2024年1月23日发(作者：三美初二数学试卷)

第四篇 无穷(wúqióng)级数

第七章 无穷(wúqióng)级数

无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限(jíxiàn)理论为基础，是研究函数的性质及进行数值计算方面的重要工具. 本章首先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何(rúhé)为将函数展开成幂级数和三角级数的问题，最后介绍工程中常用的傅里叶级数.

第1节 常数(chángshù)项级数的概念与性质

1.1常数项级数的概念

一般的，给定一个数列

则由这数列构成的表达式

叫做（常数项）无穷级数 简称（常数项）级数 记为 即

其中第项叫做级数的一般项

作级数un的前n项和

n1 1

称为级数un的部分和 当n依次取1,2,3…时，它们构成一个新的数列

n1，，，…

，…，

根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。

定义(dìngyì) 如果(rúguǒ)级数un的部分(bù fen)和数列n1有极限(jíxiàn)

即写成

 则称无穷(wúqióng)级数un收敛 这时极限s叫做这级数的和 并n1

如果没有极限 则称无穷级数发散

当级数un收敛时 其部分和n1是级数un的和s的近似值 它们之间的差n1值

叫做级数un的余项

n1例1 讨论等比级数（几何级数）解 如果 则部分和

(a0)的敛散性

2

当时 因为 所以此时级数aqn收敛 其和为n0

当时 因为 所以此时级数aqn发散

n0 如果 则当时

  因此级数aqn发散

n0当时 级数aqn成为

n0

因为(yīn wèi)随着(suí zhe)n为奇数或偶数(ǒu shù)而等于或零 所以(suǒyǐ)sn的极限(jíxiàn)不存在 从而这时级数

n0aqn发散

 综上所述 如果q1 则级数aqn收敛 其和为a 如果1qn0 则级数n0aqn发散

例2 判别无穷级数解 由于

因此

,

的收敛性

而 ，故该级数发散.

例3 判别无穷级数解 因为

的收敛性

3

,

所以

从而

所以这级数收敛 它的和是1

1.2 收敛级数的基本性质

根据无穷级数收敛、发散的概念，可以得到收敛级数的基本性质.

性质(xìngzhì)1如果(rúguǒ)级数un收敛(shōuliǎn)于和s 则它的各项同乘以n1

一个(yī ɡè)常数所得(suǒ dé)的级数也收敛 且其和为

证明 设un与kun的部分和分别为sn与n1n1 则

,

这表明级数收敛 且和为ks

 性质2 如果级数un、n1分别收敛于和、 则级数也收敛 且其和为

证明 如果un、vn、(unvn)的部分和分别为sn、n、n1n1n1， 则

4

性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性

比如 级数 级数 级数是收敛的;

也是收敛的;

也是收敛的

性质4 如果级数un收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛

n1且其和不变

应注意的问题 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛 例如 级数（11)+（11) +  收敛于零 但级数1111  却是发散的

推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散

性质(xìngzhì)5 如果(rúguǒ)un收敛(shōuliǎn) 则它的一般(yībān)项un趋于n1零 即

证明 设级数(jí shù)un的部分和为sn 且n1 则

注 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件

例6 证明调和级数

是发散的

5

证明 假若级数显然有limsns及n收敛且其和为s sn是它的部分和

 于是

但另一方面

故 矛盾 这矛盾说明级数1必定发散

n1n

习题7-1

1. 写出下列级数的前四项:

（1） ； （2）.

2. 写出下列级数的一般项（通项）:

（1） （3） ； （2）.

；

3. 根据级数收敛性的定义，判断下列级数的敛散性:

（1） ; （2）.

4. 判断下列级数的敛散性:

（1） ; （2）;

（3）

（4）.

6

第2节 常数(chángshù)项级数的收敛法则

2.1 正项级数及其收敛(shōuliǎn)法则

现在我们讨论(tǎolùn)各项都是正数或零的级数，这种级数称为正项级数(jí

shù).

设级数(jí shù)

u1u2u3un （7-2-1）

是一个正项级数，它的部分和为sn.显然，数列

如果数列sn有界，即sn总不大于某一常数限的准则，级数（7-2-1）必收敛于和s，且是一个单调增加数列，即：

，根据单调有界的数列必有极. 反之，如果正项级数（7-2-1）收敛于和s.根据有极限的数列是有界数列的性质可知，数列sn有界.

因此，有如下重要结论：

定理 1 正项级数un收敛的充分必要条件是它的部分和数列{sn}有界

n1 7

定理(dìnglǐ)2 (比较(bǐjiào)审敛法) 设un和n1都是正项(zhènɡ xiànɡ)级数 且

 若级数(jí shù)vn收敛(shōuliǎn) 则级数un收敛

n1n1反之 若级数un发散 则级数vn发散

n1n1证明 设级数vn收敛于和 则级数un的部分和

n1n1

即部分和数列sn有界 由定理1知级数un收敛

n1反之 设级数un发散 则级数vn必发散 因为若级数vn收敛 由上已证n1n1n1明的结论 将有级数un也收敛 与假设矛盾

n1推论 设un和vn都是正项级数 如果级数vn收敛 且存在自然数N 使n1n1n1当时有成立 则级数un收敛 如果级数vn发散 且当n1n1nN时有例1 讨论p级数

成立 则级数un发散

n1

的收敛性 其中常数

8

解 设 这时 而调和级数发散 由比较审敛法知 当p1时级数 设发散

 此时有

对于(duìyú)级数 其部分(bù fen)和

因为(yīn wèi)11 所以(suǒyǐ)级数(n1)p1np1n2收敛(shōuliǎn) 从而根据比较审敛法的推论1可知 级数1p当p1时收敛

n1n综上所述 p级数当p1时收敛 当p1时发散

例2 证明级数是发散的

证明 因为 而级数是发散的 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的

定理3 （比较审敛法的极限形式)

设un和vn都是正项级数 如果n1n1 则级数un和级数n1n1vn同时收敛或同时发散

 存在自然数N 当时 有不等式 证明 由极限的定义可知 对 9

即.

再根据比较审敛法的推论1 即得所要证的结论

例3 判别(pànbié)级数的收敛性

解 因为(yīn wèi) 而级数(jí shù)1发散(fāsàn) 根据比较(bǐjiào)n1n审敛法的极限形式 级数sin1发散

nn1用比较审敛法审敛时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数比较的基准.最常选用做基准级数的是等比级数和p级数.

定理4 (比值审敛法 达朗贝尔判别法) 若正项级数un的后项与前项之比值n1作为的极限等于，即

则当时级数收敛当 (或)时级数发散 当时级数可能收敛也可能发散

例4 判别级数解 因为

收敛性

10

根据比值审敛法可知，所给级数收敛

例5 判别级数解 因为

的收敛性

根据(gēnjù)比值审敛法可知,所给级数(jí shù)发散

定理(dìnglǐ)5 (根值审敛法 柯西判别(pànbié)法)

设un是正项(zhènɡ xiànɡ)级数 如果它的一般项un的n次根的极限等于n1，即

则当1时级数收敛 当1 (或能收敛也可能发散

定理6（极限审敛法）设un为正项级数，

n1)时级数发散 当1时级数可 （1）如果（或），则级数un发散；

n1 （2）如果p1，而（），则级数un收敛.

n1 11

证明 （1）在极限形式的比较审敛法中，取散，知结论成立.

（2）在极限形式的比较审敛法中，取收敛，故结论成立.

例6 判定级数解 因的收敛性.

，故

，由调和级数发，当p1时，p级数，

根据极限审敛法，知所给级数收敛.

2.2 交错级数及其审敛法则

下列形式的级数

称为(chēnɡ wéi)交错(jiāocuò)级数. 交错级数的一般(yībān)形式为其中(qízhōng)



定理(dìnglǐ)7（莱布尼茨定理）如果交错级数(1)n1un满足条件

n1(1)

(2) 

则级数收敛 且其和 其余项的绝对值

证明 设前n项部分和为sn，由

12

,

及

，

看出数列设单调增加且有界 则也有，从而级数是收敛的 且因为

2.3 绝对收敛与条件收敛

对于一般的级数：

若级数 所以收敛

所以

|也是收敛的交错级数 所以rnun1.

收敛，则称级数绝对收敛；若级数un收敛， 而级数n1un1n发散 则称级数un条件收敛

n1级数绝对收敛与级数收敛有如下关系：

定理(dìnglǐ)8 如果(rúguǒ)级数un绝对(juéduì)收敛 则级数(jí shù)un必n1n1定(bìdìng)收敛

证明 令

.

13

显然且

(n1,2,).因级数un收敛，故由比较审敛法知n1道，级数vn，从而级数n1也收敛.而，由收敛级数的基本性质可知：

，

所以级数收敛.

定理8表明，对于一般的级数un，如果我们用正项级数的审敛法判定级n1数un收敛，则此级数收敛.这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化成n1为正项级数的收敛性判定问题.

一般来说，如果级数un发散 我们不能断定级数un也发散 但是 如n1n1果我们用比值法或根值法判定级数un发散 则我们可以断定级数un必定n1n1发散 这是因为 此时|un|不趋向于零 从而un也不趋向于零 因此级数un也是n1发散的

例7 判别级数的收敛性

解 因为(yīn wèi)| 而级数(jí shù)是收敛(shōuliǎn)的 所以(suǒyǐ)级数na绝对收敛

也收敛(shōuliǎn) 从而级数sin2n1n 14

例8 判别级数（a为常数）的收敛性

解 因为

所以当时，级数均收敛；当时，级数敛；当时，级数an3发散.

n1n习题7-2

1. 用比较审敛法判定下列级数的收敛性：

（1）； （2）；

（3） ； （4）；

（5）.

2. 用比值审敛法判定下列级数的敛散性:

（1）; （2）;

（3） ; （4）.

3. 判定下列级数的敛散性:

（1）; （2）;

（3） ; （4）;

15

an3绝对收n1n

（5）.

4. 判定下列级数是否(shì fǒu)收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

（1）; （2）;

（3） ;

4）.

16

（

第3节 幂级数

3.1 函数(hánshù)项级数的概念

给定(ɡěi dìnɡ)一个定义在区间I 上的函数(hánshù)列nshù)列构成的表达式

,

称为定义(dìngyì)在区间上的(函数项)级数 记为

 由这函数(há对于区间I内的一定点 若常数项级数收敛 则称点x0是级数n1un(x)的收敛点 若常数项级数发散 则称点x0是级数un(x)的发散n1点

函数项级数un(x)的所有收敛点的全体称为它的收敛域 所有发散点的全n1体称为它的发散域

在收敛域上 函数项级数un(x)的和是的函数n1

s(x)称为函数项级数n1un(x)的和函数 并写成 即

 函数项级数的前n项的部分和记作

17

在收敛域上有.

函数(hánshù)项级数un(x)的和函数(hánshù)s(x)与部分(bù fen)和sn(x)的n1差

叫做函数(hánshù)项级数un(x)的余项 并有n1

3.2 幂级数及其收敛性

函数(hánshù)项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数 这种形式的级数称为幂级数 它的形式是

其中常数叫做幂级数的系数

，当时收敛 则适合定理1（阿贝尔定理) 对于级数不等式的一切x使这幂级数绝对收敛 反之 如果级数的一切x使这幂级数发散

n当时发散 则适合不等式证 先设x0是幂级数anx的收敛点 即级数anxn收敛 根据级数收敛n0n0的必要条件有 于是存在一个常数M 使

这样级数anxn的的一般项的绝对值

n0 18

因为(yīn wèi)当xx0时 等比级数(děnɡ bǐ jí shù)收敛(shōuliǎn)

所以(suǒyǐ)级数收敛(shōuliǎn) 也就是级数anxn绝对收敛

n0定理的第二部分可用反证法证明

倘若幂级数当xx0时发散而有一点适合使级数收敛 则根据本定理的第一部分 级数当xx0时应收敛 这与所设矛盾 定理得证

推论 如果级数anxn不是仅在点n0一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 则必有一个完全确定的正数 当 当当时 幂级数绝对收敛

时 幂级数发散

与存在 使得

时 幂级数可能收敛也可能发散

正数R通常叫做幂级数anxn的收敛半径 开区间n0naxn的收敛区间 再由幂级数在n0叫做幂级数处的收敛性就可以决定它的收敛域 幂级数anxn的收敛域是(R,R)或n0、、之一

若幂级数anx只在nn0收敛 则规定收敛半径 这时收敛域为  若幂级数anxnn0对一切x都收敛 则规定收敛半径

19

定理2 如果 则这幂级数的收敛半径

 其中、是幂级数anxn的相邻两项的系数n0

证明(zhèngmíng)

(1) 如果(rúguǒ) (2) 如果(rúguǒ)(3) 如果例1 求幂级数

解 因为

所以收敛半径为 当时 有 即收敛区间为，由于级数

.

, 则只当时幂级数(jí shù)收敛 故

 则幂级数总是(zǒnɡ shì)收敛的 故R

 则只当x0时幂级数收敛 故R0

的收敛半径与收敛域

xn收敛，所以 级数2在x1n1n时也收敛.因此 收敛域为例2 求幂级数

=的收敛域

20

解 因为

所以收敛半径为R 从而收敛域为(,)

例3 求幂级数 解 因为(yīn wèi)

所以(suǒyǐ)收敛半径为R0 即级数(jí shù)仅在x0处收敛(shōuliǎn)

例4 求幂级数的收敛半径

的收敛(shōuliǎn)半径

解 级数缺少奇次幂的项 定理2不能应用 可根据比值审敛法来求收敛半径

幂级数的一般项记为 因为

当径为

3.3 幂级数的运算

设幂级数及分别在区间(R,R)及内收敛 则在

即时级数收敛 当即时级数发散 所以收敛半(R,R)与(R,R)中较小的区间内有

21

加法 .

减法 .

乘法

除法(chúfǎ):

关于幂级数的和函数有下列(xiàliè)重要性质：

.

性质(xìngzhì)1 幂级数anxn的和函数(hánshù)s(x)在其收敛(shōuliǎn)域In0上连续

性质2 幂级数式

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

性质3 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛区间(R,R)内可导 并且有逐n0的和函数s(x)在其收敛域I上可积 并且有逐项积分公项求导公式

逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

例6 求幂级数的和函数

 设和函数为s(x) 即

22

解 求得幂级数的收敛域为

 

显然 在的两边求导得：

对上式从到x积分 得

于是 当时 有 从而

提示(tíshì) 应用(yìngyòng)公式

 即

习题(xítí)7-3

1．求下列幂级数的收敛(shōuliǎn)区间

（1） ； （2）；

（3）； （4）；

（5）； （6）；

（7）； （8）.

23

2. 利用(lìyòng)逐项求导法或逐项积分法，求下列级数的和函数

（1） ; （2）.

第4节 函数展开成幂级数

4.1函数展开成幂级数

给定函数 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数” 就是说 是否能找到这样一个幂级数 它在某区间内收敛 且其和恰好就是给定的函数f(x)

如果能找到这样的幂级数 我们就说函数f(x)能展开成幂级数 而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x)

如果(rúguǒ)f(x)在点x0的某邻域(lín yù)内具有各阶导数

则当时

f(x)在点x0的泰勒(tài lè)多项式

成为(chéngwéi)幂级数

这一幂级数称为(chēnɡ wéi)函数f(x)的泰勒级数

显然 当

，

时f(x)的泰勒级数收敛于24

需要解决的问题 除了xx0外

f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛 它是否一定收敛于f(x)?

定理 设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有各阶导数 则f(x)在该邻当域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项时的极限为零 即

证明 先证必要性 设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数 即

又设是f(x)的泰勒级数的前sn1(x)

项的和则在U(x0)内

，于是

(n)

而f(x)的n阶泰勒公式可写成 再证充分性 设对一切成立

因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)Rn(x) 于是

f(x)，

即f(x)的泰勒(tài lè)级数在U(x0)内收敛(shōuliǎn) 并且(bìngqiě)收敛于f(x)

在泰勒(tài lè)级数中取 得

此级数(jí shù)称为f(x)的麦克劳林级数

要把函数f(x)展开成x的幂级数，可以按照下列步骤进行：

第一步 求出f(x)的各阶导数

第二步 求函数及其各阶导数在x00处的值

25

第三步 写出幂级数

并求出收敛半径R

第四步 考察在区间((R,R)内时是否Rn(x)0(n)

是否为零 如果Rn(x)0(n) 则f(x)在(R,R)内有展开式

例1 试将函数展开成x的幂级数

 因此 解 所给函数的各阶导数为得到幂级数

该幂级数的收敛半径R

由于对于任何有限的数(介于0与x之间) 有

而 所以(suǒyǐ) 从而(cóng ér)有展开式

例2 将函数(hánshù) 解 因为(yīn wèi)展开(zhǎn kāi)成x的幂级数

26

所以顺序循环地取 于是得级数

它的收敛半径为R

对于任何有限的数x,(介于0与x之间) 有

n

因此得展开式

(x).

例3 将函数解

f(x)的各阶导数为

展开成x的幂级数 其中为任意常数

所以

且

于是(yúshì)得幂级数

27

以上例题是直接按照公式计算幂级数的系数，最后考察余项是否趋于零.这种直接展开的方法计算量较大，而且研究余项即使在初等函数中也不是一件容易的事.下面介绍间接展开的方法，也就是(jiùshì)利用一些已知的函数展开式，通过幂级数的运算以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.这样做不但计算简单，而且可以避免研究余项.

例4 将函数(hánshù) 解 已知

对上式两边(liǎngbiān)求导得

例5 将函数 解 因为 而展开成x的幂级数

是收敛的等比级数

所以将上式从0到x逐项积分 得

f(x)ln(1x)展开(zhǎn kāi)成x的幂级数

的和函数

上述展开式对也成立 这是因为上式右端的幂级数当x1时收敛 而在x1处有定义且连续

常用展开式小结

28

ex1x

121x    xn   

(x)

2!n!

(x)

(x)

(1x1)

4.2 幂级数的展开式的应用(yìngyòng)

4.2.1 近似计算

有了函数(hánshù)的幂级数展开式，就可以用它进行近似计算，在展开式有意义(yìyì)的区间内，函数值可以利用这个(zhè ge)级数近似(jìn sì)的按要求计算出来.

例6 计算 解 因为即

这个级数从第二项起是交错级数， 如果取前n项和作为5245的近似值 则其误差(也叫做截断误差)可算得

为了使误差不超过104 只要取其前两项作为其近似值即可 于是有

29

的近似值(误差不超过)

   所以在二项展开式中取

例7 利用

求的近似值 并估计误差

解 首先把角度化成弧度

(弧度)从而

其次(qícì) 估计(gūjì)这个近似值的精确度 在 得

等式右端是一个收敛(shōuliǎn)的交错级数 且各项的绝对值单调(dāndiào)减少

取它的前两项之和作为(zuòwéi)的近似值 起误差为

因此取

于是得

例8 计算定积分

(弧度)

的幂级数展开式中令.

 ，这时误差不超过的近似值 要求误差不超过104（取 解 将的幂级数展开式中的x换成）

 得到被积函数的幂级数展开式

30

(x).

于是 根据幂级数在收敛区间内逐项可积 得

前四项的和作为近似值 其误差为

所以

.

例9 计算(jì suàn)积分

的近似值 要求误差(wùchā)不超过104

解 因为(yīn wèi)

所以(suǒyǐ)

对上式逐项积分(jīfēn)得

0.501dx=1x4

.

31

上面级数为交错级数，所以误差，所以取前三项计算，即

，，经试算

.

.

4.2.2 欧拉公式

设有复数项级数为

（7-4-1）

其中 为实常数或实函数.如果实部所成的级数

收敛于和，并且虚部所成的级数

（7-4-3）

.

（7-4-2）

收敛于和，就说级数（1）收敛且其和为如果级数（7-4-1）各项的模所构成的级数

收敛(shōuliǎn)，则称级数（7-4-1）绝对收敛.如果级数(jí shù)（1）绝对收敛，由于

那么(nà me)级数（7-4-2），（7-4-3）绝对(juéduì)收敛，从而级数（7-4-1）收敛(shōuliǎn).

考察复数项级数

32

（7-4-4）

可以证明级数（7-4-4）在整个复平面上是绝对收敛的.在x轴上示指数函数ex，在整个复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记作是ez定义为

1z121zzn

2!n!它表，于 （7-4-5）

当x0时，为纯虚数

把换写为x，上式变为

这就是欧拉公式.

，（7-4-5）式成为

（7-4-6）

应用公式（7-4-6），复数z可以表示为指数形式：

其中是z的模，是z的辐角

，又有

与（7-4-6）相加、相减，得

（7-4-7）

在（7-4-6）式中把x换成 （7-4-8）

这两个式子也叫做欧拉公式.（7-4-6）式或（7-4-8）式揭示了三角函数与复变量指数函数之间的一种联系.

33

最后，根据定义式（7-4-5），并利用幂级数的乘法，我们不难验证

.

特殊(tèshū)地，取为实数(shìshù)x，为纯虚数(xūshù)iy，则有

这就是说，复变量(biànliàng)指数函数ez在处的值是模为ex、辐角为y的复数(fùshù).

习题7-4

1.将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间：

（1）（3）（5）2.将函数3.将函数 ; （2）; （4）; （6）展开成展开成的幂级数.

的幂级数.

的近似值（误差不超过0.0001）

展开成x的幂级数.

;

;

.

4.利用函数的幂级数展开式求5.利用欧拉公式将函数

34

第5节 傅里叶级数

5.1三角级数 三角函数系的正交性

正弦函数是一种常见而简单的周期函数.例如描述简谐振动的函数

,

就是(jiùshì)一个以为周期的正弦函数(hánshù)，其中y表示(biǎoshì)动点的为振幅(zhènfú)，为角频率，为初相. 位置，表示(biǎoshì)时间，在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦函数的周期函数，它们反应了较复杂的周期运动.如电子技术中常用的周期为的矩形波,就是一个非正弦周期函数的例子.

为了深入研究非正弦周期函数，联系到前面介绍过的用函数的幂级数展开式表示和讨论函数,我们也想将周期为T的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数

其中 都是常数.

组成的级数来表示，记为

（7-5-1）

将周期函数按上述方式展开，它的物理意义是很明确的，这就是把一个比较复杂的周期运动看作是许多不同频率的简谐振动的叠加.在电工学上，这种展开称为是谐波分析.其中常数项次谐波；而

,依次称为是二次谐波，三次谐波，等等.

称为是的直流分量；称为一 35

为了以后讨论方便起见，我们将正弦函数Ansin(ntn)按三角公式变形，得

Ansin(ntn)=+，，，

，则（1）式右端的级数并且令就可以改写为

， （7-5-2）

都是常形如（7-5-2）式的级数叫做三角级数，其中数.

令（7-5-2）式成为

这就把以o)级数.

为周期(zhōuqī)的三角级数转换为以 （7-5-3）

为周期(zhōuqī)的三角(sānjiǎ 下面(xià mian)讨论以2为周期的三角(sānjiǎo)级数（7-5-3）.我们首先介绍三角函数系的正交性.

三角函数系

在区间 （7-5-4）

上正交，就是指在三角函数系（7-5-4）中任何不同的两个函数的乘积在区间[,]上的积分等于零，即

(n1,2,)

36

(k,n1,2,,kn)

上的积分不等于零 即 三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间

5.2 函数展开成傅里叶级数

(n1,2,)

(n1,2,)

设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数

那么系数 （7-5-5）

与函数f(x)之间存在着怎样的关系?

假定三角级数可逐项积分 则

= 类似(lèi sì)地 

(n1,2,)

(n1,2,)

系数(xìshù)a0,a1,b1, 叫做(jiàozuò)函数f(x)的傅里叶系数(xìshù)

由于(yóuyú)当时，an的表达式正好给出，因此，已得结果可合并写成

，可得

37

（7-5-6）

将傅里叶系数代入（5）式右端，所得的三角级数

叫做函数f(x)的傅里叶级数.

一个定义在上周期为2的函数f(x) 如果它在一个周期上可积

则一定可以作出f(x)的傅里叶级数 然而 函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛?

如果它收敛 它是否一定收敛于函数? 一般来说 这两个问题的答案都不是肯定的

定理1 （收敛定理 狄利克雷充分条件) 设f(x)是周期为2的周期函数 如果它满足 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 在一个周期内至多只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛 并且

当x是f(x)的连续点时 级数收敛于f(x)

当x是f(x)的间断点时 级数收敛于

由定理可知，函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多，若记

，

在上就成立(chénglì)f(x)的傅里叶级数(jí shù)展开式

. （7-5-7）

38

例1 设f(x)是周期(zhōuqī)为2的周期函数(zhōu qī hán shù) 它在上的表达式为

，

将f(x)展开(zhǎn kāi)成傅里叶级数

解 所给函数满足收敛定理的条件 它在点 处不连续

在其它点处连续 从而由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛 并且当xk时收敛于

当时级数收敛于f(x)

傅里叶系数计算如下

[1(1)n

].

(n1,2,)

于是f(x)的傅里叶级数展开式为

例2 设f(x)是周期为2的周期函数 它在上的表达式为

.

将f(x)展开(zhǎn kāi)成傅里叶级数.

39

解 所给函数(hánshù)满足收敛定理的条件 它在点

(k0,1,2,)处不连续(liánxù) 因此(yīncǐ)

f(x)的傅里叶级数(jí shù)在x(2k1)处收敛于

在连续点x 傅里叶系数计算如下

处级数收敛于f(x)

.

f(x)的傅里叶级数展开式为

(n1,2,)

.

设f(x)只在[,]上有定义 我们可以在[,)或(,]外补充函数f(x)的定义 使它拓广成周期为2的周期函数 在内 .按这种方式拓广函数的定义域的过程称为周期延拓.

例3 将函数

40

展开(zhǎn kāi)成傅里叶级数

解 所给函数(hánshù)在区间[,]上满足收敛定理(dìnglǐ)的条件 并且(bìngqiě)拓广为周期函数时 它在每一点(yī diǎn)x处都连续 因此拓广的周期函数的傅里叶级数在[,]上收敛于f(x)

傅里叶系数为

;

(n1,2,)

于是f(x)的傅里叶级数展开式为

5.3 正弦级数和余弦级数

对于周期为2的函数f(x)，它的傅里叶系数计算公式为

an1f(x)cosnxdx

(n1,2,)

1

bnf(x)sinnxdx

(n1,2,)

由于奇函数在对称区间上的积分为零，偶函数在对称区间上的积分等于半区间上积分的两倍，因此，当f(x)为奇函数时是偶函数 故傅里叶系数为

(n1,2,)

是奇函数

41

因此(yīncǐ)奇函数的傅里叶级数(jí shù)是只含有正弦项的正弦级数

当f(x)为偶函数时

f(x)cosnx是偶函数

f(x)sinnx是奇函数 故傅里叶系数(xìshù)为

(n0,1,2,)

bn0

(n1,2,)

因此偶数函数(hánshù)的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数

例4 设f(x)是周期(zhōuqī)为2的周期函数 它在[

)上的表达式为 将f(x)展开成傅里叶级数

解 首先 所给函数满足收敛定理的条件 它在点x(2k1)

(k0,1,2,)不连续 因此f(x)的傅里叶级数在函数的连续点收敛于f(x) 在点x(2k1)(k0,1,2,)收敛于

其次 若不计x(2k1)(k0,1,2,)) 则f(x)是周期为2的奇函数

于是an0(n0,1,2,) 而

f(x)的傅里叶级数展开式为

(n1,2,)

(x;x,3,)

42

设函数(hánshù)f(x)定义(dìngyì)在区间理的条件 我们(wǒ men)在开区间上并且满足收敛(shōuliǎn)定内补充(bǔchōng)函数f(x)的定义 得到定义在(,]上的函数F(x) 使它在(,)上成为奇函数(偶函数) 按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓) 限制在例5 将函数上 有F(x)f(x)

分别展开成正弦级数和余弦级数

解 先求正弦级数 为此对函数f(x)进行奇延拓

函数的正弦级数展开式为

在端点x0及处 级数的和显然为零 它不代表原来函数f(x)的值

再求余弦级数 为此对f(x)进行偶延拓

函数的余弦级数展开式为

.

(0x)

5.4周期为2l的周期函数的傅里叶级数

43

我们(wǒ men)所讨论的周期函数都是以2为周期(zhōuqī)的 但是实际(shíjì)问题中所遇到的周期函数 它的周期(zhōuqī)不一定是2 怎样(zěnyàng)把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数呢？

问题 我们希望能把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数 为此我们先把周期为2l的周期函数f(x)变换为周期为2的周期函数

令及 则是以2为周期的函数 这是因为

于是当F(t) 满足收敛定理的条件时

F(t)可展开成傅里叶级数

其中

 (n0 1 2   )

从而有如下定理

定理2 设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件 则它的傅里叶级数展开式为

其中系数an

 bn

为

(n0,1,2,)

(n1,2,)

当f(x)为奇函数时

(n1,2,)

其中(n1,2,)

44

当f(x)为偶函数时

 其中例6 设f(x)是周期为4的周期函数 它在

(n0,1,2,)

上的表达式为

) (常数(chángshù)将f(x)展开(zhǎn kāi)成傅里叶级数

解 这里(zhèlǐ)

.

于是(yúshì)

.

例7 将函数(hánshù)解 对f(x)进行偶延拓 则

,

,

展成周期为4的余弦函数.

45

故

习题7-5

1. 下列函数周期都为2，试求其傅里叶级数展开式：

（1）f(x)ex

2. 将函数(hánshù)3. 将函数(hánshù)级数.

4. 将函数(hánshù)

; （2）

x.

(x)展开(zhǎn kāi)成傅里叶级数.

(0x)展开成正弦(zhèngxián)级数和余弦展开成傅里叶级数.

46

第6节 级数的应用

6.1级数在经济上的应用

6.1.1乘子效应

设想联邦政府通过一项消减100亿美元税收的法案，假设每个人将花费这笔额外收入的93%，并把其余的存起来。试估计消减税收对经济活动的总效应。

因为消减税收后人们的收入增加了，亿美元将被用于消费。对某些人来说，这些钱变成了额外的收入，它的93%又被用于消费，因此又增加了亿美元的消费，这些钱的接受者又将花费它的93%，即又增加了亿美元的消费。如此下去，消减税收后所产生的新的消费的总和由下列无穷级数给出：

这是一个(yī ɡè)首项为0.93100，公比(ɡōnɡ bǐ)为ù)，此级数收敛，它的和为：

亿美元

即消减100亿美元的税收(shuìshōu)将产生的附加的消费大约为元.

此例描述了乘子效应(the multiplier effect).每人将花费一美元额外收入的比例(bǐlì)称作“边际消费倾向”(the marginal to consume),记为.在本例中，亿美的几何级数(jǐ hé jí sh 47

，正如我们上面所讨论的，消减税收后所产生的附加消费的总和为：

附加消费的总和=消减十二乘以乘子

6.1.2投资费用问题

设初始投资为为和：

例1 建钢桥的费用为元,桥的期望寿命为一次，每次的费用为种桥较为经济？

解 根据题意,桥的费用包括两部分：建桥费用+油漆费用.

对建钢桥

建钢桥费用为

,

其中,则

.

油漆(yóuqī)钢桥费用为

48

=[消减税额] ,

就是它的实际效应.

,年利率为,t年重复一次投资.这样第一次更新费用的现值,以此类推,投资费用为下列等比数列之,第二次更新费用的现值为.

元,每隔年需要油漆一次，每次费用为元,每隔年需要油漆,问建造哪一年；建造一座木桥的费用为元,其期望寿命为年，若年利率为;

.

故建钢桥的总费用的现值为

.

类似(lèi sì)地,建木桥的费用为

.

油漆(yóuqī)木桥费用为

.

建木桥的总费用的现值为

.

现假设价格(jiàgé)每年以备份率涨价(zhǎnɡ jià)，年利率为r,若某种服务或项目的现在费用为时,则t年后的费用为.

因此在通货膨胀的情况下,计算总费用D的等比级数为

6.2 级数在工程上的应用

在土建工程中，常常遇到关于椭圆周长的计算问题。

设有椭圆，求它的周长.

.

,其现值为

49


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级数,收敛,函数