2022年高考数学真题试卷(北京卷)及答案

2023年12月2日发(作者：梦到我做数学试卷)

2022年高考数学真题试卷（北京卷）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集

，集合

，则

B．D．

（ ）

A．C．2．若复数

满足

，则

B．5

是圆

B．

（ ）

C．7

的一条对称轴，则

C．1

，有（ ）

B．D．

A．1

3．若直线

D．25

（ ）

D．-1

A．

4．已知函数

，则对任意实数

A．C．5．已知函数

，则（ ）

上单调递增

A．

在

B．

在

上单调递增

C．

在

上单调递减

D．6．设

在

上单调递增

为递增数列”是“存在正整数

，当

是公差不为0的无穷等差数列，则“

时， ”的（ ）

A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件 7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与

表示温度，单位是

；

和

的关系，其中

表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（ ）

A．当

B．当

C．当

D．当

8．若

，

，

，

，

时，二氧化碳处于液态

时，二氧化碳处于气态

时，二氧化碳处于超临界状态

时，二氧化碳处于超临界状态

，则

B．41

的六条棱长均为6，

C．-40

是

（ ）

D．-41

及其内部的点构成的集合，设集合

A．40

9．已知正三棱锥

，则

A．10．在

表示的区域的面积为（ ）

B．

C．

，

D．

为

中，

，则

，

．

所在平面内的动点，且

的取值范围是（ ）

B．

A．

C．

D．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．函数

的定义域是

．

的渐近线方程为

的一个零点为

，则

，则

．

；

12．已知双曲线

13．若函数

． 14．设函数

，若

存在最小值，则

的一个取值为

；

15．已知数列

的最大值为

．

项和

，满足

给出下列四

的各项均为正数，其前

个结论：

①③

的第2项小于3；

②

为递减数列；

④

为等比数列；

中存在小于

的项。

其中所有正确结论的序号是

．

三、解答题共6小题，共85分。

16．在

中，

：

，且

．

（I）求

（II）若

的面积为

中，侧面

，

分别为

，求

的周长．

为正方形，平面

平面

17．如图，在三棱柱

，

，

的中点．

（I）求证：

平面

；

（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

直线

与平面

所成角的正弦值。

；

．

条件①：

条件②：

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

18．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：

甲：9.80， 9.70， 9.55， 9.54， 9.48， 9.42， 9.40， 9.35， 9.30， 9.25；

乙：9.78， 9.56， 9.51， 9.36， 9.32， 9.23；

丙：9.85， 9.65， 9.20， 9.16．

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立

（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计

；

（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

19．已知椭圆

的数学期望

的一个顶点为

的方程：

作斜率为

，当

．

在点

，讨论函数

处的切线方程；

在

，有

为有穷整数数列．给定正整数

，使得

的直线与椭圆

时，求

，焦距为

．

（Ⅰ）求椭圆

（Ⅰ）过点

分别与

交于不同的两点

的值。

，直线

轴交于点

20．已知函数

（Ⅰ）求曲线

（Ⅰ）设

（III）证明：对任意的

21．已知

上的单调性；

．

，若对任意的

，则称

，

为

在

中存在

连续可表数列．

（Ⅰ）判断

（Ⅰ）若

（Ⅰ）若

．

是否为5-连续可表数列？是否为

为

为

连续可表数列？说明理由；

的最小值为4；

，求证：

连续可表数列，求证：

连续可表数列，

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】B

3．【答案】A

4．【答案】C

5．【答案】C

6．【答案】C

7．【答案】D

8．【答案】B

9．【答案】B

10．【答案】D

11．【答案】12．【答案】-3

13．【答案】1；

14．【答案】0（答案不唯一）；1

15．【答案】①③④

16．【答案】（I）

，根据正弦的二倍角公式可得

；

，∴

，得

，

，所以

，由余弦定理

周长为 .

，可得

，所以

（II）∵17．【答案】（I）设点P为AB中点，由于P为AB中点，N为AC中点所以PN为

中位线

又M为AB中点，PM是正方形

所以

的中位线

∵ Ⅰ面 Ⅰ面

又

面

∴

平面

（II）选择条件①，∵面

面

面

面

，面

面

又

∴

，又由①：

∴ Ⅰ面

∵

面

故

两两垂直

以B为原点，

为

轴正方向，

为

轴正方向，

则BMN的法向量

为

轴正方向建立坐标系

AB与面BMN所成角的正弦等于

与

所半余弦的绝对值，即

故所求正弦为 .

18．【答案】（I）由题意得：设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件A：

比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上的有： 9.80，9.70，9.55，9.54

四个，所以甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为

（II）X所有可能取值为0，1，2，3

甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为

乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B，则

丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C，则

；

0

0.15

1

0.4

2

0.35

3

0.1

（III）甲的平均数：

乙的平均数：

丙的平均数：

甲的方差：

乙的方差：

丙的方差：

在校运动会铅球比赛中，乙获得冠军的概率估计值最大.

19．【答案】（Ⅰ）由已知

(Ⅰ)设直线

，

，

联立

由

得

，

，

由ABM共线得

由

得

即

即

解得

， 20．【答案】（Ⅰ）

，则

，又

，

故所求切线方程为

（Ⅰ）

，

又

故

，

对

成立，

，

在

上单调递增

（III）证明：不妨设

由拉格朗日中值定理可得：

其中

，即

，其中

，即

由

∴∴

在

上单调递增，故

证毕

，则对于任意，，所以21．【答案】（Ⅰ）

若Q是5-连续可表数列；由不存在任意连续若干项之和相加为6，所以Q不是6-连续可表数列；

（Ⅰ）若

满足

，设为a，b，c，则至多 6种矛盾

（Ⅰ）若k≤5，则

至多可表15个数，矛盾，从而若

至多可表21个数，而

，则

，所以其中有负的，从而a，b，c，d，e，f可表

这表明

及那个负数（恰21个)

中绝对值最小，同时

中没有两

中仅一个负的，没有0，且这个们的在

数相同，设那个负数为

则所有数之和 ，再考虑排序

(仅一种方式)

∴-1与2相序

若-1不在两端，则\"

若

，则

，问理

右

，则

，则

由

或

对①对②综上

2 ___\"形式

(2种方式矛盾)

，故-1在一端，不妨为\"

(2种矛盾)

(2种矛盾)从而

同理不行

形式

，由表法唯一知3，4不相邻，故只能

②这2种情形

矛后

也矛盾

①