2024年1月10日发(作者：武汉市四调试卷数学试卷)

2021年大学高等数学考试试题

一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)

(1)

limcotx(x011)_____________.

sinxx(2) 曲面ze2xy3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.

zx2u1(3) 设uesin,则在点(2,)处的值为_____________.

xyyx(4) 幂级数nx2n1的收敛半径R______________.

nnn12(3)13(5) 设三阶方阵A、B满足关系式：A1BA6ABA,且A00______________.

二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)

(1) 设有直线L:014000,则B

17x3y2z10,及平面:4x2yz30,则直线L ( )

2xy10z30(A) 平行于 (B) 在上 (C) 垂直于 (D) 与斜交

(2) 设在[0,1]上f(x)0,则f(0)、f(1)、f(1)f(0)或f(0)f(1)的大小顺序是

( )

(A)

f(1)f(0)f(1)f(0) (B)

f(1)f(1)f(0)f(0)

(C)

f(1)f(0)f(1)f(0) (D)

f(1)f(0)f(1)f(0)

(3) 设f(x)可导,F(x)f(x)(1|sinx|),则f(0)0是F(x)在x0处可导的 ( )

(A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件

(C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件

(4)

limx0atanxb(1cosx)cln(12x)d(1ex)22,其中a2c20,则必有 ( )

(A)

b4d (B)

b4d

(C)

a4c (D)

a4c

(5) 已知向量组1、2、3、4线性无关,则向量组 ( )

(A)

12、23、34、41线性无关

(B)

12、23、34、41线性无关

(C)

12、23、34、41线性无关

(D)

12、23、34、41线性无关

三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)

xcos(t2),2dydyt(1) 设 求、在的值.

t21222dxdxytcos(t)cosudu,12u(2) 将函数f(x)(3) 求11x1lnarctanxx展开成x的幂级数.

41x2dxsin2x2sinx.

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)

(1) 计算曲面积分2222xy2x内的部分.

zdS,其中为锥面在柱体zxy(2) 将函数f(x)x1(0x2)展开成周期为4的余弦级数.

五、(本题满分9分)

设f(x)具有二阶连续导数,f(0)0,f(0)1,且

[xy(xy)f(x)y]dx[f(x)x2y]dy0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.

六、(本题满分8分)

设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分路径无关,并且对任意t恒有

2xydxQ(x,y)dy与L求Q(x,y).

(t,1)(0,0)2xydxQ(x,y)dy(1,t)(0,0)2xydxQ(x,y)dy,

七、(本题满分6分)

已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕z轴旋转一周所围成

的旋转曲面为S.求由S及两平面z0,z1所围成的立体体积.

八、(本题满分7分)

设三阶实对称矩阵A的特征值为11,231,对应于1的特征向量为

1(0,1,1)T,求A.

九、(本题满分6分)

设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,当A*AT时,证明

|A|0.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)

(1) 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则X2的数学期望E(X)___________.

(2) 设X和Y为两个随机变量,且

2PX0,Y034,

P(X0)P(Y0),

77则Pmax(X,Y)0___________.

十一、(本题满分6分)

已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X和Y分别服从正态分布N(1,3)和

21XYN(0,42),X与Y的相关系数XY,设Z,

232(1) 求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；

(2) 求X与Z的相关系数XZ；

(3) 问X与Z是否相互独立？为什么？

2021年大学高等数学考试试题解析

一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)

(1)【答案】1

60”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连0【解析】原式变形后为“续应用两次洛必达法则,有

原式limcosx(xsinx)xsinx

limcosxlim23x0x0x0xsinxx1cosxsinx1sinx. (由重要极限limlimlim1)

2x0x0x03x6x6x(2)【答案】2xy40

【解析】所求平面的法向量n为平行于所给曲面在点(1,2,0)处法线方向的方向向量l,取nl,又平面过已知点M(1,2,0).

已知平面的法向量(A,B,C)和过已知点(x0,y0,z0)可唯一确定这个平面：

A(xx0)B(yy0)C(zz0)0.

因点(1,2,0)在曲面F(x,y,z)0上.曲面方程F(x,y,z)ze2xy3.

曲面在该点的法向量

zFFFn,,2y,2x,1ez4,2,022,1,0,

(1,2,0)xyz(1,2,0)故切平面方程为

2(x1)(y2)0, 即

2xy40.

(3)【答案】2e2

【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求uu,再求.

yxyuxx2excos,

yyy2u2uu

xy(2,1)yx(2,1)xyy12xexcosx

x2x2x

(e(1x)cosx)(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)

2xx202e2.

【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u(x,y),v(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数,函数zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数

zf((x,y),(x,y))在点(x,y)的两个偏导数存在,且有

zzuzvuvf1f2；

xuxvxxxzzuzvuvf1f2.

yuyvyyy(4)【答案】3

【解析】令annx2n1,则当n时,有

nn2(3)n12(n1)1x2n1(3)n1limnnx2n1nn2(3)

liman1annnn2n3(1)n1123limx2x,n1nn3n12n13(1)311而当x21时,幂级数收敛,即|x|3时,此幂级数收敛,当x21时,即|x|3时,此33幂级数发散,因此收敛半径为R3.

300(5)【答案】020

001【解析】在已知等式A1BA6ABA两边右乘以A,得A1B6EB,即

1(A1E)B6E.

3001因为

A040,所以

007200300020B6(A1E)16030.

=006001

二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)

(1)【答案】(C)

【解析】这是讨论直线L的方向向量与平面的法向量的相互关系问题.

直线L的方向向量

1kijl13228i14j7k7(4i2jk),

2110平面的法向量n4i2jk,ln,L.应选(C).

(2)【答案】(B)

【解析】由f(x)0可知f(x)在区间[0,1]上为严格单调递增函数,故

f(1)f(x)f(0),(0x1)

由微分中值定理,f(1)f(0)f(),(01).所以

f(1)f(1)f(0)f()f(0),(01)

故应选择(B).

(3)【答案】(A)

【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.

充分性:因为f(0)0,所以

limx0f(x)(1sinx)F(x)F(0)f(x)f(x)f(0)limlimlimf(0),

x0x0x0xxxx由此可得

F(x)在x0处可导.

必要性:设F(x)在x0处可导,则f(x)sinx在x0处可导,由可导的充要条件知

limx0f(x)sinxf(x)sinxlim. ①

x0xx

根据重要极限limsinx1,可得

x0xsinxsinxsinxsinxlim1limlim1, ②

lim,x0x0x0x0xxxx结合①,②,我们有f(0)f(0),故f(0)0.应选(A).

(4)【答案】(D)

【解析】因为

1cosx212xo(x),1ex2x2o(x),

故

atanxb(1cosx)ax (a0),

cln(12x)d(1e因此,原式左边limx2)2cx (c0),

axa2原式右边,a4c.

x02cx2c当a0,c0时,极限为0；

当a0,c0时,极限为,均与题设矛盾,应选(D).

【相关知识点】1.无穷小的比较：

设在同一个极限过程中,(x),(x)为无穷小且存在极限

lim(x)l.

(x)（1） 若l0,称(x),(x)在该极限过程中为同阶无穷小；

（2） 若l1,称(x),(x)在该极限过程中为等价无穷小,记为(x)（3） 若l0,称在该极限过程中(x)是(x)的高阶无穷小,记为

(x)；

(x)o(x).

若lim(x)不存在(不为),称(x),(x)不可比较.

(x)2. 无穷小量的性质：当xx0时,(x),(x)为无穷小,则

(x)(x)(x)(x)o((x)).

(5)【答案】(C)

【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式.

(A)：由于122334410,所以(A)线性相关.

(B)：由于122334410,所以(B)线性相关.

对于(C),实验几组数据不能得到0时,应立即计算由的系数构成的行列式,即

10011120,

由行列式不为0,知道(C)线性无关.故应选(C).

当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由

(12)(23)(34)(41)0,

知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C).

【相关知识点】1,2,,s线性相关的充分必要条件是存在某i(i1,2,,s)可以由

1,i1,i1,1,2,,s线性表出.

,s)均不能由

,s线性无关的充分必要条件是任意一个i(i1,2,,s线性表出.

1,i1,i1,

三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)

(1)【解析】dydydtdydxdtdxdtdxytxtdtcost22t2sint22tsint1cost22t2tt(t0),

2同理

yxx(y1x)t,

2xt2tsint代入参数值

t22,

则

yxt2,

yxxt21.

2【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果ug(x)在点x可导,而yf(x)在点ug(x)可导,则复合函数yfg(x)在点x可导,且其导数为

dydydyduf(u)g(x) 或

.

dxdxdudx2.对积分上限的函数的求导公式：若F(t)(t)(t)f(x)dx,(t),(t)均一阶可导,则

F(t)(t)f(t)(t)f(t).

(2)【解析】f(x)111ln(1x)ln(1x)arctanxx.

442先求f(x)的展开式.将f(x)微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数展开.所以由

(1x)1x(1)2!x2(1)(n1)nxn!,(1x1)

该级数在端点x1处的收敛性,视而定.特别地,当1时,有

11xx2x3(1)nxn,

(1x1)

1x11xx2x3xn,

(1x1)

1x1111111111得

f(x)11

41x41x21x221x221x214n4n1x1x(|x|1),

41xn0n1积分,由牛顿-莱布尼茨公式得

f(x)f(0)x0x4n1f(x)dxtdt (|x|1).

04n1n1n1x4n(3)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin22sincos,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得

dxdxsin2x2sinx2sinx(cosx1)

(sinxdx11 cosxu du

222sinx(cosx1)2(1u)(1u)

sin2x1cos2x)

1(1u)(1u)1112du()du

4(1u)(1u)281u1u(1u)212ln|1u|ln|1u|C

8(1u)12ln1cosxln1cosxC,

81cosx其中C为任意常数.

方法2：换元cosxu后,有

原式dxsinxdx1du2sinx(cosx1)2sin2x(cosx1)2(1u)(1u)2.

用待定系数法将被积函数分解:

1ABD

(1u)(1u)21u1u(1u)2(AB)u2(2AD)u(ABD),

(1u)(1u)2AB0112AD0AB,D.

42ABD1于是,原式＝111212()duln1uln1uC

81u1u(1u)281u12ln1cosxln1cosxC.

81cosx

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)

(1)【解析】将曲面积分I化为二重积分IDxyf(x,y)dxdy.

2x2y2,

22首先确定被积函数

f(x,y)z1zxzyx2y222. 对锥面zxy而言,

1zz1222xyxy222x2y其次确定积分区域即在xOy平面的投影区域Dxy

(见右图),按题意：

Dxy:x2y22x,即(x1)2y21.

I2xydxdy.

Dxy22

作极坐标变换xrcos,yrsin,则

Dxy:0r2cos,22,

2cos因此

I22d22cos01rrdr222r3030d322.

9(2)【解析】这就是将f(x)作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得f(x)的傅氏系数：

bn0(n1,2,3,)

an22lnxnf(x)cosdxl2(x1)cosxdx00ll222n22n(x1)dsinxsinxdx00n2n2n422cosx22((1)n1)n20n48,n2k1,22(2k1)k1,2,3,0,n2k,2221a0f(x)dx(x1)dx(x1)20.

0202022

由于(延拓后)f(x)在[2,2]分段单调、连续且f(1)1.于是f(x)有展开式

f(x)

五、(本题满分9分)

1(2n1)cosx,x[0,2].

2n1(2n1)228【解析】由全微分方程的条件,有

[xy(xy)f(x)y][f(x)x2y],

yx即

x2xyf(x)f(x)2xy,亦即

f(x)f(x)x.

2yyx,因而是初值问题

 的解,此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的yx00,yx01,22齐次方程的特征方程为r210的根为r1,2i,原方程右端x2e0xx2中的0,不同于两个特征根,所以方程有特解形如

YAx2BxC.

代入方程可求得

A1,B0,C2,则特解为x22.

由题给f(0)0,f(0)1,解得

f(x)2cosxsinxx2.

2f(x)的解析式代入原方程,则有

[xy22y(2cosxsinx)y]dx[x2y2x2sinxcosx]dy0.

先用凑微分法求左端微分式的原函数：

11(y2dx2x2dy2)2(ydxxdy)yd(2sinxcosx)(2sinxcosx)dy0,

221d(x2y22xyy(cosx2sinx))0.

21其通解为

x2y22xyy(cosx2sinx)C 其中C为任意常数.

2【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y(x)是二阶线性非齐次方程

*yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程

yP(x)yQ(x)y0的通解,则yY(x)y*(x)是非齐次方程的通解.

2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即yP(x)yQ(x)y0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程变为ypyqy0.其特征方程写为rprq0,在复数域内解出两个特征根r1,r2；

分三种情况：

(1) 两个不相等的实数根r1,r2,则通解为yC1erx12C2er2x;

rx(2) 两个相等的实数根r1r2,则通解为yC1C2xe1;

(3) 一对共轭复根r1,2i,则通解为yexC1cosxC2sinx.其中C1,C2为常数.

3.对于求解二阶线性非齐次方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解y(x),可用待定系数法,有结论如下：

x*kx如果f(x)Pm(x)e,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y(x)xQm(x)e

*的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

x如果f(x)e[Pl(x)cosxPn(x)sinx],则二阶常系数非齐次线性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的特解可设为

(1)(2)y*xkex[Rm(x)cosxRm(x)sinx],

(1)(2)其中Rm(x)与Rm(x)是m次多项式,mmaxl,n,而k按i(或i)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.

六、(本题满分8分)

【解析】在平面上LPdxQdy与路径无关(其中P,Q有连续偏导数),

PQQ,即

2x.

yxx2对x积分得

Q(x,y)x(y),其中(y)待定.代入另一等式得对t,

(t,1)(0,0)2xydxx(y)dy2(1,t)(0,0)2xydxx2(y)dy. ①

下面由此等式求(y).

方法一：易求得原函数

2xydxx2(y)dyydx2x2dy(y)dyd(xy)d于是由①式得

xy22(s)dsdxy(s)ds.y2y00

2y0(s)ds(t,1)(0,0)txy(s)ds02y(1,t).

(0,0)t即

t10(s)dst(s)ds,亦即

t2t(s)ds.

01求导得

2t1(t),即

(t)2t1.

因此

Q(x,y)x2y1.

方法二：取特殊的积分路径：对①式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示.

于是得

210t2(y)dy1(y)dy.

0t即

t2(y)dyt(y)dy,亦即

t001t2t(y)dy.

1t其余与方法一相同.

七、(本题满分6分)

【解析】方法1：用定积分.

设高度为z处的截面Dz的面积为S(z),则所求体积V10S(z)dz.

A,B所在的直线的方向向量为01,10,101,1,1,且过A点,

所以A,B所在的直线方程为

x1zx1yz 或 .

111yz22222截面Dz是个圆形,其半径的平方

Rxy(1z)z,则面积

S(z)R2[(1z)2z2],

22由此

V[(1z)z]dz12z2zdzzz2z3.

00330122121方法2：用三重积分.

VdVddz0021(1z)2z20rdr2,

3或者

V22dVdzd[(1z)z]dz

0Dz01112z2z2dz

0122.

zz2z3330

八、(本题满分7分)

T【解析】设对应于231的特征向量为(x1,x2,x3),因为A为实对称矩阵,且实对T称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故10,即x2x30.

TT解之得

2(1,0,0),3(0,1,1).

1于是有

A(1,2,3)(11,22,33),

所以

A(11,22,33)(1,2,3)

1010010100101101001.

101101010

九、(本题满分6分)

【解析】证法一：由于

AA,根据A的定义有

*T*1Aijaij(i,j1,2,,n),其中Aij是行列式|A|中aij的代数余子式.

由于A0,不妨设aij0,那么

|A|ai1Ai1ai2Ai2故

|A|0.

2ainAinai21ai222ainaij0,

证法二：(反证法)若|A|0,则AA*AAT|A|E0.

设A的行向量为i(i1,2,于是

i(ai1,ai2,2,n),则

iiTai2a1i22ain0

(i1,2,,n).

,ain)0

(i1,2,,n).

进而有A0,这与A是非零矩阵相矛盾.故|A|0.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)

(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以X服从n10,p0.4的二项分布.

由二项分布的数学期望和方差计算公式,有

E(X)np4,D(X)np(1p)2.4,

根据方差性质有

E(X)D(X)[E(X)]18.4.

(2)【解析】令A{X0},B{Y0},则

22P{max(X,Y)0}1P{max(X,Y)0}1P{X0,Y0}.

由概率的广义加法公式

P(AB)P(A)P(B)P(AB),有

P{max(X,Y)0}1[1P(AB)]P(AB)P(A)p(B)P(AB)

十一、(本题满分6分)

4435.

7777【解析】此题的第一小问是求数学期望E(Z)和方差D(Z),是个常规问题；(2)求相关系数XZ,关键是计算X与Z的协方差；(3)考查相关系数为零与相互独立是否等价.

(1) 由XN(1,32),YN(0,42),知

E(X)1,D(X)9,E(Y)0,D(Y)16.

由数学期望和方差的性质：

E(aXbYc)aE(X)bE(Y)c,

D(aXbYc)a2D(X)b2D(Y)2abCov(X,Y),

其中a,b,c为常数.

111EXEY,

323111DZDXDYCov(X,Y)

943111

916XYD(X)D(Y)

943115()343.

3211(2) 因为Cov(X,Z)Cov(X,XY)

3211

Cov(X,X)Cov(X,Y)

321132(6)0

32得

EZ所以

XZCov(X,Z)0.

DXDZ(3) 由于(X,Y)服从二维正态分布,则其线性组合构成的随机变量也服从二维正态分布,而ZXY,XX0Y,故X和Z都是其线性组合,则(X,Z)服从二维正态分布,根据

32XZ

Cov(X,Z)0,所以X与Z是相互独立的.

DXDZ


更多推荐

方程,线性,解析,函数