2023年12月3日发(作者：期中地理数学试卷陕西省)

高等数学（二）命题预测试卷（二）

一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出的选

项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）

1．下列函数中，当x1时，与无穷小量(1x)相比是高阶无穷小的是（ ）

A．ln(3x) B．x32x2x

C．cos(x1) D．x21

2．曲线y3x31在(1,)内是（ ）

xA．处处单调减小 B．处处单调增加

C．具有最大值 D．具有最小值

3．设f(x)是可导函数，且limf(x02h)f(x0)1，则f(x0)为（ ）

hx0A．1 B．0

C．2 D．1

211x4．若f()，则f(x)dx为（ ）

0xx11A． B．1ln2

2C．1 D．ln2

5．设uxyz,u等于（ ）

xA．zxyz B．xyz1

C．yz1 D．yz

二、填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在

题中横线上。

6．设zexyyx2，则zy(1,2)= ．

7．设f(x)exlnx，则f(3) ．

8．f(x)x1，则f() ．

1xx9．设二重积分的积分区域D是1x2y24，则dxdy ．

D1x)= ．

x2x111．函数f(x)(exex)的极小值点为 ．

210．lim(1x2ax43，则a ． 12．若limx1x113．曲线yarctanx在横坐标为1点处的切线方程为 ．

14．函数ysintdt在x01x22处的导数值为 ．

xsin2xdx ． 15．11cos2x三、解答题：本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。

16．（本题满分6分）

1arctan x0求函数f(x)的间断点．

x x00

17．（本题满分6分）

计算lim

18．（本题满分6分）

1x计算limlnarcsinx(1x)．

x0xx12x12x．

19．（本题满分6分）

1x x0设函数f(x)xe

，求f(x)．

 1x0ln(1x)

20．（本题满分6分）

求函数ysin(xy)的二阶导数．

21．（本题满分6分）

求曲线f(x)x42x3的极值点．

22．（本题满分6分）

x3dx． 计算2x1

23．（本题满分6分）

若f(x)的一个原函数为xlnx，求xf(x)dx．

24．（本题满分6分） 已知

k1，求常数k的值．

dx1x22025．（本题满分6分）

求函数f(x,y)y3x26x12y5的极值．

26．（本题满分10分）

求(x2y)dxdy，其中D是由曲线yx2与xy2所围成的平面区域．

D

27．（本题满分10分）

设f(x)xf(x)dx，且常数a1，求证：02aa0a3f(x)dx．

3(a1)

28．（本题满分10分）

求函数ylnx的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近x线并作出函数的图形．

参考答案 一、选择题

1．B 2．B 3．D 4．D 5．D

二、填空题

16．2e21 7．e3

318． 9．3

x110．e12 11．x0

12．5 13．y14．sin三、解答题

41(x1)

224 15．0

16．解 这是一个分段函数，f(x)在点x0的左极限和右极限都存在．

1

limf(x)limarctan

x0x0x21

limf(x)limarctan

x0x0x2

limf(x)limf(x)

x0x0 故当x0时，f(x)的极限不存在，点x0是f(x)的第一类间断点．

17．解 原式=limxx12x121limxx11212xx．

21222x18．解 设f(x)arcsinx(1x)．

由于x0是初等函数lnf(x)的可去间断点，

1 故

limlnf(x)lnlimf(x)lnlimarcsinx(1x)x

x0x0x01x

lnlimarcsinxlim(1x)

x0x01x

ln(0e)lne1． 19．解 首先在x0时，分别求出函数各表达式的导数，即

当x0时，f(x)(xe)e1x1xxe1x112ex(1)

xx11 当1x0时，f(x)ln(x1)．

x1 然后分别求出在x0处函数的左导数和右导数，即

(0)lim

f

x011

x11x1(0)lime(1)0

f

x0x(0)f

(0)，函数在x0处不可导． 从而f

11xe(1) x0x 所以f(x)

1 x0x120．解

ysin(xy)

ycos(xy)(1y)cos(xy)ycos(xy) ①

ysin(xy)(1y)ycos(xy)ysin(xy)(1y)

1cos(xy)ysin(xy)(1y)2

sin(xy)(1y)2

y ②

1cos(xy) 又由①解得ycos(xy)

1cos(xy)2cos(xy)cos(xy)11cos(xy) 代入②得y1cos(xy)

sin(xy)

31cos(xy)321．解 先出求f(x)的一阶导数：f(x)4x36x24x2(x)

233 令f(x)0 即4x2(x)0 解得驻点为x10,x2．

22 再求出f(x)的二阶导数f(x)12x212x12x(x1)．

33327时，f()90，故f()是极小值．

222163 当x10时，f(0)0，在(,0)内，f(x)0，在(0,)内f(x)0

2 当x2 故

x10不是极值点．

22．解

23．解

24．解

总之 曲线f(x)x42x2只有极小值点x32．

x3x3xx21xx21x(x21)xx21xxx21

x3x21dx(xxxx21)dxxdxx21dx

121d(x21)2x2x112x212ln(x21)C

由题设知f(x)(xlnx)lnxx(lnx)lnx1

故xf(x)dxx(lnx1)dx

xlnxdxxdx

lnx1dx21x222

12lnxx2x2d(lnx)12x2

12lnxx212x211xdx2x2

1112x2lnx2xdx2x2

112x2lnx4x2C．

0k1x2dxk011x2dxkalim01a1x2dx

klimarctanx0aakalim(arctana)k2

又

0k1x2dx12

故

k25．解

211 解得k．

2ff2x6,3y212

xy2x60 解方程组2得驻点A0(3,2),B0(3,2)

3y120xx2,Bf

xy0,Cf

yy6y 又

Af

26．解

27．证

对于驻点A0:A2,B0,C6yx312，故B2AC240y2

 驻点A0不是极值点．

对于驻点B0:A2,B0,C6yx312

y2故

B2AC240，又A20．

 函数f(x,y)在B0(3,2)点取得极大值

f(3,2)(2)391824530

由yx2与xy2得两曲线的交点为O(0,0)与A(1,1)

xy2(y0)的反函数为yx．

(x2y)dxdy1x21212x0dxx2(xy)dy0(xyD2y)x2dx

150(x21x)(x41x4)dx

22

(2721237x4x10x5)1330140

a0f(x)dxa0x2a0f(x)dxdx

a2aa0xdx0f(x)dx0dx

13aaa3x00f(x)dx0dx

a33aa0f(x)dx

a0f(x)dxaaa0a3f(x)dx

3于是0a3f(x)dx．

3(a1)28．解 （1）先求函数的定义域为(0,)．

（2）求y和驻点：y1lnx，令y0得驻点xe．

2x （3）由y的符号确定函数的单调增减区间及极值．

当0xe时，y1lnx0，所以y单调增加；

x2 当xe时，y0，所以y单调减少．

1 由极值的第一充分条件可知yxe为极大值．

e （4）求y并确定y的符号：

2lnx3

y，令y0得xe2．

3x3 当0xe时，y0，曲线y为凸的；

当xe时，y0，曲线y为凹的．

32 根据拐点的充分条件可知点(e,e)为拐点．

23233232这里的y和y的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。

另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：

x

(0,e)

e

(e,e)

32e

32(e,)

32y

＋

0

－

－ －

0

－

＋

y

就表上所给的y和y符号，可得到：

函数ylnx的单调增加区间为(0,e)；

xlnx的单调减少区间为(e,)；

x1lnx 函数y的极大值为y(e)；

ex 函数ylnx 函数y的凸区间为(0,e2)；

xlnx 函数y的凹区间为(e2,)；

x32lnx2 函数y的拐点为(e,e)．

2x3333lnxlnx0，lim

xxx0xlnx 所以曲线y有

x （5）因为lim 水平渐近线y0

铅垂渐近线x0

（6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图．


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