2023年云南省中考数学试卷及答案

2024年3月9日发(作者：西安中考二模数学试卷分析)

2023年云南省初中学业水平考试数学（全卷三个大题，共24个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）注意事项：1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效．2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）1.中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向东走60米记作60米，则向西走80米可记作（）B.0米C.80米D.140米A.80米2.云南省矿产资源极为丰富，被誉为“有色金属王国”．锂资源方面，滇中地区被中国科学院地球化学研究所探明拥有氧化锂资源达340000吨．340000用科学记数法可以表示为（A.340104B.34105C.3.4105））D.0.341063.如图，直线c与直线a、b都相交．若a∥b,135，则2（A145.B.65C.55D.354.某班同学用几个几何体组合成一个装饰品美化校园．其中一个几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（）A.球5.下列计算正确的是（Aa2a3a6B.圆柱）B.(3a)26a2C.长方体D.圆锥.C.a6a3a2D.3a2a22a2第1页

6.为了解某班学生2023年5月27日参加体育锻炼的情况，从该班学生中随机抽取5名同学迸行调查．经统计，他们这天的体育锻炼时间（单位：分钟）分别为65，60，75，60，80．这组数据的众数为（A.65B.60C.75D.80））7.中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（A.B.C.D.8.若点A1,3是反比例函数yA.3k(k0)图象上一点，则常数k的值为（x3B.3C.2）D.32）9.按一定规律排列的单项式：a,2a2,3a3,4a4,5a5,，第n个单项式是（.n1an110.如图，A、B两点被池塘隔开，A、B、C三点不共线．设AC、BC的中点分别为M、N．若MN3米，则AB（）A.4米B.6米C.8米D.10米11.阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（A.）x1.2x4800400B.1.2xx4800400C.40080041.2xxD.80040041.2xx）12.如图，AB是O的直径，C是O上一点．若BOC66，则A（A.66B.33C.24D.30第2页

二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）1的自变量x的取值范围是________．13.函数yx1014.五边形的内角和是________度．15.分解因式：m24_____．16.数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为________分米．三、解答题（本大题共8小题，共56分）117.计算：|1|(2)2(1)0tan45．318.如图，C是BD的中点，ABED,ACEC．求证：△ABC≌△EDC．119.调查主题调查人员调查方法背景介绍某公司计划组织员工前往5个国家全域旅游示范区（以下简称示范区）中的1个自费旅游，这5个示范区为：A．保山市腾冲市；B．昆明市石林彝族自治县；C．红河哈尼族彝族自治州弥物市；D．大理白族自治州大理市；E．丽江市古城区．某公司员工的旅游需求某中学数学兴趣小组抽样调查某中学数学兴趣小组针对该公司员工的意向目的地开展抽样调查，并为该公司出具了调查报告（注：每位被抽样调查的员工选择且只选择1个意向前往的示范区）．报告内容第3页

请阅读以上材料，解决下列问题（说明：以上仅展示部分报告内容）．（1）求本次被抽样调查的员工人数；（2）该公司总的员工数量为900人，请你估计该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数．20.甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种．记种植辣椒为A，种植茄子为B，种植西红柿为C，假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y．（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求x,y所有可能出现的结果总数；（2）求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率P．21.蓝天白云下，青山绿水问，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；（2）若该景区需要购买A，购买A种型号帐篷数量、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买）不超过购买B种型号帐篷数量的1，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各3多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？平行四边形ABCD中，AE、CF分别是BAD、BCD的平分线，且E、F分别在边BC、AD22.如图，上，AEAF．第4页

（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若ABC60，ABE的面积等于43，求平行线AB与DC间的距离．23.如图，BC是O的直径，A是O上异于B、C的点．O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DAACDCAB．设ABE的面积为S1,ACD的面积为S2．（1）判断直线EA与O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BCBE,S2mS1，求常数m的值．24.数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y(4a2)x2(96a)x4a4（实数a为常数）的图象为图象T．（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．第5页

2023年云南省初中学业水平考试数学（全卷三个大题，共24个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）注意事项：1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效．2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）1.中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向东走60米记作60米，则向西走80米可记作（）B.0米C.80米D.140米A.80米【答案】A【解析】【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量，根据向东走记为正，则向西走就记为负，直接得出结论即可．【详解】解∶∵向东走60米记作60米，∴向西走80米可记作80米，故选A．【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负是解题的关键．2.云南省矿产资源极为丰富，被誉为“有色金属王国”．锂资源方面，滇中地区被中国科学院地球化学研究所探明拥有氧化锂资源达340000吨．340000用科学记数法可以表示为（A.340104【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的记数方法，340000写成a10n其中0a1，故得到答案．【详解】解：3400003.4105．故答案为：C．【点睛】本题考查了科学记数法的定义，准确确定a和n的值是本题的解题关键．3.如图，直线c与直线a、b都相交．若a∥b,135，则2（）B.34105C.3.4105）D.0.34106第1页

A.145【答案】D【解析】B.65C.55D.35【分析】根据平行线的性质，对顶角相等，即可求解．【详解】解：如图所示，∵a∥b，∠1∠335∴2335，故选：D．【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．4.某班同学用几个几何体组合成一个装饰品美化校园．其中一个几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（）A.球【答案】A【解析】B.圆柱C.长方体D.圆锥【分析】根据球体三视图的特点确定结果．【详解】解：根据球体三视图的特点：球体的三视图都是大小相等的圆，确定该几何体为球．故选：A．【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟悉各类几何体的三视图是解决本题的关键．第2页

5.下列计算正确的是（A.a2a3a6【答案】D【解析】）B.(3a)26a2C.a6a3a2D.3a2a22a2【分析】利用同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项法则解出答案．【详解】解：a2a3a23a5，故A错误；(3a)232a29a2，故B错误；a6a3a63a3，故C错误；3a2a231a22a2，故D正确．故本题选：D．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项法则，对运算法则的熟练掌握并运用是解题的关键．6.为了解某班学生2023年5月27日参加体育锻炼的情况，从该班学生中随机抽取5名同学迸行调查．经统计，他们这天的体育锻炼时间（单位：分钟）分别为65，60，75，60，80．这组数据的众数为（A.65【答案】B【解析】【分析】根据众数的定义求解即可．【详解】解：在65，60，75，60，80中，出现次数最多的是60，∴这组数据的众数是60，故选；B【点睛】本题考查了众数，众数是指一组数据中出现次数最多的数据，掌握众数的定义是解题的关键．7.中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（A.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题．B.C.D.）B.60C.75D.80）第3页

【详解】解：由题意得：A、B、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有C选项；故选C．【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．8.若点A1,3是反比例函数yA.3【答案】A【解析】k(k0)图象上一点，则常数k的值为（x3B.3C.2）D.32k(k0)，即可求解．xk【详解】解：∵点A1,3是反比例函数y(k0)图象上一点，x【分析】将点A1,3代入反比例函数y∴k133，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．9.按一定规律排列的单项式：a,2a2,3a3,4a4,5a5,，第n个单项式是（A.n）B.n1an1【答案】C【解析】【分析】根据单项式的规律可得，系数为n，字母为a，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：a,2a2,3a3,4a4,5a5,，第n个单项式是nan，故选：C．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．10.如图，A、B两点被池塘隔开，A、B、C三点不共线．设AC、BC的中点分别为M、N．若MN3米，则AB（）A.4米【答案】BB.6米C.8米D.10米第4页

【解析】【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解∶∵AC、BC的中点分别为M、N，∴MN是ABC的中位线，∴AB2MN6(米)，故选∶B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．11.阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（A.）x1.2x4800400B.1.2xx4800400C.40080041.2xxD.80040041.2xx【答案】D【解析】【分析】设乙同学的速度是x米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可．【详解】解∶设设乙同学的速度是x米/分，可得：80040041.2xx故选∶D．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．12.如图，AB是O的直径，C是O上一点．若BOC66，则A（）A.66【答案】B【解析】B.33C.24D.30【分析】根据圆周角定理即可求解．第5页

【详解】解：∵BCBC，BOC66，∴A1BOC33，2故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）1的自变量x的取值范围是________．13.函数yx10【答案】x10【解析】1有意义，则分母不为0，得出结果．x101【详解】解：要使有意义得到x100，得x10．x10【分析】要使故答案为：x10．【点睛】本题考查了函数自变量取值范围，分式有意义的条件，理解分母不为零是解决问题的关键．14.五边形的内角和是________度．【答案】540【解析】【分析】根据n边形内角和为n2180求解即可．【详解】五边形的内角和是52180540．故答案为：540．【点睛】本题考查求多边形的内角和．掌握n边形内角和为n2180是解题关键．15.分解因式：m24_____．【答案】(m2)(m2)【解析】【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.【详解】m24(m2)(m2)，故填(m2)(m2)【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.第6页

16.数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为________分米．【答案】15【解析】【分析】根据勾股定理得，圆锥的高2=母线长2底面圆的半径2得到结果．【详解】解：由圆锥的轴截面可知：圆锥的高2=母线长2底面圆的半径2圆锥的高421215，故答案为15．【点睛】本题考查了圆锥，勾股定理，其中对圆锥的高，母线长，底面圆的半径之间的关系的理解是解决本题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共56分）117.计算：|1|(2)2(1)0tan45．3【答案】6【解析】【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简计算即可得出答案．11【详解】解：|1|(2)(1)tan453201141316．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．18.如图，C是BD的中点，ABED,ACEC．求证：△ABC≌△EDC．第7页

【答案】见解析【解析】【分析】根据C是BD的中点，得到BCCD，再利用SSS证明两个三角形全等．【详解】证明：C是BD的中点，BCCD，在ABC和△EDC中，BCCDABED，ACECABC≌EDCSSS【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键．19.调查主题调查人员调查方法背景介绍某公司计划组织员工前往5个国家全域旅游示范区（以下简称示范区）中的1个自费旅游，这5个示范区为：A．保山市腾冲市；B．昆明市石林彝族自治县；C．红河哈尼族彝族自治州弥物市；D．大理白族自治州大理市；E．丽江市古城区．某公司员工的旅游需求某中学数学兴趣小组抽样调查某中学数学兴趣小组针对该公司员工的意向目的地开展抽样调查，并为该公司出具了调查报告（注：每位被抽样调查的员工选择且只选择1个意向前往的示范区）．报告内容第8页

请阅读以上材料，解决下列问题（说明：以上仅展示部分报告内容）．（1）求本次被抽样调查的员工人数；（2）该公司总的员工数量为900人，请你估计该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数．【答案】（1）100人（2）270人【解析】【分析】（1）根据保山市腾冲市的员工人数除以所占百分比即可求出本次被抽样调查的员工人数；（2）用该公司总的员工数乘以样本中保山市腾冲市的员工人数除以所占百分比即可估计出该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数．【小问1详解】本次被抽样调查的员工人数为：3030.00%=100（人），所以，本次被抽样调查的员工人数为100人；【小问2详解】，90030.00%=270（人）答：估计该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数为270人．【点睛】本题考查扇形统计图及相关计算．熟练掌握用样本估计总体是解答本题的关键．20.甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种．记种植辣椒为A，种植茄子为B，种植西红柿为C，假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y．（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求x,y所有可能出现的结果总数；（2）求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率P．【答案】（1）9（2）13第9页

【解析】【分析】（1）根据题意列出树状图，即可得到答案；（2）根据（1）列出的情况，找到甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的情况，得出概率．【小问1详解】解：由题意得：共有9种情况，分别是：A,A、A,B、A,C、B,A、B,B、B,C、C,A、C,B、C,C．【小问2详解】解：由（1）得其中甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的情况有A,A、B,B、C,C，共3种，31P==，93甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率为13【点睛】本题考查了树状图法求概率的问题，解题的关键是画出树状图．21.蓝天白云下，青山绿水问，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；（2）若该景区需要购买A，购买A种型号帐篷数量、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买）不超过购买B种型号帐篷数量的1，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各3多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？【答案】（1）每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元（2）当A种型号帐篷为5顶时，B种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元．第10页

【解析】【分析】（1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答案；（2）根据购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的1，列出一元一次不等式，得出A种型号3帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取A种型号帐篷数量的最大值时总费用最少，从而得出答案．【小问1详解】解：设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶B种型号帐篷的价格为y元．根据题意列方程组为：2x4y5200x600，解得，3xy2800y1000答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元．【小问2详解】解：设A种型号帐篷购买m顶，总费用为w元，则B种型号帐篷为(20m)顶，由题意得w600m1000(20m)400m20000，其中m120m，得m5，3故当A种型号帐篷为5顶时，总费用最低，总费用为w6005100020518000，答：当A种型号帐篷为5顶时，B种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元．【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用及一次函数的应用，找出准确的等量关系及不等关系是解题的关键．平行四边形ABCD中，AE、CF分别是BAD、BCD的平分线，且E、F分别在边BC、AD22.如图，上，AEAF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若ABC60，ABE的面积等于43，求平行线AB与DC间的距离．【答案】（1）证明见解析（2）43第11页

【解析】【分析】（1）先证AD∥BC，再证AEFC，从而四边形AECF是平行四边形，又AEAF，于是四边形AECF是菱形；（2）连接AC，先求得BAEDAEABC60，再证ACAB，ACB90ABC30EAC，于是有从而根据面积公式即可求得AC43．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BADBCD，∴BEADAE，∵AE、CF分别是BAD、BCD的平分线，∴BAEDAE123AB3，得ABAC，再证AEBECE，3AC3BAD，BCF12BCD，∴DAEBCFBEA，∴AEFC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AEAF，∴四边形AECF是菱形；【小问2详解】解：连接AC，∵AD∥BC，ABC60，∴BAD180ABC120，∴BAEDAEABC60，∵四边形AECF是菱形，第12页

∴EAC12DAE30，∴BACBAEEAC90，∴ACAB，ACB90ABC30EAC，∴AECE，tan30tanACBAB3AB即，AC3AC∴AB3AC，3∵BAEABC，∴AEBECE，∵ABE的面积等于43，∴SABC1133ACABACACAC283，2236∴平行线AB与DC间的距离AC43．【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键．23.如图，BC是O的直径，A是O上异于B、C的点．O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DAACDCAB．设ABE的面积为S1,ACD的面积为S2．（1）判断直线EA与O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BCBE,S2mS1，求常数m的值．【答案】（1）EA与（2）23O相切，理由见解析【解析】【分析】（1）EA与O相切，理由如下：连接OA，先证BAC∽ADC得ABODAC，又证ABOBAODAC，进而有OADOACDAC90，于是即可得EA与O相切；第13页

S（2）先求得EACS2，再证EAB∽ECA，得EACAC2BC232，从而有又BAC∽ADC，，2SABE即可得解．【小问1详解】解：EA与O相切，理由如下：连接OA，∵BC是O的直径，直线EA与CD垂直，∴BACADC90，∵DAACDCAB，∴DAABDCAC，∴BAC∽ADC∴ABODAC，∵OAOB，∴ABOBAODAC，∵BACBAOOAC90，∴OADOACDAC90，∴OADE，∴EA与O相切；【小问2详解】解：∵BCBE，∴SEAC2SABE2S1，SEACSABCS1，∴SEACS2，ABE∵OADE，∴OABBAEOAE90，∵BAC90，OBAOBA，SABEABAC22第14页

∴OBAECA90，∴EABECA，∵EE，∴EAB∽ECA，S∴SEACABEAC22，AB2AB21∴AC22又∵BAC90，BC2AC2AB2213∴，22ACAC22AC22∴BC23∵BAC∽ADC，S2Sm∴S1SADCBACAC22．2BC3【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的判定，勾股定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的判定以及勾股定理等知识是解题的关键．24.数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y(4a2)x2(96a)x4a4（实数a为常数）的图象为图象T．（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析【解析】（2）a0或a1或a1或a2第15页

【分析】（1）分a（2）当a11时，不符合题意，当a时，对于函数y(4a2)x2(96a)x4a4，令y0，2214a4得(4a2)x2(96a)x4a40，从而有x或x，根据整数a，使图象T与x轴的公2a12共点中有整点，即x为整数，从而有2a11或2a11或2a12或2a12或2a13或11与a两种情况讨论论证即可；222a13或2a16或2a16，解之即可．【小问1详解】1时，4a20，函数y(4a2)x2(96a)x4a4为一次函数y12x6，此时，21令y0，则12x60，解得x，2解：当a1xy12x60；∴一次函数与轴的交点为，21当a时，4a20，函数y(4a2)x2(96a)x4a4为二次函数，2∵y(4a2)x2(96a)x4a4，∴(96a)4(4a2)4a4281108a36a264a232a32100a2140a4910a70，1∴当a时，y(4a2)x2(96a)x4a4与x轴总有交点，22∴无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；【小问2详解】解：当a1时，不符合题意，21当a时，对于函数y(4a2)x2(96a)x4a4，令y0，则2(4a2)x2(96a)x4a40，∴2a1x4a42x10，∴2a1x4a40或2x10第16页

14a4或x，2a126∵x2，整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，即x为整数，2a1∴x∴2a11或2a11或2a12或2a12或2a13或2a13或2a16或2a16，解得a0或a1或a去），∴a0或a1或a1或a2．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键．1357（舍去）或a（舍去）或a1或a2或a（舍去）或a（舍2222第17页