奇偶性知识点

2024年3月8日发(作者：上海初一2018数学试卷)

函数的性质之奇偶性知识梳理要点一：函数奇偶性定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)f(x)，则称f(x)为偶函数；如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数（通常可以用特殊值来证明）；如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。要点二：函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f(x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(x)f(x)或f(x)f(x)0，则f(x)是偶函数；若f(x)f(x)或f(x)f(x)0，则f(x)是奇函数。(2)利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数，要点三：简单性质：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域（D1D2）上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇要点四：复合函数的奇偶性：已知f(x)，g(x)的奇偶性，求f(g(x))的奇偶性，只有当f(x),g(x)都是奇函数时，f(g(x))才是奇函数；其他情形是偶函数，即f(x),g(x)中只要一个是偶函数那么f(g(x))就是偶函数。具体可以看下面的例题。典型例题类型一：一般函数奇偶性的判定例1.判断下列函数的奇偶性：11x9x2，②f(x)，f(x)(x1)1xx4x32xx(x0)22③f(x)，④f(x)x11x。2xx(x0)

类型二：含参函数的奇偶性例2：已知函数f(x)xxa1(aR).（1）试判断f(x)的奇偶性；（2）若211a，求f(x)的最小值.22类型三：抽象函数的奇偶性例3、已知函数f(x),当x,yR时，恒有f(xy)f(x)f(y).求证：f(x)是奇函数。类型四：由奇偶性解表达式或者定义域中的含参问题ax21例4：设f(x)是奇函数(a,b,cZ)，且f(1)2,f(2)3，求a,b,c的值．bxc

类型五：已知奇偶性求函数的解析式例5：已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，求f(x)的解析式。2例6：已知f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，且2f(x)g(x)3xx4，求f(x)、g(x)的表达式。2类型六：函数的奇偶性与单调性相结合例7：已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(,0)上单调递增，且有f(2a2a1)f(a22a5)，求a的取值范围。类型7：综合运用例8：已知f(x)axbxcx7，且f(2)4，求f(2)。53

答案解析：例1：【分析】要判断函数的奇偶性，首先要看函数的定义域，只有在定义域满足关于原点对称的情形下，才能讨论函数的奇偶性。解：（1）函数f(x)(x1)不是奇函数又不是偶函数；（2）函数的定义域是：3,3，关于原点对称；此时x4x37恒成立，所以1x的定义域是：1,1，定义域不关于原点对称，所以既1x9(x)29x2f(x)，对于x3,3，有x3,3，f(x)779x2=f(x)；所以是偶函数。7（3）函数f(x)是分段函数，定义域是：,00,，关于原点对称；当x0时，x0，而f(x)xx，f(x)(x)(x)xx222(xx2)f(x)，即f(x)f(x)；当x0时，x0，而f(x)xx，f(x)(x)(x)xx222(xx2)f(x)，即f(x)f(x)；综上所述：函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)f(x)，所以函数是奇函数。（4）函数f(x)的定义域是：{1,1}，关于原点对称；且f(1)0,f(1)0，所以f(1)f(1),f(1)f(1)，则函数f(x)既是奇函数又是偶函数。例2：解：（1）当a0时，f(x)xx1，f(x)(x)x1f(x)，f(x)是偶函数；当a0时，f(a)a1,f(a)a2a1，f(a)f(a),f(a)f(a)，2222f(x)非奇非偶；综上可得：当a0时，f(x)是偶函数；当a0时，f(x)非奇非偶。（2）当xa时，f(x)xxa1，f(x)在(,]单调递减，a2121f(x)在(,a]2

上单调递减；f(x)在(,a]上的最小值是f(a)a1；当xa时，f(x)xxa1，f(x)在[2211,)单调递增，af(x)在22[a,)单调递增；f(x)在[a,)上的最小值是f(a)a21；综上可得：当11a时，函数f(x)的最小值是f(a)a21。22例3：【分析】这是抽象函数，不知道解析式是什么，但由于此题是证明题，要证明f(x)是奇函数，根据奇函数的定义，首先是定义域关于原点对称，然后是证f(x)f(x)和者f(x)f(x)0；此题已经表明x,yR，所以f(x)的定义域是R，关于原点对称，下面就是要证等式成立，由于x,yR，那么x,y可以取任何实数值，可给出x,y具体的值带入或者给出二者满足的表达式进行计算。解：x,yR，f(x)的定义域是R，关于原点对称；令xy0，带入式子可得：f(00)f(0)f(0)，即f(0)0；令xy0，带入式子可得：f(0)f(x)f(x)，即f(x)f(x)0；综上可得：函数f(x)是奇函数例4：ax21解：f(x)是奇函数，bxca(x)21ax21.f(x)f(x)b(x)cbxcb(x)c(bxc)c0a124a1b31a2由f(1)2,f(2)3，得4a1a132baZa0或a1.当a0时，b1Z，舍去；当a1时，b1Z.2

a1,b1,c0.例5：【分析】这是函数奇偶性的最基本的应用。解：任取x0，则x0，f(x)(x)[1(x)]x(1x)，22f(x)是奇函数，f(x)f(x)x2(1x)(x0)；0R，f(0)0；2x(1x)(x0)综上所述：f(x)。2x(1x)(x0)例6：解：f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数；f(x)f(x)0,g(x)g(x)；2f(x)g(x)3x2x4，2f(x)g(x)3x2x4；两式相加可得：2g(x)2(3x4)，即g(x)3x4；两式相减可得：4f(x)2x，即f(x)22x。2例7：【分析】偶函数在对称区间里的单调性是相反的。解：f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(,0)上单调递增，f(x)在(0,)单调递减；f(2aa1)f(a2a5)，且2aa10,a2a50恒成立，22222a2a1a22a5，a23a40，即a1或a4。例8：【分析】表达式中有三个未知量，现在只有一个条件，无法解出所有的未知量；函数本身又不具有奇偶性，但是通过观察可以发现，前面三项是可以构成奇函数，而最后一项是常数项，移动常数项就可以得到f(x)7axbxcx，是一个奇函数，这样就能得到答案。解：由题意得：f(x)7axbxcx，f(x)7f(x)70，即5353f(x)f(x)14，f(2)f(2)14，即f(2)18。

变式练习：1：设函数f(x)在R内有定义，下列函数：1yf(x)；②yx2f(x2)；③yf(x)；④yf(x)f(x)。必为奇函数的有___（要求填写正确答案的序号）32xx(x0)2：判断函数f(x)的奇偶性。32xx(x0)a2x23：判断f(x)(常数a0)的奇偶性。xaa4：已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的x,yR，有f(xy)xf(y)yf(x)．(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论．a(2x1)25：已知f(x)是奇函数，则实数a的值等于2x12。6：设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时，f(x)2x3x1，试求函数f(x)的解析式。

7：已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且3f(x)2g(x)x的表达式。269，求f(x)、g(x)x8：设定义在[2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围。9：已知f(x)axbxcx7，且f(2)4，求f(2)。64

练习：1：已知函数f(x)是偶函数，而且在(0,)上是减函数，判断f(x)在(,0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断.2：函数yf(x)是R上的偶函数，且在,0上是增函数，若f(a)f(2),则实数a的取值范围是3：f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且Fx3f(x)5g(x)2,若F(a)则F(a)=b,4：已知函数f(x)g(x)2,x[3,3]，且g(x)满足g(x)g(x),若f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则MN=.3x2c5：已知函数f(x)为奇函数，f(1)f(3)，且不等式0f(x)的解集是axb2[2,1][2,4]。（1）求a,b,c；（2）是否存在实数m使不等式f(2t)m2取值范围；若不存在，请说明理由。3对一切t[1,1]成立？若存在，求出m的2

6：已知f(x)是定义在[1,1]上的奇函数，且f(1)1,若a,b[1,1]，ab0时，有f(a)f(b)0.ab(1)判断函数f(x)在[1,1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：f(x)f(2121);x1(3)若f(x)m2pm1对所有x[1,1],p[1,1](p是常数）恒成立，求实数m的取值范围.