世界奥数竞赛真题答案解析

2024年2月8日发(作者：全国奥林匹克竞赛数学试卷)

世界奥数竞赛真题答案解析

世界奥数竞赛一直以来都是全球学子展示数学才华的舞台。它不仅考验着参赛者的数学能力，更是对他们的逻辑思维和问题解决能力提出了严格的要求。本文将为大家解析几道经典的世界奥数竞赛真题，帮助读者深入理解解题思路和方法。

题目一： 设正整数a，b，c，n满足a^2 + na = b^2 + (n +

1)b = 2c^2 + 2c。 证明： n是一个完全平方数。

解析： 在这道题目中，需要证明n是一个完全平方数。我们可以通过分析题目中给出的等式来寻找特定的规律。

首先，我们将第一个等式变形得到 a^2 + na - c^2 = (b +

c)(b - c)。同样地，我们可以将第二个等式变形得到 b^2 + (n +

1)b - 2c^2 - 2c = (a + c)(a - c)。

我们可以将 a^2 + na - c^2 = (b + c)(b - c) 与 b^2 + (n +

1)b - 2c^2 - 2c = (a + c)(a - c) 相加，得到 (a^2 + b^2 + (n +

1)b + na - 2c^2 - 2c) = (b + c)(b - c) + (a + c)(a - c)。

化简上述等式得到 (a^2 + b^2 + (n + 1)b + na - 2c^2 - 2c)

= (a^2 - c^2) + (b^2 - c^2)。

进一步化简可得 (b^2 + (n + 1)b - 2c^2 - 2c) = 2(b^2 -

c^2)。

我们可以继续对上述等式进行推导，得到 (b^2 + (n + 1)b -

2c^2 - 2c) = 2(b^2 - c^2) = 2(b + c)(b - c)。

由此可见，我们得到了另一个重要的等式：b^2 + (n + 1)b -

2c^2 - 2c = 2(b + c)(b - c)。

接下来，我们可以利用这个等式进行进一步的推导。我们将其改写为 b^2 + (n + 1)b - 2(b + c)(b - c) - 2c^2 = 0。

根据二次方程的求根公式，我们可以得到 b = -n - 1 ±

sqrt((n + 1)^2 + 8(c^2 + c)) / 2。

由于我们需要找到整数解，所以方程右侧的部分必须是一个完全平方数。于是我们可以得到 (n + 1)^2 + 8(c^2 + c) = m^2。

通过观察发现左侧是两个连续的完全平方数之差，也即我们可以将其写成 (n + 1 + 2c + 1)(n + 1 - 2c - 1) = m^2。进一步简化可得 (n + 2c + 2)(n - 2c) = m^2。

因为 n，c 都是正整数，所以我们需要将 (n + 2c + 2) 和 (n

- 2c) 分别表示为两个完全平方数的乘积。

对于 (n + 2c + 2)，可以表示为 s^2，对于 (n - 2c)，可以表示为 t^2。将其代入等式可得 (s^2)(t^2) = m^2。

由于正整数的平方是非负的，所以我们将 (s^2)(t^2) 分解为两个平方数相乘的形式。

我们得到 (s)(t) = m 且 (st) = n + 2c + 2，根据此可以推出

(s)(t) - (s)(t) = n + 2c + 2 - (n - 2c)。

化简得到 n = 4c + 4。

我们再回头看最开始的等式 a^2 + na = b^2 + (n + 1)b =

2c^2 + 2c，当我们知道了 n = 4c + 4 时，就能得到 n 是一个完全平方数的结论。

通过以上的推导与证明过程，我们证明了题目中的结论：n 是一个完全平方数。

题目二： 在半径为 R 的圆内画 n 条互相垂直的直径，每条直径上有两端 A，B 的 n 条弦在不重合的点画互不相交的圆弧，如图所示。计算这些圆弧的总长度。

解析： 这道题目需要计算 n 条互相垂直的直径所形成的圆弧的总长度。

首先，我们可以观察到圆心与直径所形成的圆弧相切于直径的中点。

因此，在以圆心为中心，半径为 R 的圆内画 n 条互相垂直的直径时，这 n 条直径所形成的圆弧的总长度等于 n 条直径的总长度加上 n 个圆的周长。

直径的总长度为 D = 2 R n，其中 R 是圆的半径，n 是直径的数量。

而 n 个圆的周长可以通过如下方法计算：

首先，我们知道一个圆的周长是 C = 2πR。

由于有 n 个圆，所以 n 个圆的总周长为 2πRn。

综上所述， n 条互相垂直的直径所形成的圆弧的总长度为 D +

2πRn。

在解答这道题目时，读者需要注意理解并运用圆的相关知识，同时注意计算的准确性，以得到正确的解答结果。

通过以上的分析和解答，我们计算了 n 条互相垂直的直径所形成的圆弧的总长度。

本文通过解析两道世界奥数竞赛的真题，展示了解题思路和方法。世界奥数竞赛不仅考察参赛者的数学水平，更要求他们具备良好的逻辑思维和问题解决能力。希望通过本文的解析，能够帮助读者更好地理解和应对类似的数学竞赛题目。