在谈话中有突破性的建议及时认可；（4）逐个考察全班学生初步认可的建议的可行性，圆满解决问题后，请学生总结经验和教训，并对曾提出的各种建议做评价，以积累发现的经验。

该模式的特点：（1）教师角色的转变：老师是教学活动的组织者；（2）学生角色的转变：学生是知识的建构者（3）所需时间较多。

3、 学生活动教学模式

活动教学模式就是学生在教师的指导下，通过实验、游戏、参观、看电影和幻灯等活动形式，用感官和肢体以获得数学知识、培养数学能力的一种教学模式。

该模式的操作方式是：数学实验、数学游戏

该模式的特点：（1）注重直观性；（2）能提高学生的学习兴趣和学习的主动性；（3）所花时间较多；（4）容易忽视活动本身蕴涵的数学内容。

4、 探究式模式

探究式模式也称为“引导——发现”模式，其主要目标是学习发现问题的方法，培养、提高创造性思维能力。

该模式的的操作方式是：（1）教师精心设置问题链；（2）学生基于对问题的分析，提出假设；（3）在教师的引导下，学生对问题进行论证，形成确切概念。（4）学生通过实例来证明或辩认所获得的概念；（5）教师引导学生分析思维过程，形成新的认知结构。

该模式的特点：（1）发挥学生学习的主动性；（2）能有效培养学生的创新意识和科学精神。

5、 发现式模式

发现式教学模式是指学生在教师的指导下，通过阅读、观察、实验等方式，像数学家那样去发现问题、研究问题，进而解决问题、总结规律，成为知识的发现者。

该模式的操作方式是：创设情景——分析研究——猜测归纳——验证反思

该模式的特点：（1）注重知识的发生、发展过程；（2）体现学生的主体地位；（3）有利于培养学生提出、解决问题的能力。

（二）当前我国数学教学模式的发展趋势：

（1） 教学模式的理论基础进一步加强； （2） 数学教学模式由“以教师为中心”，逐步转向更多“学生参与”

（3） 现代教育技术成为改变传统教学模式的一个突破口；

（4） 教学模式由单一化走向多样化和综合化；

（5） 研究性学习列入课程之后，随着“创新教育”的倡导，探究和发现的数学教育模式将会有一个大的发展。

二、数学思想方法的教学

数学教学的任务是把数学的学术形态转换为学生易于接受的教育形态， 将冰冷美丽的数学恢复为火热的思考。数学教科书里陈述的数学，相当的程式化， 可以说是冰冷的美丽。但是， 在数学家创立这些数学定理和公式的时候， 却是经过了火热的思考。因此，我们必须向学生展示数学知识背后所蕴藏的数学思想方法，在解决数学问题的过程中进行深层次的数学思考， 经过思维训练， 获得数学美学的享受。

数学思想方法的分类：

第一类：基本的和重大的数学思想方法——形式和内容、运动与静止、偶然与必然、现象与本质；

第二类：与一般科学方法相应的数学方法——分析与综合、归纳与演绎、观察、类比、 联想等方法；

第三类：数学中的特有的方法——公理化方法、化归方法、数形结合法、极限方法、函数思想、方程思想、概率统计思想；

第四类： 中学数学中的解题方法——观察与发现、联想与猜想、分类、拆分与组合、函数法等。

三、数学教学的德育功能

20世纪90年代以来，中国提倡素质教育，更要求把素质教育落实在中小学数学课堂上，历来的数学教学大纲，以及长期形成的数学教学中进行思想教育的内容大致有以下三方面：

（1）通过数学史培养学生的爱国主义精神；

（2）通过数学内容培养辨证唯物主义世界观；

（3）通过数学演练形成良好的个性品质。 我们将根据国内外的有关研究，比较深入地探讨数学教学体现德育功能的6个层次。各个层次的安排是由课堂的远处至近处，最后直达课堂文化的建设。

（一）关于反映社会主义建设的现实

体现数学教学的德育功能的最有效的途径是联系现实。一个数学教师是否贯彻了思想政治教育，重要看他是否及时、恰当、有针对性地联系社会实际生活和学生实际，并把它有机地结合到数学教学中去。

（二）关于数学史知识的运用

实现数学教育的德育功能，数学史学习时不可少的一环。数学史教育可以活跃课堂气氛，增加学习兴趣，提高教学效果。充分介绍中国现代数学家的贡献，激励意义更大。华罗庚、陈景润、苏步青等名家的事迹对青少年是很大的鼓舞。此外对当代世界数学有重大贡献的华裔数学大师陈省身等的名字也应该在中学数学课程中出现。感人至深的包头五中物理教师陆家羲的数学献身精神，同样是进行思想教育的良好材料。

（三）关于培养辩证唯物主义观点

在我国的数学教学中，总是提到要培养学生的辩证唯物主义观点。这是对的。不过，数学教学与辩证唯物主义观点之间多关系，如何正确贯彻，还需要更进一步的剖析。

数学中有辩证因素，大家常说的基点是：矛盾对立统一（正与负，开方与乘方，微分与积分）；事物发展变化（变量与函数）；事物相互关联（方程、变换、属性结合）；量变到质变（极值、最小最大值）等。值得重视的是，如何把上述数学课程重点辩证唯物主义因素在数学教学中体现出来。因此，数学教学中的辩证法教育，除了挖掘数学中的辩证因素以外，更重要的也许是防止过度使用数学的逻辑演绎思维而陷入形而上学。

（四）关于培养良好的思维品质

数学思维的价值在于培养良好的思维品质，这是大家公认的。至于数学能培养那些良好的思维品质，则有不同的说法。归纳起来，大约有三种提法：

1、培养逻辑思维能力，使思维严密、秩序化，语言准确，言必有据，办事严谨，有条不紊； 2、培养良好的思维习惯，不怕难解答数学题，不怕冗长的计算，通过解题树立克服困难的信心，磨砺坚强的意志；

3、培养理性思维，把古希腊以来的数学体系中的理性思维发扬光大，补充和融入中国的传统文化。

（五）关于欣赏数学的美学价值

论述数学美的文章很多。但是，如何在课堂上展现数学美，培养学生欣赏数学的美学价值呢？似乎触及得很少。我们认为，数学教学中的美学教育有以下四个层次：美观、美好、美妙、完美。

（六）关于数学课堂文化

课堂文化，是从国外传入的名次，目前在国内尚不流行。不过，顾名思义，课堂文化并不难以捉摸的东西，而是普遍存在于课堂之中的文化现象。它是由国家教育传统，学校和班级的风气，教师个人的修养和作风等诸多因素所形成的一些不成文的规定、弥漫于课堂的特定气氛以及制约师生行为的习惯等文化现象。我们在这里要强调的是，课堂文化需要建设。每一位数学老师都应该在自己的课堂上营造具有个人特色的课堂文化，通过自己的工作和个人魅力，使课堂文化成为能够潜移默化地影响学生品德、进行思想教育的重要手段。

第五章 数学教育研究的一些特定课题

教学目的：通过本课题的学习使学生了解数学教育技术的发展、功能、运用等一系列问题，。

内容提要：1、数学教育技术 2、心理学与数学教育

教学重点、难点：各种教育技术的掌握与应用以及对有代表性的教育心理学理论的理解。

教学方法：讲授法、讨论法

教学过程：

一、数学教育技术

在计算机飞速发展的今天，计算机应用技术已经渗透到各个领域，数学教育面临着信息时代严峻的考验。信息技术融入数学教育，将是新世纪数学教育的重大课题，乃至成为数学教育的一项基本原理。

（一）数学教育技术的发展 1、 CAI应运而生

CAI即计算机辅助教学（Computer-Assisted Instruction），是将符号、语言、文字、图形、图像等多种媒体信息按照煎熬下要求有机结合显示在屏幕上，并能完成人机交互操作，协助教师为教学提供一个信息平台。它具有交互性、个别性和可重复性。CAI因有利于培养学生的兴、建构新的教学模式和提供教学效率，而很快得到发展。

2、 各种教育技术软件

具有强大计算功能的Mathematics、Matlab数学软件包；一些制作CAI的教育平台如PowerPoint、Authorware和3Dmax；科学型计算器、图像计算器、几何画板软件、LOGO软件，以及Z+Z智能数学教育平台。

3、 新课程标准的要求

一切有条件和能够创造条件的学校，都应是计算机、多媒体、互联网等信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的信息工具；为所有学生提供探索复杂问题、多角度理解数学思想的机会，丰富学生数学探索的视野。

4、 国外信息技术应用于数学教学的情况

香港中学教学大纲强调“资讯科技在多方面应用于数学课，包括数据分析、模拟工具、图像显示、符号运算及观察规律等”。英国国家数学课程标准要求给学生“提供适当地机会来发展并应用信心技术学习数学的能力。”美国2000内公布的数学课程帮助明确提出了“技术原则”,与“教育公平”等并列为六大原则。

（二）数学教育技术的功能

1、 调动学生参与教学过程的功能

一堂数学课的教学活动,

如果没有学生的参与,

将是无效(起码是低效)

的,

把数学教育技术加入到教学课堂中来,让学生自己动手操作,针对某一类问题多次反复地观察、研究,鼓励他们去猜测可能的结果,然后相互讨论,发现问题的本质共性,证明出这个共性,从而形成一般性结论,达到学习的目的,这事实上体现了数学知识形成的基本过程.

2、 训练学生数学思维的功能

数学思维能力是数学能力的核心内容.利用数学教育技术的动态功能可以即刻改变问题条件或结论,

从多个方面探讨某类问题的各种变化,

找到各种不同的条件下解决问题的方法,调动和促进学生去思考问题,培养学生的思维能力。

3、 提供学生创新机会的功能

培养学生的创新意识和创新实践能力,成为当今教育的大趋势,

现行数学教学大纲把“逐步形成数学创新意识”作为数学教学的目的之一，数学教育技术 给学生提供了研究问题的工具,给学生提供了创新的机会。

4、 实现数学育人的功能

数学教育技术走进课堂,

学生学习数学的方式将发生如下转变,一是从“听数学”转向“做数学”;二是由个体学习转化为个体与集体相结合的学习模式.

老师则由“讲解员”转变成“指导员”.

通过这些转变,有利于教师加强对学生的思想教育、行为教育和其它综合教育。

5、 实现数学教改的功能

数学教育技术 渗透到数学教学工作中,

给数学教育带来了深刻的变化.

首先,它促进了广大教师更新教育观念;其次,它促进了广大教师更新教育教学的方式和手段;第三,它促使广大教师在工作中对数学教育发展的思考,

从而促进数学教育的发展.

（三）数学教育技术的运用

讨论：数学教育技术具有强大的功能，在数学教育中它是怎样运用的呢？

1、 课件的使用 课件是“实现和支持特定课程的计算机辅助教学软件及配套的教学资料”，即课件是利用计算机实现教学功能的计算机软件，属于广泛地CAI 范畴。多媒体电脑以其强大的功能，向传统的“五个一”（一块黑板、一支粉笔、一张嘴、一本教材、一本教案）的教学方式提出了挑战，并迅速成为发展现代化教育到重要工具。

2、 探究性学习

在计算机环境下，学生通过自主地参与获得数学知识，培养探究能力。在教师的指导下，学生利用软件，亲手输入数据或图形，对探究性问题进行主动试验，猜想，推断，发现，探索，验证新知识，推广发展相应的结论，学生利用计算机软件从纷繁复杂的现象中探索数学规律。计算机平台则是学生自主学习、探索性学习的工具，学生可以充分利用计算机平台来帮助自己的研究学习。提出问题、分析问题、解决问题以及对某些问题的验证都可以通过计算机迅速而准确地得到答案。

3、 数学应用

计算机促进了数学知识的应用，结合于计算机强大的计算功能，应用数学知识解决实际问题，建立数学模型已成为教学活动的一种形式。

（四）发挥计算器及计算机在数学教学中的作用

1991年上海市实施课程与教材改革，率先把函数型计算器的操作知识编入了高中数学教材，1997年上海市教委制定一些类型计算器作为高中数学教学课堂是可以使用的计算器。并从2000年开始，允许这类计算器带入高考考场（上海高考单独命题）。

讨论：计算器进入数学课堂是否会削弱学生的计算能力？

（五）网络教育

随着网络技术的不断成熟，校园网由过去的设想变成当今的现实，由计算机辅助教学逐步发展为计算机辅助教学和网络技术辅助教学并重。校园网或Internet都是十分重要的教学媒体，会使用网络、具有网络意识是每个公民今后发展的必备条件，人机对话是公民的基本素质。

1、 网上查询资料 2、 网上教学

二、心理学与数学教育

“皮格马利翁效应”：皮格马利翁是古希腊神话中的塞浦路斯国王，他在雕刻一座少女像时竟钟情于这位少女，后来他的痴情感动神灵，这尊雕像变成真人，与他结为伴侣。

该效应说明：教师是根据学生的性别、身体特征、社会经济地位、兄弟姐妹状况等各种因素形成对某个学生多的期望的，这种期望形成后又通过各种方式，如分组、强化、提问等影响被期望的学生，使学生形成自己的期望，最后又表现在学生的行动之中，反过来影响教师的期望。

（一） 心理学对教育的最重要的贡献

指出了儿童的信息和认识是与成人不同的，这种不同不是简单地表现为他们的学习和认识比成人的程度低、比成人的方法简单，而是表现为他们的学习和认识往往采用与成人完全不同的方式。这种区别是带有本质性的，即儿童并不是微型的成人，而是有着自己独特性的个体。在个体发展的过程中，既有连续性的由低到高的一面，同时也存在着不同的阶段，在这些不同的阶段，个体以不同的方式学习和认识，在不同方式之间不及有量上的差异，更有着质的差异。因此，课程应当建立在学生 的认识基础上，课程要符合学生的认识特征。

（二）行为主义心理学

观点：学习是改变学习者的过程，是在外部刺激及奖励惩罚等作用下，使学习者做出正确地反映，并且逐渐形成稳定的行为方式。

启示：学生的学习要得到社会和教育者所期望的各种行为方式，就要对受教育者施加各种刺激。既然正确的反应和行为都是渐次地出现，并通过正的或负的强化得到巩固的，那么课程和教材的顺序及联系、对于新内容多练习和训练就特别重要，课程必须是由易到难，新内容必须是建立在一起所学内容基础之上的，对于正确的鼓励和错误的惩罚是必不可少的。所以这些，不仅在程序教学的教材体现得最为充分，在泰勒和其他学者的课程论，及以这些理论为指导的课程中都留下了十分明显的痕迹。

（三）认知心理学 认知科学是20世纪70年代，在学科交融的大趋势下兴起的。这门新兴科学联合心理学、计算机科学、神经科学、语言学、认识论和科学哲学，在高度跨学科的基础上研究人乃至机器的智力和认知。

观点：认知心理学派的学习理论强调整体观，注重人的学习内部心理过程，注重学习过程中内部心理结构、认知结构或图式的建构。格式塔学派的学习理论、托尔曼的认知——目的说、皮亚杰的图式理论、维果斯基的内化论、布鲁纳的认知——发现说、奥苏伯尔的有意义学习理论、加涅的信息加工学习理论以及建构主义的学习理论均可作为认知派的代表性学说。

启示：学生学习的建构性

第六章 数学课程的制定与改革

一、课程简介

学习内容的范围、时限和进程。

英文中，课程（curriculum）源自拉丁语currere，“跑”

“学习的进程”（course of study）、“学习的路线”，学程

对课程内容有几种不同的理解

1.课程内容即教材

2.课程内容即教学进度计划

3.课程内容即学习活动

4.课程内容即学习经验

课程的类型

（一）隐性课程与显性课程 存在于物质、文化情境之中，具有非正式、潜在、隐蔽性

（二）科目课程与活动课程

（三）必修课程与选修课程

（四）国家、地方、校本课程

（五）综合实践活动课程

二、中外数学课程改革简介

1中国数学课程历程

“五四”之前 算学为主

“五四”-解放前 欧美

1949年之后 仿照苏联

1963 有了自己的教学大纲

1966-1976 散乱

1976年之后 与国际接轨

2000年至今 改革

2 国际改革路线

60-70年代-“新数学”运动

70年代-回到基础（反思基础上的再思考）

80年代-大众数学

90年代问题解决

（1）新数学运动 ◆增加现代数学内容。

集合、逻辑、群环域、矩阵、向量、微积分、概率、统计

◆强调公理化方法。

代数公理化和系统化

◆废弃欧式几何。

◆强调结构

组成综合的数学课程，用集

合、运算、关系和映射等把数学课程统一

为一个整体。

◆消减传统的运算

繁杂的三角恒等式，分式化简，（缺乏应用的实用价值的知识）

◆追求新的处理方法，强调趣味性和直观

性，提倡发现法。

新数运动出现的问题

◆ 过分强调公理化和严谨性，导致学生计算能力的削弱。教育质量下降。

◆贯穿新数学运动课程内容的集合论过于抽象，学生很难理解。

◆数学教师的水平没有及时跟上

（2） 七十年代后期对数学教育的内容和方法又做了调整，总的趋势有以下几点：

◆回到基础；

◆强调数学的应用；

◆肯定和加强概率、统计； ◆提倡搞点“趣味数学”，克服“新数”那种呆板枯燥的形象；

◆适当采用现代数学的概念、术语和符号

八十年代大众数学

人人学有价值的数学；人人都能获得必要的数学； 不同的人在数学上得到不同的发展。

（4）90年代问题解决

挑战性、趣味性、探索性、开放性

三、数学课程改革的历史必然

数学本身发生了变化

社会发生了变化

教育发生了变化

我国基本普及9年义务教育，沿海城市90%高中入学率

教育观念发生了变化

素质教育和创新教育

知识传授为本转向以学生的数学发展为本。

四、我国现阶段课程改革的进程

1义务教育的课程改革实验

2001年38个实验区；

2高中数学课程改革实验

2000、6，启动； 2002、4，公布框架设想；11月确定征求意见稿；

2003、5，公布新课标实验稿；

2004、9部分地区实验

两种课标的基本理念及内容领域

五、义务教育阶段数学课程改革简介

（一）课程性质

（二）义务教育阶段数学课程的基本理念

1.认识数学课程

人人都能获得良好的数学教育； 不同的人在数学上得到不同的发展

2.如何认识数学

体现人类生活与数学之间的联系

3.如何认识数学学习

重结果的形成过程；生动活泼的、主动的和富有个性的学习过程。

4.如何认识数学教学

关注学生的个人知识和直接经验；教师是引导者、组织者、合作者，在数学教学中发挥主导作用

5如何认识数学教育评价

过程性；多样化评价

6如何认识现代信息技术在数学课程中的作用

（三）课程设计的思路 1．学段划分

2．课程目标

知识与技能

数学思考（三大能力，统计观念，形象数学思维，数感，符号意识等）

问题解决（应用意识、交流、反思）

情感与态度

3．课程内容

课程内容领域

1．数与代数

2．图形与几何

3．统计与概率

4．实践与综合运用

（四）《全日制义务教育数学课程标准》的特点与内容的变化

1、加强的内容

数感和符号意识；口算；空间观念

数学背景知识

统计与概率

重视新技术的应用（使用计算器）

义务教育各阶段内容领域

1 第一学段(1~3年级) ： 数与代数、空间与图形、统计与概率、实践活动。

2 第二学段(4~6年级) ：

数与代数、空间与图形、统计与概率、综合应用。

3 第三学段(7~9年级) ：

数与代数、空间与图形、统计与概率、课题练习。

六、高中数学课程改革简介

（一）高中数学课程改革的基本理念(PPT中)

多样性，个性

学习方式

数学探究、数学建模、数学阅读）

数学思维能力

直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、演绎证明、数据处理、反思建构

数学应用意识

强调本质，注意适度形式化

体现数学的文化价值

增加了对“数学文化”的学习要求，设立了“数学史”、“数学与社会”、“数学思想方法”等专题选修课程。

注重信息技术与数学课程的整合

算法融入到数学课程的各个相关部分

评价体系 （一）《普通高中数学课程标准（实验）的基本理念》（书本P163）

1.给高中数学课程定位：基础性和选择性。

2.“高中标准”倡导积极主动、勇于探索的学习方式，以提高学生的

数学思维能力，加强学生的数学应用意识。

“高中标准”与时俱进地认识“双基”，防止过度形式化，注意揭

示数学文化的人文价值。

“高中标准”重视“数学教育技术”的使用。科学型的计算器必须

使用，而且允许带入考场。用多媒体技术进行课堂教学，也是应该

提倡的。

（二）《普通高中数学课程标准（实验）对有关数学内容的取舍和处

理》

1．高中数学课程实行模块化，学分制

必修课程：

5模块，10个学分，每个模块36学时。

选修课程（4个系列）：

系列1（文科）,系列2（理工）

系列3系列4分别偏重纯粹数学或应用数学(自选)

2．算法内容的设计与安排

全新内容（12课时）

3．集合与函数 继续深化函数的变量说，把函数当作一种数学模型，用更多的例子来说明变量之间的依赖关系。

又要突出集合的对应说，以便精确地表示函数。

理性精神与宏观思考

具体、微观表示

4.概率统计问题

统计（必修16学时）：

随机抽样、样本估计总体、变量的相关性

概率（8学时）：古典概率与随机数

选修：二项分布，超几何分布

小学：随机现象；

初中：平均数、方差、中位数、众数）

5.关于立体几何

直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”

（1）重视几何直观

（2）用向量法解决有关平行、垂直、角度计算问题

（3）降低解析几何中二次曲线的要求，增加

空间直角坐标系的内容

开设“平面几何”选修课

6．选修有关矩阵的知识

7．二项式定理、复数、数学归纳法的要求，不出现复数三角式

8．微积分的有关内容

导数及其在研究函数性质中的应用 9．开设众多全新的选修课

10.继承双击数学教学的传统

必修系列

数学1：集合、函数概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、幂

函数)；

数学2：立体几何初步、平面解析几何初步；

数学3：算法初步、统计、概率；

数学4：基本初等函数II(三角函数)、平面上的向量、三角恒等变换；

数学5：解三角形、数列、不等式.

选修系列

系列1：由两个模块组成.

选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用；

选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图.

系列2：由三个模块组成.

选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何；

选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入；

选修2-3：计数原理、统计案例、概率.

选修系列

系列3：由六个专题组成. 选修3-1：数学史选讲；

选修3-2：信息安全与密码；

选修3-3：球面上的几何；

选修3-4：对称与群；

选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类；

选修3-6：三等分角与数域扩充.

选修系列

系列4：由十个专题组成.

选修4-1：几何证明选讲；

选修4-2：矩阵与变换；

选修4-3：数列与差分；

选修4-4：坐标系与参数方程；

选修4-5：不等式选讲；

选修4-6：初等数论初步；

选修4-7：优选法与试验设计初步；

选修4-8：统筹法与图论初步；

选修4-9：风险与决策；

选修4-10：开关电路与布尔代数.

义务教育各阶段内容领域

1 第一学段(1~3年级) ： 数与代数、空间与图形、统计与概率、实践活动。

2 第二学段(4~6年级) ：

数与代数、空间与图形、统计与概率、综合应用。

3 第三学段(7~9年级) ：

数与代数、空间与图形、统计与概率、课题练习。

数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。

符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。

第七章 数学问题与数学考试

课题：数学问题与问题解决

内容提要：1、数学问题是什么；

2、数学解题的过程和方法；

3、问题解决的教学；

4、数学问题的类型。

教学目标：通过本节课的学习，使学生熟悉解题的一般步骤和方法，认识到问题解决教学的意义并能够应用到实际教学中。

教学重、难点：对问题解决含义的理解，对问题解决教学的把握

教学方法：讲授法、讨论法