2024年3月16日发(作者：白云区初三二模数学试卷)
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2000 年高考数学试题（全国旧课程）理科
2000 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第
I 卷 1 至 2 页．第 II 卷 3
至 9 页．共 150 分．考试时间 120 分钟．
II 卷（非选择题）两部分．第
第Ⅰ卷 （选择题共
一、选择题：本大题共
的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1．设集合 A 和 B 都是自然数集合 N ，映射 f : A
的元素 2
n
n ，则在映射
A ．2
【答案】 C
【解析】 2
n
n 20 ，解得 n 4 ．
B ． 3
60 分）
5 分，共 60 分．在每小题给出12 小题，每小题
B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中
f 下，象 20 的原象是
C． 4 D． 5
2．在复平面内，把复数 3
，所得向量对应的复数是
A ． 2 3
【答案】 B
B． 2 3i
C． 3 3i
) i sin()] (3
3
3i 对应的向量按顺时针方向旋转
3
D． 3
3i)(
1
2
3
3i
【解析】所求复数
(3 3i )[cos(
为
3
i )2 3i ．
2
3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2, 3,
A ． 2 3
【答案】 D
【解析】设长、宽和高分别为
6 ，
∴ a 2, b 1, c 3 ，∴对角线长
B． 3 2 C． 6 D． 6
6 ，这个长方体对角线的长是
a,b, c ，则 ab 2, bc 3, ac 6 ，∴ abc
l 2 1 3 6 ．
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2000 年高考数学试题（全国旧课程）理科
4．已知
sin
sin ，那么下列命题成立
的是
是第一象限角，
cos cos
A ．若
,
则
是第二象限角，
tan tan
B ．若
,
则
是第三象限角，
cos cos
C．若
,
则
是第四象限角，
tan tan
D ．若
,
则
【答案】
D
【解析】用特殊值法：取 60 ,
取
30 ，A 不正确；取 120 , 150 ， B 不正确；
210 ,240 ， C 不正确； D 正确．
5．函数 y x cos x 的部分图像是
【答案】 D
【解析】函数
x
y
(0,
x cos x 是奇函数， A 、 C 错误；且当
) 时， y 0 ．
2
6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的部分
不必纳税，超过 800 元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：
某人一月份应交纳此项
26.78 元，则他的当月工资、薪金所
得介于
税款
A ．800~900
元 B ．900~1200 元 C．1200~1500 元
【答案】 C
【解析】当月工资
1300 元时，所得税25 元； 1500 元时，所
为 得税为
为
所以选 C．
D． 1500~280
0 元
25 20 45
元，
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2000 年高考数学试题（全国旧课程）理科
lg lg b ,
7．若 a b 1 ，
b
，则
lg a lg b,Q 1 a R lg a
P
2 2
A ． R P Q
【答案】 B
B． P Q R
C． Q P R
D． P R Q
【解析】 方法一 ：
lg a lg b
2
1
1
1
(2 lg a lg b)
2
lg a
lg b ； lg
a b
lg ab
2
lg a lg b ，所以 B 正确．
2
100, b 10 ，即可得答案． 方法二 ：特殊值法：取 a
8．以极坐标系中的点 (1,1)为圆心， 1 为半径的圆的方程是
A ． 2cos
4
C．2cos1
D．
2sin1
B． 2sin
4
，即2cos1 ．
【答案】 C
【解析】设圆上任意一
M ( , ) ，直径
为 2，则 2cos(1)
点
9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是
1 2 1 4 1 2 1 4
A ．
B． C．
D．
2 4 2
【答案】
A
【解析】设圆柱的半
S全
22
2 r ，
2 r (2 r )
1 2
．
r ，则高 h
径为
2
(2 r ) 2
S
侧
0 相切，若切点在第三象限，则该直线的
10．过原点的直线与
22
x y 4x 3
方程是
圆
B．
y
3x 3
x
3
x
A ． y
3x
C． y D． y
3 3
【答案】
C
1，设直线的方程
【解析】圆的标准方
22
( x 2) y
为
kx y 0 ，由题设条件可得
程为
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2k
，解得
k
1
1 k
2
3
，由于切点在第三象限，所
以 k
3
3
3
，所求切
y
线
3
x ．
3
3
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2000 年高考数学试题（全国旧课程）理科
11 y ax (a 0) P,Q FQ
的焦点 F 作一直线交抛物两点，若线段 PF
．过抛物
2
线于
的
与
线
长分别是 p, q ，则
1
1
等于
p q
1
A ． 2
a C． 4a
B．
2a
【答案】
C
4
D．
a
【解析】特殊值法．作 y 轴，即将
PQ y
4a
1
∴
1
．
p q
1 1
代入抛物线方程得
x ，
4a 2a
【编者注】此题用一般方法比较复杂，并要注意原方程不是标准方程．
12．如图， OA 是圆锥底面中心
面将圆锥分成体
积相等的两部分，则母线与轴的夹角为
1
A ． arccos
3
2
C． arcco
1
s
1
A 到母线的垂线， OA 绕轴旋转一周所得曲
2
B． arccos
D． arccos
1
2
4
2
【答案】 D
r ，高为 h ，上半部分由共底的两个圆锥
【解析】设圆锥的底面
构成，过
A 向轴作垂
半径为
22
( r cos ) h ，
线 AC ，垂足为 C ，
r cos , CA OA cos r cos
2
，∴ V
1
1
原
OA
3
arcco
，解得
圆锥的体积为
4
1 r
2
h 2V
1
2
r
2
h cos
4
cos
1
．
2 ，∴
s
V
3 3 4 2
第 II 卷 （非选择题共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线．
13．乒乓球队的
力队员要安排在第
10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛． 3 名主
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一、三、五位置，其余
安排共有
种（用数字作答） ．
【答案】 252
7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场
4
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2000 年高考数学试题（全国旧课程）理科
【解析】不同的出场安排共有
A
3
3
A
7
2
252
．
F
1
PF
2
为钝角时，
14．椭
1的焦点为 F
1
, F
2
，点 P 为其上的动
点
P 横
圆
点，当
9 4
坐标的取值范围
是
．
【答
案】
3 3
( ,
)
5 5
x
2
y
2
【解析】 方法一 ：（向量法） 设 P( x, y) ，由题
，即
PF
2
0
( x
设 PF
1
2 2 2
0 ，又
x
c
y
由
5x
2
2
，解
c 4 1
得
9
方法二 ：（圆锥曲线性
质）设
PF
2
3
5
x
2
y
2
9
0
c,y) ( x c,y)
，
2 4x
2
，代入
2 2 2
0 并化简
1得
4
c y
x 得
y
4 9
3
x
．
5
3
5
P( x, y) ，∵
5
x ，
3,b 5 3
，又 PF
2 ，∴ c
a
1
3
2 2 2
，解
F
1
F
2
得
3
x
5
3
．
5
x ，当
F
1
PF
2
为钝角时，
PF
1
PF
2
3
15．设
是首项为
的正项数列，且 0(n 1,2,3,...) ，则
1)a 2 na 2 a a
它
a
n
(n
1
n
n 1 n 1 n
的通项公式是 a
n
【答案】
1
．
n
na
n
【解析】条件化为 0 ∴ ( n 1)a
n 1
na
n
1 a
n
)[( n 1)a
n 1
]
0 ，∵ a
n
0 ，即 (a
n
an
1 n
，累成得 a
n
1
．
a
n
n 1 n
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16．如图， E, F 分别为正方体
ADD
1
A
1
、面 BCC
1
B
1
的中心，则四BFD
1
E 在该
边形 正
的面
．（要求：把可能的图的序号
方体的面上的射影可能是
都
．
5
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2000 年高考数学试题（全国旧课程）理科
填上）
【答案】②③
【解析】投到前后和上下两个面上的射影是图形②；投到左右两个面上的射影是图形③．
三、解答题：本大题共
步骤．
17．（本小题满分 12 分）
6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
已知函数
123
cos x sin xcos x
1, x R ． y
2 2
（ I）当函数 y 取得最大值时，求
x 的集合；
自变量
R) 的图像经过怎样的平移和伸缩变
（ II ）该函数的图像
y sin x( x
换得到？
可由
【解】本小题主要考查三角函数的图像和性质， 考查利用三角公式进行恒等变
形的技能以及运算能力．满分 12 分．
1
sin x cos (2cos
2
123
cos x x 1 x 1) 1 (2sin x cos x) 1
（Ⅰ） y
2 2 4 4 4
1
cos sin 2x
3
2x sin 2 x 5
1
(cos2x sin cos ) 5
4 4 4 2 6 6 4
3
1
sin(2
—— 6 分
k , k
Z ．
Z ，即 x
6
x|
x 的集合
y 取得最大值时，自
—— 8
所以当函
x k , k Z
分
变量
为
数
6
x ) 5
．
2 6 4
y 取得最大值必须且
2x 2k , k
只需
6 2
（Ⅱ）将函数 sin x 依次进行如下变
y 换：
（ i）把函数 sin x 的图像向左，得到函数
sin( x
) 的图像；
y 平移 y
6 6
（ ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短
1
倍（纵坐标不变） ，得到函数
到原来的
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y sin(2
x
) 的图像；
6
6
2
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2000 年高考数学试题（全国旧课程）理科
（ iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到
1
倍（横纵坐标不变） ，得到函数
原来的
2
) 的图
y
1
sin(2 x
像；
2 6
5
个单位长度，得到函
（ iv ）把得到的图像向上
的图
1
数
sin(2 x ) 5
像；
平移
4 2 6 4
综上得到函数
3
12
sin x cos x 1 的图像．
cos x
y
—— 12 分
2 2
18．（本小题满分 12
分）
1 1
的底面 ABCD 是菱形，
如图，已知平行六
1 1
且
面体
ABCD A
1
BC D C CB
C
1
CD
BCD
60 ．
（I）证明： C
1
C
BD ；
（II ）假定
CD
2,
CC
1
BD
为 ，求二面角
，记面 C
1
BD
为
，面 CBD
2
的平面角的余弦
值；
3
（Ⅲ）当
CD
的值为多少时，能
平面 C
1
BD ？请给出证
使
AC
1
明．
CC
1
【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能
12 分．
力，满分
（Ⅰ） 证明：连结 AC
1 1
, AC ， AC 和 BD 交于 O ，连结 C
1
O ．
BD ,
∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴
BD
AC CD ．
又
∵
BCC
1
DCC
1
, C
1
C
C
1
C ，
∴
C
1
BCC
1
DC ，∴ C
1
B C
1
D ，
∵ DO OB ，
∴
C
1
O
BD ，
—— 2
分
但 AC
BD, AC
C
1
O O ，∴ BD 平面 AC
1
，
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平面 AC
1
，∴
又 CC
1
CC
1
BD ,C
1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
AC
O
BD ．
BD ，
7
—— 4
分
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2000 年高考数学试题（全国旧课程）理科
C
1
OC 是二面
∴
角
BD
的平面
角．
60
在
C
1
BC 中， BC
2, C
1
C 3
,
BCC
1
，
2
∴ C
1
B
2
(
3
)
2 2 2 3 cos 60
2
2
13
．
—— 6
分
2
2
4
OC
∵
B
30
OB
，∴
1
BC
1．
2
∴ C
1
B
2
OB
2
1
O
2
C
13
1
9
，
4 4
3
∴ C
1
O，即 C
1
O C
2
1
C ．
作 O
OC
，垂足为
H
．∴
点 H 是
OC
的中点，且
3
1
H
OH ，
2
OH 3
所以
cos C
1
OC
．
C
1
O 3
（Ⅲ）当
CD
1时，能使 平面
AC
1
C
1
BD
CC
1
证明一
∵
：
CD
1
，
C
1
C
∴
BC CD
，
CC
1
BC
又
D CCB
C
推得
1
CD ，由此可
1
BD
C
1
B C
1
D ．
∴
C
1
BD 是正三棱
C
三棱锥
锥．
设 与 C
AC
1
O 相交于
1
G ．
∵
AC
1
// AC ，且 AC
11
: 2:1 ，∴ C
1
G :
1
OC GO
2:1 ．
又 C
1
O 是正三角形 C
1
BD 的 BD 边上的高和中线，
∴ 点 G 是正三角形 C
1
BD 的中心，∴
CG 平面 C
1
BD ．
即 AC
1
平面 C
1
BD ．
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——
分
8
——
分
10
——
分
12
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-
证明二 ：由（Ⅰ）知， BD 平面 AC
1
，
—— 10 分 ∵ AC 平面 AC ，∴ BD AC ．
1 1 1
当
CD
1 时，平行六面体的六个面是全等的菱形，
CC
1
8
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2000 年高考数学试题（全国旧课程）理科
的证法可得
同 BD
AC
1
BC
1
AC
1
，
又
BD
BC
1
B
AC
C
1
B
D
，
∴
1
平
面
．
——
分
12
19．（本小题满分 12 分）
设函数 f x x
2
1 ax ，其中 a 0 ．
（I ）解不等式 f x 1；
（II ）求 a 的取值范围，使函数 f x 在区间 [0, ) 上是单调函数．
【解】
类讨论的数学思想方法
本小题主要考查不等式的解法、
函数的单调性等基本知识，
和运算、推理能力．满
分
12
分．
（Ⅰ）不等
式
f x
由此得
1 即
x
2
1 1
ax ，
1
1
ax ，即 ax
0 ，其中常数
a
0 ．
2 2
所以，原不等式等
x 0,
价于
x 1 (1 ax) ,
即
—— 3 分
x 0. (a 2 1)x 2a 0.
所以，当
0
2a
a
1时，所给不等式的解
集为
|
；
x 0
x
1 a
2
当 a
1
时，所给不等式的解集
x|
为
x 0
．
—— 6 分
（Ⅱ）在区间
[ 0,
) 上任取
x
x ,
，使得 x
x
．
1 2 1 2
f ( x
1
) f x
2
2
1 a( x
1
(x
2
) x
1
2
1 a(x
1
x
2
) x
1
2
x
2
2
x
2
)
x
1
2
1 x
2
2
1
x
1
x
2
(x x )(
．
a)
——
分
8
1 2
x
1
2
1 x
2
2
1
（ⅰ）当 a 1 时，∵
x
1
x
2
1
，∴
x
1
x
2
a 0
，
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x
1
2
1
x
2
2
1
x
1
2
1
x
2
2
1
—— 10
分
又 x
1
x
2
，∴ f
(x
1
)
0 ，即 f
f (x
2
)
( x
1
) f (x
2
) ．
所以，当
时，函数
) 上是单调递减函
1
f x 在区间 [ 0,
数． a
9
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2000 年高考数学试题（全国旧课程）理科
) 上存在两点 ，满足 f
（ ii ）当 0 a 1 时，在
[0, 0, x
2
2a
(x
1
) x
1
区间
1 a
2
f ( x
2
) 1 ，即 f
( x
1
) f ( x
2
) ，
在区间
所以函数 f x
[ 0, ) 上不是单调函数．
1
，
—— 12
分
时，函数
) 上是单调函
x 在区间 [0,
数．
综上，当且仅当
a 1
f
20．（本小题
满分 12 分）
n
c
n
3 ，且数
p
（ I）已知数
为等比数列，求常
c
n
，其中 c
n
2
n
列
1 pc
n
列
数
；
（ II ）设 b
n
是公比不相等的两个等比b
n
，证明数c
n
不是
, c
n
a
n
a
n
数列， 列 等
比数列．
【解】本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算
能力，满分
n
1
（Ⅰ）因是等比数列，
2
1 pc (c pc )
n
故有
nn
为
3
n
代入上
将
c
n
2
n
式，得
3
n
[2
n 1
1 p(2
n
3
n
)]
2
p(2
n 1
1
[2
n 2
3
n
2 3
n
)][(2
n
3
n
p(2
n 1
c
即
12
分．
(c
n 2
pc
n 1
)(c
n
pc
n 1
) ，
3
n
1
)] ，
—— 3 分
[(2
p)2
n
(3 p)3
n
]
2
[(2 p)2
n 1
(3 p)3
n
1
] [(2 p)2
n 1
(3
p)3
n 1
] ，
整理得
1
(2 p)(3 p) 2
n
3
n
0 ，
6
2 或 p 3 ． 解得 p
—— 6 分
（Ⅱ）设
的公比分别
, b
n
为
p, q, p
q ， c
n
a
n
b
n
．
a
n
为证
不是等比数列，只需
2
c c
c ．
c
证
n 2 1 3
事实上，
22222
2
(a p bq) a p b
c
2
1111
q
2a
1
b
1
pq ，
( a
1
b
1
)(a
1
c
1
c
3
p
2
b
1
q
2
) a
1
2
p
2
b
1
2
q
2
a
1
b
1
( p
2
q
2
) ．
2 pq ，又 a
1
,b
1
不为
由于
p
q, p
2
q
2
零，
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-
c
n
不是等比数
因此
c2
2
c
1
c
3
，故 列．
10
—— 12 分
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-
2000 年高考数学试题（全国旧课程）理科
21．（本小题满分 12 分）
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市
场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上
市时间的关系用图二的抛物线段表示．
（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 P
成本与时间的函数关系式 Q g(t) ；
f (t ) ；写出图二表示的种植
（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元 /10
2
kg，时间单位：天）
【解】本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题， 考查运用所学知
识解决实际问题的能力，满分 12 分．
（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
f (t )
2t 300,200 t 300;
由图二可得种植成本与时间的函数
关系为
100,30
g(t ) 1 (t 150)
2
0 t 0
．
20
0
（Ⅱ）设 t 时刻的纯收
益为
h(t) ，则由题意得
h(t ) f (t) g(t )
即
h(t )
1 2 1 175
，
t t 0
t 200
200 2 2
1
2
7 1025
，
t 300
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，
300 t 0
t 200,
—— 2
分
—— 4
分
—— 6
分
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-
200
2
h(t
当 0 200 时，配方整理
1
(t
50)
2
100 ，
)
t 得
200
t
2
11
t
200
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-
2000 年高考数学试题（全国旧课程）理科
所以，当 50 时， h(t ) 取得区间
t [0,200]
上的最大值 100；
30
2
0 1 (t 350) 100
当 200 t 时，配方整理得 h(t )
200
30
所以，当 时， h(t) 取得区间 上的最大值
0
[200,300] t 87.5 ．
综上，由 100
87.5
—— 10
分
可知， h(t) 在区间
上可以取得最大
50
[0,300]
值
100，此时 t ，
—— 12
即从二月一日开始
50 天时，上市的西红柿纯收益
分
的第
最大．
22．（本小题满分 14 分）
如图，已知梯形 ABCD 中 2 CD ，点 E 分有向线段 AC 所成的
，双曲
AB 比为
线
过 C, D , E 三点，且以 A, B 为焦
点．当
2
3
的取值范围．
【解】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性
质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分
如图，以 AB 的垂直平分
y 轴，直线 AB 为 x 轴，建立直
角坐
线为
标系 xOy ，则 CD y 轴．
因为双曲线经
过点
称．
14 分．
C , D 关于 y 轴
对
3
时，求双曲线离心率 e
4
C , D ，且以 A, B 为焦点，由双曲线的对
称性知
—— 2 分
c 1
c,0), C ( , h), E( x
0
, y
0
) ，
依题意，记 A(
其中 c AB 为双曲线的半焦距， h 是梯
2 2
形的高．
由定比分点坐标公
式得
c
c
2
x
0
1
( 2)c h
,
y
0
．
2( 1) 1
x
2
y
2
c
．
设双曲线的方
程为
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-
a
2
1，则离心率 e
b
2
a
c
由点 C , E 在双曲线上，
代入双曲线方程
将点
C , E 的坐标和 e
得
a
12
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-
2000 年高考数学试题（全国旧课程）理科
e
2
h
2
1，
4 b
2
2 2 h
e
2
2
2
1．
4 1 1 b
2
由①式得
h
2
e
2
1 ，
b
2
4
将③式代入②式，整
e 2
理得
1 2
，
4
4
4
3
故
1
．
e
2
2
由题设
2
3
得
，
2 1 3
3
．
3 4 3 e
2
2 4
解得
7 e 10
．
所以双曲线的离心率的取值
7
范围为
[ ,
10] ．
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①
②
③
——
分
7
——
分
10
——
分
14
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13
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函数,解析,考查,直线,时间,图像,种植
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