2023年12月2日发(作者：职业模块数学试卷)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集U{1,2,3,4,5}，集合M满足ðUM{1,3}，则（A．2MA．a1,b2B．3MC．4MD．5M）D．a1,b2）C．a1,b2）2．已知z12i，且zazb0，其中a，b为实数，则（B．a1,b23．已知向量a,b满足|a|1,|b|A．2B．1C．13,|a2b|3，则ab（D．24．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列bn：b111，1b21111，b311211，…，依此类推，其中kN(k1,2,)．则213D．b4b7（）B．b3b82A．b1b5C．b6b25．设F为抛物线C:y4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF||BF|，则|AB|（A．2）B．22C．3D．32）6．执行下边的程序框图，输出的n（A．3B．4C．5D．6）7．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB,BC的中点，则（A．平面B1EF平面BDD1C．平面B1EF∥平面A1ACB．平面B1EF平面A1BDD．平面B1EF∥平面AC11D）8．已知等比数列an的前3项和为168，a2a542，则a6（A．14B．12C．6D．39．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（A．）D．13B．12C．332210．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3，且p3p2p10．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大A．p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大11．双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cosF1NF2A．3，则C的离心率为（5D．）52B．32C．1321722212．已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)g(2x)5,g(x)f(x4)7．若yg(x)的图像关于直线x2对称，g(2)4，则f(k)（k1）A．21B．22C．23D．24二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．14．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．15．记函数f(x)cos(x)(0,0)的最小正周期为T，若f(T)为f(x)的零点，则的最小值为____________．16．己知xx1和xx2分别是函数f(x)2aex（a0且a1）的极小值点和极x23，x29大值点．若x1x2，则a的取值范围是____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinCsin(AB)sinBsin(CA)．（1）证明：2abc；（2）若a5,cosA18．（2分）如图，四面体ABCD中，ADCD,ADCD,ADBBDC，E为AC的中点．22225，求△ABC的周长．31（1）证明：平面BED平面ACD；（2）设ABBD2,ACB60，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m）和材积量（单位：，m）23得到如下数据：样本号i根部横截面积xi材积量yi并计算得10.040.252i1020.060.402i30.040.2240.080.541050.080.5160.050.3470.050.3680.070.4690.070.42100.060.40总和0.63.9xi=1100.038,y1.6158,xiyi0.2474．i=1i=1（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．2附：相关系数r(xx)(yy)i=1ii22(xx)(yy)iii=1i=1nnn,1.8961.377．20．（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A0,2,B,1两点．（1）求E的方程；（2）设过点P1,2的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于32点T，点H满足MTTH．证明：直线HN过定点．21．（12分）已知函数fxln1xaxex.（1）当a1时，求曲线yfx在点0,f0处的切线方程；（2）若fx在区间1,0,0,各恰有一个零点，求a的取值范围．（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x3cos2t,（t为参数）．以坐标原点为极y2sint点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为sinm0．3（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c都是正数，且abc1，证明：（1）abc（2）3232321；9abc1．bcacab2abc2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）参考答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.A2.A3.C.4.D5.B6.B7.A8.D9.C10.D11.C12.D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．313.1014.x2y32224765或13或x2y15或xy339222281692；xy152515.316.,11e三、解答题：共0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（1）证明：因为sinCsinABsinBsinCA，所以sinCsinAcosBsinCsinBcosAsinBsinCcosAsinBsinAcosC，a2c2b2b2c2a2a2b2c2所以ac，2bcab2ac2bc2aba2c2b2a2b2c2222即，bca22所以2a2（2）b2c2；25，31解：因为a5,cosA由（1）得b2c250，由余弦定理可得a2b2c22bccosA，则5050bc25，3131，22所以bc故bcb2c22bc503181，所以bc9，所以ABC的周长为abc14.18.（1）因为ADCD，E为AC的中点，所以ACDE；在△ABD和CBD中，因为ADCD,ADBCDB,DBDB，所以△ABD≌△CBD，所以ABCB，又因为E为AC的中点，所以ACBE；又因为DE,BE平面BED，DEBEE，所以AC平面BED，因为AC平面ACD，所以平面BED平面ACD.（2）连接EF，由（1）知，AC平面BED，因为EF平面BED，所以ACEF，所以S△AFC=1ACEF，2当EFBD时，EF最小，即△AFC的面积最小.因为△ABD≌△CBD，所以CBAB2，又因为ACB60，所以ABC是等边三角形，因为E为AC的中点，所以AEEC1，BE3，因为ADCD，所以DE1AC1,2在DEB中，DE2BE2BD2，所以BEDE.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则A1,0,0,B0,3,0,D0,0,1，所以AD1,0,1,AB1,3,0，设平面ABD的一个法向量为nx,y,z，nADxz0则，取y3，则n3,3,3，nABx3y033330,,CF1,又因为C1,0,0,F，所以444,4，nCF643cosn,CF所以7，7nCF214设CF与平面ABD所成的角的正弦值为0所以sincosn,CF，243，743.7所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为19.（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x0.60.0610样本中10棵这种树木的材积量的平均值y3.90.3910据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2，平均一棵的材积量为0.39m3（2）rxxyyi=1ii10xxyyi=1ii=1i102102xy10xyi=1ii10102222x10xy10yiii=1i=1100.2474100.060.39(0.038100.062)(1.6158100.392)0.01340.01340.970.00018960.01377则r0.97（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.06186=，解之得Y=1209m3．0.39Y则该林区这种树木的总材积量估计为1209m320.（1）解：设椭圆E的方程为mx2ny21，过A0,2,B,1，324n111则9，解得m，n，3mn144y2x2所以椭圆E的方程为：1.43（2）32A(0,2),B(,1)，所以AB:y2x，2322xy①若过点P(1,2)的直线斜率不存在，直线x1.代入1，34可得M(1,22626yx2，可得，，代入AB方程)N(1,)3332626)，由MTTH得到H(265,).求得HN方程：33T(63,y(226)x2，过点(0,2).3②若过点P(1,2)的直线斜率存在，设kxy(k2)0,M(x1,y1),N(x2,y2).kxy(k2)0,得(3k24)x26k(2k)x3k(k4)0，联立x2y21348(2k)6k(2k)yyxx12123k243k24可得，，2yy4(44k2k)xx3k(4k)12223k243k24且x1y2x2y124k(*)23k4yy13y,可得T(13,y1),H(3y16x1,y1).联立2yx223可求得此时HN:yy2y1y2(xx2)，3y16x1x2将(0,2)，代入整理得2(x1x2)6(y1y2)x1y2x2y13y1y2120，将(*)代入，得24k12k29648k24k4848k24k236k2480,显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).21.（1）f(x)的定义域为(1,)当a1时,f(x)ln(1x)x,f(0)0,所以切点为ex(0,0)f(x)11xx,f(0)2,所以切线斜率为21xe所以曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y2x（2）f(x)ln(1x)axexx2ea1x1a(1x)f(x)x1xe(1x)ex设g(x)ea1xx2x21若a0,当x(1,0),g(x)ea1x0,即f(x)0所以f(x)在(1,0)上单调递增,f(x)f(0)0故f(x)在(1,0)上没有零点,不合题意x2若1

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