史上最全的全国各地中考数学考试真题及答案

2023年12月2日发(作者：小升初怎样找规律数学试卷)

史上最全的全国各地中考数学考试真题及答案一、函数与几何综合的压轴题1.（2018安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)

(1)求证：E点在y轴上；(2)如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.

(3)如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.

O x

E′C（1，-CA

（2，-（2，-图②图①1 [解]（1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC∴EODOEOBOABDB,CDDB又∵DO′＋BO′＝DB∴EOEOABDC1∵AB=6，DC=3，∴EO′=2又∵DOEODBAB，∴DOEOABDB2631∴DO′＝DO，即O′与O重合，E在y轴上方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2①再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2

②联立①②得x0y2∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3）4a2bc6E（0，-2）三点，得方程组abc3c2解得a=-1,b=0,c=-2

2 3

∴抛物线方程y=-x-2

2（3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。同（1）可得：EFEFABDC1得：E′F=2

方法一：又∵E′F∥ABEFDF1ABDB，∴DF3DBS△AE′C= S△ADC- S△E′DC=12DCDB1DC12DF2DC23DB=13DCDB=DB=3+kS=3+k为所求函数解析式方法二：∵ BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA∴S△AE′C= S△BDE′12BDEF123k23k∴S=3+k为所求函数解析式.

证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′＝DC∶AB=1∶２同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S∶S22△DE′C△ABE′=DC∶AB=1∶４∴S21AEC9S2梯形ABCD92ABCDBD3k∴S=3+k为所求函数解析式.

2. （2018广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为22的圆与y轴交于D两点.

A、（1）求点A的坐标；（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙Ｍ的切线？并对你的结论加以证明；（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙Ｍ面积为S2，若S1hS，抛物线24y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式.

[解]（1）解：由已知AM＝2，OM＝1，在Rt△AOM中，AO＝AM2OM21，∴点A的坐标为A（0，1）（2）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1 ∴y＝x＋1

令y＝0则x＝－1 ∴B（—1，0），AB＝BO2AO212122在△ABM中，AB＝2，AM＝2，BM＝2

AB2AM2(2)2(2)24BM2∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90°∴直线AB是⊙Ｍ的切线（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝22，∴BC＝AB2AC2(2)2(22)210∵∠BAC＝90°∴△ABC的外接圆的直径为BC，4 ∴S1(BC2)2(1025y

2)2A

而S(AC)2(222222)2B

·M

S51h2hD

S24，即　　24,　　　h5设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为：y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±５∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5

解法二：（接上）求得∴h＝5

由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±５又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a＝±５∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5

解法三：（接上）求得∴h＝5

因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）abc0a＝－5a5由已知得abc0　　　解得b0　　或　　b04acb2c5c54a5　∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.

5 3.(2018湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线yax2bxc(a0)过点A、B，且顶点C在⊙Ｐ上.

(1)求⊙Ｐ上劣弧AB⌒的长；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由y

[解]（1）如图，连结PB，过P作PM⊥ｘ轴，垂足为A

·x

P（1，－在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,

∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°AB⌒的长＝120418023y

（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝3.

又OM=1，∴A（1－3，0），B（1＋3，0A

），M

·x

由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，P（1，－则C(1，－3).

点A、B、C在抛物线上，则6 0a(13)2b(13)ca10a(13)2b(13)c解之得b23abcc2抛物线解析式为yx22x2（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD.又PC∥ｙ轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）.

又点D（0，－2）在抛物线yx22x2上，故存在点D（0，－2），使线段OC与PD互相平分.

4.（2018湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，3）在y轴的正半轴上，A、B是x轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.

（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在x轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，y

求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

O1O

O2B

[解] (1)在Rt△ABC中，OC⊥AB，7 ∴△AOC≌△COB.

∴OC2＝OA·OB.

∵OA∶OB＝3∶1,C(0,3),

∴(3)23OBOB.y

∴OB＝1.∴OA＝3.

∴A(-3,0),B(1,0).

设抛物线的解析式为A

O1P

O2B

yax2bxc.a39a3bc0,3,则abc0,解之，得b233,c3.c3.∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y3223x33x3.(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.

证明：连结O1E、OE、OF.

∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°，∴四边形EOFC为矩形.

∴QE＝QO.

∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，∴EF与⊙O1相切.

8 同理：EF理⊙O2相切.

(3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a.

∵MN∥OA,

∴△CMN∽△CAO.

∴MNCNAOCO.∴a3a33.解之，得a3332.此时，四边形OPMN是正方形.

∴MNOP3332.∴P(3332,0).考虑到四边形PMNO此时为正方形，∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.

故x轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且P(3332,0)或P(0,0).5.（2018湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(154，238)，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P9 为顶点．(1)说明点A、C、E在一条条直线上；(2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由；(3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．(本题图形仅供分析参考用)

]（1）由题意，A(0，1)、C(4，3)D

[解P

确定的解析式为：y=1A

2x+1.

将点E的坐标E(15231O

4，8)代入y=2x+1中，左边=23=1×158，右边24+1=238，∵左边=右边，∴点E在直线y=12x+1上，即点A、C、E

在一条直线上.

（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二：∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为4a—b24a，且P在矩形ABCD内部，∴1＜4a—b2＜3，由1＜1—b24a4a得—b24a＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下.

10 （3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3 ∴1GO·AO12—2FO·AO=3 ∵OA=1，∴GO—FO=6. 设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax2Y

+bx+c=0的两个根，且x1＜x2，又C

∵a＜0，∴x1·x2=1D

＜0，∴xP

1＜0＜E

ax2，A

∴GO=

x2，FO= —x1，∴x2—（—x1）=6，F

O G

即x2+x1=6，∵x2+x1= —ba∴—ba=6，∴b= —6a,

∴抛物线解析式为：y=ax2—6ax+1, 其顶点P的坐标为（3，1—9a）, ∵顶点P在矩形ABCD内部，∴1＜1—9a＜3, ∴—29＜a＜0.

y=ax2—由方程组6ax+1

得：ax2—（6a+12）1x=0

26a1∴x=0或x=2a=6+12a.

当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，则有：0＜6+12a≤154，解得：—219≤a＜—12综合得：—29＜a＜—1∵b= —6a，∴1122＜b＜436.（2018湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙Ａ过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙Ａ被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙Ａ切于点O，抛物线11 的顶点在直线l上运动.

（1）求⊙Ａ的半径；（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；（3）过l上一点P的直线与⊙Ａ交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标；（4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m的函数解析式.

[解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90o再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝2

(2)⊙Ａ的切线l过原点，可设l为y＝kx任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45o可得：b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1，∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x

又由r＝2，易得C(2，0)或C(－2，0)

由此可设抛物线解析式为y＝ax(x－2)或y＝ax(x＋2)

再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1

∴抛物线为y＝x2－2x或y＝x2＋2x……６分(3)当l的解析式为y＝－x时，由P在l上，可设P(m，－m)(m＞0)

过P作PP′⊥x轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2，又由切割线定理可得：OP2＝PC·PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′７分∴Ｃ与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，∴m＝－2，E(－2，2)…８分同理，当l的解析式为y＝x时，m＝－2，E(－2，2)

(4)若C(2，0)，此时l为y＝－x，∵Ｐ与点O、点C不重合，∴m≠０且m≠2，12 当m＜0时，FC＝2(2－m)，高为|yp|即为－m，∴S＝2(2m)(m)22m2m同理当0＜m＜2时，S＝－m2＋2m；当m＞2时，S＝m2－2m；2∴S＝m2m(m0或m2)m22m(0m2)又若C(－2，0)，此时l为y＝x，同理可得；S＝m22m(m2或m0)m22m(2m0)A A

7.（2018江苏连云港）如图，直线ykx4与函数ymx(x0,m0)的图像交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点．（1）若COD的面积是AOB的面积的2倍，求k与m之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)．若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．CA13 [解]（1）设A(x1,y1)，B(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)，由SCOD2SAOB，得SCOD2(SAODSBOD)∴12·OC·OD2(1·OD·y1212·OD·y2)，OC2(y1y2)，又OC4，∴(y1y2)28，即(y1y2)24y1y28，由ymx可得xmykx2y，代入4可得y4ykm0①∴y1y24，y1y2km，∴164km8，即k2CAm．又方程①的判别式164km80，2B∴所求的函数关系式为km(m0)．OMPND（2）假设存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)．则APBP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N．∵MAP与BPN都与APM互余，∴MAPBPN．∴RtMAP∽RtNPB，∴AMMPPNNB．∴y12x12y，∴(x12)(x22)y1y20，∴(mx2y2)(m2y2)y1y20，12即m22m(y1y2)4y1y2(y1y2)20②由（1）知y1y24，y1y22，代入②得m28m120，∴6m2或6，又k2m，∴m2k1或mk1，3∴存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)，且m2m6k1或k1．314 8.（2018江苏镇江）已知抛物线ymx2(m5)x5(m0)与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0)(x1x2)，与y轴交于点C，且AB=6.

（1）求抛物线和直线BC的解析式.

（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC.

（3）若P过A、B、C三点，求P的半径.

（4）抛物线上是否存在点M，过点M作MNx轴于点N，使MBN被直线BC分成面积比为13的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

[解]（1）由题意得：xm551x2m,x1x2m,x2x16.2(x4x201x2)21x236,m5mm36,解得m511,m27.y

经检验m=1，∴抛物线的解析式为：yx24x5.O

或：由mx2(m5)x50得，x1或x5mm>0,15m6,m1.抛物线的解析式为yx24x5.由x24x50得x15,x21.∴A（－5，0），B（1，0），C（0，－5）.

15 设直线BC的解析式为ykxb,则b5,b5,kb0.k5.∴直线BC的解析式为y5x5.(2)图象略.

（3）法一：在RtDAOC中，OAOC5,90.

又BCOB2OC226,∴P的半径PB262213.法二：由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线yx24x5的对称轴直线x2上，设P（－2，－h）（h＞0），连结PB、PC，则PB2(12)2h2,PC2(5h)222，由PB2PC2，即(12)2h2(5h)222，解得h=2.

P(2,2),P的半径PB(12)22213.

法三：延长CP交P于点F.

CF为P的直径，CAFCOB90.又ABCAFC,DACF~,ACBCBCOCCFOC.又AC525252,CO5,BC521226,16 CF52265213.P的半径为13.（4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为(t,t24t5),则点E的坐标为(t,5t5).若SDMEB:SDENB1:3,则ME:EN1::MN3:4,t24t543(5t5).解得t1（不合题意舍去），t5540123,M3,9.若SDMEB:SDENB3:1,则ME:EN3::MN1:4,t24t54(5t5).解得t31（不合题意舍去），t415,M15,280.存在点M，点M的坐标为5403,9或（15，280）.

9. 如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为A(3，0)、B(1，0)，直径CD⊥x轴于N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3.

(1)若抛物线yx22xm经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标.

(2)求直线DF的解析式.

17 18

(3)是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满. 足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由[解] (1)

两点，∴(∵抛物线过A、BD

3)1m1，m=3.

C G

yx2∴抛物线为2x3.

又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点.

∴D点坐标为(1，4)（第9题图）.

(2) 由题意知：AB=4.

∵CD⊥x轴，∴NA=NB=2. ∴ON=1.

由相交弦定理得：NA·NB=ND·NC，∴NC×4=2×2. ∴NC=1.

∴C点坐标为(1，1).

设直线DF交CE于P，连结CF，则∠CFP=90°.

∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.

∵GC、GF是切线，∴GC=GF. ∴∠3=∠4.

3 2

G 10.∴∠1=∠2.

∴GF=GP.

∴GC=GP.

可得CP=8.

∴P点坐标为(7，1)设直线DF的解析式为ykxb5则kb4k7kb1解得8b278∴直线DF的解析式为：y5278x8(3) 假设存在过点G的直线为yk1xb1，则3k1b11，∴b13k11.

由方程组yk1x3k112(2kyx22x3得x1)x43k10由题意得2k14，∴k16.

当k16时，400，∴方程无实数根，方程组无实数解.

∴满足条件的直线不存在.

2018山西）已知二次函数y122xbxc的图象经过点A（－3，6），并与x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为P.

（20

（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；（2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；（3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

[解]（1）解：∵二次函数3，6），B（－1，0）92123bbcc0126b1y

32y12x2bxc的图象过点A（－得解得c∴这个二次函数的解析式为：由解析式可求yx2x32O

P（1，－2），C（3，0）画出二次函数的图像（2）解法一：易证：∠又已知：∠DPC＝∠BAC∴DCBCPCAC43ACB＝∠PCD＝45°∴△DPC∽△BAC

22,BC453易求AC62,PC4353∴DC∴OD3∴D,0解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E.

设抛物线的对称轴交x轴于F.

亦可证△AEB∽△PFD、∴PEEBPFFD. 易求：AE＝6，EB＝2，PF＝2

∴FD253∴OD2313∴D53,0（3）存在.

（1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T

∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心，∴MG＝MH＝OM

又∵MC2OM且OM＋MC＝OC

∴2OMOM3,得OM323∴M323,0（2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′同理OM′＋OC＝M′C，OMOC2OM得OM323∴M′323,0即在x轴上存在满足条件的两个点.

21 22

M′E

-3

-2

-1 0

-1

-2

11.（2018浙江绍兴）在平面直角坐标系中，B（3，0）.

A（－1，0），（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥ｘ轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一y

个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.

M [解]（1）yx22x3，顶点坐标为（1，－4）.

（2）由题意，设y＝a（x＋1）（x－3），即y＝ax2－2ax－3a，∴ A（－1，0），B（3，0），C（0，－3a），M（1，－4a），∴ S△ACB＝12×4×3a＝6a，而a＞0，∴ S△ACB＝6A、作MD⊥ｘ轴于D，又S△ACM＝S△ACO＋SOCMD－S△AMD＝12·1·3a＋12（3a＋4a）－12·2·4a＝a，∴ S△ACM：S△ACB＝1：6.

（3）①当抛物线开口向上时，设y＝a（x－1）2＋k，即y＝ax2－2ax＋a＋k，有菱形可知ak＝k，a＋k＞0，k＜0，∴ k＝a2，∴ y＝ax2－2ax＋a2，∴

EF2.

记l与x轴交点为D，若∠PEM＝60°，则∠FEM＝30°，MD＝DE·tan30°＝66，23 ∴ k＝－66，a＝63，∴ 抛物线的解析式为y1236x236x66.

若∠PEM＝120°，则∠FEM＝60°，MD＝DE·tan60°＝62，∴ k＝－62，a＝6，∴ 抛物线的解析式为y6x226x62.

②当抛物线开口向下时，同理可得y1636x2236x6，y6x226x62.

12.（2018北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykx4k的图象与x轴交于点A，抛物线yax2bxc经过O、A两点。（1）试用含a的代数式表示b；（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙Ｄ内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙Ｄ半径的长及抛物线的解析式；（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠POA43∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。24 [解]（1）解法一：∵一次函数ykx4k的图象与x轴交于点A

∴点A的坐标为（4，0）∵抛物线yax2bxc经过O、A两点c0，16a4b0b4a解法二：∵一次函数ykx4k的图象与x轴交于点A

∴点A的坐标为（4，0）∵抛物线yax2bxc经过O、A两点∴抛物线的对称轴为直线x2xb2a2b4a（2）由抛物线的对称性可知，DO＝DA

∴点O在⊙Ｄ上，且∠DOA＝∠DAO又由（1）知抛物线的解析式为yax24ax∴点D的坐标为（2，4a）①当a0时，如图1，设⊙Ｄ被x轴分得的劣弧为OmA⌒，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA⌒，显然OnA⌒所在的圆与⊙Ｄ关于x轴对称，设它的圆心为D\'

25 ∴点D\'与点D也关于x轴对称∵点O在⊙D\'上，且⊙Ｄ与⊙D\'相切∴点O为切点∴D\'O⊥OD∴∠DOA＝∠D\'OA＝45°∴△ADO为等腰直角三角形OD22∴点D的纵坐标为24a2a12，b4a2∴抛物线的解析式为y12x22x②当a0时，同理可得：OD22抛物线的解析式为y12x22x综上，⊙Ｄ半径的长为22，抛物线的解析式为y112x22x或y2x22x（3）抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得∠POA43∠OBA设点P的坐标为（x，y），且y＞0

①当点P在抛物线y12x22x上时（如图2）26 ∵点B是⊙Ｄ的优弧上的一点∠OBA12∠ADO45∠POA43∠OBA60过点P作PE⊥ｘ轴于点E

tan∠POEEPOEyxtan60y3xy3x由x1423x20y12解得：，2x2xy1643y（舍去）20∴点P的坐标为423，643②当点P在抛物线y12x22x上时（如图3）同理可得，y3x由y3xx1423y1，x202x22x解得：y1643y（舍去）20∴点P的坐标为423，643综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为423，643或423，64327 28

13.（2018北京丰台）在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。（1）如图，过点A作⊙到直线AB的距离为125，sinABC35O1的切线与y轴交于点C，点Oy

O1O

A x

，求直线AC的解析式；（2）若⊙O1经过点M（2，2），设BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。[解]（1）如图1，过O作OG设OAAB3k(k0),AOBB于G，则35OG12590,sinABC5k，OB4k2S,3k4k5125,k1OAOBABOGAOBOA3，OB4，AB5A（3，0）AOB90,AB是⊙A，O1的直径AC切⊙O1于BAAC,BAC90在RtABC中cosABCAB425BC5,BC4OCBCOB94C(0，94)设直线AC的解析式为ykxb，则3kb039b9k4，b44直线AC的解析式为y394x4（2）结论：dAB的值不会发生变化设AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点如图2所示y

O1Q

O A N x

图2

BQBT，APAT，OQOPd2BQBTOBdd2,APATOA2ABBTATOBdd2OA2OAOBd则dABdOAOBdOAOB、Q、T，29

P在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MN

M(2,2),OM平分AOB,OM22BOMMON45,AMBM又MANOBM,OBANBOMANM,BOMANM45,ANMMONOMNM,OMN90OAOBOAANONOM2MN22OM2224dAB的值不会发生变化，其值为4。14.（2018福建厦门）已知：O是坐标原点，P（m，n）(m＞0)是函数y

＝kx (k＞0)上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）(a＞m). 设△OPA的面积为s，且s＝1＋n44.

（1）当n＝1时，求点A的坐标；（2）若OP＝AP，求k的值；n4 (3 ) 设n是小于20的整数，且k≠22，求OP的最小值.

[解]过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ＝n，OQ＝m(1)当n＝1时，s＝54∴a＝2s5n＝230 (2) 解1：∵ OP＝AP PA⊥OP∴△OPA是等腰直角三角形∴m＝n＝a24∴ 1＋n14＝2·an

即n4－4n2＋4＝0

∴k2－4k＋4＝0

∴k＝2

解2：∵ OP＝AP PA⊥OP∴△OPA是等腰直角三角形∴m＝n设△OPQ的面积为s1则：s＝s124∴11n2·mn＝2(1＋4)

即：n4－4n2＋4＝0

∴k2－4k＋4＝0

∴k＝2

(3) 解1：∵PA⊥OP， PQ⊥OA∴△OPQ∽△ＯAP

31 设：△OPQ的面积为s1，则s21s＝POAO2122k即：2kn＋n21＋n4＝444 (1＋n4)2 n2化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0

（k－2）（2k－n4）＝0

4∴k＝2或k＝n2(舍去)

∴当n是小于20的整数时，k＝2.

2∵ OP2＝n2＋m2＝n2＋kn2又m＞0，k＝2，∴n是大于0且小于20的整数当n＝1时，OP2＝5

当n＝2时，OP2＝5

当n＝3时，OP2＝32＋448532＝9＋9＝9当n是大于3且小于20的整数时，即当n＝4、5、6、…、19时，OP2得值分别是：32 33

44442224＋2、5＋2、6＋2、…、19＋245619244422∵19＋2＞18＋2＞…＞3＋2＞5

219183∴ OP2的最小值是5.

2解2：∵ OP2＝n2＋m2＝n2＋kn22＝n2＋2n2＝(n－2n)2＋4

当n＝2n时，即当n＝2时，OP2最小；又∵n是整数，而当n＝1时，OP2＝5；∴ OP2的最小值是5.

解3：∵PA⊥OP， PQ⊥OA∴△OPQ∽△Ｐ AQ

PQOQQA＝PQnma－m＝n化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0

（k－2）（2k－n4）＝0

＝2时，OP2＝5

n4∴k＝2或k＝n2(舍去)

解4：∵PA⊥OP， PQ⊥OA∴△OPQ∽△Ｐ AQ

s21s－s1＝OQPQ2化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0

（k－2）（2k－n4）＝0

4∴k＝2或k＝n2(舍去)

解5：∵PA⊥OP， PQ⊥OA∴△OPQ∽△ＯAP

∴OPOA＝OQOP∴ OP2＝OQ·OA化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0

（k－2）（2k－n4）＝0

4∴k＝2或k＝n2(舍去)

15.（2018湖北黄冈课改）如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，34 速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。（2）试在⑴中的抛物线上找一点D，使得以O、A、Dy

为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标。C（8，6）B（18，6）（3）设从出发起，运动了Qt秒。如果点Q的速度为每A

O P

A（18，0）x

秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。（4）设从出发起，运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。[解]（1）∵O、C两点的坐标分别为O0,0，C8,6设OC的解析式为ykxb，将两点坐标代入得：k34，b0，∴y34x∵A，O是x轴上两点，故可设抛物线的解析式为yax0x18再将C8,6代入得：a340∴y340x22720x35 （2）D10,6（3）当Q在OC上运动时，可设Qm,34m，依题意有：m2324m2t2∴m85t，∴Q85t,65t，0t5当Q在CB上时，Q点所走过的路程为2t，∵OC＝10，∴CQ＝2t10∴Q点的横坐标为2t1082t2，∴Q2t2,6，5t10（4）∵梯形OABC的周长为44，当Q点OC上时，P运动的路程为t，则Q运动的路程为22t△OPQ中，OP边上的高为：22t35,S1OPQ2t22t35梯形OABC的面积＝121810684，依题意有：112t22t35842整理得：t222t1400∵△＝22241400，∴这样的t不存在当Q在BC上时，Q走过的路程为22t，∴CQ的长为：22t1012t∴梯形OCQP的面积＝12622t10t＝36≠84×12∴这样的t值不存在综上所述，不存在这样的t值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积36 16.（2018湖北荆门）已知：如图，抛物线y1233x23xm与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°，（1）求m的值及抛物线顶点坐标；（2）过A、B、C的三点的⊙Ｍ交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙Ｍ于点E，过E点的⊙Ｍ的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；（3）在（2）条件下，设P为CBD上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.

[解]（1）由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），且m＜0.

设A（x1，0），B（x2，0）.则有x1·ｘ2＝3m

又OC是Rt△ABC的斜边上的高，∴△AOC∽△COB∴OAOCOCOB∴x1mmx，即x1·ｘ2＝y

2－m2D

∴－m2＝3m，解得m＝0

·M

或m＝－3

而m＜0，故只能取m＝－3

这时，G

37 y12323x23x313(x3)4故抛物线的顶点坐标为（3，－4）（2）解法一：由已知可得：M（3，0），A（－3，0），B（33，0），C（0,－3），D（0， 3）∵抛物线的对称轴是x＝3，也是⊙Ｍ的对称轴，连结CE

∵DE是⊙Ｍ的直径，∴∠DCE＝90°，∴直线x＝3，垂直平分CE，∴Ｅ点的坐标为（23，－3）∵OAOM3OCOD3，∠AOC＝∠DOM＝90°，∴∠ACO＝∠MDO＝30°，∴AC∥DE∵AC⊥CB，∴CB⊥DE又FG⊥DE，∴FG∥CB

由B（33，0）、C（0，－3）两点的坐标易求直线CB的解析式为：y＝33x－3

可设直线FG的解析式为y＝33x＋n，把（23，－3）代入求得n＝－5

故直线FG的解析式为y＝33x－5

38 39

解法二：令y＝0，解12233x3x－3＝0得x1＝－3，x2＝33即A（－3，0），B（33，0）根据圆的对称性，易知：：⊙Ｍ半径为23， M（3，0）在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OB＝33，，OC＝3

∴∠CBO＝30°，同理，∠ODM＝30°。而∠BME＝∠DMO，∠DOM＝90°，∴DE⊥BC∵DE⊥FG，∴BC∥FG∴∠EFM＝∠CBO＝30°在Rt△EFM中，∠MEF＝90°，ME＝23，∠FEM＝30°，∴MF＝43，∴OF＝OM＋MF＝53，∴Ｆ点的坐标为（53，0）在Rt△OFG中，OG＝OF·tan30°＝53×33＝5

∴Ｇ点的坐标为（0，－5）∴直线FG的解析式为y＝33x－5

（3）解法一：存在常数k＝12，满足AH·AP＝12

连结CP 40

由垂径定理可知∴∠P＝∠ACHADAC，y

·P

（或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO）A

又∵∠CAH＝∠PAC，C

∴△ACH∽△APCG

∴ACAP2AHAC即AC＝AH·AP在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋OC2＝（3）（或利用AC2＝AO·AB＝3×４3＝12

∴AH·AP＝12

解法二：存在常数k＝12，满足AH·AP＝12

设AH＝x，AP＝y

由相交弦定理得HD·HC＝AH·HP即(3x23)(3x3)x(yx)化简得：xy＝12

即AH·AP＝12

2＋32＝12

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