代数学的发展

2023年12月10日发(作者：中考数学试卷百度文库)

第一节 代数学的发展

一、伽罗瓦理论及群论的发展

长期以来，求解方程一直是整个代数的中心内容，而且在19世纪前期仍是如此．19世纪在探讨方程求解的问题中，出现了一种全新的理论．这一理论虽然以解决方程论中的重要问题为目的，但却引入了群和域等新概念，从而开辟了代数学研究的新方向．

阿贝尔和伽罗瓦是伽罗瓦理论及群论的主要奠基者．阿贝尔生于挪

伽罗瓦生于巴黎附近的布拉伦(Bourg-la－Reine)．他们俩有着共同的命运，很年轻就在数学的新领域做出了辉煌成就，但却不幸夭折，阿贝尔在26岁时死于结核病和营养不良，伽罗瓦21岁时死于决斗．在世时都没有为人所赏识．

为了求解四次以上的方程，华林、拉格朗日、鲁菲尼(P．Ruffi-ni，1765—1822)、高斯、柯西等人都作了十分有价值的工作．他们提出了方程的根的初等对称函数、置换等内容．这些都对阿贝尔、伽罗瓦有直接的影响．

阿贝尔在1824年春天成功地证明了：用根式求解一般的五次方程是不可能的．在这个过程中，他首先证明了今天的阿贝尔定理：可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出，出现在根的表达式中的每个根式都可表成方程的根和某些单位根的有理函数．

利用阿贝尔定理，1826年阿贝尔证明了高于四次的一般方程用根式求解的不可能性，根据阿贝尔的思想，克罗内克(L．Kro-necker，1823—1891)于1879年给出了一个直接、简单明了而又非常严密的证明．这样，几百年之久的求解高于四次的一般方程的问题就被阿贝尔解决了． 不仅如此，阿贝尔还给出了特殊的可用根式求解的方程的特征：这些方程的所有根都是其中一个根的函数，即全部根为x，θ1(x)，θ2(x)，„，θn-1(x)．其中θ1是有理函数．

1853年，克罗内克称具有这种特征的方程为阿贝尔(Abel)方程．

随后，阿贝尔证明了更一般的定理：如果一个方程的所有根能表示成其中一个根的有理函数，且对于其中任意的两个根θα，θβ，有

θα(θβ(x))=θβ(θα(x))．

则该方程可用根式求解．

阿贝尔一生在数学的其他领域也做出过重大的贡献．在椭圆函数方面、分析严密化方面都留下了他的足迹．其中有以他的名字命名的阿贝尔积分方程，阿贝尔定理，阿贝尔收敛判别法和关于幂级数的阿贝尔定理．

阿贝尔的工作开辟了代数学研究的新方向，他引进了域和在给定域中不可约多项式这两个概念，并且开始了群论的研究．

在群论、方程根的置换等问题的研究中，伽罗瓦也取得了重要成就．他试图解决这样的问题：虽然高于四次的方程一般不能用根式求解，但有些特殊的方程如阿贝尔方程却可用根式求解，那么哪些方程可用根式求解呢？

为了解决这个问题，他利用了拉格朗日关于根的置换、排列的概念．如设x1，x2，x3，x4是一个四次方程的根，则在这四个根的排列中交换xi和xj就是一个置换，这样总共就有4！＝24种可能的置换．经过任何两个置换后仍是其中的一个置换，所置换的集合形成一个群，这样伽罗瓦就给出了关于抽象群的一个早期定义．

这样，方程的群就成了它的可解性的关键．然后再这样进行探讨：给了一个方程，按照某种方法找到方程在系数域中的群G——根的置换群，这些置换使根之间的系数在该域中的全部关系保持不变．找到G后，再找G的最大子群H，然后可以用一套仅含有理运算的手续来找到根的对于G的所有T≠R，它的值发生改变．存在一种方法构造R中的一个．这个方程称为一个部分预解式．经过一系列工作，伽罗瓦给出了找给定方程的群，逐次预解式以及方程关于逐次扩大了的系数域的群——原来群的逐次子群的一系列方法，在这些工作中，群论的基本理论有了一些框架． 然后伽罗瓦引入了正规子群(或称自共轭子群，不变子群)的概念．他证明了当作为约化方程的群的预解或是一个素数次p的二项方程xp-A＝0时，则H是G的一个具有指数p的正规子群；反之，如果H是G的一个正规子群，且具有素指数p，则相应的预解式是p次二项方程，或能化简到这样的方程．

伽罗瓦引入了合成序列的概念：在子群序列G，H，K，L，„，E中，每一个都是前一个群中的极大正规子群．H对G的指数，K对H的指数等等，称为合成序列的指数．他得出了如下的重要结论：若一个方程的置换群的逐次子群所成的合成序列的指数都是素数，则这方程就能用根式求解；否则，该方程就不能用根式求解．

利用这个结论，伽罗瓦证明，对于一般的n次方程，方程的置换群由n个根的全部n！个置换组成，置换群称为n级对称群．它的阶是n！．

而n＝2时，合成序列的指数是2，n=3时合成序列的指数是2和3，n=4时合成序列的指数是2，3，2，2，因此当n≢4时方程能用根式求解．

伽罗瓦于1830年彻底解决了方程能用根式求解的问题．他证明一个素数次的不可约方程能用根式求解的充分必要条件是，这个方程的每个根都是其中两个根的带有R中系数的有理系数．满足这种条件的方程称为伽罗瓦方程．最简单的伽罗瓦方程是xp-A＝0(p为素数)．阿贝尔方程也是一种伽罗瓦方程．

伽罗瓦的工作一部分是关于方程的伽罗瓦理论，另一部分本身就是他所开创的一个新领域——群论．他是在严格的意义上使用“群(Group)”的第一个人，他引进了置换群、不变子群等概念，并且把群和域的扩张对应起来．

群论的产生深刻地改变了代数学的内容，使代数学从主要研究方程开始转向研究各种代数结构，并且使代数学开始向更严密的方向迈进．

伽罗瓦理论不仅回答了方程的求解问题，而且解决了古希腊“三大几何问题”中的“三等分任意角”和“倍立方体”问题．他的工作提供了可作图的一个判别法：对于一个作图问题首先要建立一个代数方程，它的解就是所要求的量．可作图的条件是这个量必须属于给定量的域的某个二次扩张域．利用这个判别法就可以解决上述两个问题，判明这两个问题都是不可解的．实际上，1837年旺策尔(P．L．Wantzel，1814—1848)用其它的方法曾独立地证明了这两个问题的不可能性．

1837年旺策尔还给出了正多边形可作图的必要性证明，这个问题是高斯在1796年提出的，高斯断言：一个正n边形是可作图的，当且仅当任意正整数或0．

拉格朗日已经知道子群的阶整除群的阶．伽罗瓦则给出了单群、合成群以及两个群G与G′之间的同构的概念．

由于伽罗瓦的工作1846年才陆续发表，所以直到1870年约当(C．Jordan，1838—1922)发表著名的《置换和代数方程专论》(Traité des

Substitutions et des équations al-gébriques)，才第一次给伽罗瓦理论清楚、完善的表述，这时群的概念已从方程论进入到数学的更广泛的领域．约当不仅使群论系统化，而且做出了许多重要的工作．1869年，他从极大自共轭子群出发，引入了商群的概念，并且在1872年引入记号Gi/Gi+1表示商群．他曾证明了今天的约当—建立了同构、同态的概念，添加了关于传递群和合成群的许多结果，在书中，他还指出，可解方程的群都是交换群，他称这样的群为阿贝尔群．

„，n)的线性变换来表示置换．1878年他曾提出，有限周期p的线性，„，n，εi是p次单位根．1868—1869年，他第一个对无限群进行了重要的研究，开创了利用群论研究几何变换的新道路．

柯西也对群尤其是置换群的研究做出了重要的贡献．他的工作影响了著名的代数学家凯莱(A．Cayley，1821—1895)．在1849—1854年发表的三篇文章中，他首次提出了抽象群的概念，把群从具体的对象(如数、置换)扩大到更一般的范围，奠定了群论的理论基础．

1872年，F．克莱因将群论与几何学联系起来，1873年李(M．S．Lie)引入连续群的概念，使群论与分析与几何联系在一起，从而产生了李群，李代数．19世纪对群论做出贡献的数学家还有西罗(L．Sylow，1832—1918)、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—

尤其重要的是，1849年物理学家、矿物学家布雷威(A．Bra－vais，1811—1863)通过研究行列式为±1的三个变量的线性变换现32类对称的分子结构．他的研究开创了群论在物理中尤其是物质结构理论中的应用，而且这种应用越来越广．这样，群论就迅速为人们所承认，进入数学的中心，并且一度使人们认为分析、几何、物理学可以通过群论统一起来．的确，群论作为从纯数学方程中研究所产生的成果，能够在几何、分析，尤其是在具体的物质晶体结构中得到应用，不仅使得其理论本身成了蓬勃发展的领域，而且冲击了人们对数学的固有观念，甚至冲击了人们的世界观．

二、四元数与向量

在1830年时，复数用于表示平面上的向量已众所周知．但复数只能表示在同一个平面上物体受力的情况．如果作用于一个物体上的几个力不在一个平面上，那么又该怎样表示呢？

1837年，哈密顿首先引进有序偶(a， b)来表示复数a＋bi，通过有序偶，他把复数的神秘性完全排除了．通过有序偶，对于两个复数a＋bi与c＋di，他这样定义复数的运算：

(a，b)±(c，d)=(a±c，b±d)，

(a，b)·(c，d)=(ac-bd，ad＋bc)，

这样，复数的历史发展与逻辑发展就得到了统一．

既然有序偶(a，b)表示的二维复数可以表示同一个平面的力，因此很自然地，哈密顿和许多人都试图寻找三维复数表示空间的力．他发现，要求三维复数具有当时所发现的数(从自然数到复数)所具有的乘法交换性，总是办不到，而且三维复数(a，b，c)无论如何也不能唯一地表示出空间的力．他长期为这个问题所困扰，苦思冥想长达十几年，但一无所获．

1843年10月16日黄昏，哈密顿携夫人一道去都柏林作为会长主持爱尔兰皇家学会会议，当步行到勃洛翰格时，长期探求的内容突然像一道闪电出现了，“此时此刻我感到思想的电路接通了．”他在一刹那间顿悟出，要用新数表示出空间向量，必须作出两点让步：一是新数必须含有四个分量(1，i，j，k)；二是必须牺牲乘法交换律．他把这种新的数

a＋bi＋cj＋dk (a，b，c，d为实数)

叫做四元数，写成有序偶的形式为(a，b，c，d)．对于基本分量的乘法，他定义为：

两个四元数a+bi＋cj＋dk，e+fi+gj+hk，按普通多项式相加、相等并利用上述基本乘法公式，仍为一四元数．他通过有序偶给出了四元数的加法与乘法：

(a，b，c，d)＋(e，f，g ，h)＝(a＋e，b＋f，c＋g，d＋h)，

(a，b，c，d)·(e，f，g，h)＝(ae bf cg dh，

af＋be＋ch－dg，ag＋ce＋df-bh，ah＋bg＋de-cf)，

四元数进行乘法运算时，交换律不再成立，如

j·k＝i，但k·j＝－i；p＝3＋2i＋6j＋7k，q＝4＋6i＋8j＋9k，pq- -111＋24i＋72j＋35k，但qp=-111＋28i＋24j＋75k．

在数学史上，第一次出现了乘法交换律不成立的实例．

在数学史乃至科学史上，四元数的产生是灵感导致伟大发明的极好例证．

四元数的发明在方法论上也是富有启示的．首先是通过类比导致了哈密顿等人去寻求三维复数，但长期的错误类比困惑了人们相当长的时期．突然，一道思维的闪电将这种束缚击破，从而导致了四元数的发明．

长期以来，我们只注意了群论的产生对代数学的冲击，而忽视了四元数对代数学的影响． 正如非欧几何创立以前人们认为欧氏几何是唯一的、不可更改的几何一样，经过皮科克(G．Peacock， 1791—1858)等人的总结，到19世纪四十年代，数学界普遍接受的是下述代数公理：

1．等量各加上第三个等量得到等量；

2．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (加法结合律)；

3．a＋b＝b＋a (加法交换律)；

4．等量加等量给出等量；

5．等量加不等量给出不等量；

6．a(bc)＝(ab)c (乘法结合律)；

7．ab＝ba (乘法交换律)；

8．a(b＋c)=ab＋bc (乘法对加法的分配律)．

那时数学家们把上述公理看作是自古不变的，认为存在与一般的代数不同的代数是不可思议的．试图作乘法的交换律不成立的一种代数结构，不仅没有人会那样想，就是有人想出来了，也会被认为是异端邪说，a×b≠b×a，这太与常识相悖了．哈密顿也就是长期不敢相信这个事实，但他终于迈出了这一步．

现在有了四元数，其中乘法交换律不成立，而结合律等成立，同时又能发展出一套有用的理论体系，而且在逻辑上前后一致．这就使数学家们认识到：可以构造一个有意义的、有用的数系，它可以不具有实数和复数的交换法．人们可以考虑偏离实数和复数的通常性质的自由创造．这样，四元数就使得人们认识到：代数学的公理是可以改变的，不仅交换律，就是其他运算规则如结合律等也可以不满足．可以构造各种各样的代数，而上述公理可以一个或几个不成立，这样就有大量的系统能够研究了，从而使代数学第一次达到了可以“自由”研究的程度．从逻辑上完全可以这样认为，群论可以在四元数引起代数的这些变化之后作为一个系统来研究，今天大多数群论的教材就反映了这一点．

1844年，格拉斯曼(H．G．Grassmann，1809—1877)把四元数推广到n元数组，使每一个数组(x1，x2，„，xn)与一个x1e1＋x2e2＋„＋xnen这样形式的结合代数相联系，建立了该代数的基本单位e1，e2，„，en的乘法表，并由此建立了n维空间的概念，这样就把通常的二、三维解析几何坐标推广成n个，建立了相应的n维仿射空间和度量空间的几何学．这是代数、几何学上的重大突破，在这方面格拉斯曼几采与哈密顿齐名． 1843年，凯莱也引入了n维空间的概念，1854年他又给出了八元数——称为凯莱数：x=x0＋x1e1＋x2e2＋„＋x7e7．克利福德(W．K．Clifford，1845—1879)创立了拟四元数q+wQ(q，Q是四元数，w2=-1)．等等．

面对这样多新涌现出来的代数，人们开始思索，自由创造的数学都能具有哪些性质？1857年，有人证明，在R上可除代数仅有的可能性是维数为1，2，4，8的代数，即实数、复数、四元数和凯莱数．1878年，弗罗伯尼证明了，具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数线性结合代数，如服从结合律，则只有实数、复数和实四元数的代数．魏尔斯特拉斯在1861年证明了，有有限个原始单元的，实或复系数线性结合代数，如服从乘积定律和乘法交换律，就是实数和复数的代数．赫尔维茨(A．Hurwi－tz，1859—1919)证明了实数、复数、实四元数和拟四元数是仅有的满足乘法定律的线性结合代数，哈密顿要是早知道这一点，他就不会徒劳无益地花十几年功夫寻求三维复数了．这些定理告诉人们，任意创造新的代数系统与保持某些代数性质是相互制约的．

哈密顿、格拉斯曼、凯莱等人，以推出不同于传统代数的遵守某种结构规律的代数方法，而开创了现代抽象代数的研究．减弱或者去掉普通代数的各种假定，或像非欧几何一样将其中一个或多个假定代之以其他的假定，就可以出现多种可供人们研究的体系．按照这种方法，我们可以得到群、半群、环、整环、格、除环、布尔环、域、若尔当代数、李代数，等等．这种方法无疑地得益于四元数发明后产生的思想．20世纪的抽象代数已成为数学的主流之一，这些都应该追溯到四元数．

四元数在向量分析的发展中起了重要作用，直接导出了向量分析．哈密顿本人把四元数a＋bi＋cj＋dk分为两部分：实部和他称之为向量的复数部(a Complex Pant)．两个向量按照四元数的运算法则所得出的乘积同样具有实部和向量部分．设

他记实部(数量部分)为Sαα′、向量部分为Vαα′．如果把α，α′看作两个向量α-(x，y，z)，α′=(x′y′z′)，则有

Sαα′=-α·α′，Vαα′=αxa′．

这样，向量分析的基本公式(数积和叉积)借助四元数就被确定了．著名的物理学家、数学家麦克斯韦(J．Maxwell，1831—1879)在处理电、磁的有关问题时，曾明确指出，规定一个向量需用三个分量，这三个量能解释成沿三个坐标轴的长度，并且强调说，这个向量概念就是

当它作用于点函数u(x，y，z)时，产生向量

在哈密顿工作的基础上，19世纪80年代吉布斯(J．W．Gi-bbs，1839—1903)、希维赛德(O．Heavside，1850—1925)开创了向量分析这门新的数学分支，为物理学提供了十分有益的工具．他们两人提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但独立于任何四元数，向量

c为实数，称为分量．规定 这样，吉布斯和希维赛德也建立起了数积和叉积；

从而建立了向量代数．

数．由t的不同值可以得到各个向量，如果都是O作为原点画出来，则这些向量的终点描出一条曲线(图13·1)．

上面我们看到的梯度、旋度就是向量微分．

向量的积分形式被19世纪的数学家、物理学家用来把许多公式表成了更加简捷的形式．高斯—奥斯特洛格拉德斯基(Gauss—Ostrogradsky)公式写成了

梯度公式写成了

希维赛德把麦克斯韦方程写成了

物理学家选择了形式上更简单、运用更方便的向量分析方法，但是相反四元数倒受到了冷落．

三、线性代数

四元数的出现为线性代数理论(主要是矩阵理论)的发展铺平了道路．19世纪的线性代数在行列式方面逐渐完善了，同时还新创立了重要的矩阵理论和线性变换理论．

柯西于1812年给出了现代意义下的行列式这个词，并且在1815年引入了把元素排成方阵并采用双重足标的记法，而1841年凯莱则引入了两条竖线，到此为止标准的行列式已经出现了：

-α′β，αβ′γ″-αβ″γ′+α′β″γ-α′βγ″+α″βγ′-α″β′γ，等．”

1815年柯西给出了行列式乘法：|aij|·|bij|=|cij|，其中|aij|、|bij|表示n，舍尔克(H．F．Scherk，1798—1885)给出了行列式的一系列新性质，如其中某一行是另两行或几行的线性组合时，行列式为零，三角行列式的值是主对角线上的元素的乘积，等等．

1841年，雅可比给出了行列式D的导数公式(当其元素是t的函数

其中aij是t的函数，Aij是aij的代数余子式． 行列式还被用于多重积分的变量替换中．1832—1833年，雅可比给出了一些特殊的结果．1839年，卡塔兰(E．C．Catalan，1814—1894)给出了一般的结果：

其中x=x(u，v)，y＝y(u，v)是D到D′变换，其中

分也有类似结果．

1841年，雅可比写了一篇文章专门讨论函数行列式J．他给出了这样的结果：若J≠0，则F1，F2，„，FM(线性)无关．他还给出了雅可比行列式的乘积定理：

有用，利用行列式，19世纪的数学家在这方面取得了大量的成果． 1801年，高斯在《算术探讨》(Disquisitiones Arith-meticae)中引入

y2s+1-„-y2r-s．西尔维斯特(J．J．Sylvester，1814—1897)于1852年证明了著名的惯性定律：对于一个二次齐式来说，不管使用何种变换，正项的个数s以及负项的个数r-s总是不变的．

西尔维斯特对19世纪线性代数的发展做出了卓越贡献．他和魏尔斯特拉斯共同完成了二次型的理论．19世纪数学家们讨论了各种各样的特殊行列式如对称行列式、斜对称行列式、正交行列式，等等，得到了许多特殊的结果．如阿达玛(J．Hadamard，1865—1963)于1893年得

凯莱(A．Cayley)是矩阵论的创始人．在19世纪上半叶他就曾系统地研究过矩阵的有关性质．1849年他曾指出：矩阵在乘法下以及四元数在加法下构成群．1850年,西尔维斯特首先使用矩阵(Matix)一

他写了《矩阵论的研究报告》(A Memoir on the Theory of Matrices)一文，给出了适用于n×n矩阵和m×n矩阵的许多定义：两个矩阵相等就是它们的对应元素相等；一个矩阵是两个矩阵之和，就是它的元素是两个

他还给出了两个矩阵相乘的法则，并且指出，m×n矩阵只能用n×p矩阵去乘．

凯莱指出，矩阵乘法可结合，但一般不可交换．如

AB≠BA．

凯莱给出了求一个矩阵A的逆矩阵A-1的公式

(其中Aij为行列式|A|中aij的代数余子式．)

他还断言，两个矩阵的乘积为零无需其中有一个为零矩阵．1870年，皮尔斯(B．Perice，1809—1880)引进了幂零元的概念：元素A对某个正整数n满足An=0；同时还引进了幂等元的概念：元素A对某个n满足An=A．后来，人们由此而定义了幂零矩阵AM＝0与幂等矩阵Am＝A．

19世纪，人们定义了对称矩阵、反对称矩阵、斜对称矩阵、转置矩阵等特殊矩阵．1854年和1878年，埃尔米特、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—1917)分别给出了正交矩阵的定义：矩阵A是正交的，如果它等于它的转置矩阵AT的逆，即M＝(MT)-1．弗罗伯尼证明了正交矩阵总能写成(S－T)/(S+T)或者(I-T)/(I+T)的形式，其中S为对称矩阵，T为反对称矩阵，I为单位矩阵．从柯西开始，人们就开始讨论相似矩阵和相似行列式．如果存在一个可逆矩阵P使得B＝P-1AP，则称矩阵A与B相似．相应地，人们也这样定义了相似行列式．

1879年，弗罗伯尼利用行列式引进了矩阵的秩的概念．一个m×n矩阵的秩为r，当且仅当它至少有一个r阶子式的行列式不为零，而所有高于r阶的子式的行列式都为零．矩阵的秩有一系列性质：秩(AB)≢min(秩(A)，秩(B))，等等．

特征方程是矩阵和行列式理论中的重要内容，它最先是由欧拉开始研究的，随后拉格朗日、拉普拉斯在线性微分方程组的研究中明确地提出了这一概念，而“特征方程”这个术语则是柯西提出的．

矩阵A的特征多项式是由下列多项式定义的：

F(λ)＝|λI-A|=λn-C1λn-1+„＋(-1)nCn．

λI-A称为A的特征矩阵，F(λ)=|λI-A|＝0称为A的特征方程．

1858年，凯莱得到了著名的哈密顿—凯莱(Hamilton—Caylay)定理：n阶矩阵A是它的特征多项式的根，即F(A)=0．

1890年，泰伯(H．Taber，1860—？)得到了这样的结论：特征方程的所有根之和即特征根之和是矩阵A的对角线之和，即矩阵A之值，也就是说C1＝tr(A)=∑aij；而特征方程的常数项就是A的行列式之值，Cn＝|A|．

西尔维斯特还得出了“西尔维斯特定理”：若A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，m≣n，AB的特征多项式是fAB(λ)，BA的特征多项式是fBA(λ)，则fAB(λ)=λM-n·fBA(λ)．

1878年，弗罗伯尼提出了矩阵A的最小多项式的概念，并指出它是由特征多项式的因子形成的而且是唯一的．但直到1904年亨泽尔(K．Hensel，1861—1941)才证明了唯一性，同时他还证明了，若h(x)是矩阵A的最小多项式，g(x)是A满足的任一其他多项式，则有h(x)|g(x)．

今天，我们把含有参数λ的矩阵叫做λ—矩阵，19世纪对λ—矩阵及其行列式进行了充分的讨论．1851年，西尔维斯特从对行列式

以后，1878年弗罗伯尼将这两个概念引入到矩阵中，进行了大量的工作，并以完美的逻辑形式整理了初等因子、不变因子的理论，其中的重要工作是彻底弄清楚了矩阵之间关系的结构．

如果存在两个可逆矩阵U，V使A＝UBV，则称A，B等价．

1878年弗罗伯尼证明了，矩阵A，B等价的充要条件是A和B有相同的初等因子或不变因子；而早在1868年，魏尔斯特拉斯就已经证明，两个矩阵相似的充要条件是它们有相同的不变因子和初等因子．他们所讨论的矩阵(同时也涉及到行列式)的元素不仅是实数，也扩充到了复元素．

1870年，若尔当(亦称约当)证明了任何一个矩阵A可以变到标准型

J称为约当标准型，Ji称做对于λi的约当块．矩阵A的特征多项式

矩阵的约当标准型的完整理论．

1892年，梅茨勒(W．H．Metzler，1863—？)引入了矩阵的超越函数，如eM，lnM，sinM，arc sinM(其中M为矩阵)；而且其他人将矩阵(行列式)推广到了无穷阶的情形，矩阵元素也由普通的实数、复数扩充到属于抽象域了．

凯莱、西尔维斯特建立了线性变换的理论．实际上，凯莱就是从两个相继线性变换的效应表示给出了矩阵的乘法定义．他们把一个矩阵看作一线性变换，从而利用线性变换处理了矩阵的相似、等价、合同等关系．后来线性变换又被应用于研究数论、射影几何，取得了巨大的成就，这一世纪已经出现了线性变换的矩阵标准形式：

实际上，由于这一时期已经有了一般的n维空间理论，而且变换的思想早已进入数学界，在数论、代数、几何中引用各种变换已成为一种基本方法，因此，19世纪形成线性变换的基本理论是势在必然的事情．

四、数论

数论是最古老的数学分支之一，但是，数千年来它只是一系列孤立的巧妙结果、方法的集合．真正形成一门完整的学科——具有自己独特的范式，直到19世纪才成为可能．在这方面，主要应归于四位数学家：高斯、狄利克雷、黎曼和库默尔．

1801年，高斯发表了《算术探讨》，在这部伟大的著作中他把记号标准化了，把现存的定理系统化并推广了，引进了许多新的方法，解决了许多问题，发现了一些新的成果，因此这部著作标志着数论研究新纪元的开始．他在数论方面的主要贡献是：开创了同余理论的研究，通过研究复整数的理论而奠定了代数数论的基础，系统化并扩展了型的理论，关于素数定理的工作．

高斯在《算术探讨》中首先引入了同余的记号

a≡b mod m

并且系统地给出了关于同余式的算术运算．随后就给出了关于多项式同余式基本定理的证明：一个n次同余式

Axn＋Bxn-1＋„＋Mx＋N≡0(modp)

高斯在证明了著名的二次互反律之后，在19世纪20年代，他又开始研究高次同余式的反转定律．在1828—1832年的论文中，他给出了双二次剩余定理及其证明，但没有发表．1836—1837年雅可比公开给出了证明，高斯的学生爱森斯坦(F．G．Eisens－tein，1823—1852)从1844年起先后给出了5个证明．1808—1817年高斯研究并得出了三次反转定律，但直到他去世后人们才发现他曾获得过这一成果，三次反转定律的第一个证明是1844年爱森斯坦给出的，但雅可比在1827年曾在一次讲演中给出了这个定律及其证明．一般地，设k＞1，m＞1，若有x适合xk≡n(modm)，(n，m)＝1，则n叫做模m的k次剩余，人们可以一般地讨论k次反转定律．

利用多项式的同余式，柯西在1847年还给出了复数的另一种定义：f(x)≡a＋bx modx2+1．因为x2≡-1modx2＋1，故有

f(x)＋g(x)≡(a＋bx)＋(c＋dx)≡(a＋c)＋(b＋d)x modx2＋1，

f(x)·g(x)≡(ac-bd)＋(ad＋bc)x modx2＋1．令x＝i，人们可以把对i2＋1有相同余式的所有多项式归入同一类，那么这些类就是复数．我们看到，通过这种方式定义复数在逻辑上也是完备的，这一点可与哈密顿引进有序偶定义复数交相辉映．

千百年来，人们都只承认0，±1，±2，„，是整数，但高斯却引入了“高斯整数”——复整数a＋bi，(a，b是整数)，如2＋3i，-1-5i．在1820年左右，为了讨论双二次剩余和三次剩余理论，高斯需要将形如4n＋1的素数如5分解成复的因数，因此他就认识到必须超出通常的整数域而引进复整数，这样5＝(1＋2i)(1－2i)可以分解了．早年欧拉和拉格朗日曾将复整数引入数论，但高斯却使它具有了异乎寻常的重要性．

在高斯所引入的复整数数论中，可逆元素不再是±1，而是±1，±i．如果一个复整数是两个非可逆元素的复整数的乘积，则这个复整数就叫做合数．17＝(1＋4i)(1－4i)，因此是合数，而3，7却是复素数．

高斯证明了复整数在本质上具有和普通整数相同的性质，普通素数的许多定理可以转化为复素数的定理．更为重要的是，由高斯引入的复整数理论开辟了代数数论这一新的数论分支．这一理论，在19世纪得到了巨大的发展．

从1844年开始，库默尔开始了他的理想数理论的工作．他把xp＋yp(p为素数)分解成(x＋y)(x＋αy)„(x＋αp-1y)，其中α满足

αp-1＋αp-2＋„＋α＋1＝0．

p-2 然后他称f(α)=a0＋a1α＋„＋ap-2α是他引进的一类代数数．

(ai为有理整数)为复整数，这 开始，他以为在上述所引进的那类代数数中唯一因子分解成立，但1843年狄利克雷告诉他，这是错误的．于是他开始想到借助于某些数——他称之为“理想数(Ideal Complex Numb-ers)，可以使得唯一因子分解

四个因子的乘积．不仅如此，2和3也可以分解了，2＝α12，3=α2·α借助于理想数，库默尔证明了著名的费马大定理xn+yn＝zn中n直到1003．的情形．他还提出了理想素因数等基本概念．

紧接着高斯和库默尔的工作，狄利克雷创立了现代代数数理论．首先他引入了n次代数数的概念：一个数r，如果它是方程a0xn＋a1xn-1+„＋an-1x＋an＝0的根，而不是次数比n低的这种方程的根(ai为有理整数)，则称r是一个n次代数数；若a0=1，则r称为n次代数整数．值数整数，它是方程x2＋x-1＝0的根．随后，他引入了数域的概念，有理数域是最小的数域．对于一个域F，要求对于α，β∈F，有α±β，αβ，α/β(β≠0)都属于F．从有理数域Q出发，添加一个n次代数数θ，就组成了一个n次代数数域R(θ)．不仅如此，戴德金还引入了环的概念，对于一个环F，要求对于α，β∈F，有α±β，αβ∈F． 有了这些准备，戴德金于1871年给出了理想的定义：设Q(θ)为一n次代数数域，α1，α2，„，αq为Q(θ)内任意给定的q个整数，称所有形如η1α1+„＋ηqαq(η1，η2，„，ηq为Q(θ)中的整数)的整数所成的集合为由α1，„，αq生成的理想，并用(α1，„，αq)

(其中N(α)为α的范数)，同时给出了理想的唯一分解定理：任一不为单位理想的理想A可以分解为素理想的乘积，如果不计其排列的次序，则分解法唯一．

在1880年左右，克罗内克(L．Kronecker，1823—1891)通过对给定域k添加未知量x1，x2，„，xn而引入模系的概念重新奠定了代数数域的数论基础，在这方面，他不仅吸收了高斯、库默尔(克罗内克是他的得意门生)等人的思想，而且他利用了柯西、刘维尔、康托尔等人的结果．这样，在19世纪人们就知道了如下的一系列域：有理数域、实数域、复数域、代数数域以及一个或多个变数的有理函数域．

19世纪代数数论工作的顶峰是希尔伯特的成就．在1893—1898年期间，他主要从事代数数域理论的研究．

1893年德国数学会要求他和闵科夫斯基(H．Minkowski，1864—1909)在两年之内提交一份数论的报告．闵科夫斯基不久就放弃了这个报告，而希尔伯特却在1896年的年报上(发表日期是1897年4月)发表了不朽的报告《代数数域理论》(Die Theorie der Algebr-aischen Zahlkrper)．这份报告不但弥补了许多前人研究的漏洞，而且把整个理论铸成一个统一的整体，给出了获得这些理论的新颖、漂亮、强有力的方法．他引入了范数剩余记号，相对循环域的中心定理，后来在1898年又引入了类域的概念．同时在已知代数数域k上的相对伽罗瓦域k的理论、相对阿贝尔数域理论、范数剩余理论等方面都得出了杰出成果．我们认为，他下面的一段话可以作为19世纪代数数论的总结：“数域理论是一座具有罕见的优美及和谐的大厦，这个建筑最富有匠心的部分我觉得是阿贝尔数域理论，它通过库默尔的高次互反律的工作以及克罗内克对椭圆函数的复数乘法的研究而开辟”．

解析数论是19世纪数论新产生的另一个重要分支，它的基本思想是将微积分等解析方法和解析成果引入数论研究中．解析数论可以认为是狄利克雷创立的．1863年，他发表了《数论讲义》(Vorlesungen über

Zahlentheorie)一书，这本书可以看作是解析数论产生的标志．他第一次利用解析方法证明欧拉和勒让德分别于1783、1785年提出的一个猜想：每一个算术序列

a， a＋b， a＋2b，a＋3b，„，a＋nb，„

中包含无穷多个素数，其中(a，b)＝1．1837年狄利克雷证明了这一猜想．在证明的过程中，他引入了著名的狄利克雷L函数(Dirichlet

L-function)：

从这以后，解析数论就开始蓬勃发展了．数论中有些问题不用解析方法就不能解决或者解决起来十分困难．这样，解析数论也就日益受到重视．

解析数论在19世纪取得的最大成就是证明了素数定理．对于不超过x的素数的个数，我们用π(x)表示．从欧几里得时代开始，人们就试图弄清素数的分布规律．1800年左右，勒让德提出了一个令人惊奇的渐近公式

1852年左右，俄国数学家切比雪夫(П．Л．Чебышев，1821—1894)证明了切比雪夫不等式：

其中0.922＜A1＜1，1＜A2＜1.105．

他还引进了两个重要的“切比雪夫函数”：

等价于θ(x)～x或ψ(x)～x(x→＋∞)．

1874年左右，梅滕斯(F．Mertens，1840—1927)证明了有关素数平均分布的三个重要结果：

1859年，黎曼发表了题为《论不超过一个给定值的素数个数》(Ueber

拉在1737年得到的著名公式

但是，黎曼把s看作复变数．对于s＝x+iy，当Res≢1时级数不收敛，因此有Res＞1．他证明了由欧拉提出的一个关系式：

黎曼的工作表明，研究素数分布的关键在于进一步讨论复变函数

向、利用他的方法，利用19世纪复变函数论中高深的整函数理论，在1896年，终于由阿达玛和法雷·布散(Charles－JeandelaValléePoussin，1866—1962)同时独立地证明了素数定理：

这是一个十分优美的定理，它把两个似乎毫无关系的数学内容(对数与素数分布)紧密地联系在一起了．为了证明它，人们花费了长达一百多年的时间．这个定理在整个解析数论中占有十分重要的地位．在1896年以后，人们给出了许许多多进一步的结果，同时也得到了许多不同的证明方法．

19世纪在超越数的研究方面取得了重大进展．1844年，刘维尔证明了下述形式的任何一个数都是超越数：

特别取ai=1，则得到著名的刘维尔数

α＝0.11„．

这样，在数学史上第一次证明存在超越数，并给出了一类具体的超越数，堪称人类认识超越数的第一个里程碑．

1873年，埃尔米特证明了自然对数的底e是超越数．利用他的方法，1882年林德曼(C．L．F，Lindemann，1852—1939)证明了圆周率π是超越数．π是超越数的证明，解决了(利用直尺)“化圆为方”问题．囚为所有可用直尺和圆规作出的数都是代数数，而π不是代数数，所以“化圆为方”不可能．至此，这个结果与旺策尔(P．L．Wantzel)(1837年)、伽罗瓦的著名结论一起，彻底解决了(证明其不可能性)“几何三大问题”．1895年，F．克莱因用简单明了的方法统一证明了“几何三大问题”的不可能性．

应该指出的是，1874年康托尔关于集合论的工作，是超越数理论的重大突破．这一年，他证明了全体代数数组成的集合是可数的．而实数是不可数集合，因而他从存在性角度证明了必定有超越数存在，这是康托尔关于超越数的非构造性存在的证明，这可与刘维尔实际构造出超越数媲美．从逻辑上说，康托尔的工作完全可以独立地作为存在超越数的证明，尽管他没有指出哪一个数是超越数．康托尔的证明还揭示了超越数的一个重要性质：超越数集与实数集(当然也与复数集)一一对应，是不可数集合，因此超越数比代数数“多得多”．

1900年希尔伯特曾把超越数问题作为“二十三大问题”中的第7个而提出来，超越数理论的确在今天也颇为引人关注．

19世纪数论还在许多其他领域取得了重大进展，如整数的型的表示，丢番图分析、数论函数、数的几何、格点问题，复数乘法论，等等．19世纪为数论的发展开辟了广阔的领域，取得了丰硕的成果，代数数论、解析数论等的出现及其发展，为数论在20世纪的研究打下了坚实的基础．

“代数”的由来

“用字母表示数”是代数的基础，它主要以引进符号和未知数为特征。“代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔?花拉子米一本著作的名称。该书于1813年被译成拉丁文传入欧洲。1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法。把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用，正如华罗庚所说的“数学的特点是抽象，正因为如此，用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性”。这种用符号来体现的数学语言是世界性语言，是一个人数学素养的综合反映。 首先开始有意识地、系统地使用符号的人就是韦达。韦达是16世纪末的法国数学家。因为他在现代的代数学的发展上起了决定的作用，后世称他为“代数之父”。有趣的是这个被人们称为“代数之父”的数学家竟然在一场战争中起了关键的作用。

那个时代，西班牙和法国正在进行战争。西班牙军队使用复杂的密码来传递消息。这样，就算信件被敌人发现，也不明白写的是什么意思。有一次，法国军队截获了一些秘密信件，可就是没有办法破译密码。

于是法国国王就请来大名鼎鼎的韦达帮忙。经过一番研究，韦达终于解开了密码。从此，法国在战争中取得了先机，法国人人对于西班牙的军事行动总是了如指掌，在军事上总能先发制人，不到两年的时间就打败了西班牙。可怜的西班牙国王对法国人在战争中的“未卜先知”十分恼火又无法理解，认为法国人使用了“魔法”。他万万没有想到的是，韦达利用自己精湛的数学知识，成功地破译了西班牙的军事机密，为他的祖国赢得了战争的主动权。

可喜的是，韦达在破解密码的时候大受启发。他想：密码就是大家事先约定好的一套符号，其实在数学中，我们不也可以借助这样的做法吗？数学家可以约定好特定的符号表示特定的意思，这样写起来就方便多了。后来，韦达又进一步研究，出版了一部数学专著。

韦达是一个伟大的开拓者，他赢得了“代数之父”的美誉。不过他的工作还没有结束，后来的很多科学家在他的基础上，不断完善这个符号体系。今天，数学还在发展，数学语言也在不断丰富它的“词汇”。