2023年12月10日发(作者：赤峰中考数学试卷分析论文)
2023年新高考数学选填压轴题好题汇编(一)一、单选题1.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗，粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明，且形状各异，裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子，是用当地特有的冬叶､水草包裹糯米､绿豆､猪肉､咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子，现将裹蒸粽看作一个正四面体，其内部的4π咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为时，该裹蒸粽的高的最小值为( )3A.4B.6C.8D.10【答案】A【解析】要使正四面体的高最小，当且仅当球与正四面体相内切，4π34π设正四面体的棱长为a，高为h，内切球的半径为r，则r=，解得r=1，33如图正四面体S-ABC中，令D为BC的中点，O1为底面三角形的中心，则SO1⊥底面ABC11所以VS-ABC=S△ABCh=⋅4S△ABC⋅r，即h=4r=4.33故选：A2.(2022·广东惠州·高三阶段练习)甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球.整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A1､A2表示由甲罐取出的球是红球､白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B､C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”､“两球为一红一白”的事件，则下列结论中不正确的是( )A.PBA1=【答案】C2C510【解析】在事件A1发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则PB∣A1=2=，A正确；21C711C4C3124在事件A2发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则PC∣A2===，B正确；2217C71021B.PCA2=47C.PB=1942D.PC=4384C53106因PA1=，PA2=，PB∣A1=，PB∣A2=4=，2882121C75103617则PB=PA1PB∣A1+PA2PB∣A2=×+×=，C不正确；8218214211C5C21210因PC∣A2=，PC∣A1==，22121C751031243则PC=PA1PC∣A1+PA2PC∣A2=×+×=，D正确.82182184故选：C.23.(2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试)已知直线ax-2by+14=0平分圆C：x2+y2-4x-2y-11=0的面积，过圆外一点Pa，b向圆做切线，切点为Q，则PQ的最小值为( )A.4【答案】A【解析】圆C：x2+y2-4x-2y-11=0化为标准方程为x-22+y-12=16，所以圆心C2，1，半径r=4，B.5C.6D.7因为直线ax-2by+14=0平分圆C：x2+y2-4x-2y-11=0的面积，所以圆心C2，1在直线ax-2by+14=0上，故2a-2b+14=0，即b=a+7，在Rt△PQC中，PQ2=PC2-r2=a-22+b-12-16=a-22+a+62-16=2a2+8a+24=2a+22+16，2当a=-2时，PQ最小为16，PQ最小为4．故选：A．4.(2022·广东广州·高三开学考试)设a=ln1.1，b=e0.1-1，c=tan0.1，d=A.a==>=>e，即>e，故10ln>1，即ln>0.1，π3.2416162πππ故d0.1-b0.1>d0-b0=0，即d>b.1excos2x-1xx②设y=bx-cx=e-1-tanx，则y=e-=，设fx=excos2x-1，则fx=22cosxcosxx2x2ecosx-2sinx=e-sinx-2sinx+1.设gx=x-sinx，则gx=1-cosx≥0，故gx=x-sinx为增函数，故gx≥g0=0，即x≥sinx.故fx≥ex-x2-2x+1=ex-x+12+2，当x∈0,0.1时fx>0， fx=excos2x-1为增函数，故fx≥e0cos20-1=0，故当x∈0,0.1时y=bx-cx为增函数，故b0.1-c0.1>b0-c0=0，故b>c.11x+sin2x-=，易得当x∈0,0.1时y>22x+1cosxx+1cosx0，故c0.1-a0.1>c0-a0=0，即c>a.③设y=cx-ax=tanx-lnx+1，y=综上d>b>c>a故选：B5.(2022·广东广州·高三开学考试)若空间中经过定点O的三个平面α，β，γ两两垂直，过另一定点A作直线l与这三个平面的夹角都相等，过定点A作平面δ和这三个平面所夹的锐二面角都相等.记所作直线l的条数为m，所作平面δ的个数为n，则m+n=( )A.4C.12【答案】B【解析】将α，β，γ放入正方体OBCD-A1B1C1D1，根据对称性可知，对角线OC1分别与三个平面α，β，γ所成角都相等，对角线BD1分别与三个平面α，β，γ所成角都相等，因为平面BC1⎳平面α，所以对角线BD1分别与三个平面α，β，γ所成角都相等，同理对角线B1D,A1C分别与三个平面α，β，γ所成角都相等，过点A分别作BD1,B1D,A1C,OC1的平行线，则所作四条平行线分别与三个平面α，β，γ所成角都相等，所以m=4.试卷第1页，共50页B.8D.16B.ab>c【答案】D【解析】令fx=ex-x-1x>0，则fx=ex-1>0，∴fx在0,+∞上单调递增，∴fx>f0=0，即ex>x+1，∴e0.1>1.1，∴e0.05>1.1，即a>c；11-x-1=，xx∴当x∈0,1时，gx>0；当x∈1,+∞时，gx<0；令gx=lnx-x+1，则gx=∴gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，∴gx≤g1=0，∴lnx≤x-1(当且仅当x=1时取等号)，∴lnx≤x-1，lnxln1.1即+1≤x(当且仅当x=1时取等号)，∴+1<1.1，即bc>b.故选：27.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知双曲线C:2-2=1(a>0，b>0)的左右焦点分别为abF1，F2，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，∠F1PF2的平分线与x轴交于Q，若OQ=1OF2，则双曲线的离心率范围为( )42ln1.1+1，c=1.1，则( )2D.a>c>bB.c>b>aC.b>a>cA.1,2【答案】BB.1,4C.2,2D.2,4【解析】设双曲线的半焦距为cc>0， 离心率为e，153由OQ=OF2，则QF1=c，QF2=c，444因为PQ是∠F1PF2的平分线，所以PF1:PF2=5:3,又因为PF1-PF2=2a，所以PF1=5a,PF2=3a，5a+3a>2cc，解得1<<4，即1e时,fx<0,函数单调递减,当00,函数单调递增,4-ln4ln21，b=，c=，则( )22eeC.be时,fx<0,函数单调递减,可得f40，故f(x)=x3-x2+x33B.12C.10D.81易得在区间-5,2,2,9上均有3个交x-2的交点，7点，且关于2,0对称，加上2,0共7个交点，其根之和为3×2×2+2=14故选：A又方程7f(x)-x+2=0的根即y=f(x)与y=10.(2022·广东·高三开学考试)设a=A.a0，得0e．所以f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，1而a==f(e)，2e1ln2ln4b=ln22==f(2)==f(4)，24试卷第1页，共50页12e，b=ln2，c=4-ln4，则( )e2D.b1.10=1，故a5-x-5-y，则( )A.11>xyB.x3>y3C.x>x2+1>lny2+1【答案】B【解析】由3x-3y>5-x-5-y得3x-5-x>3y-5-y，设f(x)=3x-5-x，易知f(x)是增函数，所以由3x-5-x>3y-5-y得x>y，当x<0时，C不存在，错误，A错误，0>x>y，则00的焦点为F，抛物线C上的点M1,m到点F的距离是2，P是抛物线C的准线与x轴的交点，A，B是抛物线C上两个不同的动点，O为坐标原点，则( )A.m=±2B.若直线AB过点F，则OA⋅OB=-3PAFAC.若直线AB过点F，则=PBFBD.若直线AB过点P，则AF+BF>2PF【答案】BCD【解析】由题意得1+所以A不正确；设Ax1,y1，Bx2,y2，易知直线AB的斜率不为零，当直线AB过点F1,0时，y2=4x可设直线AB的方程为x=ty+1，与抛物线方程联立，得x=ty+1，化简得：y2-4ty-4=0，则y1y2=-4，y1+y2=4t，22y1y2所以x1x2==1，所以OA⋅OB=x1x2+y1y2=1-4=-3，16所以B正确；y1y2易知P-1,0，则由选项B得kPA+kPB=+x1+1x2+1y1ty2+2+y2ty1+22ty1y2+2y2+y1-8t+8t====0，x1+1x2+1x1+1x2+1x1+1x2+1PAFA所以直线PF平分∠APB，所以=，PBFB选项C正确；因为直线AB过点P-1,0，且斜率不为零，所以设直线AB的方程为x=ty-1，与抛物线方程联立，易得y1y2=4，所以x1x2=1．因为x1>0，x2>0，且x1≠x2，所以AF+BF=x1+1+x2+1>2x1x2+2=4，又PF=2，所以AF+BF>2PF，所以D正确．故选：BCD．20.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)若函数f2x+2为偶函数，fx+1为奇函数，且当x∈(0,1]时，fx=lnx，则( )A.fx为偶函数1C.f4-=-1e【答案】ACDB.fe=1D.当x∈[1,2)时，f(x)=-ln(2-x)p=2，则p=2，故抛物线C的方程为y2=4x，2将M1,m代入抛物线的方程，得m2=4，解得m=±2，试卷第1页，共50页【解析】对A，因为函数f2x+2为偶函数，故f2x+2=f-2x+2，故fx关于x=2对称.又fx+1为奇函数，关于原点对称，故fx关于1,0对称.综上，fx关于x=2与1,0对称. 关于x=2对称有fx=f4-x，关于1,0对称有f4-x=-fx-2，fx=-f2-x，故-fx-2=-f2-x，即fx=f-x，所以fx为偶函数，故A正确；对B，由A，因为e∈2,3，fe=-f2-e=-fe-2=-lne-2，故B错误；111对C，由A，f4-=f=ln=-1，故C正确；eee对D，当x∈[1,2)时，2-x∈0,1，故fx=-f2-x=-ln2-x，故D正确；故选：ACD21.(2022·广东惠州·高三阶段练习)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，C1C，A1A的中点，则( )A.M，N，B，D1四点共面B.异面直线PD1与MN所成角的余弦值为C.平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形1D.三棱锥P-MNB的体积为3【答案】BCD【解析】对于A，易知MN与BD1为异面直线，所以M，N，B，D1不可能四点共面，故A错误；对于B，连接CD1，CP，易得MN⎳CD1，所以∠PD1C为异面直线PD1与MN所成角，设AB=2，则CD1=22，D1P=5，PC=3，(22)2+(5)2-3210所以cos∠PD1C==，102×22×510所以异面直线PD1与MN所成角的余弦值为，故B正确；10对于C，连接A1B，A1M，易得A1B⎳MN，所以平面BMN截正方体所得截面为梯形MNBA1，故C正确；对于D，易得D1P⎳BN，因为D1P⊄平面MNB，MN⊂平面MNB，所以D1P⎳平面MNB，所以VP-MNB=VD-MNB=VB-MND=111010111××1×1×2=，故D正确.323故选：BCDy2x222.(2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试)已知椭圆C：+=1的左，右焦点为F1，F2，点P为椭圆C169上的动点(P不在x轴上)，则( )A.椭圆C的焦点在x轴上9C.|PF1|的取值范围为44，【答案】ABD【解析】对于A，由椭圆的方程可知，椭圆焦点在x轴上，故A正确；对于B，因为c=16-9=7，而△PF1F2的周长为2a+2c=8+27，故B正确；对于C，因为P不在x轴上，所以a-c<PF10，对∀x∈R都满足fx+a+fa-x=2b，(a，b是实常数)【答案】BC【解析】对A,因为fx=sinx+cosx，所以fx+fx，故π是fx的一个周期，故最小正周期是π是错误的，2πππ=sinx++cosx+2=cosx+sinx=22π是fx的一条对称2对B，因为fx-π=sinx-π+cosx-π=sinx+cosx=fx，故x=-轴是正确的，对C,当x∈0,ππππ时，fx=sinx+cosx=sinx+cosx=2sinx+，由x∈0,，则x+∈2424π3ππ2π,，故sinx+∈,1,因此f(x)∈1,2，由A知是fx的周期，故fx的值域为42442C正确，1,2，πππ对D,因为当x∈fx=sinx+cosx=sinx+cosx=2sinx+，且是fx的周期，故0,2时，42画出f(x)的图象如图：由图可知，f(x)没有对称中心，故不存在a,b，使得fx+a+fa-x=2b，故D错误.故选：BC24.(2022·广东广州·高三开学考试)已知抛物线y2=2px上的四点A2,2，B，C，P，直线AB，AC是圆M:x-22+y2=1的两条切线，直线PQ、PR与圆M分别切于点Q、R，则下列说法正确的有13( )A.当劣弧QR的弧长最短时，cos∠QPR=-B.当劣弧QR的弧长最短时，cos∠QPR=C.直线BC的方程为x+2y+1=0D.直线BC的方程为3x+6y+4=013试卷第1页，共50页【答案】BD【解析】由已知得抛物线y2=2px过点A2,2，即22=2p×2，所以p=1，即抛物线为y2=2x，对于AB选项，如图所示，2y0设点P,y当劣弧QR的弧长最短时，∠QMR最小，20又∠QMR+∠QOR=π，所以∠QPR最大，即cos∠QPR最小，2MQ2又cos∠QPR=cos2∠QPM=1-2sin∠QPM=1-2⋅2，PM又圆M:x-22+y2=1，所以圆心M2,0，半径r=QM=1，2cos∠QPR=1-2，PM22y01222又PM=-2+y0=y0-22+3，2422所以当y0=2时，此时cos∠QPR最小为1-PM取最小值为3，21=，33所以A选项错误，B选项正确；对于CD选项，设过点A作圆M切线的方程为y-2=kx-2，即kx-y-2k+2=0，2k-0-2k+2所以d==r=1，解得k=±3，21+k则直线AB的方程为：y-2=3x-2，即y=3x-23+2，直线AC的方程为：y-2=-3x-2，即y=-3x+23+2，y=3x-23+223432，得y-y+-4=0，y2=2x33432384323故2yB=-4，yB=-2，B-,-2，3333384323同理可得C+,--2，33323-2--23-23=-1，3所以kBC=28-43-8+433333231843直线BC的方程为y--2=-x--即3x+6y+4=0，所以C选项错误，D选项，3233正确；联立直线AB与抛物线故选：BD.25.(2022·广东广州·高三开学考试)已知函数fx及其导函数fx的定义域均为R，对任意的x，y∈R，恒有fx+y+fx-y=2fx⋅fy，则下列说法正确的有( )A.f0=1C.fx+f0≥0【答案】BCD【解析】对于A，令x=y=0，则由fx+y+fx-y=2fx⋅fy可得2f0=2f20，故f(0)=0或f0=1，故A错误；对于B,当f(0)=0时，令y=0，则fx+fx=2fx⋅f0=0，则f(x)=0 ，故f(x)=0，函数fx既是奇函数又是偶函数；B.fx必为奇函数11D.若f1=，则fn=22n=12023令x=0，则fy+f-y=2f0⋅fy，则fy-f-y=2f0⋅fy，当f0=1时，fy-f-y=2fy，则f-y=-fy,y∈R为奇函数，综合以上可知fx必为奇函数，B正确；对于C，令x=y ，则f2x+f0=2f2x，故f2x+f0≥0。由于x∈R,令t=2x,t∈R,即ft+f0≥0，即有fx+f0≥0，故C正确；1对于D，若f1=，令x=1,y=0 ，则f1+f1=2f1⋅f0，则f(0)=1 ，211故令x=y=1，则f2+f0=2f21，即f2+1=,∴f2=-，2211令x=2,y=1，则f3+f1=2f2⋅f1，即f3+=-,∴f(3)=-1，2211令x=3,y=1，则f4+f2=2f3⋅f1，即f4-=-1,∴f(4)=-，2211令x=4,y=1，则f5+f3=2f4⋅f1，即f5-1=-,∴f(5)=，2211令x=5,y=1，则f6+f4=2f5⋅f1，即f6-=,∴f(6)=1，2211令x=6,y=1，则f7+f5=2f6⋅f1，即f7+=1,∴f(7)=，22⋯由此可得f(n),n∈N∗的值有周期性，且6个为一周期，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0 ，故fn=337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)=n=120231，故D正确，2cos2πx，则下列说法正确的是x2-2x+3故选：BCD26.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知函数f(x)=( )A.f(x)是周期函数1C.f(x)>-2【答案】BCD【解析】gx=cos2πx是周期函数，但hx=x2-2x+3不是周期函数，所以f(x)=cos2πx不是周期x-2x+32B.f(x)满足f(2-x)=f(x)D.f(x)≥k在R上有解，则k的最大值是12函数，A选项错误；cos4π-2πxcos2πxf(2-x)==2=fx，故B选项正确；2x-2x+32-x-22-x+311因为x2-2x+3=x-12+2≥2，等号成立时，x=1，所以0<2≤，而cos2πx∈-1,1，当2x-2x+31111cos2πx=-1时，x=+k，k∈Z，此时0<2<，故f(x)>-，C选项正确；222x-2x+3cos2πx11当x=1时，cos2πx=1，故f(x)=2的最大值为，故f(x)≥k在R上有解，则k的最大值是，22x-2x+3D选项正确故选：BCD27.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2DC=23，BC=2，AB⊥BC，M，P，N，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点，将△ACD以AC为轴旋转一周，则在此旋转过程中，下列说法正确的是( )和BC不可能平行和CD有可能垂直试卷第1页，共50页32D.若面ACD⊥面ABC，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积是28πC.若AB和CD所成角是60∘，则PQ=【答案】AD【解析】对于A，若MN和BC平行，则N应该在DM上，但在旋转过程中，N不可能在DM上，所以MN和BC不可能平行，则A正确；对于B，当D1不在平面ABCD中时， 若AB⊥CD1，因为AB⊥BC，BC∩CD1=C，故AB⊥平面BCD1，而AB⊂平面ABCD，故平面ABCD⊥平面BCD1，过D1作D1E⊥BC，垂足为E，因为平面ABCD∩平面BCD1=BC，D1E⊂平面BCD1，故D1E⊥平面ABCD，而AE⊂平面ABCD，故ED1⊥AE，故AD=AD1>AE≥AB，矛盾，当当D1在平面ABCD中时，AB⊥CD也不成立，故B错误.对于C，因为在未旋转时AB和CD是平行的，若某一时刻AB和CD所成角是60∘，即CD与旋转后的CD1所成角为60∘，如下图.当△ACD旋转到ΔACD1，即D1在平面ABCD内，此时因为∠DCA=30°，则∠D1CA=30°，所以∠D1CD=60°， AB和CD所成角是60∘，即CD1和CD所成角是60∘.此1113时Q旋转到Q1，取AC的中点，连接HP,HQ1，则HP=AB=3,HQ1=CD1=CD=∠AHQ1=2222∠ACD1=30°,∠CHP=30°，所以∠QHP=120°，则在三角形Q1HP中，Q1P=3+232-2⋅3⋅3cos120°=21，所以C错误 ；222对于D，因为AB⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心在AC的中点O1上，在△ADC中，因为AC=4,DC=3,DA=7，所以△ADC为钝角三角形，则外接圆的圆心在△ADC外，则AC的中垂线和DC的中垂线的交点即为O2，过O1做平面ABC的垂线，过O2做平面ADC的垂线，两垂线的交于点O，O与O2重合，即O2即为外接球的球心，则cos∠ADC=AD2+DC2-AC27+3-16-6321===-，212AC⋅DC27⋅322127AC4则sin∠ADC=，2R===27，所以7sin∠ADC277R=7，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积是S=4πR2=28π，所以D正确.故选：AD.y2x228.(2022·广东·高三阶段练习)已知双曲线C:2-2=1a>b>0的左，右顶点分别为A1，A2，点P，Q是ab双曲线C上关于原点对称的两点(异于顶点)，直线PA1，PA2，QA1的斜率分别为kPA，kPA，kQA，若kPA⋅3kPA=，则下列说法正确的是( )4121123A.双曲线C的渐近线方程为y=±⋅kQA为定值∠A1PA2的取值范围为0,+∞B.双曲线C的离心率为【答案】BCDx2【解析】设Px,y，则y=b2-1，因为A1-a,0，A2a,0，a22xb-1yyy2b2a2故kPA⋅kPA=⋅=2==2，x+ax-ax-a2x2-a2a2b3b3依题意有2=，所以=，4a2ab3所以双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x，a22b2=1+b2=7，离心率e=a+故选项A错误，选项B正确；2a2a2因为点P，Q关于原点对称，所以四边形A1PA2Q为平行四边形，即有kAQ=kAP，3所以kAP⋅kAQ=kAP⋅kAP=，故C正确；43设PA1的倾斜角为α，PA2的倾斜角为β，由题意可得tanα⋅tanβ=，4则∠A1PA2=α-β，根据对称性不妨设P在x轴上方，则β>α，则∠A1PA2=β-α，则tan∠A1PA2=tanβ-tanα443tanβ-α==kPA-kPA=kPA-，774kPA1+tanα⋅tanβ33因为P在x轴上方，则kPA>，或-2又因为ST=，所以B选项错误；2如图3，连接BM，取DD1中点H，连接AH，HM，则可知平面ABM截正方体所得的截面为ABMH，与正方形A1B1C1D1没有交点，所以不存在点P，使得平面AMP经过点B故C正确；如图4，延长CC1到点O，使得C1O=MC1，则点M关于平面A1B1C1D1的对称点为O，连接AO交正方形A1B1C1D1于点P，则此时使得PA+PM取得最小值，最小值为AO=AC2+CO2=8+9=17，当点P与B1重合时，此时PA+PM=22+5>5，故存在点P满足PA+PM=5D正确；故选：ACD30.(2022·广东·高三开学考试)直六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，底面是边长为2的正六边形，侧棱AA1=2，点O是底面ABCDEF的中心，则( )1⎳平面1与BC所成角的余弦值为⊥平面AA1D1D2434D.B1F与平面CC1F1F所成角的正弦值为【答案】ABD【解析】对于选项A：记A1D1∩C1F1=O1，连接CO1，易得OF1∥CO1，从而OF1⎳平面A1CD1，故选项A正确；对于选项B：因为OF1∥CO1，所以OF1与BC所成角即为∠BCO1(或其补角)，易得CO1=22，BO1=22，BC=2，由余弦定理，得cos∠BCO1=22BC2+CO1-BO12=，故选项B正确；42×BC×CO1对于选项C：因为∠BOA=60°，所以BO不与AO垂直，所以BO不与平面AA1D1D垂直，故选项C不正确；对于选项D：取C1O1中点H，连接B1H、FH，易证B1H⊥面CC1F1F，所以∠B1FH是B1F与平面CC1F1F所BH3成的角，在Rt△B1HF中，B1H=3，FH=13，B1F=4，所以sin∠B1FH=1=，故选项D正确．4B1F故选：ABD．31.(2022·广东·高三开学考试)已知直线l:y=ax-1，曲线C1:f(x)=ex+1+1，曲线C1关于直线y=x+1对称的曲线C2所对应的函数为y=g(x)，则以下说法正确的是( )A.不论a为何值，直线l恒过定点(0,-1)；B.g(x)=lnx-1；C.若直线l与曲线C2相切，则a=1；D.若直线l上有两个关于直线y=x+1对称的点在曲线C1上，则00，h(x)=，xx2令h(x)=0，解得x=1，所以函数h(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，所以h(x)max=h(1)=1，试卷第1页，共50页又当x趋近于正无穷时，h(x)趋近于0，当x趋近于0时，h(x)趋近于负无穷，所以a∈(0,1)，故正确．故选：ACD．32.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)下列命题中正确的是( )A.双曲线x2-y2=1与直线x+y-2=0有且只有一个公共点B.平面内满足PA-PB=2aa>0的动点P的轨迹为双曲线yx2C.若方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线，则t>44-tt-1D.过给定圆上一定点A作圆的动弦AB，则弦AB的中点P的轨迹为椭圆2【答案】ACx=5x2-y2=14【解析】对于A，解方程组，得唯一解，所以曲线x2-y2=1与直线x+y-2=0有且x+y-2=0y=34只有一个公共点，所以A对；对于B，当|AB|=2a时，满足||PA|-|PB||=2a的动点P的轨迹为两条射线，不是双曲线，所以B错；y2x2对于C，若方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线，4-t<0且t-1>0⇔t>4，所以C对；4-tt-1对于D，举反例，不妨设圆的方程为x2+y2=R2，定点A(R,0)，动点P(x,y)，则B(2x-R,2y-0)在圆上，R2R22(2x-R)2+(2y-0)2=R2在，x-+y=点P轨迹是圆，而不是椭圆，所以D错．2，2故选：AC．33.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)达·芬奇的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂项链x所形成的曲线称为悬链线.建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为f(x)=acoshaex+e-x(a>0)，双曲余弦函数cosh(x)=则以下正确的是( )2A.fx是奇函数B.fx在-∞,0上单调递减C.∀x∈R，fx≥aD.∃a∈0,+∞，fx≥x2【答案】BCDxea+e-a【解析】由题意可知，f(x)=acosh=a⋅，(a>0)，定义域为Ra2xxe-a+ea所以f(-x)=a⋅=f(x)，所以fx是偶函数；故选项A错误；2ex+e-xex-e-x函数cosh(x)=的导数为cosh(x)=，22所以当x∈-∞,0时，当x∈0,+∞时，cosh(x)<0，cosh(x)>0，ex+e-x所以函数cosh(x)=，单调递减区间为
-∞,0，单调递增区间为0,+∞，2x又a>0，所以函数y=在-∞,0上单调递增，a由复合函数的单调性可知，fx在-∞,0上单调递减，故选项B正确；xxea+e-a2ea⋅e-a由基本不等式可知，f(x)=a⋅≥a⋅=a，当且仅当x=0时取等号；故选项C正确；22由C可知，∀x∈R，fx≥a，所以∃a∈0,+∞，使得fx≥x2成立，故选项D正确；故选：BCD.34.(2022·广东·高三阶段练习)设a与b是两个不共线向量，关于向量a+λb，λ-1a+2λb，-b则下-2a，列结论中正确的是( )A.当λ>1时，向量a+λb，λ-1a+2λb不可能共线B.当λ>-3时，向量a+λb，-b-2a可能出现共线情况C.若a⋅b=0，且a,b为单位向量，则当λ>-3时，向量λ-1a+2λb，-b-2a可能出现垂直情况D.当λ=2时，向量a-λb与-22b-a平行【答案】BD【解析】对于A，假设a+λb与λ-1a+2λb共线，则2λ=λλ-1，解得：λ=0或λ=3，则当λ>1时，向量a+λb，此时λ=3，A错误；λ-1a+2λb可能共线，1对于B，假设a+λb与-b-2a共线，则1×-1=2λ，解得：λ=-，21则当λ>-3时，向量a+λb，-b-2a可能共线，此时λ=-，B正确；2对于C， ∵λ-1a+2λb⋅-b-2a=1-λa⋅b+2λ-1a2-2λb2+4λa⋅b=-2≠0，∴向量λ-1a+2λb，-b-2a不可能垂直，C错误；对于D，当λ=2时，a-λb=a-2b，又-22b-a=2a-4b，1∴a-λb=-22b-a，则向量a-λb与-22b-a平行，D正确.2故选：BD.35.(2022·广东·高三阶段练习)已知函数fx=x-2+1，gx=kx，若方程fx=gx有两个不相等的实根，则实数k的取值可以是( )A.43B.34x-1,x≥2x<2C.45D.1xxxx【答案】BC【解析】因为fx=x-2+1=3-x,，因为方程fx=gx有两个不相等的实根，则方程fx=gx在x≥2和x<2时各有一个实根，则k≠±1，1当x≥2时，由fx=gx得kx=x-1，可得x=；1-k3当x<2时，由fx=gx可得kx=3-x，可得x=.k+111-k≥231<2由题意可得，解得0时，f(x)=e-x(x-1)．则下列结论正确的是( )A.当x<0时，f(x)=ex(x+1)B.函数f(x)有两个零点C.若方程f(x)=m有三个解，则实数m的取值范围是f(-2)0，所以f(-x)=ex(-x-1)，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，所以-f(x)=ex(-x-1)，即f(x)=ex(x+1)故A正确．ex-(x-1)exx-12-x对B，当x>0时，f(x)=所以f(x)==，x，x2e(e)ex令f(x)=0，解得x=2，当00；当x>2时，f(x)<0，所以函数f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，故当x=2时，函数f(x)取得极小值e-2>0，当02时，f(x)=点，所以函数f(x)在(0,+∞)上仅有一个零点，函数f(x)是定义在R上的奇函数，故函数f(x)在(-∞,0)上仅有一个零点-1，又f(0)=0，故函数f(x)在R上有3个零点．故B错误．对C，作出函数f(x)的大致图象，由图可知若关于x的方程f(x)=m有解，由B中的单调性可得，实数m的取值范围是f-20，所以函数f(x)在(2,+∞)没有零ex个正六边形的边长是图n-1中每个正六边形的边长的则下列说法正确的是( )A.图(4)中共有294个正六边形1029B.a4=4C.an是一个递增的等比数列D.记Sn为数列an的前n项和，则对任意的n∈N*且n≥2，都有an>Sn-1【答案】BCD1．记图(n)中所有正六边形的边长之和为an，2【解析】对于A，由图可知，图1至图n中正六边形的个数构成以1为首项，7为公比的等比数列，故图4中共有73=343个正六边形，A错误；
1n-1对于B，由题可知，图n中每个正六边形的边长为，21n-17n-1731029∴an=6××7n-1=6×，∴a4=6×=，B正确；22247n-1对于C，∵an=6×是底数大于1的指数型函数，2∴an是一个递增的等比数列，C正确；7n-17对于D，∵an=6×，∴a1=6，q=，227n6×1-2∴Sn= ，71-2当n∈N*且n≥2时，7n-17n-17n-16×1-12-12×12+18×2227n-17n-1an-Sn-1=6×-=6×+=>0272551-2∴对任意的n∈N*且n≥2，都有an>Sn-1，D正确.故选：BCD.三、填空题y2x240.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，ab2若椭圆上存在一点P使得∠F1PF2=π，则该椭圆离心率的取值范围是________．33【答案】,12【解析】由椭圆的定义可知：PF1+PF2=2a，22F1P2+F2P2-F1F22F1P+F2P-2F1P⋅F2P-F1F2在△PF1F2中，由余弦定理得：cos∠F1PF2===2F1P⋅F2P2F1P⋅F2P4b2-2F1P⋅F2P1=-，22F1P⋅F2P所以F1P⋅F2P=4b2，2F1P+F2P又F1P⋅F2P≤=a2，即4b2≤a2，当且仅当F1P=F2P时等号成立，4故4a2-4c2≤a2，33所以3a2≤4c2，e2≥，解得：e∈,1.24故答案为：3,1241.(2022·广东广州·高三开学考试)折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕(线段)将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是___________cm.【答案】8,229【解析】由题意得：长方形纸片的面积为10×8=80cm2，又S1:S2=1:3，∴S1=20cm2,S2=60cm2 ，当折痕如下图MN所示时，1xy=202xy=40设AM=x,AN=y，则0≤x≤10，解得：，5≤x≤100≤y≤81600∴MN2=x2+y2=x2+≥80 ，即MN≥45，当且仅当x=210时取等号；x21600令t=x2,t∈[25,100] ，则f(t)=t+ ，tf(t) 在[25,40]上单调递减，在[40,100]上单调递增，又f(25)=89,f(40)=80,f(100)=116 ，故f(t)∈[80,116] ，故MN∈[45,229] ；当折痕如下图所示时，1(x+y)×8=202x+y=5设AM=x,DN=y，则0≤x≤10，解得：，0≤x≤50≤y≤10MN2=(x-y)2+64=(2x-5)2+64,0≤x≤5，5当x=时，MN2=(2x-5)2+64取得最小值64，2当x=0或5时，MN2=(2x-5)2+64取得最大值89，则MN∈[8,89]；当折痕如下图所示时，1(x+y)×10=202x+y=4设AM=x,BN=y，则0≤x≤8，解得：，0≤x≤40≤y≤8则MN2=(x-y)2+100=(2x-4)2+100，令h(x)=(2x-4)2+100,(0≤x≤4)，则h(x)在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增，又h(2)=100,h(0)=h(4)=116，故h(x)∈[100,116]，∴MN∈[10,229]；综上所述：折痕长的取值范围为[8,229]，故答案为：8,22942.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知函数f(x)的导函数f(x)满足：f(x)-f(x)=e2x，且f(0)=1，当x∈0,+∞时，x(f(x)-a)≥1+lnx恒成立，则实数a的取值范围是______________．【答案】-∞,2试卷第1页，共50页fxfx-fxe2xx【解析】设gx=x，则gx==故gx=ex+c，则fx=ex+cex，又因为fxx=e，eee(0)=1，即1+c=1，所以c=0，fx=e2x，x(e2x-a)≥1+lnx，因为x∈0,+∞，所以a≤xe2x-1-lnxe2x+lnx-1-lnx=在x∈0,+∞上恒成立，其中e2x+lnx≥2x+lnx+1，理由如下：构造xxφx=ex-x-1，则φx=ex-1，令φx=0得：x=0，当x>0得：φx>0，当x<0得：φx<0，故φx在x=0处取的极小值，也是最小值，φx≥φ0=0，从而得证.e2x+lnx-1-lnx2x+lnx+1-1-lnx故≥=2，故a≤2，实数a的取值范围为-∞,2xx故答案为：-∞,243.(2022·广东·高三阶段练习)若不等式ax+1ex-x<0有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是______．21【答案】,3e22e【解析】依题意不等式ax+1ex-x<0可化为ax+1<令gx=ax+1，hx=x，x∈R．exx．exx1-xhx=，x，eex函数gx=ax+1的图像恒过定点P-1,0．函数hx=当x∈-∞,1时，hx>0，hx单调递增；当x∈1,+∞时，hx<0，hx单调递减．所以当x=1时，hxmax=h1=A1,12．又h2=2，记点ee12，B2,2，且h0=0，ee当x→+∞时，hx→0+．作出函数hx大致图像，如图．若满足不等式ax+1ex-x<0有且仅有一个正整数解，则结合函数图像必有kPB≤a0)2【解析】延长F2P，交F1M于Q，因为∠PMF2=∠PMQ，∠MPF2=∠MPQ，所以△MPF2≌△MPQ，所以MF2=MQ，MP=MP，所以QF1=MF1-MQ=MF1-MF2，因为M是双曲线C右支上一点，所以QF1=2a=4，又因为P是QF2的中点，O是F1F2的中点，所以PO==2，所以P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，所以点P的轨迹方程为x2+y2=4(x>0)．故答案为：x2+y2=4(x>0).46.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，B，C，已知sin2A+sin2C=33sin2B+sinAsinC，若△ABC的面积为，则a+c的最小值为__________．4【答案】23【解析】由sin2A+sin2C=sin2B+sinAsinC及正弦定理可得a2+c2=b2+ac，a2+c2-b2ac1π所以由余弦定理的推论可得cosB===，因为00,b>0的右焦ab点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若23FA=AB，则双曲线C的渐近线的方程为______．4【答案】y=±x3【解析】设C的左焦点为F1，连接F1B，过F1作F1D⊥FB于D，易知：F1D⎳OA，在曲线C中，易知：则DB=2b，则D为线段FB的中点．FA=b，又FB=4b，即c+a=2b，得c+a=4(c-a)，F1B=4b-2a=2c，5则c=a，344又c2=a2+b2，得b=a，渐近线方程为y=±x．334故答案为：y=±x3四、双空题50.(2022·广东惠州·高三阶段练习)已知抛物线方程y2=8x，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PFPF与抛物线的交点，定义：dP=.已知点P-2,82，则dP=___________；设点FQP-2,tt>0，若4dP-PF-k>0恒成立，则k的取值范围为___________.【答案】4 -∞,4【解析】如下图所示，过点Q作抛物线准线的垂线QE，垂足为点E，设∠PFO=θ，则θ为锐角，设抛物线y2=8x的准线与x轴的交点为M，则MF=4，MF4由抛物线的定义可知QF=QE，=，cosθ=PF=cosθcosθQEQF=，PQPF-QFPF1+cosθ所以，=，cosθQF22当点P的坐标为-2,82时，则cosθ=PF=4+82=12，MF1=，3PFPF1+cosθ此时dP===4；cosθFQ当点P-2,tt>0时，若4dP-PF-k>0恒成立，则k<4dP-PF，41+cosθ4-=4，∴k<θcosθ故答案为：4；-∞,4.4dP-PF=51.(2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试)甲射击一次,中靶概率是P1,乙射击一次,中靶概率是P2,已知111,是方程x2-5x+6=0的根,且P1满足方程x2-x+=0.则甲射击一次,不中靶概率为____4P1P2_;乙射击一次,不中靶概率为_____.12【答案】 2311111【解析】由P1满足方程x2-x+=0知,P12-P1+=0,解得P1=.因为,是方程x2-5x+6=0442P1P211111的根,所以·=6,解得P2=,因此甲射击一次,不中靶概率为1-=,乙射击一次,不中靶概率322P1P21212为1-=.故填(1),(2).332352.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)若fx=lna+____．1【答案】 -； ln2．21+b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．1-x1a+11由a+≠0可得，所以x==-1，解得：a=-，即函数的定义域为1-xa+1-ax≠0，1-xa2111+x再由f0=0可得，b=ln2．即fx=ln-++ln2=ln，-∞,-1∪-1,1∪1,+∞，21-x1-x在定义域内满足f-x=-fx，符合题意．1故答案为：-；ln2．21+b是奇函数，则a=_____，b=__1-x【解析】因为函数fx=lna+试卷第1页，共50页
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