考研数学二公式总结

2023年12月10日发(作者：国一数学试卷)

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数学公式大全

高等数学公式

导数公式：

(tgx)secx(ctgx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna1(logax)xlna基本积分表：

21x21(arccosx)1x21(arctgx)1x21(arcctgx)1x2(arcsinx)1tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdxx1arctgCa2x2aadxxa1lnx2a22axaCdx1axa2x22alnaxCdxxCarcsina2x2a2ndx2sec2cosxxdxtgxCdx2cscsin2xxdxctgxCsecxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCaxadxlnaCxshxdxchxCchxdxshxCdxx2a2ln(xx2a2)C2Insinxdxcosnxdx00n1In2nx2a22xadxxaln(xx2a2)C22x2a2222xadxxalnxx2a2C22x2a2x222axdxaxarcsinCa2222第 1 页共 25 页更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！三角函数的有理式积分：

2u1u2x2du

sinx，　cosx，　utg，　dx21u21u21u2一些初等函数：两个重要极限：

exex双曲正弦:shx2exex双曲余弦:chx2shxexex双曲正切:thxxchxeexarshxln(xx21）archxln(xx21)11xarthxln21x三角函数公式：

·诱导公式：

函数

角A

-α

90°-α

90°+α

180°-α

180°+α

270°-α

270°+α

360°-α

360°+α

sinx

lim1x0

1lim(1)xe

sin cos tg

-tgα

ctgα

ctg

-ctgα

tgα

-ctgα

ctgα

tgα

-ctgα

ctgα

-sinα cosα

cosα

sinα

-sinα -ctgα -tgα

-cosα -tgα

-sinα -cosα tgα

-cosα -sinα ctgα

-cosα sinα

-sinα cosα

sinα cosα

-tgα

tgα

-ctgα -tgα

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin()sincoscossincos()coscossinsintgtgtg()1tgtgctgctg1ctg()ctgctgsinsin2sin22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22cos第 2 页共 25 页更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！·倍角公式：

sin22sincoscos22cos2112sin2cos2sin2ctg21ctg22ctg2tgtg21tg2

·半角公式：

sin33sin4sin3cos34cos33cos3tgtg3tg313tg2sintg21cos1cos　　　　　　　　　　　　cos2221cos1cossin1cos1cossin　　ctg1cossin1cos21cossin1cosabc2R ·余弦定理：c2a2b22abcosC

sinAsinBsinC2

·正弦定理：·反三角函数性质：arcsinx2arccosx　　　arctgx2arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

(uv)(n)k(nk)(k)Cnuvk0nu(n)vnu(n1)vn(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)uvuvuv(n)2!k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()柯西中值定理：F(b)F(a)F()曲率：

当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds1y2dx,其中ytg平均曲率：K.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。syd

M点的曲率：Klim.23s0sds(1y)直线：K0;1半径为a的圆：K.a定积分的近似计算：

第 3 页共 25 页 b更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！矩形法：f(x)abba(y0y1yn1)nba1[(y0yn)y1yn1]n2ba[(y0yn)2(y2y4yn2)4(y1y3yn1)]3n

梯形法：f(x)ab抛物线法：f(x)a定积分应用相关公式：

功：WFs水压力：FpAm1m2,k为引力系数

r2b1函数的平均值：yf(x)dxbaa引力：Fk1均方根：f2(t)dtbaa空间解析几何和向量代数：

b空间2点的距离：dM1M2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB与u轴的夹角。Prju(a1a2)Prja1Prja2ababcosaxbxaybyazbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosicabaxbxjaybykaxbxaybyazbzaxayazbxbybz222222az,cabsin.例：线速度：vwcyazbzabccos,为锐角时，cz

ax向量的混合积：[abc](ab)cbxcx代表平行六面体的体积。第 4 页共 25 页更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！平面的方程：1、点法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：AxByCzD0xyz3、截距世方程：1abc平面外任意一点到该平面的距离：dAx0By0Cz0DA2B2C2xx0mtxxyy0zz0空间直线的方程：0t,其中s{m,n,p};参数方程：yy0ntmnpzzpt0二次曲面：x2y2z21、椭球面：2221abcx2y22、抛物面：z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2221abcx2y2z2双叶双曲面：222（马鞍面）1abc

多元函数微分法及应用

全微分：dzzzuuudxdy　　　dudxdydzxyxyz全微分的近似计算：zdzfx(x,y)xfy(x,y)y多元复合函数的求导法：dzzuzvzf[u(t),v(t)]　　　　dtutvtzzuzvzf[u(x,y),v(x,y)]　　　　xuxvx当uu(x,y)，vv(x,y)时，duuuvvdxdy　　　dvdxdy　xyxy隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y隐函数F(x,y)0，　　，　　2(x)＋(x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隐函数F(x,y,z)0，　，　　xFzyFz第 5 页共 25 页

更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！FF(x,y,u,v)0(F,G)u隐函数方程组：　　　JGG(x,y,u,v)0(u,v)uu1(F,G)v1(F,G)　　　　xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)　　　　yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在几何上的应用：

FvFuGGuvFvGv

x(t)xxyy0zz0空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0(t)(t)(t0)00z(t)在点M处的法平面方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0FyFzFzFxFxF(x,y,z)0若空间曲线方程为：,则切向量T{,,GGGxGGG(x,y,z)0yzzx曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}xx0yy0zz03、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：

Fy}Gy2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0fff函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：cossinlxy其中为x轴到方向l的转角。ffijxy

f它与方向导数的关系是：gradf(x,y)e，其中ecosisinj，为l方向上的l单位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。l函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)多元函数的极值及其求法：

第 6 页共 25 页更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,　fxy(x0,y0)B,　fyy(x0,y0)CA0,(x0,y0)为极大值2ACB0时，A0,(x0,y0)为极小值2则：ACB0时，　　　　　　无极值ACB20时,　　　　　　　不确定重积分及其应用：

f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD曲面zf(x,y)的面积ADzz1ydxdyx22M平面薄片的重心：xxMx(x,y)dD(x,y)dDD,　　yMyMy(x,y)dD(x,y)dDD

平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2(x,y)d,　　对于y轴Iyx2(x,y)d平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力：F{Fx,Fy,Fz}，其中：FxfD(x,y)xd(x2y2a2)2，　　Fyf3D(x,y)yd(x2y2a2)2，　　Fzfa3D(x,y)xd(x2y2a)322柱面坐标和球面坐标：

xrcos柱面坐标：f(x,y,z)dxdydzF(r,,z)rdrddz,yrsin,　　　zz其中：F(r,,z)f(rcos,rsin,z)xrsincos2球面坐标：yrsinsin，　　dvrdrsinddrrsindrddzrcos2

r(,)f(x,y,z)dxdydzF(r,,)r2sindrdddd00F(r,,)r02sindr重心：x1Mxdv,　　y1Mydv,　　z1Mzdv，　　其中Mxdv转动惯量：Ix(y2z2)dv，　　Iy(x2z2)dv，　　Iz(x2y2)dv曲线积分：

第 7 页共 25 页更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(t),则：y(t)Lxtf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt　　()　　特殊情况：y(t)第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：x(t)设L的参数方程为，则：y(t)P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtL两类曲线积分之间的关系：PdxQdy(PcosQcos)ds，其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：(DQPQP)dxdyPdxQdy格林公式：()dxdyPdxQdyxyxyLDLQP1当Py,Qx，即：2时，得到D的面积：Adxdyxdyydxxy2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：在QP＝时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：xy(x,y)QP＝。注意奇点，如(0,0)，应xy

u(x,y)(x0,y0)P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设x0y00。曲面积分：

22对面积的曲面积分：f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)]1z(x,y)z(x,y)dxdyxyDxy对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy，其中：R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；Dxy

P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；DyzQ(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式：

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更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dsxyz(高斯公式的物理意义——通量与散度：PQR散度：div,即：单位体积内所产生的流体质量，若div0,则为消失...xyz通量：AndsAnds(PcosQcosRcos)ds，因此，高斯公式又可写成：divAdvAnds斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

(RQPRQP)dydz()dzdx()dxdyPdxQdyRdzyzzxxydzdxdxdycosyzxQRPcosyQcoszR

dydz上式左端又可写成：xPRQPRQP空间曲线积分与路径无关的条件：，　，　yzzxxyijk旋度：rotAxyzPQR向量场A沿有向闭曲线的环流量：PdxQdyRdzAtds常数项级数：

1qn等比数列：1qqq1q(n1)n等差数列：123n

2111调和级数：1是发散的23n2n1级数审敛法：

第 9 页共 25 页更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设：limnun，则1时，级数发散n1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛U设：limn1，则1时，级数发散nUn1时，不确定3、定义法：snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。n

交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法——莱布尼兹定理：

unun1如果交错级数满足，那么级数收敛且其和su1,其余项rn的绝对值rnun1。limu0nn绝对收敛与条件收敛：

(1)u1u2un，其中un为任意实数；(2)u1u2u3un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；

如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(1)n调和级数：n发散，而n收敛；1　　级数：n2收敛；ｐ１时发散1　　p级数：　　npp1时收敛幂级数：

1x1时，收敛于1x1xx2x3xn　　x1时，发散对于级数(3)a0a1x　a2x2anxn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散，其中R称为收敛半径。xR时不定1

0时，R求收敛半径的方法：设liman1，其中an，an1是(3)的系数，则0时，Rnan时，R0第 10 页共 25 页

 更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！函数展开成幂级数：

f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n2!n!f(n1)()

余项：Rn(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn0n(n1)!f(0)2f(n)(0)nx00时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xxx2!n!一些函数展开成幂级数：

m(m1)2m(m1)(mn1)nxx　　　(1x1)2!n!

2n1x3x5xsinxx(1)n1　　　(x)3!5!(2n1)!(1x)m1mx欧拉公式：

eixeixcosx

2ixecosxisinx　　　或ixixsinxee2三角级数：

a0f(t)A0Ansin(ntn)(ancosnxbnsinnx)2n1n1其中，a0aA0，anAnsinn，bnAncosn，tx。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在[,]上的积分＝0。傅立叶级数：



a0f(x)(ancosnxbnsinnx)，周期22n11(n0,1,2)anf(x)cosnxdx　　　其中b1f(x)sinnxdx　　　(n1,2,3)n112122835　111224224262正弦级数：an0，bn余弦级数：bn0，an11121222（相加）623411121222（相减）122342

2f(x)sinnxdx　　n1,2,3　f(x)b0nsinnx是奇函数0f(x)cosnxdx　　n0,1,2　f(x)a0ancosnx是偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数：第 11 页共 25 页更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！a0nxnxf(x)(ancosbnsin)，周期2l2n1lll1nxdx　　　(n0,1,2)anf(x)coslll其中l1nxbf(x)sindx　　　(n1,2,3)nlll

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：yf(x,y)　或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：g(y)dyf(x)dx　　得：G(y)F(x)C称为隐式通解。dyyf(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法：

dxxydydududxduy设u，则ux，u(u)，分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：

dy1、一阶线性微分方程：P(x)yQ(x)dxP(x)dx当Q(x)0时,为齐次方程，yCeP(x)dxP(x)dx当Q(x)0时，为非齐次方程，y(Q(x)edxC)e

dy2、贝努力方程：P(x)yQ(x)yn，(n0,1)dx全微分方程：

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程，即：uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，其中：P(x,y)，Q(x,y)

xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：

f(x)0时为齐次d2ydy

P(x)Q(x)yf(x)，2dxdxf(x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)ypyqy0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2prq0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r2第 12 页共 25 页更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！

3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：r1，r2的形式

两个不相等实根(p24q0)

两个相等实根(p4q0)

一对共轭复根(p4q0)

22(*)式的通解

yc1er1xc2er2x

y(c1c2x)er1x

yex(c1cosxc2sinx)

r1i，r2i4qp2

p，22二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)，p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型

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更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！线性代数部分

1、行列式

n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；

3. 代数余子式和余子式的关系：Mij(1)ijAij4. 设n行列式D：

将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1(1)n(n1)2Aij(1)ijMij

D；

D；将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2(1)将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4D；

5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)n(n1)2n(n1)2将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3D；

；

③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；

④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)⑤、拉普拉斯展开式：n(n1)2；

AOACCAOAAB、(1)mnAB

CBOBBOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6. 对于n阶行列式A，恒有：EA(1)kSknk，其中Sk为k阶主子式；

nk1n7. 证明A0的方法：

①、AA；

②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax0，证明其有非零解；

④、利用秩，证明r(A)n；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

A是n阶可逆矩阵：

第 14 页共 25 页更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！A0（是非奇异矩阵）；

r(A)n（是满秩矩阵）

A的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组Ax0有非零解；

bRn，Axb总有唯一解；

A与E等价；

A可表示成若干个初等矩阵的乘积；

A的特征值全不为0；

ATA是正定矩阵；

A的行（列）向量组是Rn的一组基；

A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

2. 对于n阶矩阵A：AA*A*AAE 无条件恒成立；

(A1)*(A*)1(A1)T(AT)1(A*)T(AT)*

(AB)TBTAT(AB)*B*A*(AB)1B1A1

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

A1若AA2，则：

AsⅠ、AA1A2As；

A11Ⅱ、A1A12；

A1s②、AO1A1OOBOB1；（主对角分块）

1③、OAOB1BOA1O；（副对角分块）

1④、ACA1A1CB1OBOB1；（拉普拉斯）

1⑤、AOA1OCBB1CA1B1；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：FErO第 15 页共 25 页

OO；mn 更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)AB；

2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、若(A,E)(E,X)，则A可逆，且XA1；

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即：(A,B)(E,A1B)；

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且xA1b；

4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

1②、rrc2，左乘矩阵A，乘A的各行元素；右乘，乘A的各列元素；

iin111③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)1E(i,j)，例如：11；

11111111④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))E(i())，例如：kkk11(k0)；

1kk11⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))1E(ij(k))，如：11(k0)；

115. 矩阵秩的基本性质：

①、0r(Amn)min(m,n)；

②、r(AT)r(A)；

③、若AB，则r(A)r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)；（※）

⑥、r(AB)r(A)r(B)；（※）

⑦、r(AB)min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0，则：（※）

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）；

Ⅱ、r(A)r(B)n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n；

第 16 页共 25 页更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

1ac②、型如01b的矩阵：利用二项展开式；

001

二项展开式：(ab)CaCab注：Ⅰ、(ab)n展开后有n1项；

n(n1)(nm1)n!123mm!(nm)!mnnmnn0nn1nn11CamnnmbmCn11n1nabmmnm；

CbCnabnnnm0nⅡ、Cnm0nCnCn1

nⅢ、组合的性质：CCCmn1CCmnm1n

Cr0rn2nrr1rCnnCn1；

③、利用特征值和相似对角化：

7. 伴随矩阵：

n①、伴随矩阵的秩：r(A*)10r(A)nr(A)n1；

r(A)n1A②、伴随矩阵的特征值：③、A*AA1、A*AA(AXX,A*AA1A*XX)；

n1

8. 关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话）

②、r(A)n，A中有n阶子式全部为0；

③、r(A)n，A中有n阶子式不为0；

9. 线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：

①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；

②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程；

10. 线性方程组Axb的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2nn2①、211222；

am1x1am2x2anmxnbna11a②、21am1a12a22am2a1nx1b1a2nx2b2

Axb（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）amnxmbm第 17 页共 25 页更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！③、a1a2x1b1xb2an（全部按列分块，其中2）；

xnbn④、a1x1a2x2anxn（线性表出）

⑤、有解的充要条件：r(A)r(A,)n（n为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

m个n维列向量所组成的向量组A：1,2,,m构成nm矩阵A(1,2,,m)；

1TTT,m构成mn矩阵B2；

TmT,m个n维行向量所组成的向量组B：1T,2含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2. ①、向量组的线性相关、无关

Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出

Axb是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示

AXB是否有解；（矩阵方程）

3. 矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P101例14)

r(ATA)r(A)；(P101例15)

n维向量线性相关的几何意义：

①、线性相关

0；

②、,线性相关

,坐标成比例或共线（平行）；

③、,,线性相关

,,共面；

6. 线性相关与无关的两套定理：

若1,2,,s线性相关，则1,2,,s,s1必线性相关；

若1,2,,s线性无关，则1,2,,s1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版P74定理7)；

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；（P86定理3）

向量组A能由向量组B线性表示

AXB有解；

r(A)r(A,B)（P85定理2）

向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)（P85定理2推论）

第 18 页共 25 页更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！Pl； 8. 方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,,Pl，使AP1P2r①、矩阵行等价：A~BPAB（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解

②、矩阵列等价：A~BAQB（右乘，Q可逆）；

③、矩阵等价：A~BPAQB（P、Q可逆）；

9. 对于矩阵Amn与Bln：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

④、矩阵A的行秩等于列秩；

10. 若AmsBsnCmn，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

11. 齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、ABx0 只有零解Bx0只有零解；

②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解；

12. 设向量组Bnr:b1,b2,,br可由向量组Ans:a1,a2,,as线性表示为：（P110题19结论）

(b1,b2,,br)(a1,a2,,as)K（BAK）

c 其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r(K)r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：rr(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)r；充分性：反证法）

注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；

13. ①、对矩阵Amn，存在Qnm，AQEm

r(A)m、Q的列向量线性无关；（P87）

②、对矩阵Amn，存在Pnm，PAEn

r(A)n、P的行向量线性无关；

14.

1,2,,s线性相关

存在一组不全为0的数k1,k2,,ks，使得k11k22kss0成立；（定义）

x1x,s)20有非零解，即Ax0有非零解；

xs(1,2,r(1,2,,s)s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15. 设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为：r(S)nr；

16. 若*为Axb的一个解，1,2,,nr为Ax0的一个基础解系，则*,1,2,,nr线性无关；（P111题33结论）

5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵ATAE或A1AT（定义），性质：

第 19 页共 25 页更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj10ij(i,j1,2,ijn)；

②、若A为正交矩阵，则A1AT也为正交阵，且A1；

③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；

注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

2. 施密特正交化：(a1,a2,,ar)

b1a1；

b2a2[b1,a2]b1

[b1,b1][b1,ar][b,a]b12rb2[b1,b1][b2,b2][br1,ar]br1;

[br1,br1]

brar3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4. ①、A与B等价

A经过初等变换得到B；

PAQB，P、Q可逆；

r(A)r(B)，A、B同型；

②、A与B合同

CTACB，其中可逆；

xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数；

③、A与B相似

P1APB；

5. 相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CTACBAB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

A为对称阵，则A为二次型矩阵；

n元二次型xTAx为正定：

A的正惯性指数为n；

A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTACE；

A的所有特征值均为正数；

A的各阶顺序主子式均大于0；

第 20 页共 25 页

aii0,A0；(必要条件) 更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！概率论与数理统计部分

1．随机事件及其概率

AAA吸收律：AA

A

A(AB)AA(AB)AABABA(AB)

反演律：ABAB

ABAB

nnnn

AiAi

1i1Aii1Ai

ii12．概率的定义及其计算

P(A)1P(A)

若AB

P(BA)P(B)P(A)

对任意两个事件A, B, 有

P(BA)P(B)P(AB)

加法公式：对任意两个事件A, B, 有

P(AB)P(A)P(B)P(AB)

P(AB)P(A)P(B)

nnnP(An1i)ijk(1)P(A1A2An)3．1P(Ai)ii11iP(AiAj)jn1iP(AAA)jknPBA

P(AB)P(A)

乘法公式

P(AB)P(A)PBA(P(A)0)

P(A1A2An)P(A1)PA2A1PAnA1A2An1(P(A

1A2An1)0)全概率公式nnP(A)P(ABi)

P(Bi)P(ABi)

i1i1Bayes公式

第 21 页共 25 页

条件概率 P(BkA)更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！P(Bk)P(ABk)P(ABk)

n

P(A)P(Bi)P(ABi)i14．随机变量及其分布

分布函数计算

P(aXb)P(Xb)P(Xa)

F(b)F(a)5．离散型随机变量

(1) 0 – 1 分布

P(Xk)pk(1p)1k,k0,1

(2) 二项分布

B(n,p)

若P ( A ) = p

kkP(Xk)Cnp(1p)nk,k0,1,,n

* Possion定理

limnpn0

n有

limCp(1pn)nknknnkk!

k0,1,2,ek(3) Poisson 分布

P()

P(Xk)ekk!,k0,1,2,

6．连续型随机变量

(1) 均匀分布

U(a,b)

1,axbf(x)ba

0,其他0,xaF(x),

ba1(2) 指数分布

E()

第 22 页共 25 页更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！xe,x0

f(x)其他0,x00,

F(x)x1e,x0(3) 正态分布 N ( ,

 2 )

(x)222f(x)1e212x

F(x)xe(t)222dt

* N (0,1) — 标准正态分布

(x)1e2x22x

t22

1(x)2xedtx

7.多维随机变量及其分布

二维随机变量( X ,Y )的分布函数

F(x,y)FX(x)xxyf(u,v)dvdu

边缘分布函数与边缘密度函数

f(u,v)dvdu

fX(x)f(x,v)dv

yFY(y)f(u,v)dudv

fY(y)f(u,y)du

8. 连续型二维随机变量

(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )

1,(x,y)G

f(x,y)A其他0,(2) 二维正态分布

第 23 页共 25 页更多考研数学免费视频和免费答疑关注微博@爱启航在线考研获取！(x1)2(x1)(y2)22112122(12)(y2)229.

f(x,y)121212e二维随机变量的条件分布

x,yf(x,y)fX(x)fYX(yx)

fY(y)fXY(xy)fX(x)0

fY(y)0

fX(x)f(x,y)dyfXY(xy)fY(y)dy

fY(y)f(x,y)dxfYX(yx)fX(x)dx

fXY(xy)

fYX(yx)fX(x)f(x,y)



fY(y)fY(y)fXY(xy)fY(y)f(x,y)fYX(yx)



fX(x)fX(x)10. 随机变量的数字特征

数学期望

E(X)xkpk

k1E(X)xf(x)dx

随机变量函数的数学期望

X 的 k 阶原点矩E(X)

X 的 k 阶绝对原点矩E(|X|)

X 的 k 阶中心矩E((XE(X)))

X 的方差E((XE(X)))D(X)

X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩E(XY)

X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩

kl2kkkE(XE(X))k(YE(Y))l

X ,Y 的二阶混合原点矩E(XY)

X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差

第 24 页共 25 页

 E(XE(X))(YE(Y))

X ,Y 的相关系数

(XE(X))(YE(Y))XY

ED(X)D(Y)X 的方差

D (X ) = E ((X - E(X))2)

D(X)E(X2)E2(X)

协方差

cov(X,Y)E(XE(X))(YE(Y))

E(XY)E(X)E(Y)

1D(XY)D(X)D(Y)

2相关系数XYcov(X,Y)

D(X)D(Y)

第 25 页共 25 页

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