《高等数学》 二)考试大纲 (.

2023年12月11日发(作者：正规高中数学试卷编排)

《高等数学》（二）考试大纲

课程编号：040201

课程类别：公共必修

总学时数：75-85

学 分 数：4.5

一、考试对象

本科理工科学生

二、考试目的

《高等数学》课程考试旨在考察一元微积分学知识的基础上，注重考察学生对于基本概念和定理的理解与掌握、熟练的基本运算能力和运用数学知识分析解决简单的实际问题的能力，以及一定程度的抽象思维能力和逻辑推理能力。本门课程考核要求由低到高共分为“了解”、“掌握”、“熟练掌握”三个层次。其含义：了解，指学生能懂得所学知识，能在有关问题中认识或再现它们；掌握，指学生清楚地理解所学知识（例如定理的条件与结论，公式的表述与使用范围等），并且能在基本运算和简单应用中正确地使用它们；熟练掌握，指学生能较为深刻理解所学知识，在此基础上能够准确、熟练地使用它们进行有关推导和计算，以及分析解决较为简单的实际问题。

三、考试方法和考试时间

1、考试方法：（校统考 闭卷 笔试）

2、记分方式：百分制，满分为100分

3、考试时间：120分钟

4、试题总数：26题

5、命题的指导思想和原则

命题的总的指导思想是：全面考查学生对本课程的基本原理、基本概念和主要知识点学习、理解和掌握的情况。命题的原则是：题目数量多、份量小，范围广，最基本的知识一般要占60%左右，稍微灵活一点的题目要占20%左右，较难的题目要占20%左右。其中绝大多数是中小题目，即使大题目也不应占分太多，应适当压缩大题目在总的考分中所占的比例。客观性的题目应占比较重的份量。

6、题目类型

（1）单项选择题（在下列各小题的备选答案中，请把你认为正确答案的题号填入题干的括号内。少选、多选不给分。每题2分，共20分）

（2）填空题（每空3分，共15分）

（3）计算题（八题，共46分）

（4）应用题（两题，共15分）

（5）证明题（每题4分，共4分）

7、各类题目的特点及考试的目的

(1) 选择题。是从一个问题的若干个答案中选出正确的答案。这类题目是把正确答案与相近的答案或似是而非的答案并列，它具有简单、明确、客观的特点。它是既容易得分，又容易丢分的题目。这类题目不需要学生在复习时死记硬背，但对基本结论要理解准确。用这类题目进行考试的目的，主要是考查学生对基本知识理解的准确程度。

(2) 填空题。一般来说有填写内容较少，而且十分准确，并具有答案的唯一性特点。这是比较容易得分的题目。所填写的内容多半是一些基本原理的结论、条件；名词概念的简单解释；表示一定意义的公式、字母；客观规律等。用这类题目进行考试的目的，主要是考查学生对一些最基本的知识能否做到少而精地理解、掌握和记忆。

（3）计算题。要求根据相关定律、定理和公式，对所给出的数值或量进行数字运算，得出正确答案。主要考查学生基本的计算技能以及一定的推理判断能力和逻辑思维能力等。

(4)应用题。要求根据已知条件，建立数学模型，利用所学知识，给出解答。主要考查学生基本的知识应用能力及基本的计算技能。

(5)证明题。要求根据已知条件，求证结论的成立。这类题目主要是考查学生对一些定理、命题和公式的掌握与运用能力，综合性强，有一定难度。这类题目的隐含条件不易发现，但往往又是解题的关键。

8、答题要求

同学们拿到考卷以后，首先要把各类题目的意思和要求弄清楚，切忌看错题目，所答非所问。对于各类题目的回答要求如下：

（1）对于选择题，要求选择要正确，不可多选或漏选。

（2）对于填空题，要求填写要准确，无需解释。

（3）计算题。要求解题思路清楚，步骤完整，格式规范化。这类题一般按演算步骤记分，如果计算结果不对，但演算步骤对了，仍可得一定分数。计算题有很多题型，不同的题型有不同的解题方法。

（4）应用题。要求写出已知条件，建立模型，求解答案。如果模型建立错误，不得分。模型求解过程中的计算错误，可酌情扣分。

（5）证明题。答题时要求找出已知条件和求证结果之间的关系，找出推导的定理、公式、命题，再根据这些定理、公式、命题进行推导。推导的方法一般有论证、反证和数学归纳法。证明题有一定证明技巧，一定要灵活运用。证明过程中，要求逐步地、条理清楚地写出推导过程并注明所运用的定理、命题。这类题一般按演算步骤记分。

四、考试内容、要求

（一）、向量代数和空间解析几何

考试内容: 向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积的概念及运算向量的混合积两向量垂直和平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程、直线方程及其求法平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角点到平面和点到直线的距离球面母线平行于坐标轴的柱面旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。

考试要求 ：

1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。 3.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

4.掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

5.理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

6.了解空间曲线的参数方程和一般方程。人了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

（二）、多元函数微分学

考试内容: 多元函数的概念二元函数的极限和连续的概念有界闭域上连续函数的性质偏导数、全微分的概念全微分存在的必要条件和充分条件全微分在近似计算中的应用复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度的概念及其计算空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数极值和条件极值的概念多元函数极值的必要条件二元函数极值的充分条件极值的求法拉格朗日乘数法多元函数的最大值、最小值及其简单应用

考试要求:

1.理解多元函数的概念。

2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭域上连续函数的性质。

3.理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。

4.理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

5.掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

8.了解二元函数的二阶泰勒公式。

9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。

（三）、多元函数积分学

考试内容: 二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林（Green）公式平面曲线积分与路径无关的条件已知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯（GauSS）公式斯托克斯（STOKES）公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用

考试要求:

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。

2.掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

4.掌握计算两类曲线积分的方法。

5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数

6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分，会用斯托克斯公式计算曲线积分，且能够建立曲面积分与曲线积分的联系。

7.了解散度与旋度的概念，并会计算。

8.会用重积分、曲线积分及曲面积分，求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。

（四）、无穷级数

考试内容: 常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与P级数正项级数的比较审敛法比值审敛法、根值审敛法交错级数的莱布尼茨定理绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数的收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数在其收敛区问内的基本性质简单幂级数的和函数的求法函数可展开为泰勒级数的充分必要条件麦克劳林（Maclaurin）展开式幂级数在近似计算中的应用函数的傅里叶（FOurier）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dlrichlei）定理函数在[一L，L]上的傅里叶级数函数在[-L，L]上的正弦级数和余弦级数

考试要求:

1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2.掌握几何级数与P级数的收敛性。

3.会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

4.会用交错级数的莱布尼茨定理。

5. 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7.掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区问内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10. 了解一些函数的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数 。

11.了解幂级数在近似计算上的简单应用。

12.了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[－L，L]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，L]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

（五）、常微分方程

考试内容: 常微分方程的概念微分方程的解、通解、初始条件和特解变量可分离的方程齐次方程一阶线性方程伯努利（BER——noulli）方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉（Eu1er）方程包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组微分方程的幂级数解法微分方程（或方程组）的简单应用问题

考试要求：

1.了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。

2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。

3.会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。

4.会用降阶法解一些方程（略）

5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7.会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

8.了解微分方程的幂级数解法，会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。

五、试题结构（内容、题型、分数分配）

序号 题 型1

2

3

4

5

考试内容

分,常微分方程，级数

填空 解几,多元函数微积分,常微分方程，级数

计算 解几,多元函数微积分,常微分方程

应用 多元函数微积分,常微分方程

证明 解几,多元函数微积分, ，级数

总分数

分数分配

10分（10小题×2分/小题）

15分（5小题×3分/小题）

46分 （2×5＋6×6）

15分(一题7分，一题8分)

4分(共一题)

100分

备 注

选择 解几,多元函数微积

六、考试要求

本课程期末考试为闭卷考试，考生不得携带任何纸张、教材、笔记本、作业本、参考资料、电子读物、电子器具和工具书等进入考场。