2022年全国甲卷数学(理科)高考真题文档版(含答案)

2023年12月2日发(作者：宁乡考试数学试卷)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若z13i，则z（ ）

zz1A．13i B．13i C．1313i D．i

33332．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（ ）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3．设全集U{2,1,0,1,2,3}，集合A{1,2},Bx∣x4x30，则2U(AB)（ ）

A．{1,3} B．{0,3} C．{2,1} D．{2,0}

4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）

A．8 B．12 C．16 D．20

5．函数y3x3xcosx在区间ππ,的图像大致为（ ）

22A． B．

C．6．当x1时，函数f(x)alnx D．

b取得最大值2，则f(2)（ ）

x11A．1 B． C． D．1

227．在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30，则（ ）

A．AB2AD B．AB与平面AB1C1D所成的角为30

C．ACCB1 D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45

8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，CDAB．“会圆术”给出AB的弧长的近似

CD2值s的计算公式：sAB．当OA2,AOB60时，s（ ）

OA

A．11331143933943 B． C． D．

22229．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若S甲V=2，则甲=（ ）

S乙V乙510

4A．5 B．22 C．10 D．x2y210．椭圆C:221(ab0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP,AQ的ab斜率之积为1，则C的离心率为（ ）

4A．3211 B． C． D．

2223π在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）

311．设函数f(x)sinxA．,5135191381319,, B． C． D．,

363663663111,bcos,c4sin，则（ ）

3244A．cba B．bac C．abc D．acb

12．已知a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

113．设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|1,|b|3，则 (2ab)b_________．

3

x22214．若双曲线y21(m0)的渐近线与圆xy4y30相切，则m_________．

m215．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．

16．已知△ABC中，点D在边BC上，ADB120,AD2,CD2BD．当________．

AC取得最小值时，BDAB三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

记Sn为数列an的前n项和．已知（1）证明：an是等差数列；

（2）若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．

18．（12分）

在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD,CD∥AB,ADDCCB1,AB2,DP2Snn2an1．

n3．

（1）证明：BDPA；

（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．

19．（12分）

甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

20．（12分）

设抛物线C:y2px(p0)的焦点为F，点Dp,0，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于2x轴时，MF3．

（1）求C的方程；

（2）设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为,．当取得

最大值时，求直线AB的方程．

21．（12分）

exlnxxa． 已知函数fxx（I）若fx0，求a的取值范围；

（2）证明：若fx有两个零点x1,x2，则x1x21．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

2t2sx，x，6（t为参数）6（s在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，曲线C2的参数方程为ytys为参数）．

（1）写出C1的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cossin0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知a，b，c均为正数，且a2b24c23，证明：

（1）ab2c3；

（2）若b2c，则

113．

ac

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2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

理科数学

参考答案

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. C 2.

B. 3.D 4. B 5. A 6. B 7. D 8. B

9. C 10. A 11. C 12.

A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.

11

14.

3

315.6.

3531##1+3 16.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分．

17.

（1）解：因为2Snn2an1，即2Snn22nann①，

n

当n2时，2Sn1n12n1an1n1②，

①②得，2Snn22Sn1n12nann2n1an1n1，

即2an2n12nan2n1an11，

即2n1an2n1an12n1，所以anan11，n2且nN*，

所以an是以1为公差的等差数列．

（2）78．

18.

（1）证明：在四边形ABCD中，作DEAB于E，CFAB于F，

因为CD//AB,ADCDCB1,AB2，

所以四边形ABCD为等腰梯形，

所以AEBF221，

2故DE3，BDDE2BE23，

2所以AD2BD2AB2，

所以ADBD，

因为PD平面ABCD，BD平面ABCD，

所以PDBD，

又PDADD，

所以BD平面PAD，

又因PA平面PAD，

所以BDPA；

（2）

19.

（1）0.6；

（2）分布列见解析，EX13.

【解析】依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，

5.

5

PX00.50.40.80.16,

PX100.50.40.80.50.60.80.50.40.20.44，

PX200.50.60.80.50.40.20.50.60.20.34，

PX300.50.60.20.06.

即X的分布列为

X

P

0

0.16

10

0.44

20

0.34

30

0.06

期望EX00.16100.44200.34300.0613.

20.

（1）y24x；

（2）AB:x

2y4.

ex21.

已知函数fxlnxxa．

x（1）(,e1]

（2）由题知,fx一个零点小于1,一个零点大于1

不妨设x11x2

1

x21f

x2要证x1x21,即证x1因为x1,1(0,1),即证fx1x2因为fx1fx2,即证fx2f1

x21ex1即证lnxxxexlnx0,x(1,)

xx

1ex11xex2lnxx0 即证x2x1ex11xex0,lnxx0 下面证明x1时，x2x1ex设g(x)xex,x1，

x11111111xx1x则g(x)2eexex21eex1

xxxxxx11xxx1e1ex1exe

xxxxex11xx1x设xx1,x2e2e0

xxxx所以x1e,而exe

1ex所以ex0,所以g(x)0

x1所以g(x)在(1,)单调递增

1ex即g(x)g(1)0,所以xex0

x令h(x)lnx11x,x1

2x1112xx21(x1)2h(x)120

22x2x2x2x所以h(x)在(1,)单调递减

即h(x)h(1)0,所以lnx11x0；

2x1ex11xex2lnxx0,所以x1x21.

综上,

x2x

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一

题计分．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.

（1）y6x2y0；

211（2）C3,C1的交点坐标为,1，1,2，C3,C2的交点坐标为,1，1,2．

22

[选修4-5：不等式选讲]

222222223.（1）证明：由柯西不等式有ab2c111ab2c，

所以ab2c3，

当且仅当ab2c1时，取等号，

所以ab2c3；

（2）证明：因为b2c，a0，b0，c0，由（1）得ab2ca4c3，

即0a4c3，所以11，

a4c32221293，

1112由权方和不等式知aca4ca4ca4c当且仅当121，即a1，c时取等号，

a4c2所以

113

ac