2021年四川省高考数学试卷(文科)

2024年3月27日发(作者：扬州教师面试数学试卷分析)

2021年四川省高考数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个

选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（ ）

A．∅ B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，1，2，3}

2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体能够是（ ）

A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台

3．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点

是（ ）

A．A B．B C．C D．D

4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x

∈B，则（ ）

A．￢p：∃x∈A，2x∈B

D．￢p：∀x∉A，2x∉B

的距离是（ ）

B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B

5．（5分）抛物线y

2

=8x的焦点到直线

A． B．2 C． D．1

6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣

所示，则ω，φ的值分别是（ ）

A． B． C． D．

＜φ＜）的部分图象如图

7．（5分）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得

数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，

35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（ ）

A． B．

1 / 19

C． D．

8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值

为b，则a﹣b的值是（ ）

A．48 B．30 C．24 D．16

9．（5分）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点

F

1

，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O

是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）

A． B． C． D．

10．（5分）设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈

[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范畴是（ ）

A．[1，e] B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[0，1]

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（5分）lg+lg的值是 ．

+=λ，则12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，

λ= ．

13．（5分）已知函数（fx）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a= ．

14．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是 ．

15．（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，

﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解承诺写出文字说明，证明过程或演

算步骤．

2 / 19

16．（12分）在等比数列{a

n

}中，a

2

﹣a

1

=2，且2a

2

为3a

1

和a

3

的等差中项，求数

列{a

n

}的首项、公比及前n项和．

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A﹣B）

cosB﹣sin（A﹣B）sin（A+C）=﹣．

（Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．

18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，

24这24个整数中等可能随机产生．

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P（2，3）；

i

i=1，

（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的明白得，各自编写程序重复运行n

次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数

统计表的部分数据．

甲的频数统计表（部分）

运行

输出y的值

输出y的值

输出y的值

次数n

为1的频数

为2的频数

为3的频数

30

…

2100

14

…

1027

6

…

376

10

…

697

乙的频数统计表（部分）

运行

输出y的值

输出y的值

输出y的值

次数n

为1的频数

为2的频数

为3的频数

30

…

2100

12

…

1051

11

…

696

7

…

353

当n=2100时，依照表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i

（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判定两位同学中哪一位所编写程序符合

算法要求的可能性较大．

19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

中，侧棱AA

1

⊥底面ABC，AB=AC=2AA

1

=2，

∠BAC=120°，D，D

1

分别是线段BC，B

1

C

1

的中点，P是线段AD上异于端点的点．

3 / 19

（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A

1

BC平行的直线l，说明理由，并

证明直线l⊥平面ADD

1

A

1

；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A

1

﹣QC

1

D的体积．（锥体体

积公式：，其中S为底面面积，h为高）

20．（13分）已知圆C的方程为x

2

+（y﹣4）

2

=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx

与圆C交于M，N两点．

（Ⅰ）求k的取值范畴；

（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且

示为m的函数．

21．（14分）已知函数，其中a是实数．设A（x

1

，f（x

1

）），

．请将n表

B（x

2

，f（x

2

））为该函数图象上的两点，且x

1

＜x

2

．

（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x

2

＜0，证明：x

2

﹣x

1

≥1；

（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范畴．

2020年四川省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个

选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（ ）

A．∅ B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，1，2，3}

【分析】找出A与B的公共元素即可求出交集．

【解答】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，

∴A∩B={2}．

故选：B．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练把握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体能够是（ ）

4 / 19

A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的

图形．

【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看差不多上梯形，

从上面看为圆形，下面看是圆形，同时能够想象到该几何体是圆台，

则该几何体能够是圆台．

故选：D．

【点评】考查学生对圆锥三视图把握程度和灵活运用能力，同时也表达了对空间

想象能力方面的考查．

3．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点

是（ ）

A．A B．B C．C D．D

【分析】直截了当利用共轭复数的定义，找出点A表示复数z的共轭复数的点即

可．

【解答】解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点

关于x轴对称．

因此点A表示复数z的共轭复数的点是B．

故选：B．

【点评】本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，差不多知识的考查．

4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x

∈B，则（ ）

A．￢p：∃x∈A，2x∈B

D．￢p：∀x∉A，2x∉B

B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B

【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．

【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，

∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：

￢p：∃x∈A，2x∉B．

故选：C．

【点评】本小题要紧考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础

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题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反

的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“差不多上”与“不差不

多上”等，因此“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定

是“全称命题”．

5．（5分）抛物线y

2

=8x的焦点到直线

A． B．2 C． D．1

的距离是（ ）

【分析】由抛物线y

2

=8x得焦点F（2，0），再利用点到直线的距离公式可得点F

（2，0）到直线的距离．

【解答】解：由抛物线y

2

=8x得焦点F（2，0），

∴点F（2，0）到直线

故选：D．

【点评】熟练把握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键．

6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣

所示，则ω，φ的值分别是（ ）

A． B． C． D．

的距离d==1．

＜φ＜）的部分图象如图

【分析】依照函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期

T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k

∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．

时取得最大值，x=时取得最【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=

小值，

∴函数的周期T满足=

由此可得T=

﹣=，

=π，解得ω=2，

得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）

又∵当x=

∴2sin（2•

时取得最大值2，

+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）

6 / 19

∵

故选：A．

，∴取k=0，得φ=﹣

【点评】本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了

三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．

7．（5分）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得

数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，

35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】依照题意，由频率与频数的关系，运算可得各组的频率，进而能够做出

频率分布表，结合分布表，进而能够做出频率分布直方图．

【解答】解：依照题意，频率分布表可得：

分组

[0，5）

[5，10）

[10，15）

…

[30，35）

[35，40）

合计

频数

1

1

4

…

3

2

100

频率

0.05

0.05

0.20

…

0.15

0.10

1.00

进而能够作频率直方图可得：

故选：A．

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【点评】本题考查频率分布直方图的作法与运用，关键是正确明白得频率分布表、

频率分步直方图的意义并运用．

8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值

为b，则a﹣b的值是（ ）

A．48 B．30 C．24 D．16

【分析】先依照条件画出可行域，设z=5y﹣x，再利用几何意义求最值，将最小

值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点B（8，0）时的最

小值，过点A（4，4）时，5y﹣x最大，从而得到a﹣b的值．

【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示

在坐标系中画出可行域，

平移直线5y﹣x=0，通过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8，

则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8．

通过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16，

则目标函数z=5y﹣x的最大值为16．

z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24．

故选：C．

【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，表达了数形结合思想、

化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．

9．（5分）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点

F

1

，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O

是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）

A． B． C． D．

【分析】依题意，可求得点P的坐标P（﹣c，），由AB∥OP⇒k

AB

=k

OP

⇒b=c，

8 / 19

从而可得答案．

【解答】解：依题意，设P（﹣c，y

0

）（y

0

＞0），

则

∴y

0

=

+

，

），

=1，

∴P（﹣c，

又A（a，0），B（0，b），AB∥OP，

∴k

AB

=k

OP

，即

∴b=c．

设该椭圆的离心率为e，则e

2

=

∴椭圆的离心率e=

故选：C．

【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标（﹣c，

分析与运算能力，属于中档题．

10．（5分）设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈

）是关键，考查

．

===，

==，

[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范畴是（ ）

A．[1，e] B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[0，1]

【分析】依照题意，问题转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）=f

﹣

1

（b）”，即y=f

（x）的图象与函数y=f

﹣

1

（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]．由

y=f（x）的图象与y=f

﹣

1

（x）的图象关于直线y=x对称，得到函数y=f（x）的图

象与y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]．因此，将方程化简整理

得e

x

=x

2

﹣x+a，记F（x）=e

x

，G（x）=x

2

﹣x+a，由零点存在性定理建立关于a的

不等式组，解之即可得到实数a的取值范畴．

【解答】解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f

﹣

1

（b）

其中f

﹣

1

（x）是函数f（x）的反函数

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因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为

“存在b∈[0，1]，使f（b）=f

﹣

1

（b）”，

即y=f（x）的图象与函数y=f

﹣

1

（x）的图象有交点，

且交点的横坐标b∈[0，1]，

∵y=f（x）的图象与y=f

﹣

1

（x）的图象关于直线y=x对称，

∴y=f（x）的图象与函数y=f

﹣

1

（x）的图象的交点必定在直线y=x上，

由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，

依照，化简整理得e

x

=x

2

﹣x+a

记F（x）=e

x

，G（x）=x

2

﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，

可得，即，解之得1≤a≤e

即实数a的取值范畴为[1，e]

故选：A．

【点评】本题给出含有根号与指数式的差不多初等函数，在存在b∈[0，1]使f

（f（b））=b成立的情形下，求参数a的取值范畴．着重考查了差不多初等函数

的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特点等知

识，属于中档题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（5分）lg+lg的值是 1 ．

【分析】直截了当利用对数的运算性质求解即可．

【解答】解：

故答案为：1．

【点评】本题考查对数的运算性质，差不多知识的考查．

12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，

λ= ．

【分析】依题意，+=，而=2，从而可得答案．

+=λ，则

==1．

【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，

∴+=，

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