2023年12月3日发(作者：哈尔滨三中高考数学试卷)

绝密★启用前

2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：

柱体的体积V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

．．．．．．．．1．已知集合A={−1,0,1,2},B={0,2,3}，则AB= ▲

．

2．已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是 ▲

．

3．已知一组数据4,2a,3−a,5,6的平均数为4，则a的值是 ▲

．

4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ▲

．

5．如图是一个算法流程图，若输出y的值为−2，则输入x的值是 ▲

．

x2y256．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2−=1(a0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离a52心率是 ▲

．

7．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， f(x)=x，则f(−8)的值是 ▲

．

2328．已知sin2(+)=，则sin2的值是 ▲

．

439．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ▲ cm.

ππ﹢)的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 10．将函数y=3sin(2x46 ▲

．

11．设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2−n+2n−1(nN+)，则d+q的值是 ▲

．

12．已知5x2y2+y4=1(x,yR)，则x2+y2的最小值是 ▲

．

13．在△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若3PA=mPB+(−m)PC（m为常数），则CD的长度是 ▲

．

2

14．在平面直角坐标系xOy中，已知P(13A，B是圆C：x2+(y−)2=36上的两个动点，满足PA=PB，，0)，22则△PAB面积的最大值是 ▲

．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程．．．．．．．或演算步骤．

15．（本小题满分14分） 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．

（1）求证：EF∥平面AB1C1；

（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．

16．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,c=2,B=45．

（1）求sinC的值；

4（2）在边BC上取一点D，使得cosADC=−，求tan∠DAC的值．

5

17．（本小题满分14分）

某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO为铅垂线(O在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO的距离a(米)之间满足关系式h1=12a；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO40的距离b(米)之间满足关系式h2=−（1）求桥AB的长度；

13b+6b.已知点B到OO的距离为40米．

800（2）计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括3端点)．.桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价k(万元)(k>0)，问OE为多少米时，桥墩CD2与EF的总造价最低？

18．（本小题满分16分）

x2y2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:+=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且43在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．

（1）求△AF1F2的周长；

（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OPQP的最小值；

（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．

19．（本小题满分16分）

已知关于x的函数y=f(x),y=g(x)与h(x)=kx+b(k,bR)在区间D上恒有f(x)h(x)g(x)．22+)，求h(x)的表达式；

（1）若f(x)=x+2x，g(x)= −x+2x，D=(−，+)，求k的取值范围；

（2）若f(x)= x2−x+1，g(x)= klnx，h(x)= kx−k,D= (0，422342（3）若f(x)= x−2x，g(x)= 4x−8 ，h(x)= 4t−tx− 3t+ 2t(0 t2)，()D=

m, n−2,2，求证：n−m7．

20．（本小题满分16分） *已知数列an(nN)的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有1kSn+1−Sn1k=1k成立，则称此数列为“λ～k”数列．

an+1（1）若等差数列an是“λ～1”数列，求λ的值；

（2）若数列an是“3~2”数列，且an0，求数列an的通项公式；

3（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列an为“λ～3”数列，且an0？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分.

1．{0,2}

6．

2．3

3．2

14．

9

2

5．−3

3

2

7．−4

18．

313．9．123−

10．x=−5

2411．4 12．4

5

18或0

514．105

二、解答题

15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.

证明：因为E,F分别是AC,B1C的中点，所以EF∥AB1.

又EF/平面AB1C1，AB1平面AB1C1，

所以EF∥平面AB1C1.

（2）因为B1C⊥平面ABC，AB平面ABC,

所以B1C⊥AB.

又AB⊥AC,B1C平面AB1C1,AC平面AB1C,B1CAC=C, 所以AB⊥平面AB1C.

又因为AB平面ABB1,所以平面AB1C⊥平面ABB1.

16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.

解：（1）在△ABC中，因为a=3,c=2,B=45，

由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，得b2=9+2−232cos45=5，

所以b=5.

在△ABC中，由正弦定理得52=，

sin45sinC5.

5bc，

=sinBsinC所以sinC=4（2）在△ADC中，因为cosADC=−,所以ADC为钝角，

5而ADC+C+CAD=180,所以C为锐角.

故cosC=1−sin2C=25sinC1,则tanC==.

5cosC243sinADC3因为cosADC=−，所以sinADC=1−cos2ADC=，tanADC==−.

55cosADC4从而31−+tan(ADC+C)42=2.

tanADC=tan(180−ADC−C)=−tan(ADC+C)=−=−31111−tanADCtanC1−(−)4217．本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.

解：（1）设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直，A1,B1,D1,F1是相应垂足.

由条件知，当O\'B=40时，

BB1=−由1403+640=160, 则AA1=160.

8001O\'A2=160,得O\'A=80.

40所以AB=O\'A+O\'B=80+40=120（米）. （2）以O为原点，OO\'为y轴建立平面直角坐标系xOy（如图所示）.

设F(x,y2),x(0,40),则y2=−13x+6x,

80013x−6x.

800因为CE=80,所以O\'C=80−x.

EF=160−y2=160+设D(x−80,y1),则y1=1(80−x)2,

4011(80−x)2=−x2+4x.

4040记桥墩CD和EF的总造价为f(x)，

所以CD=160−y1=160−f(x)=k(160+1331x−6x)+k(−x2+4x)800240

1332=k(x−x+160)(0x40).80080则3233kx−x+160)=x(x−20)，

80040800令f(x)=0， 得x=20.

f(x)=k(

所以当x=20时，f(x)取得最小值.

答：（1）桥AB的长度为120米；

（2）当O\'E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低.

18．本小题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数量积等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分16分.

x2y2=1的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 解：（1）椭圆E:+43则a2=4,b2=3,c2=1.

所以△AF1F2的周长为2a+2c=6. （2）椭圆E的右准线为x=4.

设P(x,0),Q(4,y)，

则OP=(x,0),QP=(x−4,−y)，

OPQP=x(x−4)=(x−2)2−4−4,

在x=2时取等号.

所以OPQP的最小值为−4.

xy+=1的左、右焦点分别为F1,F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，

433则F1(−1,0),F2(1,0),A(1,).

2所以直线AB:3x−4y+3=0.

（3）因为椭圆E:设M(x,y)，因为S2=3S1，所以点M到直线AB距离等于点O到直线AB距离的3倍.

22|3x−4y+3||30−40+3|，

=355则3x−4y+12=0或3x−4y−6=0.

由此得3x−4y+12=0,由x2y2得7x2+24x+32=0，此方程无解；

=1+343x−4y−6=0,2由x2y2得7x2−12x−4=0，所以x=2或x=−.

7=1+43代入直线l:3x−4y−6=0，对应分别得y=0或y=−12.

7212因此点M的坐标为(2,0)或(−,−).

7719．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分. 解:（1）由条件f(x)h(x)g(x)，得x2+2xkx+b−x2+ 2x，

取x=0，得0b0，所以b=0．

由x2+2xkx，得x2+(2 −k)x0，此式对一切x(−,+)恒成立，

所以(2 −k)20，则k=2，此时2x−x2+2x恒成立，

所以h(x)=2x．

（2）h(x) −g(x)= k(x−1 −lnx),x(0,+).

1令u(x)= x−1−lnx，则u\'(x)=1−,令u\'(x)=0，得x=1.

x

所以u(x)min= u(1)=0.则x−1lnx恒成立，

所以当且仅当k0时，f(x)g(x)恒成立．

另一方面，f(x)h(x)恒成立，即x2−x+1kx−k恒成立，

也即x2−(1 +k)x+1 +k0恒成立．

因为k0，对称轴为x=1+k0，

2所以(1+k)2−4(1+k)0，解得−1k3．

因此，k的取值范围是0k3.

（3）①当1t2时，

由g(x)h(x)，得4x2−84(t3−t)x−3t4+2t2，整理得

3t4−2t2−8x−(t−t)x+0.()

423令=(t3−t)2−(3t4−2t2−8),

则=t6−5t4+3t2+8．

记(t)=t6−5t4+3t2+8(1t2),

则\'(t)=6t5−20t3+6t=2t(3t2−1)(t2−3)0恒成立，

所以(t)在[1, 2]上是减函数，则(2)(t)(1)，即2(t)7． 所以不等式()有解，设解为x1xx2，

因此n−mx2−x1=7．

②当0t1时，

f(−1)−h(−1)= 3t4+4t3−2t2−4t−1．

设v(t) = 3t4+4t3−2t2−4t−1， v\'(t)=12t3+12t2−4t−4=4(t+1)(3t2−1),

令v(t)=0，得t=3．

33当t(0，)时，v(t)0，v(t)是减函数；

3当t(3，1)时，v(t)0，v(t)是增函数．

3v(0)=−1，v(1)=0，则当0t1时，v(t)0．

（或证：v(t)=(t+1)2(3t+1)(t−1)0．）

则f(−1)−h(−1)0，因此−1(m，n)．

因为，所以n−m2+17．

［m，n］［-2，2］③当−2t0时，因为f(x)，g(x)均为偶函数，因此n−m7也成立．

综上所述，n−m7．

20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．

解：（1）因为等差数列{an}是“λ～1”数列，则Sn+1−Sn=an+1，即an+1=an+1，

也即(−1)an+1=0，此式对一切正整数n均成立．

若1，则an+1=0恒成立，故a3−a2=0，而a2−a1=−1，

这与{an}是等差数列矛盾．

所以=1．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）

（2）因为数列{an}(nN*)是“所以Sn+1−Sn=3~2”数列，

333an+1，即Sn+1−Sn=Sn+1−Sn．

33因为an0，所以Sn+1Sn0，则Sn+13−1=Sn3Sn+1−1．

Sn令Sn+112322=bn，则bn−1=bn−1，即(bn−1)=(bn−1)(bn1)．

Sn33解得bn=2，即Sn+1Sn+1=4，

=2，也即SnSn所以数列{Sn}是公比为4的等比数列．

1(n=1),n−1a=S=a=1

因为1，所以Sn=4．则n1n−234(n2).（3）设各项非负的数列{an}(nN*)为“~3”数列，

则S3−S3=a3，即3Sn+1−3Sn=3Sn+1−Sn．

n+1nn+1因为an0，而a1=1，所以Sn+1Sn0，则3Sn+1S−1=3n+1−1．

SnSn111令3Sn+133=cn，则cn−1=3cn−1)(cn 1)．（*）

−1(cn 1)，即(cn−1)3=3(cnSn①若0或=1，则（*）只有一解为cn=1，即符合条件的数列{an}只有一个．

（此数列为1，0，0，0，…）

3+2cn+1)=0，

②若1，则（*）化为(cn−1)(c+3−13+22cn+10，则（*）只有一解为cn=1，

因为cn1，所以cn+3−12n即符合条件的数列{an}只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）

3+2cn+1=0的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内，

③若01，则c+3−12n则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t）．

所以Sn+1=Sn或Sn+1=t3Sn．

由于数列{Sn}从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列{Sn}有无数多个，则对应的{an}有无数多个．

综上所述，能存在三个各项非负的数列{an}为“~3”数列，的取值范围是01． 数学Ⅱ(附加题)

21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

a1平面上点A(2,−1)在矩阵M=对应的变换作用下得到点B(3,−4)．

−1b（1）求实数a，b的值；

（2）求矩阵M的逆矩阵M−1．

B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

ππ在极坐标系中，已知点A(1,)在直线l:cos=2上，点B(2,)在圆C:=4sin上（其中0，3602）．

（1）求1，2的值；

（2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标．

C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

设xR，解不等式2|x+1|+|x|4．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．

（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；

（2）若点F在BC上，满足BF=1BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．

423．（本小题满分10分）

甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．

（1）求p1，q1和p2，q2；

（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．

数学Ⅱ(附加题)参考答案

21．【选做题】

A．[选修4-2：矩阵与变换]

本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．

a1232a−1=3,=

解：（1）因为，所以−1b−1−4−2−b=−4,21M=a=b=2解得，所以−12．

2　 1（2）因为M=，det（M）=22−1（−1）=50，所以M可逆，

2−1　　从而M−112　 -55=．

12　　　55B．[选修4-4：坐标系与参数方程]

本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．

解：（1）由1cos因此2=2或0．

cos=2,（2）由得4sincos=2，所以sin2=1．

=4sin,=2，得1=4；2=4sin=2，又（0，0）（即（0，））也在圆C上，

366因为0，0 2，所以=，=22．

4所以公共点的极坐标为(22,)．

4C．[选修4-5：不等式选讲]

本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．

解：当x>0时，原不等式可化为2x+2+x4，解得0x2；

3当−1x0时，原不等式可化为2x+2−x4，解得−1x0；

当x−1时，原不等式可化为−2x−2−x4，解得−2 x−1． 2综上，原不等式的解集为{x|−2x}．

322．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力．满分10分．

解：（1）连结OC，因为CB =CD，O为BD中点，所以CO⊥BD．

又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC．

OC，OA为基底，建立空间直角坐标系O–xyz．

以OB，因为BD=2，CB=CD=5，AO=2，

所以B（1，0，0），D（–1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2）．

因为E为AC的中点，所以E（0，1，1）．

则AB=（1，0，–2），DE=（1，1，1），

DE|=所以|cosAB，|ABDE||1+0−2|15==．

15|AB||DE|53因此，直线AB与DE所成角的余弦值为（2）因为点F在BC上，BF=所以BF=15．

151BC，BC=（–1，2，0）．

4111BC=(−,,0)．

442又DB=，

（2,0,0）71故DF=DB+BF=(,,0)．

42设n1=(x1，y1，z1)为平面DEF的一个法向量，

x1+y1+z1=0，DEn1=0，

则即71x+y=0,11DFn1=0,42−7，5)．

取x1=2，得y1=–7，z1=5，所以n1=(2，设n2=(x2，y2，z2)为平面DEC的一个法向量，又DC=（1，2，0），

DEn2=0，x2+y2+z2=0，则即取x2=2，得y2=–1，z2=–1，

x+2y=0,2DCn2=0,2−1，−1)．

所以n2=(2，故|cos|=|n1n2||4+7−5|13==．

|n1||n2|13786239．

13所以sin=1−cos2=

23．【必做题】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．

11C1C1121C32C3解：（1）p1=11=，q1=11=，

C3C33C3C3311C1C11271C32C1p2=11p1+11q1+0(1−p1−q1)=p1+q1=，

C3C3C3C3392711111C1C1C1C1C13C22C32C2q2=11p1+(11+11)q1+11(1−p1−q1)

C3C3C3C3C3C3C3C31216=−q1+=．

9327（2）当n2时，

11C1C1121C32C1pn=11pn−1+11qn−1+0(1−pn−1−qn−1)=pn−1+qn−1，①

C3C3C3C33911111C1C1C1C1C13C22C32C2qn=11pn−1+(11+11)qn−1+11(1−pn−1−qn−1)

C3C3C3C3C3C3C3C312=−qn−1+，②

932①+②，得2pn+qn=241212pn−1+qn−1−qn−1+=(2pn−1+qn−1)+．

39933311从而2pn+qn−1=(2pn−1+qn−1−1)，又2p1+q1−1=，

3311n−11n所以2pn+qn=1+()=1+()，nN*．③

333由②，有qn−所以qn=31331=−(qn−1−)，又q1−=，

59551511n−13(−)+，nN*．

1+()n−qn］=(−)n+()n+，nN*．

由③，有pn=［23109235故1−pn−qn=31n11n1(−)−()+，nN*．

109235Xn的概率分布

Xn

0

1−pn−qn

1

qn

2

pn

P

1n*则E(Xn)=0(1−pn−qn)+1qn+2pn=1+(),nN．

3


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