2023年12月11日发(作者：2022数学试卷19题)
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第一单元 位置与方向
1、① 〔东与西〕相对，〔南与北〕相对，
〔东南—西北〕相对，〔西南—东北〕相对。
② 清楚以谁为标准来判断位置。
③ 理解位置是相对的，不是绝对的。
2、地图通常是按〔上北、下南、左西、右东〕来绘制的。
〔做题时先标出北南西东。〕
3、 会看简单的路线图，会描述行走路线。
一定写清楚从哪儿向哪个方向走，走了多少米，到哪儿再向哪个方向走。同一个地点可以有不同的描述位置的方式。〔例如：学校在剧场的西面，在图书馆的东面，在书店的南面，在邮局的北面。〕同一个地点有不同的行走路线。一般找比拟近的路线走。
4.、指南针是用来指示方向的，它的一个指针永远指向〔南方〕，另一端永远指向〔北方〕。
5.、生活中的方位知识：
① 北斗星永远在北方。
② 影子与太阳的方向相对。
③ 早上太阳在东方，中午在南方，黄昏在西方。
④风向与物体倾斜的方向相反。
〔 刮风时的树朝风向相对的方向弯，烟朝风向相对的方向飘…… 〕
第二单元 除数是一位数的除法
1、口算时要注意：
〔1〕0除以任何数〔0除外〕都等于0；
〔2〕0乘以任何数都得0；
〔3〕0加任何数都得任何数本身；
〔4〕任何数减0都得任何数本身 。
2、没有余数的除法：
被除数÷除数=商
商×除数=被除数
被除数÷商=除数
有余数的除法：
被除数÷除数=商……余数
商×除数+余数=被除数
〔被除数—余数〕÷商=除数
3、笔算除法顺序：确定商的位数，试商，检查，验算。
〔1〕一位数除两位数(商是两位数)的笔算方法：先用一位数除十位上的数，如果有余数，要把余数和个位上的数合起来，再用除数去除。除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面。
〔2〕一位数除三位数的笔算方法：先从被除数的最高位除起，如果最高位不够商1，就看前两位，而除到被除数的哪一位，就要把商写在那一位上，假设不够商1，就在这一位商0；每次除得的余数都要比除数小，再把被除数上的数落下来和余数合起来，再继续除。
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〔3〕除法的验算方法：
没有余数的除法的验算方法：商×除数：被除数；
有余数的除法的验算方法：商×除数+余数=被除数。
4、根本规律：
〔1〕从高位除起，除到哪一位，就把商写在那一位；
〔2〕三位数除以一位数时百位上够除，商就是三位数；百位上不够除，商就是两位数；〔最高位不够除，就看两位上商。〕
〔3〕哪一位有余数，就和后面一位上的数合起来再除；
〔4〕哪一位上不够商1，就添0占位；每一次除得的余数一定要比除数小。
第二单元 课外知识拓展
5、2、3、5倍数的特点
2的倍数：个位上是2、4、6、8、0的数是2的倍数。
5的倍数：个位上是0或5的数是5的倍数。
3的倍数：各个数位上的数字加起来的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。比方：462，4+6+2=12，12是3的倍数，所以462是3的倍数。
6、关于倍数问题：
两数和÷倍数和＝1倍的数
两数差÷倍数差＝1倍的数
例：甲数是乙数的5倍，甲乙两数的和是24，求甲乙两数？
这里把乙数看成1倍的数，那甲数就是5倍的数。它们加起来就相当于乙数的6倍了，而它们加起来的和是24。这也就相当于说乙数的6倍是24。所以乙数为：24÷6=4，甲数为：4×5=20
同样：假设甲数是乙数的5倍，甲乙两数之差是24，求甲乙两数？
这里把乙数看成1倍的数，那甲数就是5倍的数。它们的差就相当于乙数的4倍了，而它们的差是24。这也就相当于说乙数的4倍是24。所以乙数为：24÷4=6，甲数为：6×5=30
7、和差问题
〔两数和 — 两数差〕÷2=较小的数
〔两数和 + 两数差〕÷2=较大的数
例：甲乙两数之和是37，两数之差是19，求甲乙两数各是多少？
解析：如果给甲数加上\"乙数比甲数多的局部〔两数差〕\"〔虚线局部〕，那么由图知，甲数+两数差=乙数。如是：甲数+两数差+乙数=甲数+乙数+两数差=两数和+两数差
又有：甲数+两数差+乙数=乙数+乙数=乙数×2
知道：两数和+两数差=乙数×2
〔两数和 + 两数差〕÷2=乙数
解：假设乙数是较大的数。乙：〔37+19〕÷2=28 甲：28-19=9
8、锯木头问题。
王叔叔把一根木条锯成4段用12分钟，锯成5段需要多长时间？
锯成4段只用锯3次，也就是锯3次要12分钟，那么可以知道锯一次要：12÷3=4〔分钟〕
而锯成5段只用锯4次，所需时间为：4×4=16〔分钟〕
9、巧用余数解决问题。
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①( )÷8=6……( )，求被除数最大是，最小是。
根据除法中\"余数一定要比除数小\"规那么，余数最大应是7，最小应是1。
再由公式：商×除数+余数=被除数，知道被除数最大应是6×8+7=55，最小应是6×8+1=49。
②少年宫有一串彩灯，按1红，2黄，3绿排列着，请你猜一猜第89个是什么颜色？
……
由图可知，彩灯一组为：1+2+3=6〔个〕，照这样下去，89÷6=14〔组〕……5〔个〕第89个已经有像上面的这样6个一组14组，还多余5个；这5个再照1红，2黄，3绿排列下去，第5个就是绿色的了。
③加一份和减一份的余数问题。
例1：38个去划船，每条船限坐4个，一共要几条船？
38÷4=9〔条〕……2〔人〕
余下的2人也要1条船,9+1=10条。
答：一共要10条船。
例2：做一件成人衣服要3米布，现在有17米布，能做几件成人衣服？
17÷3=5〔件〕……2〔米〕
余下的2米布不能做一件成人衣服
答：能做5件成人衣服。
第三单元 复式统计表
1、把两个或两个以上有联系的单式统计表合编成一个统计表，这个统计表就是复式统计表。
2、观察、分析复式统计表要先看表头，弄清每一项的内容，再根据数据进行分析，答复下列问题。
第四单元 两位数乘以两位数
口算乘法
1、两位数乘一位数的口算方法：
(1)把两位数分成整十数和一位数，用整十数和一位数分别与一位数相乘，最后把两次乘得的积相加
(2)在脑中列竖式计算。
2、整百整十数乘一位数的口算方法：
(1)先用整百数乘一位数，再用整十数乘一位数，最后把两次乘得的积相加。
(2)先用整百整十数的前两位与一位数相乘，再在乘积的末尾添上一个0。
(3)在脑中列竖式计算。
3、一个数与10相乘的口算方法：
一位数与10相乘，就是把这个数的末尾添上一个0。
4、两位数乘整十数的口算方法：
先用这个两位数与整十数十位上的数相乘，然后在积的末尾添上一个O。
小技巧：口算乘法：整十、整百的数相乘，只需把0前面的数字相乘，再看两个因数一共有几个0，就在结果后面添上几个0。
如：30×500=15000 可以这样想，3×5=15，两个因数一共有3个0，在所得结果15后面添上3个0就得到30×500=15000
笔算乘法
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先把第一个因数同第二个因数个位上的数相乘，再与第二个因数十位上的数相乘〔积与十位对齐〕，最后把两个积加起来。
考前须知
1.估算：18×22，可以先把因数看成整十、整百的数，再去计算。
→〔可以把一个因数看成近似数，也可以把两个因数都同时看成近似数。〕
2、有大约字样的一般要估算。
3、但凡问够不够，能不能等的题，都要三大步：
①计算、②比拟、③答题。→别忘了比拟这一步。
几个特殊数：
25×4=100 ，125×8=1000
4、相关公式：
因数×因数 = 积
积÷因数 = 另一个因数
5、两位数乘两位数积可能是〔 三 〕位数，也可能是〔 四 〕位数。
6、一个两位数与11的速算技巧：
第五单元 面积
面积和面积单位：
1.常用的面积单位有：〔平方厘米〕、〔平方分米〕、〔平方米〕。
2.理解面积的意义和面积单位的意义。
面积：物体外表或封闭图形的大小，叫做它们的面积。
1平方米：边长是1米的正方形，它的面积是1平方米。
1平方分米：边长是1分米的正方形，它的面积是1平方分米。
1平方厘米：边长是1厘米的正方形，它的面积是1平方厘米。
3.在生活中找出接近于1平方厘米、1平方分米、1平方米的例子。例如1平方厘米〔指甲盖〕、1平方分米〔电脑光盘或电线插座〕、1平方米〔教室侧面的小展板〕。
4．区分长度单位和面积单位的不同。长度单位测量线段的长短，面积单位测量面的大小。
5．比拟两个图形面积的大小，要用〔统一〕的面积单位来测量。
背 熟：
〔1〕边长〔1厘米〕的正方形，面积是〔1平方厘米〕。
〔反过来也要会说。面积是1平方厘米的正方形，它的边长是1厘米。〕
〔2〕边长 〔1分米〕的正方形，面积是〔1平方分米〕。
〔3〕边长 〔1米 〕的正方形，面积是〔1平方米〕。
〔4〕边长是〔100米〕的正方形面积是〔1公顷〕，也就是〔10000平方米〕。
〔5〕边长是〔1千米〕的正方形面积是1平方千米。
面积单位进率和土地面积单位：
1.常用的土地面积单位有〔 公顷 〕和〔 平方千米 〕。
★\" 公顷 \"→ 测量菜地面积、果园面积、建筑面积
★\" 平方千米 \"→ 测量城市土地面积、国家面积
1公顷：边长是100米的正方形，它的面积是1公顷。
1平方千米：边长是1千米的正方形，它的面积是1平方千米。
1公顷=10000平方米
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1平方千米=100公顷
1平方千米=1000000平方米
2.正确理解并熟记相邻的面积单位之间的进率。
① 进率100：
1平方米 = 100平方分米
1平方分米 = 100平方厘米
1平方千米 = 100 公顷
② 进率10000：
1公顷 = 10000平方米
1平方米 = 10000平方厘米
③ 进率1000000：
1平方千米 = 1000000平方米
④相邻两个常用的长度单位之间的进率是〔 10 〕。
相邻两个常用的面积单位之间的进率是〔 100 〕。
背熟公式
1、周长公式：
长方形的周长= 〔长＋宽〕× 2
长 = 周长÷2－宽
或者：〔周长－长×2〕÷2= 宽
宽 = 周长÷2－长
或者：〔周长-宽×2〕÷2=长
正方形的周长= 边长×4
正方形的边长 = 周长÷4
2、面积公式：
长方形的面积=长×宽
正方形的面积=边长×边长
长方形的周长=〔长+宽〕×2
正方形的周长=边长×4
面积求长：长=面积÷宽
面积求边长：边长=面积开平方
周长求长：长=周长÷2 - 宽
面积求边长：边长=面积÷4
A、正确区分长方形和正方形的周长和面积的意义，并能正确运用上面的4个计算公式求周长和面积。
归类：什么样的问题是求周长？〔缝花边、围栅栏、围栏杆、池塘或花坛周围小路长度、围操场跑步的长度等等〕什么样的问题是求面积？或与面积有关？〔课本等封面大小、刷墙、花坛周围小路面积、给餐桌配玻璃、给课桌配桌布、洒水车洒到的地面、某物品占地面积、买玻璃、买镜子、买布、买地毯、铺地、裁手帕的等等〕
B、长方形或正方形纸的剪或拼。有两个或两个以上长方形或正方形拼成新的图形后的面积与周长。从一个图形中〔通常是长方形〕剪掉一个图形〔最大的正方形等〕求剪掉局部的面积或周长、求剩下局部的面积或周长。要求先画图，再标上所用数据，最后列式计算。
C、刷墙的〔有的中间有黑板、窗户等〕：用大面积－小面积。
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熟练运用进率进行面积单位之间的换算。掌握换算的方法。
1、低级单位——高级单位：数量÷它们间的进率
如：零钱换大钱，张数减少；300平方分米＝3平方米
1、高级单位——低级单位：数量×们间的进率
如：大钱换零钱，张数增多；5平方千米＝500公顷
注 意：
〔1〕面积相等的两个图形，周长不一定相等。
周长相等的两个图形，面积不一定相等。
〔2〕 大单位换算小单位〔乘它们之间的进率〕
小单位换算大单位〔除以它们之间的进率〕
〔3〕 长度单位和面积单位的单位不同，无法比拟。
〔4〕周长相等的两个长方形，面积不一定相等。面积相等的两个长方形，周长也不一定相等。
第六单元 年、月、日
〔一〕年、月、日
1、常用的时间单位有：〔年、月、日〕和〔时、分、秒〕。
2、重要的日子：1949年10月1日，中华人民共和国成立。
1月1日元旦节、3月12日植树节，5月1日劳动节，6月1日儿童节，7月1日建党节，8月1日建军节，9月10日教师节，10月1日国庆节
3、熟记每个月的天数：知道大月一个月有31天，小月一个月有30天。平年二月28天，闰年二月29天，二月既不是大月也不是小月。一年有12个月〔7大4小1特殊〕
可借助歌谣记忆：
一、三、五、七、八、十、腊〔即十二月〕，
三十一天永不差。
四六九冬三十天，只有二月二十八。
每逢四年闰一日，一定要在二月加。
4、熟记全年天数：平年2月28天，闰年2月29天。平年365天，闰年366天。上半年多少天〔平年181天，闰年182天〕，下半年多少天〔所有年份都是184天〕。
〔1〕季度:〔一年分四季度，每3个月为一个季度〕
一、二、三月是第一季度(平年有90天，闰年有91天〕，
四、五、六月是第二季度〔有91天〕，
七、八、九月是第三季度〔92天〕，
十、十一、十二月是第四季度〔有92天〕。
〔2〕会计算每个季度有多少天，连续几个月共有多少天。连续两个月共62天的是：7月和8月，12月和第二年的1月；一年中连续两个月共62天的是：7月和8月。
〔3〕给出一个天数会计算有几个星期零几天。
如：第三季度有〔92〕天，有〔13 〕个星期零〔 1〕天。平年全年有〔365〕天，是〔52 〕个星期零〔1〕天。
〔4〕公历年份是4的倍数的一般都是闰年：一般情况下可以用年份除以4的方法判断平年闰年。年份除以4有余数是平年，没有余数是闰年。
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如：1978÷4=494……2，1978年是平年。
1988÷4=497，1988年是闰年。
〔5〕公历年份是整百数的必须是400的倍数才是闰年。
如1900年是平年，2000年是闰年。
5、经过的天数的计算：
公式：结束时间—开始时间+ 1
例如：6月12到8月17日是多少天？
6月12日～～6月30日 30－12＋1＝9〔天〕
7月有：31〔天〕8月1日～～8月17日 有：17〔天〕
9＋31＋17＝57〔天〕
6、给出一个人出生的年份，会计算这个人多少周岁；给出一个人的年龄会计算他是哪一年出生的。
如：小华1994年6月出生，到今年6月〔15岁〕。小华今年12岁，他是〔1997年〕出生的。
7、通常每4年里有〔 1 〕个闰年， 〔 3 〕个平年。
〔如果说某个人不是每年都能过到生日，8岁过两次生日，12岁过3次生日，那么他的生日就是2月29日。〕
8、推算星期几的方法：
例如：今天星期三，再过50天星期几？
解析：因为一个星期是七天，那么由50÷7=7〔星期〕……1〔天〕，知道50天里有7个星期多一天，所以第50天是星期三往后数一天，即星期四。
9、会计算到今年经过的年份：就用2021 － 给的年份
例如：中华人民共和国成立于1949年10月1日，到今年建国多少周年？
熟记中华人民共和国建国的时间是1949年10月1日；
算式：2021-1949＝64〔年〕
〔二〕 24计时法
1、普通计时法又叫12时计时法，就是把一天分成两个12时表示，普通计时法一定要加上\"上午\"、\"下午\"等前缀。〔如凌晨3时、早上8时、上午10时、下午2时、晚上8时〕
2、24时计时法：就是把一天分成24时表示，在表示的时间前可以加或可以不加表示的大概时间段得词语。
3、普通计时法转换成24时计时法时，超过下午1时的时刻用24时计时法表示就是把原来的时刻加上12。
如：
普通计时法 24时计时法
上午9时 === 9时或9：00
晚上9时 === 21时或21：00
4、反过来要把24时计时法表示的时刻表示成普通计时法的时刻，超过13时的时刻就减12，并加上下午，晚上等字在时刻前面。
比方：16时等于16-12 =下午4时。〔必须加前缀〕
5、计算经过时间，就是用结束时刻减开始时刻。
结束时刻-开始时刻=时间段〔经过时间〕
比方：10:00开始营业，22:00结束营业，
营业时间为：22:00—10:00=12〔小时〕
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★〔计算经过时间时，一定把不同的计时法变成相同的计时法再计算〕
比方：某商品早上8：00开始营业，下午6：00停止营业，一天营业多少时间？
下午6：00＝18：00 18：00 － 8：00 ＝ 10〔小时〕
6、认识时间与时刻的区别：〔时间是一段，时刻是一个点〕
如：火车11：00出发，21时30分到达，火车运行时间是〔10时30分〕，注意不要写成〔10：30〕。
正确的列式格式为：21时30分－11时=10时30分，不能用电子表的形式相减。
再如：火车19时出发，第二天8时到达，火车运行时间是〔13小时〕。像这种跨越两天的，可以先计算第一天行驶了多长时间：24-19=5〔时〕，再加上第二天行驶的8个小时：5+8=13〔时〕
又如：一场球赛，从19时30分开始，进行了155分钟，比赛什么时候结束？先换算，155分＝2时35分，再计算。
7、会根据给出的信息制作月历和年历。如：某年8月1日是星期二，制作8月份的月历。再如：某年4月30日是星期
四，制作5月份月历。
制作年历步骤：
第一：确定1月1日是星期几；
第二：确定12个月怎样排列，
第三：把休息日用另外的颜色标出来。
8、时间单位进率：
1世纪=100年
1年 =12个月
1天〔日〕=24小时
1小时=60分钟
1分钟=60秒钟
1周＝7天
第七单元 小数的初步认识
1、小数的意义：像3.45,0.85,2.60,36.6,1.2和1.5这样的数叫做小数。小数是分数的另一种表现形式。
2、小数的认、读、写：限于小数局部不超过两位的小数。整数局部按整数的读法〔几百几十几〕。小数局部每一位都要读，按读电话号码的方法读，有几个0就读几个零。
例如：127.005读作：一百二十七点零零五。
3、小数与分数的关系、互换。小数不同表示的分数就不同。
例如：0.5＝5/10 0.50＝50/100
4、运用元/角/分、米/分米/厘米的知识写小数；把7角、7分改写成以元作单位的小数。
5、把\"单位1\"平均分成10份，每份是它的十分之一，也就是0.1
把\"单位1\"平均分成100份，每份是它的百分之一，也就是0.01
6、分母是10的分数写成一位小数〔0.1〕，
分母是100的分数写成两位小数〔0.01〕。
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7、比拟两个小数的大小：先比拟小数的整数局部，整数局部大的数就大，如果整数局部相同就比拟小数的小数局部，小数局部要从小数点后最高位比起。
8、比大小的两种情况：跑步是数越少越好；跳远、跳高是数越大越好。
9、计算小数加、减法时，小数点对齐，也就是相同数位对齐，再相加、减。
10、小数加减法计算：。
〔尤其注意：12－3.9； 9＋8.3 等题的计算。〕
11、小数不一定比整数小。
〔如：5.1 ＞5 ；1.3 ＞ 1等〕
第八单元 数学广角-搭配〔二〕
简单的排列：有序排列才能做到不重复、不遗漏。
简单的组合：组合问题可以用连线的方法来解决。
组合与排列的区别：排列与事物的顺序有关，而组合与事物的顺序无关。
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