福建省初中学业考试数学学科评价分析方案

2023年12月2日发(作者：语文试卷和数学试卷)

福建省初中学业考试数学学科评价报告

数学学科中考评价组

为了贯彻落实国家和我省《中长期教育改革和发展规划纲要》及《福建省教育厅关于深化基础教育课程改革的意见》<闽教基[2018]1号）的有关精神，受省教育厅委托，由福建省普通教育教案研究室牵头，组织优秀教研员和一线骨干教师组成2018年各设区市初中学业考试数学学科评价组，对我省各设区市的初中数学学业考试进行分析评价.评价组对各设区市报送的数学学业考试试卷、评分标准、规范细目表、质量分析及命题组和审题组成员名单等相关材料，根据《教育部关于积极推进中小学评价与考试制度改革的通知》、福建省教育厅《关于进一步推进初中毕业升学考试和高中招生制度改革工作的意见》<闽教基〔2007〕70号）文件精神，依据《全日制义务教育数学课程标准<实验稿）》<以下简称《课程标准》）及《2018年福建省初中学业考试大纲<数学）》<以下简称《考试大纲》），按照《福建省教育厅关于做好2018年初中学业水平考试与普通高中招生制度改革工作总结的通知》<闽教办基[2018]34号）的要求，本着实事求是、公平公正、科学准确的原则，从总体上对考试命题的管理、试卷形式和内容、考试结果这三个主要方面进行了全面、认真、客观的分析与评价，着重分析各设区市初中数学学业考试在数学能力和数学思想等方面的考查力度，并对进一步做好初中数学学业考试和评价工作、改进初中阶段学科教育教案工作提出了要求与改进建议，以规范命题管理，引导命题改革，充分发挥初中学业考试的导向功能，进一步推动我省基础教育的课程与教案改革，全面实施素质教育。现将评价组意见整理如下：

一、考试命题过程管理

1．各设区市上报材料情况

大部分设区市按照相关规定报了材料，对本地当年的考试与命题工作情况进行总结和汇报。但也有少数设区市在报送材料中存在材料不规范、数据不完整等问题，如部分设区市的报告中有针对各题的标准差，但无整卷标准差，还有些设区市在分析试卷特色时，未就典型题型给出具体分析。各设区市初中数学试卷的材料报送情况统计如下表。

表1 2018年各设区市初中学业考试有关材料报送情况表

自评报告

命命成绩统计 学基题题生考规试试答教本人试范卷卷平标难及优题案信员说细结评均准度格秀情建息登明

目构 价

分 差 值 率 率

况议

表 记表 表

分析

有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 无 有

有

有

有 有 有 有 有 有 有

有 有 有 有 有 有 有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

市

试卷

福州

厦门

莆田

有

有

有

参考答案及评分标准

有

有

有

备注

<成绩

记录

方式）

原始分

原始分

原始分

1 / 29 泉州

三明

漳州

南平

龙岩

宁德

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有 有 有 有 有 有 有

有 有 有 有 有 有 有

有 有 有 有 有 有 有

有 有 有 有 有 有 有

有 有 有 有 有 有 有

有 有 有 有 有 有 有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

有

无

有

有

有

无

有

有

有

有

有

有

原始分

原始分

原始分

原始分

原始分

原始分

2．命题、审题情况和人员构成

从各地报送的材料来看，各设区市普遍加强了中考命题的管理工作，能够按照省教育厅的有关规定组建命题组和审题组，命题、审题人员大部分都参加了省级以上的中考命题培训且成绩合格，具体人员配备如下表：

表2 2018年各设区市学业考试命题、审题人员组成一览表

设区市

工程教研员

命审题人员组成

一线教师

高级教师

一级教师

命审题人员分配

命题人数

审题人数

福州

2

4

4

2

5

1

厦门

3

2

3

2

3

2

宁德

2

2

4

0

3

1

莆田

2

5

3

4

5

2

泉州

1

3

3

1

3

1

漳州

2

2

2

2

3

1

三明

3

2

4

1

4

1

龙岩

0

5

3

2

4

1

南平

1

3

4

0

3

1

参加国家级/省级

100% 100% 100% 71% 100% 100% 100% 100% 100%

培训所占比例

厦门、三明等设区市的审题人员的职称为一级教师，建议选用高级教师审题，莆田市某审题人员在“命题审题人员情况登记表”中注明“2018年参加省级命题培训”，经查与事实不符．各设区市命题人员和评价人员重叠，建议命题人员回避试卷评价工作．

3．其他

从报送的九份试卷来看，各设区市基本上能依据《课程标准》和《考试大纲》的内容范围与要求进行命题，较好地体现了新课程理念.各试卷在对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”及“课题学习”四个领域的内容进行系统考查的同时，能够突出主干知识与核心内容的考查地位.试卷重视课程目标考查的整体性，既关注知识技能目标达成状况的考查，又关注数学能力等课程目标达成状况的考查；既关注对结果性目标达成状况的考查，又关注对过程性目标达成状况的考查的探索；既关注对数学方法掌握情况的考查，又注重数学思想的渗透.绝大多数试卷的格式较为规范，制定了命题规范细目表，关注试卷在知识技能、数学能力、数学思想等方面的考查力度和适当的比例，注意了题量与阅读量的控制，主、客观试卷比例的控制.大部分试卷的预测难度和实测难度分布基本合理，语言和图形界面友好，参考答案及评分标准可操作性强，便于阅卷评分和控制评分误差.

总的来看，由于各设区市加强了考试命题的管理工作，使得我省中考命题质量不断提高，最直接反映是没出现科学性错误，大部分设区市的试卷信度、效度有了明显改善，区分度与难度得到有效的控制.

2 / 29 二、试卷评价

(一>各设区市2018年初中数学学业考试形式与试卷结构

表3 2018年各设区市学业考试形式与试卷结构一览表题 量

工程

试卷

福州卷

厦门卷

莆田卷

泉州卷

漳州卷

龙岩卷

三明卷

南平卷

宁德卷

表3显示：

<1）与前三年相比，各设区市的考试形式和试卷结构基本保持稳定，试卷仍沿用选择题、填空题和解答题三种题型，其中客观题<选择、填空）占分比例合计约在36％到42.7％之间，解答题占分比例约在57.3％到64％之间，总体上讲，各类题型比例较为恰当，总题量适宜，有5个设区市的Ⅱ级总题量为26题，另外4个设区市略少<最少为22题），Ⅲ级总题量在32题到36题之间,平均34.1题，6个设区市有设Ⅳ级题.

<2）各试卷立足《课程标准》和《考试大纲》，注重“四基”考查．大部分试卷源于课本，高于课本，放宽试卷入口，体现试卷的公平性.符合数学课程的基础性、普及性，但又不是机械记忆，简单模仿，体现新而不怪，活而不难.

<3）各试卷总体做到“稳定为主、稳中求变、变中求新”.关注初高中衔接问题，设置了适量的开放性、探索性试卷，突出反映了知识的综合性、过程的探究性、结论的多样性等特征，符合中考命题的改革方向.统计显示，与去年比较，各区市更加注重考查学生探索问题的能力，探索性试卷的平均分值由去年的11.2分上升至今年的23.4分；同时，加大了在试卷上的创新力度，创新试卷的平均分值由去年的5.2分上升至今年的11.7分.

Ⅰ级

3

3

3

3

3

3

3

3

3

Ⅱ级

22

26

25

26

26

25

23

26

26

Ⅲ级

32

34

34

33

36

35

34

33

36

选

择

题

26.7

14

21.3

14

20

26.7

26.7

26.7

26.7

填

空

题

13.3

26.7

21.3

26.7

16

14

16

16

16

解

答

题

60

59.3

57.359.3

64

59.3

57.3

57.3

57.3

各题型占分比例%

探索性试卷分值

17

20

37

14

15

33

21

27

27

创新试卷分值

13

8

8

9

17

16

6

10

18

考试形式

考试

时间

总分

两考合一

120

分钟

150

分

<二）试卷特点

各份试卷都能遵循《课程标准》的基本理念，试卷注重考查“四基”和“四能”，突出对主干内容的考查，题目背景公平、立意新颖、表述严谨，试卷特别注意加强与社会生活、学生经验的联系，增强问题的真实性和情境性，重视考查学生在真实情境中收集、整合、运用信息的能力，提出、研究、解决实际问题的能力.许多试卷创造性地使用已有的题型或积极探索尝试新的题型，设计了一定量的背景新颖、设问巧妙、形式活泼的开放性、探究性、应用性、实验操作性试卷，体现了对培养学生的创新精神和实践能力的导向.纵观各设区市试卷，主要有以下几个突出特点：

3 / 29 1．关注数学核心知识的考查

各设区市试卷都能以本学段的知识与技能目标为基准，关注对数学的基础知识、基本技能、基本思想方法及基本的数学活动经验的全面考查，较好地体现了初中数学学业考试的基本定位和初中数学内容考查的有效性，有利于促进数学课程目标的实现，有利于促进学生的数学思维、数学观念与数学素养的全面提高，有利于发挥评价对数学教案的正确导向作用.

<1）全面考查初中数学的主干内容

各试卷根据《课程标准》要求及义务教育阶段学生的现状，考查基础知识、基本技能的试卷达到了应有的比例，突出考查学生对主干内容的掌握情况.

表4初中数学三大内容领域考查比例统计表

试卷

福州卷

厦门卷

莆田卷

泉州卷

漳州卷

龙岩卷

三明卷

南平卷

宁德卷

平均

三大内容领域所占分值

数与代数 空间与图形 统计与概率

68 64 18

73

73

79

68

70

68

67

62

69.8

62

61

50

64

60

64

59

64

60.9

15

16

21

18

20

18

24

24

19.3

从表4统计表明：各试卷都能以《课程标准》为依据，全面考查了初中数学的数与代数、空间与图形、统计与概率等主干内容，三大内容领域<将“课题学习”分解）所占比例范围大体接近4.6:4.1:1.3 ,

基本与相应内容在教案中所占课时比例吻合，较好保证了试卷的效度.有个别设区市三大领域内容所占比例明显与该领域内容所占课时比例不符，泉州试卷的数与代数内容偏多、空间与图形内容偏少，厦门和莆田的统计与概率内容偏少.

<2）突出核心内容的综合考查

根据《课程标准》要求，各试卷涵盖了《课程标准》的全部一级知识点和主要的二级知识点，在考查学生对主干内容的掌握情况时，突出数与式、方程与不等式、函数、图形认识、图形变换、图形与坐标、图形与证明、统计、概率等核心内容，题目不偏不倚，注重通性通法．

以各试卷对“函数”、“图形与证明”这两个核心内容的考查为例，统计如表5：

表5 各设区市初中学业考试“函数”、“图形与证明”模块考查情况统计表

试卷

题号

函数

分值

24

23

30

22

25

图形与证明

题号

17<1），21(1>(2> 16，20，25分值

20

22

22

22

23

福州卷 4，9，22(1>(2>

厦门卷 17，22，26

莆田卷 5，16，22，24

泉州卷 15，23 ，25<2> ，26<2>

漳州卷 9，25(1>(2> ，26

19，21(1> ，25(1>(2>20，25(1>(3> ，26(1> 19，23，25<3）4 / 29 龙岩卷 9，23，24<1）<2），25<3）

三明卷 8，20，22

南平卷 15，23，26

宁德卷 8，10，14，26<1）<3）

30

28

27

20

20，24<3），25<1）

23<2）19

30

21

28

10，14，18，21<1）<2）8，24<1），25 18，20，25，26<2）<注：括号中数据为该题在试卷中的Ⅲ级题号）

各设区市初中学业考试数学学科“函数”、“图形与证明” 部分分值统计图

60

50

40

30

20

函数图形与证明合计

10

福州厦门莆田泉州漳州龙岩三明南平宁德0

图5

从表5看，各试卷均通过配置选择题、填空题和解答题考查“函数”、“图形与证明”，大多数试卷关注对核心的基础知识、基本技能和基本思想方法的理解与掌握程度的考查，同时注意《课程标准》所要求内容的广度和深度的考查，同时保证学生情绪稳定、正常发挥，考出真实水平，提高试卷的效度，有利于发挥评价对数学教案的正确导向作用．

从统计图显示，各试卷考查“函数”、“图形与证明”的分值合计大多数在48分左右，比2018年略高8分．莆田、龙岩卷对函数知识的考查分值均达到30分，其中龙岩卷全面考查“四种函数”的图象与性质，观察图象求函数的解读式来解决生活中的实际问题，二次函数与三角形、圆、直角梯形相结合考查三角形相似、圆与直线的位置关系、二次函数最值问题．三明卷对图形与证明知识的考查分值最多，达到30分，重视三角形全等、三角形相似判定方法的考查，重视特殊四边形性质的理解和应用，合情推理，证明方法多样，没有“繁”、“难”、“偏”的单一证明方法的几何题出现．

<3）合理设置考查方式，强化对核心知识的考查

改变考查方式或角度，考查学生对核心知识的深入理解和熟练掌握，把握内容本质，在一定程度上可以有效地引导一线数学教案注重对核心知识的变式教案，引导学生举一反三地掌握知识点，从而更好地发挥考试的教育功能．

5 / 29 例1 【福州卷第19题】

如图8,在平面直角坐标系中,(1>求线段值范围；

(2>将线段出线段绕点.若直线逆时针旋转,得到线段,请在答题卡指定位置画,则随的增大而(填图8

、均在边长为1的正方形网格格点上.

时,自变量的取所在直线的函数解读式,并写出当的函数解读式为“增大”或“减小”>.

【评析】本题以正方形网格为背景考查学生对函数的有关概念、性质的理解和待定系数法的掌握情况，通过图形直观分析确定x的取值范围，突出数形结合思想．试卷设计简单明了，创新使用“陈题”，让人有“老而不俗”耳目一新感觉，考查学生以“不变”应“万变”的解决问题能力，提高了试卷的效度和信度.

例2【龙岩卷第9题】

下列图象中，能反映函数y随x的增大而减小的是

A． B． C． D．

【评析】【评析】本道试卷通过呈现正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数图象，考查学生从函数图象中获取信息的能力和对函数图象及性质的理解.试卷具有一定的区分度.

例3【漳州卷第19题】

如图，∠B=∠D，请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE 并证明.

<1）添加的条件是；

<2）证明：

【评析】本题属基础性的几何证明，重点考查三角形全等的判定方法，第<1）问考生可以选择不同的条件，这样给不同的人在数学学习上得到不同的发展得以充分体现，体现了不同能力的学生能得到B

D

<第19题）

E

C

A

应有的评价，关注学生的学习差异，让学生的自信心得以体现．第<2）问考查全等三角形的证明，并且证明方法多样，为学生有效解决问题创造较多的机会，也在一定程度上考查了推理论证的能力．

例4【泉州卷第25题】

如图，在直角坐标系中，点线上运动，点、、的坐标为分别为、，点、在直的中点，6 / 29 其中是大于零的常数.

<1）请判断四边形<2）试求四边形<3）设直线说明理由.

【评析】此道题既可以转化为利用相似三角形、勾股定理的逆定理、三角函数值列方程求解，也可以转化为直线与圆的位置关系求解，从而达到代数、几何和三角函数的有机融合．代数、几何、三角函数是初中数学的三个重要组成部分，从初中数学的整体意义上创新设计，使它们相辅相成、相得益彰．

例5【宁德卷第17题】

甲、乙俩射击运动员进行10次射击，甲的成绩是7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，乙的成绩如图所示.则甲、乙射击成绩的方差之间关系是______(填“＜”，“＝”，“＞”>．

10

9

8

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-

次

的形状，并证明你的结论；

的面积与的关系式；

，问：四边形能不能是矩形？若能，求出的值；若不能，与轴交于点环

【评析】方差是统计的重要基础知识，是初中统第17题图

计知识的核心内容之一，本题分别以数列和图表两种方式呈现数据的变化情况，考查学生对方差是反映数据波动性这一本质特征的理解，题目设计新颖，解题方法多样，既关注了对基础知识、基本技能的考查，也兼顾了对数学能力关注．求解本题，学生既可以将甲运动员的成绩描在图中，通过直观比较两组数据的波动情况，从而判断两者方差的大小；也可以借助计算器等工具对两组数据进行估算后再加以判断，不同的的解题方式反映出学生对知识的理解和思维层次上的差异，也直接影响解题的速度和准确度，提高了考试的效度．

例6【龙岩卷第10题】

现定义运算“★”：对于任意实数a、b，都有a★b=若x ★2 = 6，则实数x的值是< ）

A．－4或－1 B．4或－1 C．4或－2 D．－4或2

，如3★5 =.

【评析】本题借助所学的核心知识，通过定义一种新运算，创设新的学习方式，有效地考查学生阅读、观察、验证的数学能力和创新意识．解答此类题目，既要学生掌握扎实的基础知识和基本技能，又要求学生能跳出头脑中固有解题的模式，在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的．

2.创设探究性试卷，关注对课题学习的考查

课题学习是初中数学课程新设置的学习领域，具有鲜明的实践性、过程性、挑战性、综合性、开放性等特征，它强调以实践操作、探索发现、猜想证明为活动主线，在探索过程中发挥学生的主体性、自主性，让学生真正经历独立自主的问题探究和解决的一般过程，获得一定的“微科研”的研究经验．它改“学”数学为“做”数学，是一种全新的课程理念，也是一种新型的学习方式．各设区市在关注传统三大核心领域知识<数与代数、空间与图形、概率与统计）考查的同时，尝试关注对课题学习领域的考查．通过设置应用型、探究型、开放型、操作型等具有过程性特征的探究性试卷，多角度、多层次立体7 / 29 考查学生对课题学习领域的掌握情况，从中反映学生在动手操作实践，归纳猜想证明、类比联想迁移等科学探究发现的经验、能力与水平．这类试卷对于促进课程改革及中考命题改革具有积极的导向与推动作用．

例7【龙岩卷第22题】

一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转角α (α =∠BAD且0°＜α＜180°），使两块三角板至少有一组边平行．

<1）如图①，α =____°时，BC∥DE；

<第22题图）

<2）请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空：

图②中，α = °时，有 ∥ ； 图③中，α = °时，有 ∥ ．

α

图① 图② 图③

【评析】本题借助学生熟悉的“三角板”创设探究情境，引导学生在运动变化过程中发现规律，既有定性分析两三角形的边与边之间的位置关系，又有定量分析旋转角α的大小，体现了数学研究从数、形两方面入手，采用定性与定量分析相结合的研究策略．填空题命题形式，淡化逻辑推理与证明，更突显考查操作、探究与发现的命题立意．本题具有明显的探究性试卷的特征，是数学中考命题中，考查课题学习的良好尝试．

例8【宁德卷第25题】

定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”.

数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒<每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动.

小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；

小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；

小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”.

⑴请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；

⑵你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由.

①摆出等边“整数三角形”；

②摆出一个非特殊<既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”.

【评析】本题以“课题学习”为背景，先给出“整数三角形”的定义，提供一个特殊例子，让学生在阅读理解的基础上，既可以通过动手操作实验去探究结论，也可以转化为数学问题进行解题．题目第1问学生需要经历从特殊入手，借助类比、归纳，用勾股定理建立方程求解；等腰“整数三角形”，可转3

4

5

8 / 29 化为两个直角“整数三角形”的拼接问题加以解决；第2问边长为a的等边三角形面积为长a为整数，则面积，若边一定非整数，由数的不存在性解决了等边“整数三角形”的不存在性问题；第2问②，需要转化为特殊“整数三角形”的剪拼问题．创设这类试卷，有利于引导教师改变教案方法，将学习的权利交给学生，让学生将数学思想方法吸收内化为自身的解决问题的思维策略．解答此类题目，既要学生掌握扎实的基础知识和基本技能，又要学生能跳出头脑中固有解题的模式，通过阅读理解，结合所学的解题策略，寻找解题的方法，有效地考查学生阅读、观察、猜想、验证的数学能力和创新意识.本题具有良好的效度和区分度．

例9【莆田卷第25题】

已知菱形ABCD的边长为1，，等边两边分别交边DC、CB于点E、F．

<1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边的外心；

的外心为点P. <2）若点E、F始终在分别在边DC、CB上移动，记等边①猜想验证：如图2，猜想②拓展运用：如图3，当延长线于点N，试判断的外心P落在哪一直线上，并加以证明；

面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由

D

F

C

E

B

C

E

B

F

N

C

P

E

B

O

A

图1

D

F

P

A

图 2

D

图3

M

A

【评析】本道试卷是一道集阅读理解、实验操作、猜想证明、应用探究于一体的探究性试卷．试卷以菱形中的一个等边三角形旋转作为载体，综合考查了等边三角形、菱形两个基本图形的性质，同时考查了等边三角形的外心<中心）、三角形的中位线、相似、全等等初中数学几何主干知识．其新意主要体现在让考生在操作、实验等尝试性活动中表现、反映出其对核心知识的理解水平，对几何图形进行合理分解、组合的基本技能的掌握情况，考查了学生的观察、分析、猜测、验证、计算与推理能力．将旋转与相似巧妙地融为一体，体现了知识交汇处命题的指导思想．本题的情境较为复杂，要求学生在众多的可变元素中确定不变的元素，有利于全面考查探索过程<类比、归纳、猜想等合情推理等在整个思维过程中能得到充分的体现），从而较为有效地发挥了证明题在考查学生观察、数学表达、猜想、证明等数学活动方面能力的功能，可谓操作与探究相融，猜想与创新同途．本题结论开放、方法开放、思路开放，因而能有效地反映高层次思维，融汇了特殊与一般思想、化归与转化思想、数学建模思想、函数思想、数9 / 29 形结合思想，是一道综合性较强的题目，体现了情境性、探究性、开放性和实践性的统一．同时试卷的考核也与过程性的目标相一致，体现出一定的数学思考和解决问题能力方面的要求，因而能更好地培养学生的独立思考能力和探索精神，培养学生的创造意识与创新能力．

3．注重能力立意，重点考查数学学习能力

数学能力是数学素养重要组成部分，注重培养和提高学生的数学能力，促进学生在数学上获得全面、健康和可持续发展，是数学课程的核心目标．2018年我省各设区市中考数学试卷都能体现能力立意的命题思路，设置以初中数学核心知识为载体，着眼于学生数学能力发展的试卷，着重考查了学生的运算能力、推理能力、抽象概括能力、空间观念、统计观念、应用意识、创新意识等基本的数学能力.各设区市2018年初中学业考试数学能力考查情况统计如表6．

表6各设区市初中学业考试数学能力考查情况统计表

设区市

福州卷莆田卷泉州卷厦门卷漳州卷龙岩卷三明卷南平卷宁德卷 平均运算能力题数16

13

14

14

14

13

9

12

12

13.0

抽象概括能力 推理能力

分值11

23

11

18

9

13

8

20

4

13.0

空间观念 统计观念 应用意识 创新意识分值题数

87

76

68

67

72

61

48

63

61

67.0

2

4

2

4

2

3

2

5

1

2.8

题数分值题数分值题数分值题数分值题数分值6

8

4

10

6

11

8

5

6

32

44

22

52

23

54

41

28

31

6

7

4

5

9

10

5

6

11

7.0

28

43

15

26

45

49

25

29

43

33.7

3

4

4

1

3

4

5

3

7

3.8

18

8

18

8

8

14

14

14

19

13.4

3

5

3

4

6

5

7

6

5

4.9

16

20

14

19

33

20

31

24

30

23.0

3

1

4

2

1

3

1

1

1

1.9

13

10

15

15

5

13

9

3

5

9.8 7.1 36.3

<注：题数计算到Ⅲ级题，划分以主要考查的数学能力为主，统计分数按整题分数进行累加.）

10 / 29

从表中数据可知，各设区市中考数学试卷对数学能力考查涉及的试卷，计算到Ⅲ级试卷平均共40.5题，基本体现了以能力立意的命题思路，从能力考查的角度看，试卷有以下特色．

⑴关注算理算法，强化运算能力的考查

随着计算器在教案中的普及与运用，学生的运算能力普遍有下滑的趋势，为扭转这一局面，近年我省各设区市中考开始强化运算能力的考查，平均题量占14.1题，分值占总分的45.13%，达67.7分，除专门设置运算求值、解方程与不等式等传统运算题型外，还注重结合函数、解直角三角形、几何图形等问题的解题过程考查运算能力．在题目的设计上，命题者抛弃了繁难的运算过程，不堆砌运算技巧，改而关注运算方法的合理性和简捷性，在考查运算能力的同时，也对学生的思维能力和思维品质进行考查．

例10【莆田卷第24题】

已知抛物线其中A<1，0），C<0，）

的对称轴为直线，且与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，<1）求抛物线的解读式；

<2）若点P在抛物线上运动<点P异于点A）

①如图1，当②如图2，当的面积和面积相等时，求点P的坐标；

时，求直线CP的解读式

11 / 29

【评析】本题以二次函数为背景，通过探究动点在运动过程中与定点形成特定图形时的位置，把函数、相似、全等、面积等内容与观察、分析、探究和运算等进行有机结合，考查了学生的运算、推理、探究和创新等数学能力．试卷设计由简到难，梯度设置适当，既有直接的求二次函数解读式的简单运算，又有对思维能力和数学思想要求较高的动定求解问题．试卷所提供的解决问题的方法多样，不同的解题策略所反映思维品质不同，求解问题时所需要的运算方法和运算量也有差异，通过学生在分析和比较中对解题策略和运算方法合理选择，能很好地反映学生对数学运算基本算法和算理的的理解程度．

⑵提供感性材料，考查抽象概括能力

高度的抽象性是数学的一个显著特点,它决定了数学思维的本质是抽象概括的思维，数学能力的本质是抽象概括的能力．因此各设区市试卷重视对数学抽象概括能力的考查，通过提供丰富的感性材料，设置规律探索题和综合应用题型，让学生从图形、关系、运算等结构中抽取其本质特征,考查学生观察、分析、类比、推断、抽象的能力和数学建模能力．

例11【南平卷第10题】

观察下列各图形中小正方形的个数，依此规律，第<11）个图形中小正方形的个数为

<1<2） <3） <4） <5）

……

A．78 B．66 C．55 D．50

【评析】本题通过小正方形构造一系列有规律的图案，考查学生对应用代数式表示一般规律，代数式求值等内容的了解状况等.试卷素材是学生所熟悉的，为学生理解题意扫清了障碍，但归纳第11个图形中小正方形的个数与11之间的关系，又要求学生有较高的观察、分析、类比、推断、抽象的能力和敢于探索的创新心里品质，有较好的区分度．

例12【泉州卷第24题】

某班将举行 “庆祝建党90周年知识竞赛” 活动，班长安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：

请根据上面的信息，解决问题：

12 / 29

<1）试计算两种笔记本各买了多少本？

<2）请你解释：小明为什么不可能找回68元？

【评析】本题以图文的形式呈现问题情境，背景贴近学生生活又富有生气，不仅给学生以亲切感,而且也考查了学生数学建模与求解方程的能力．求解本题时,首先要先将图文情境加以提炼，抽象为数学模型，本题设5元和8元的笔记本各买了x本和买(40-x>本，则它们总价的和就应为[5x+8(40-x>]元，而这个总价恰好应等于付出的钱减去找回的钱，即等于<300-68）元．但如果问题只是设计到此，则数学建模所承载的抽象能力的考查就无法真正实现，因为那是学生所熟知的问题，多数学生凭经验就可解决，然而命题者话锋一转，“我把口袋里的13元一起当作找回的钱款了”，那么实际两种笔记本的总价是多少元呢？学生又要再次把它抽象为数学问题求解．第<2）小题的设计，更是将试卷提高了一个层次，“小明为什么不可能找回68元”这一全新的设问，引发学生思考，可以用怎样的方式加以解答？若用平常熟悉的方程模型，那么其结果x=又该如何解释现实问题？随着学生对这些问题的解决，试卷所关注的阅读理解能力、信息整合能力、建立方程模型解决问题能力等都得到了考查，也使数学建模更富有生命力．.

⑶合情演绎结合，考查推理能力

推理是一种思维形式，主要包括合情推理与演绎推理两个方面，它是数学课程目标的重要组成部分．合情推理是根据已有的事实和正确的结论<包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比、猜想是合情推理的常见方法；而演绎推理是从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则进行证明和计算．我省各设区市中考试卷，在设计时也特别强调“合情推理”与“演绎推理”的相互渗透，通过设置图形变换的方式，或者展示图形变化过程中某些特定位置时的情况等，考查了学生归纳、类比、推理、论证等数学思维能力．

例13【三明卷第23题】

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF<如图①）．

<1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合<如图②），求PC的长；

<2）探究：将直角尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：

①∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；

②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．

13 / 29

【评析】本题以空间与图形中的核心知识<三角形相似的判定及性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理等）为基础，通过直角尺的旋转，设置由一般到特殊，再由特殊到一般的问题，由浅入深，层层递进．学生通过动手操作、观察作出合理的猜想，再进一步验证得出结论,合情推理与演绎推理缺一不可．问题设置梯度合理、流畅，重在考查学生的思维、推理能力，避免繁琐的运算，把操作、观察、探究融合在一起，考查了学生的思维能力和思维品质，体现了“二考合一”中的选拔功能，具有良好区分度．

⑷通过操作与想象活动，促进学生空间观念的发展

几何对学生思维的培养不仅仅只有逻辑推理，空间观念也是一个重要教案目标，这是新课标的一个特点．想象是发展空间观念的基础，操作是发展空间观念的重要手段，各设区市尝试通过设置让学生进行操作与想象活动试卷，对学生的空间想象能力进行考查，既能激发学生的思维，发展空间观念，又缓和了考试的紧张气氛，增强了信心.

例14【南平卷第8题】

有一等腰梯形纸片ABCD<如图），AD∥BC，AD＝1，BC＝3，沿梯形的高DE剪下．由△DEC与四边形ABED不一定能拼接成的图形是( >

．．．．A．直角三角形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形

【评析】本题通过等腰梯形纸片的剪切和拼接，既考查了学生对等腰梯形、直角三角形和平行四边形及特殊平行四边形的性质和判定等知识的掌握情况，又较好地考查学生观察、操作、想象、推理等探索过程．求解本题时，学生可以通过想象，根据所剪切出直角梯形和直角三角形的特征，在头脑中拼出选择支中一定能拼成的的图形；也可以进行实际操作，通过直观感知以寻求问题的解决．但在确定正方形不一定能拼成时，还要根据正方形四边相等的性质，对原等腰梯形纸片的高与底边长的关系进行逆向思维，通过寻找反例确定所作出的判断，较好地完成了对空间观念、数学活动过程和各种思维能力的考查，对课堂教案起到了积极的引导作用．

⑸加强数学与生活的联系，促进学生应用意识的提高

学习数学的根本目的在于运用数学知识去解决实际问题，关注数学与生活现实的联系有助于提高学生学习的积极性，有助于增进他们对数学的理解与认识，是《课程标准》所倡导的基本理念．各设区市非常重视学生应用意识的考查，都保证了有较高的分值来设计数学与生活现实相联系的试卷，试卷取材广泛，与学生所熟悉的社会和生活息息相关，有利于学生考试水平的发挥．同时，也能促使学生更加关注社会、关注生活，学会用数学的眼光看世界．

例15【宁德卷第24题】

图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图.已知，斜屋面的倾斜角为25°，长为2.1M的真空管AB与水平线AD的夹角为40°，安装热水器的铁架水平横管BC长0.2M，求

⑴真空管上端B到AD的距离<结果精确到0.01M）；

⑵铁架垂直管CE的长<结果精确到0.01M）.

【评析】本题将生活中太阳能热水器抽象为数学模型，通过求“太阳能热B

E

<第8题）A D

C

14 / 29 水器”安装铁架的长度，让学生感受到数学就在身边，较好地考查了平行、解直角三角形的知识和分析问题、解决问题的能力．本题的素材对于学生来说所熟悉的，正是在这熟悉情景中，却包含了有价值的数学，设置这样的试卷，无疑有利于学生应用意识的提高，有利于教师对生活中的数学的关注，很好地发挥了中考的教案导向功能．

⑹考查学生获取信息的能力，关注学生统计观念的发展

统计在日常生活有广泛的应用，新课程中，对统计意识和用数据来说话的理念非常重视，《数学课程标准》指出能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑．因此，各设区市在考查统计与概率内容方面，不是强调单纯的计算，而是通过设置现实生活中的问题情景，考查学生能否从所给数据、统计图表中获取信息，作出分析和判断,以促进学生统计观念的发展．

例16【福州卷18题】

在结束了380课时初中阶段数学内容的教案后,唐老师计划安排60课时用于总复习,根据数学内容所占课时比例,绘制如下统计图表(图7-1～图7-3>,请根据图表提供的信息,回答下列问题:

(1>图7-1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为度；

(2>图7-2、7-3中的

实践与综合应用

统计与概率

数与代数

空间与图形

图7-1

,；

A 一次方程

B 一次方程组

C 不等式与不等式组

D 二次方程

E 分式方程

(3>在60课时的总复习中,唐老师应安排多少课时复习“数与代数”内容？

课时数

图7-2 图7-3

方程(组>

与不等式(组>

【评析】本题是统计知识的实际应用问题，主要考查频数分布直方图、频数分布表及扇形统计图的实际含义及应用，考查学生从图表中提取信息的能力和用统计信息进行决策能力．第(1>(2>小题让学生从三幅统计图表中获取有效信息，并以所获得的信息来分析问题，解决问题，第(3>题重点考查统计决策的思想,让学生认识到统计在实际生活的作用．三个小题各有侧重，既使统计问题丰富多彩，又让学生对数学有了更深刻的认识，促进了统计观念的发展．

⑺设置开放性与探索性试卷，考查学生的创新意识

创新思维是数学教育，乃至整个学校教育的重要目标，开放、探索性思维是创新思维的重要组成部分，因此，设置开放、探索性试卷是考查创新思维和创新意识的有效方法.今年各设区市数学试卷通过创新问题背景和设问方式，通过加强试卷的探究性与开放性，来考查学生的创新意识和实践能力，体现以学生发展为本的新理念．

例17【南平卷25题】

15 / 29 <1）操作发现：

如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；

<2）类比探究：

如图2，将<1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，<1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

B

E C

C

E

<图2）<图1）【评析】本题通过构造由矩形折叠所形成的特殊命题及其将矩形换成平行四边形的情况上原命题是否成B

A

F

G

D A

F

G

D

立的探讨，主要考查角平分线、线段中点、等腰三角形、矩形、平行四边形及图形折叠的性质及三角形全等的判定与性质，突出操作发现、类比联想、分析论证、探究推理的思维水平，要求合情推理与演绎推理相结合，对学生的探究能力和创新思维能力有较高的要求．本例所展示的探讨在条件弱化的情况下，原来的命题是否仍然成立的创新思维模式和命题方式，值得大家在今后的教案和命题实践中加以重视和借鉴．

4．关注数学思想的渗透

今年福建省数学学科的中考考试说明在命题原则中明确指出要重视对学生数学思考能力和解决问题能力的发展性评价，加强对学生思维水平与思维特征的考查．这一要求在命题中部分体现为对核心数学思想的考查．各设区市的试卷无论是短小精悍的填空选择题，还是大气磅礴的解答题都体现出命题者对数学思想考查的重视．

表7 各设区市初中学科考试数学思想考查情况对照表

函数与方程数形结合思化归与转化分类与整合必然与或然特殊与一般思想 想 思想 思想 思想 思想

题量 分值 题量 分值 题量 分值 题量 分值 题量 分值 题量 分值

福州

龙岩

南平

宁德

莆田

泉州

三明

厦门

漳州

3

5

2

5

6

4

5

5

3

19

23

13

27

37

20

26

27

14

6

7

5

5

8

5

3

4

5

31

36

22

19

45

26

12

23

22

3

5

5

4

3

5

3

6

4

17

22

26

18

23

26

18

40

19

2

4

3

2

1

2

2

3

2

11

25

15

11

9

9

10

19

13

1

1

1

1

1

1

1

0

1

3

3

2

3

2

3

3

0

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

11

7

10

9

14

9

13

4

4

设区市

16 / 29 2011年福建省中考数学各类数学思想考查比例图9%2%14%23%函数与方程思想数形结合思想化归与转化思想分类与整合思想必然与或然思想特殊与一般思想

24%28%

在初中数学核心的六种数学思想中，最具工具性的数学思想应为方程思想，除了列方程<组）、不等式<组）解决实际背景应用题之外，还有通过列方程<组）解决其他的代数问题如函数、几何问题如几何计算等．勾股定理、相似三角形性质、三角形内角和定理等与几何计算有关的定理其结论大多是呈现为等式的形式．从某种角度上讲，方程思想是数形结合思想、函数思想的基础，函数关系和几何计算都要抓住图形中的数量关系，方程则是搭建代数知识与几何知识相互转化、相互应用的桥梁．在今年的各类17 / 29 数学思想考查中，方程思想的分值比例为23%．

化归与转化思想是数学的核心思想和核心思维方式，是分析问题和解决问题最重要的思想，能将新问题灵活转化为其他已解决的熟悉的、具体的问题，在每一个考查的过程中也许不能显性化考查化归转化思想，但是一定是要使用化归转化的思维方式才能解决问题．这也是学生思维灵活性和创造性的体现．在今年的各类数学思想考查中，化归转化思想的分值比例为24%．

与去年相同的是，数形结合思想在今年的各类数学思想中分值比例中为28%，仍然占据最大比重，充分体现出各设区市命题人员注重对综合能力的考查，在知识交汇处精心命题．

1. 关注异质学生的思维水平，以简约背景考查数学思想

在各设区市的选择题和填空题中不乏考查数学思想的佳题，题干短小精悍，蕴含的数学思想或单一深入，或兼顾多种数学思想．简约的背景有效避免了其他知识的干扰，使不同学习水平的学生都有展示所掌握的数学思想的空间．

例18【南平卷第18题】

一个机器人从点O出发，每前进1M，就向右转体α°(0＜α＜180>，照这样走下去，如果它恰能回到O点，且所走过的路程最短，则α的值等于．

．．【评析】本题中机器人的运动方式实质上就是沿着一个正多边形各边依次行走．是否能运用化归思想将问题转化为正多边形来解决，就体现出学生思维水平的高低和对数学概念的本质理解是否到位．选用填空题作为考查的题型恰到好处，既考查了化归转化思想的应用，又避免冗长的阐述推理过程，有利于为学生留出时间解决更为复杂的问题．

例19【宁德卷第18题】

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°,将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角<0°＜α＜90°）得到△DEC，设CD交AB于F，连接AD，当旋转角α度数为_______，△ADF是等腰三角形．

）α

C

E

D

F

30°<

B

第18题图

A

【评析】本题以含30°角的直角三角形为背景，结合旋转变换，借等腰三角形腰的不确定性，考查分类思想．鉴于该试卷的知识要求和条件，作为填空题，考查的思想内涵与求解过程二者取得融洽的配合．

例20【三明卷第16题】

如图，直线l上有2个圆点A，B．我们进行如下操作：第1次操作，在A，B两圆点间 插入一个圆点C，这时直线l上有<2+1）个圆点；第2次操作，在A，C和C，B间再分别插入一个圆点，这时直线l上有<3+2）个圆点；第3次操作，在每相邻的两圆点间再插入一个圆点，这时直线l上有<5+4）个圆点；

…

第n次操作后，这时直线l上有▲个圆点．

18 / 29 【评析】本题以图形规律为表现形式，通过观察理解、动手操作后获得的操作次数与圆点个数的对应关系，形成一般性的结论，突出对特殊与一般思想及函数思想的考查．该题以填空题出现，避免繁琐的表述过程，选用题型恰当，由于数字规律较为隐蔽，学生还需要一定的动手操作，对于培养学生的动手操作能力和推理能力具有积极的意义．

例21【福州卷10题】

如图3,在长方形网格中,每个小长方形的长为,宽为,上,若点个数是

A.2 B.3 C.4 D.5

图3

、两点在网格格点也在网格格点上,以、、为顶点的三角形面积为,则满足条件的点【评析】本题以两个顶点确定、面积不变考查第三个顶点的存在性问题，综合考查数形结合思想和分类与整合思想．结合面积为及三角形面积公式中的背景，展现出命题者的创意．

例22【莆田卷20题】

“国际无烟日” 来临之际，小敏同学就一批公众对在餐厅吸烟所持的三种态度<彻底禁烟、建立吸烟室、其他）进行了调查，并把调查结果绘制成如图1、2的统计图，请根据下面图中的信息回答下列问题：

，弃常见的1×1的网格背景，取2×1的网格

<1）被调查者中，不吸烟者中赞成彻底禁烟的人数有__________人

<2）本次抽样调查的样本容量为__________

<3）被调查者中，希望建立吸烟室的人数有人

<4）某市现有人口约300万人，根据图中的信息估计赞成在餐厅彻底禁烟的人数约有____万人

【评析】本题以“世界无烟日”为背景，选用的素材贴近学生的生活实际，具有一定的现实意义和教育意义．第<1）、<2）、<3）问考查了从柱状图和扇形统计图等多种统计图表中获取信息的能力，学生需综合两个统计图表的信息，分析解决问题．第<4）问突出考查或然与必然的数学思想．利用抽样调查的结果和对样本特征数的分析，描述出总体的特征．从样本预估总体，为统计决策提供了科学依据，体现出在解决实际问题中或然与必然的辩证关系．

2. 关注解决问题的思维策略，综合考查多种数学思想

各设区市的试卷中所有的压轴题都充分考查了最重要的四种数学思想：数形结合、分类整合、方程19 / 29 函数、化归转化．学生的综合能力和数学素养在多种数学思想的综合考查之下，一一得以体现，从而使试卷的区分度得到真实体现．题目涉及的具体知识点难度恰当，蕴含的数学思想方法的综合程度直接影响题目难度．

例23【厦门卷25题】

已知：如图8，四边形<1）求证：四边形<2）若厘M，中，，．

是平行四边形；

厘M，，点运动至、、从点停图8

出发，以1厘M/秒的速度沿边止．从运动开始，经过多少时间，以点成为等腰三角形？

为顶点的三角形【评析】本题第2问从图形的运动入手，在运动过程中判断等腰三角形的存在性问题，对于学生而言其背景公平．其命题的巧妙处在于点置，这一小小的变化，使试卷焕然一新．等腰三角形论．当函数求解；当点时，需过在的中点作的垂线交在线段上所处的位中哪两条线段相等是不确定的，需分三类讨于，将条件转化到直角三角形中，借三角在上，且时，也需将上，且时，亦然；当点条件转化到直角三角形中，借三角函数和勾股定理，建立方程求解．综观第2问，需综合运用分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想、方程与函数思想四种数学思想解决问题，充分考查了学生知识迁移能力和综合运用知识解决问题的能力，为区分学生的学习水平的差异提供了较大的空间．作为倒数第二道压轴题，所处的位置与问题的设置合理，对于考查不同学生的综合能力、数学思维参与的强度有着很强的区分度，由此获得的成绩能很好推理学生的真正的数学水平，具有较好的效度和信度．

例24【龙岩卷24题】

如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x =2，且与x轴交于点D，AO =1．

<1）填空：b =______，c =______，

点B的坐标为<_____，_____）；

<2）若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F，求FC的长；

<3）探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【评析】该题入口低．函数在此仅提供对应的点坐标，转化为线段长后，函数已经可以去除，从函数到点坐标到线段长，体现出对数形结合思想和化归与转化思想的考查．第2问利用相似的性质求线段长，考查了方程思想与数形结合思想．第3问“⊙P与x轴、直线BC都相切”的问题，可转化为“在抛<第24题图）

20 / 29 物线的对称轴上是否存在到x轴和直线BC距离都相等的点”的问题加以解决；由于满足条件的点的位置具有不确定性，考查了分类与整合的思想；在求点P的坐标的过程中利用相似三角形的性质列方程求出⊙P的半径，体现了方程思想在解决几何计算问题中的优势．

例25【厦门卷26题】

已知抛物线线段上一点<不与端点是线段交、的顶点重合），过作在第一象限，过点轴，垂足为作轴，垂足为．

，是，并交抛物线于点<1）若点<2）若直线的中点，求点，且的坐标；

，求的面积的取值范围． 轴的正半轴于点 【评析】纵观综合考查代数与几何知识的众多压轴题，多以函数之形考查几何图形特征．该题第2问是为数不多的侧重考查函数的压轴题，试卷中提供的几何条件，如依据，通过设立参数“，及函数关系式围，获得函数”,建立方程都是为建立函数关系提供的取值范围，结合其他条件获得自变量 ，根据二次函数的图象性质及自变量的取值范取值范围．从解决问题的过程看，该题以方程思想、数形结合思想、化归转化思想为基石，突出对函数思想的考查，体现出命题者对初高中衔接的提前思考；从试卷和评分标准看，命题者注重数学语言的规范严谨，有利于引导一线教案关注函数这一核心知识的教案，且对教案提出规范严谨的要求，为学生后续学习数学铺垫了扎实的基础．

在各设区市的试卷中，我们欣喜地看到命题者对数学思想考查的重视，这对教案将产生良好的引导作用，使教案中也能重视数学思想的渗透，最终丰富学生的思维方式，使数学学科真正发挥其教育价值．更值得肯定的是在考查创新思维的同时，多份试卷体现出对学生批判思维的考查．既有创新意识，同时必须有大胆质疑提出问题的意识，才是真正具有创造能力和发展潜力的学生．

5．关注学生情感与态度

对数学学习的评价，各设区市试卷均紧扣《课程标准》要求“要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感和态度”，使中考与我省初中数学教育发展状况有机地结合起来，充分体现出命题对“情感、态度与价值观”的教育立意，设置了许多富有浓郁地方特色，具有时代感背景的试卷，如：“人口普查”、“ 建党90周年”、“环保意识”、“防灾减灾”、“ 校园‘阳光体育’工程”、“国际无烟日”、“课时安排”、“ 心理健康”、“工程安装”、“海峡两岸林业博览会”、“弦图”、“文明礼仪”等等，内容涵盖了社会、经济、政治、体育、科技、教育等诸多方面.能结合相关的数学知识，从不同角度对学生进行热爱祖国、热爱家乡、关注社会、关爱自然等人文教育，提倡人文关怀，增强社会责任感，彰显试卷的教育功能，渗透情感与态度教育.此外，某些试卷文字简明、精练，图形直观、简约，让学生体验到数学之美，从而唤起学生良好的情感与态度，激发学生对数学的兴趣爱好，点燃钻研探究的激情.

例26【宁德卷第21题】

21 / 29 据讯：《福建省第六次全国人口普查主要数据公报》显示，全省常住人口为36894216人.常住人口地区分布的数据如图1.另外，我省区域面积分布情况如图2.

福建省常住人口地区分布统计福建省区域面积分布统计图

800

600

400

200

0

人口/万人

712

481

278

353

256

250

265

南平

2.62

三明

2.30

龙岩

1.90

地区

宁德1.34

福州

1.22

泉州

1.13

莆田0.41

厦门0.17

单位：万平方千M

福莆泉厦漳龙三南宁

州田州门州岩明平德

漳州

1.29

图1

图2

⑴全省常住人口用科学记数法表示为：___________人<保留四个有效数字）.

⑵若泉州人口占全省总人口22.03%，宁德占7.64%，请补全图1统计图；

⑶全省九个设区市常住人口这组数据的中位数是_________万人；

⑷全省平均人口密度最大的是_______市，达_____人/平方千M.

<平均人口密度＝常住人口数÷区域面积，结果精确到个位）

【评析】本题以“第六次人口普查”为背景，取材贴近社会生活，体现时代性，能给学生亲切感，这样设计有利于引导学生关注“第六次人口普查”这一社会热点．此外，本题题干用必要的文字描述和两个关键统计图的形式呈现了“福建省各设区市常住人口分布”和“福建省区域面积分布”等重要信息，数据真实有效，学生根据这些统计的信息，完成四个小题，考查了科学记数法、画条形统计图，中位数，运算<估算）等核心知识，体现了统计的应用价值，有利于激励学生日常养成学数学、用数学的意识．

例27【泉州卷第22题】

心理健康是一个人健康的重要标志之一，为了解学生对心理健康知识的掌握程度，某校从800名在校学生中，随机抽取200名进行问卷调查，并按“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级统计，绘制成如下的频数分布表和频数分布直方图.

程度 频数 频率

优秀

60

良好

100

一般

较差

请根据图表提供的信息，解答下列问题：

0.3

0.15

0.05

22 / 29 <1）求频数分布表中、、的值，并补全频数分布直方图；

<2）请你估计该校学生对心理健康知识掌握程度达到“优秀”的总人数.

【评析】本题以社会热点----“心理健康”为背景入题，对学生而言不仅感到真实、亲切，体会数学就在我们身边，而且可以从试卷当中体会到人们对“心理健康”的关注和重视．此外，能够让学生体会到数据的处理和分析对解决实际问题的重要性，激励学生用统计的方法建立数学模型，解决实际生活中的问题．

例28【漳州卷第20题】

下图是2002北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们.

请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计两个不同的图．．．．．．．．．．．案，画图要求：<1）每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；<2）所设计的图案<不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形.

【评析】 本题在“网格”上展示的“赵爽弦图”，是我国古代数学的成就，同时又有很强的美感，本题以此为背景，在“网格”上设计中心对称图形或轴对称图形，很好的体现数学的文化价值，同时，在关键的文字上加“着重号”，有效的提醒学生注意问题的条件，避免出现不必要的错误，体现了命题的人文价值．这样，有利于培养学生学习数学的兴趣，增强学好数学的信心．

三、考试结果分析

<一）各设区市2018年初中学业考试数学科实测结果分析

1．各设区市整卷难度、平均分、合格率实测结果统计

表8 各设区市初中学业考试整卷难度、平均分、合格率实测结果统计表

试卷

工程

福

州

卷

厦

门

卷

宁

德

卷

莆

田

卷

泉

州

卷

漳

州

卷

龙

岩

卷

三

明

卷

南

平

卷

23 / 29 平均分

整卷难度

合格率<%）

图1

120.0093.16 101.81

0.64

62

0.68

74.3

83.64

0.56

54.1

75.09

0.50

43.3

111.24

0.74

82

96.51

0.64

66.5

91.19

0.61

57.8

92.00

0.61

61

96.67

0.64

63.1

各设区市初中学业考试数学平均分、合格率统计图111.24101.81100.0080.006260.0040.0020.000.00福州卷厦门卷宁德卷莆田卷泉州卷漳州卷龙岩卷三明卷南平卷54.143.393.1683.6474.375.098266.557.86163.1平均分合格率（%）96.5191.1992.0096.67从表8和图1的数据看，今年大部分设区市实测的平均分、合格率与往年基本持平，厦门市和泉州市的平均分超过100分，宁德市与莆田市的平均分低于90分，合格率达到80%只有泉州市，龙岩市、莆田市和宁德市的合格率低于60%，特别是莆田市的合格率仅43.3%，个别生设区市的试卷难度仍没有得到有效的控制，要达到《考试大纲》关于考试合格率达80%的要求需要大家共同努力.

2．各设区市初中数学试卷三大知识领域的考查实测结果统计

表9 各设区市初中学业考试对初中数学三大知识领域的考查实测结果统计表

知识领域

难度值

福试卷分

厦试卷分

莆试卷分

泉试卷分

漳试卷分

龙试卷分

三试卷分

南试卷分

0.3以下

数与代数

0.3-0.5 0.5-0.7

0.7以上 0.3以下

空间与图形

0.3-0.5 0.5-0.7

概率与统计

0.7以上 0.3以下

0.3-0.5 0.5-0.7

0.7以上

9 0

0

7

3.03

10

3.29

2

0.66

16.5

6.17

13

5.09

6

2.76

6

23

14.63

5

3.05

22

13.72

10

6.75

28

17.39

16

9.86

4

2.28

27

36.5

29.41

46

39.44

12

9.96

60

49.66

16

12.52

31

25.02

44

36.76

29

12

0.97

8

1.67

26

3.51

7

0.74

7

1.08

17

2.29

9

0.84

3

11

4.28

8

3.26

24

11.5

5

1.95

22.5

8.57

7

2.68

14

5.41

11

22

13.76

9

5.72

14

8.44

6

3.47

24

13.75

27

16.25

15

9.85

24

18.5

14.72

37

30.93

12

9.65

32

27.04

11

8.3

17

14.72

22

16.94

15

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4

2.56

0

0

8

4.89

0

0

8

5.44

7

3.95

7

4.43

6

14

10.6

15

13.24

8

5.88

21

18.89

10

7.99

13

10.36

11

9.13

18

州

实测分

2.26

15

门

实测分

1.44

14

田

实测分

3.08

5

州

实测分

0.74

7

州

实测分

1.08

2

岩

实测分

0.43

18

明

实测分

3.56

11

24 / 29 平 实测分

2.96

宁试卷分

平试卷分

4.5

2.82

14

5.58

18.14

29.5

19.24

23.48

13

10.73

0.45

13.5

1.08

4.86

14

5.76

14.88

19.5

11.49

11.46

19

15.35

20.39

16.57

0

0

0

0

0

0

4

1.92

0.44

0.21

3.57

13

7.91

5.89

3.64

13.86

6

4.2

12.89

10.46

德

实测分

0.21

9.5 8.28 18.28 31.94

3.27 11.67 26.33

11.39 12.94 17.83

1.40 5.36 10.85

均

实测分

1.75

从表9数据看，大部分设区市“统计与概率”这部分试卷难度值基本上在0.5以上，稍难题<含难题）设置在“数与代数、空间与图形”领域.各设区市均设置难度系数小于0.3的难题，平均达20.89分，占总分14%，有一个市试卷难度值低于0.3的分值达40分，占整卷的26.7﹪.从统计图2显示，试卷中的容易题、中档题、稍难题<含难题）比例约为11：7：7，容易题题量明显偏少．希望各设区市命题人员在今后命题时，能按照《考试大纲》要求：容易题、中档题和稍难题的比例约为8：1：1，合理安排试卷难度结构，使试卷难易分布趋于合理.

<二）学生答题存在的问题

1.审题不细心和数学阅读能力不足，看错或看漏题目的条件

如：把“834”看成“843”；将旋转中心看错；几何题把字母看错或书写过程与图形不对应；看到后面的条件，把前面的条件遗漏等.

2.数学语言表述不准确，书写不规范

如：错写为a2或a；“∠”、“△”的符号漏写；“2”写成“”等.

3.基本计算错误，基本概念、算理不清

如：或；0.01M”是什么意思等.

4.解题缺乏规范，基本方法掌握不熟练，解题速度慢

如：解答题没有过程，直接书写答案；填空题答案不是最简的，出现解题过程；解答题过程步骤完整，严重跳步等.

5.几何直观分析、判断的水平差，动手操作能力差

如：证明过程中用特殊角取代任意角；数学思维欠严谨，产生思维定势，直接把TN当直径使用，先默认TN为直径，求得∠TQM＝∠MQE＝∠NQE=60°后再证三点共线，循环论证；推理不严密，由QE⊥MN,MF=NF就说明QMEN是菱形；

；； |-3|=-3；；，不会化简；不知道“点B到AE的距离”所指什么，不懂“精确到25 / 29 6.运用数学思想方法解决数学问题的能力需加强

如：不会利用比较大小的方法来分类处理选择哪家经销商更合算问题，而是选择特殊值的方法来分类．看到应用题无从下手，只字未答；思维不完备，分类讨论时不能进行完整全面的讨论，出现遗漏等

四、命题建议与改进要求

<一）命题技术上需要关注的问题

经过各设区市教研员和命题人员的共同努力，今年各设区市的数学试卷质量有较大的提升，没有出现科学性问题，但是在命题技术和命题质量上还存在一些问题，有待进一步的研究和改进.

1．个别试卷中某些试卷属陈题的非本质性的改编

<1）厦门卷第17题与福州2007年中考第15题雷同，漳州卷第16题与2008年海南中考试卷雷同，未作实质性的改造.有违中考作为高厉害性考试的有效性与公平性.

2．个别题目应在命题规范和命题技术上提高要求.

<1）福州卷第15题：以数轴上的原点以点(和为圆心,为半径,圆心角为圆心,为半径的扇形中,圆心角,点,另一个扇形是在数轴上表示实数,如图5.如果两个扇形的圆弧部分>相交，那么实数的取值范围是.

．．）有公共部分，那么实数a的取值范围是．．．．评析：如果叙述为：…如果两个扇形的圆弧部分<__________.就不会产生歧义．

<2）漳州卷第4题.如图是由若干个小正方体堆成的几何体的主视图<正视图），这个几何体是

主视图

评析：.叙述不严谨,以右图为主视图的几何体组合还有很多，故不能表述为“这个几何体是”，应改为“这个几何体可能是”．

<3）福州卷第22题的参考解答中仅要求对二次函数开口向下的情形进行解答，因此题干如果叙述为：如图11,二次函数3．试卷解答不规范的问题

<1）莆田卷第24题第<2）小题解答涉及解二元二次方程组，有超纲之嫌．

<2）漳州卷第23题的解答用了“cot30°=”，而余切函数仅在华师版教材中出现，该设区市部”比较妥当，

分地区使用的北师大教材并无此内容，超出了课标和教材要求，建议改为“tan30°=同时可以提高考试的公平性．

评析：.参考答案不仅仅作为阅卷的参考标准，对以后的教案也有很强的借鉴作用，一份规范的参考答案对教案规范的倡导是十分重要的手段．

<二）考试命题建议和改进要求

1．中考数学试卷应严格以《课程标准》和《考试大纲》为依据，以所用教材为蓝本，合理控制难度26 / 29 和区分度.为更好地兼顾毕业与升学考试，把握好“两考合一”试卷难度的设置，不要因为片面针对高分学生的区分而使整体合格率下降，命题应体现“三个有利”的原则，促进新课程的顺利实施，切实减轻学生过重的学习负担.

2．进一步加强命题教师必要的命题技术和知识的培训，提高命题人员的理论和实践水平，尤其是教育测量理论在命题实践中的应用，提高试卷的效度：如题目的阅读量应符合初中学生阅读能力水平，选用的载体应合理公平，选用题型的功能发挥，参考答案的规范性、合理性与导向性，选择题选择支的设定避免使用“不能确定”、“无法确定”、“答案不惟一”等语言．

3．各设区市在命制试卷时要认真编拟“初中学业考试命题规范细目表”，在知识技能、数学能力、数学思想等方面进行合理布局，认真做好试卷难度的预估和实测统计工作，积累命题经验，努力探索控制试卷难度的有效方法，进而确立科学的试卷预估方案，进一步提升命题技术，使得初中数学学业考试试卷布局更科学、更合理，确保试卷具有较好的信度、效度和区分度，以保证中考命题的质量．

4．命题时要进一步加强“能力立意”的命题研究，加强数学思想的渗透，提高对初中学生的基本数学学习能力的考查力度，进一步减少几何中的繁难证明问题、代数中的复杂运算问题，淡化解题技巧，适当降低难度.逐步将初中数学的教案从数学技能的教案转向数学能力的培养，从而真正提高学生的学力，为学生进入下一阶段的学习打下坚实的基础.

5．应用性、创新性问题应尽量做到设计合理、背景公平、语言文字叙述简洁、素材贴近学生生活实际，同时体现数学的应用价值．应避免出现试卷<试卷）阅读量过大，考查的知识超过学生认知发展水平和已有的知识经验等情况，以利于学生能正确理解题意，正常发挥水平.

6．建议各设区市增加审题人员，加强对审题人员的资格审查和培训，提高审题人员的工作要求，确保卷面规范，语义正确无歧义，避免引发考试结果与命题意图的不符．

7．将命、审题人员和评价人员分离，成立“初中学业考试评价组”，进一步建立科学、有效的评价体系．评价组应介入阅卷的全过程，了解学生的答题情况及反应，结合实测数据<难度、区分度、信度、效度等），客观地做好考试命题的分析与评价工作，保证评价的客观性和准确性，发挥中考评价的良好导向性，继续提升我省初中数学学业考试试卷质量，较好地发挥其对中学数学教案的导向作用.

8．应加强各设区市之间的交流与协作，加大教研、考研的力度，提高命题人员的命题能力，进一步深化中考改革.

五、教案建议

为进一步提高我省初中数学教案质量，使每一个学生都能在数学能力上得到相应的发展，结合2018年各设区市中考数学试卷学生答题情况，对初中数学教案提出以下建议：

1．立足课标，分析学情，把握起点

义务教育《课程标准》的基本理念是突出基础性、普及性和发展性，近年来各设区市的中考试卷注意渗透、体现课改这一理念．这就要求教师要加强学习《课程标准》，了解初中数学课程改革的基本理念和设计思路，明确《课程标准》提出的学生在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个领域，和在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度四方面应达到的学段目标，以及对数学教案和评价的建议和教案要求，并真正落实到课堂教案行动中，使数学教案更有意义，更符合时代的要求．

教案活动的主体是学生，各设区市中考试卷的命制也基本是教师在教案活动中必须了解学生在学习方面有何特点、学习方法怎样、习惯怎样、兴趣如何，成绩如何等．用绝大多数学生熟悉的事例和能理27 / 29 解的问题引入新课；用绝大多数学生能理解和解答的问题作为例题和练习的基础题，对多数学生理解有困难的问题，通过问题细化、分解等方法作适当铺垫．立足学生“已有发展区”，在学生“可发展区”做文章．

2．把握核心，落实四基，重视理解

教师要加强数学核心内容的教案，把基础知识、基本技能、基本活动和和基本的数学思想方法的教案摆在十分突出的位置，在教案中要围绕教材，加强“四基”的训练．教材是承载课标理念的载体，是连接“教”和“学”的媒介，教材具有可被观察或可被感知的性质．各设区市中考试卷中采用所用教材原题和改造的题目占有一定的比例，而学生的答题情况却不容乐观．这就要求教师在数学教案活动中，不应刻意提高教案起点，片面追求题目的数量与题型的齐全，而要注重教材研究，充分挖掘教材例、习题的潜在功能，加强基础题型的训练，遵循“低起点、多层次、小坡度、密台阶”的原则，力求体现知识结构和认知结构的统一，注重数学定理、公式的推导过程和例题的求解过程，以及基本的数学思想、数学方法、解题思路等，要善于将数学的思维展示给学生，加深学生对“基础知识、基本技能和基本方法”的理解和掌握．

3．关注社会，联系实际，强化应用

数学本身来源于实际也应用于实际，因此只有将平时的教案与实际相结合，才能使学生对数学学习有兴趣，才能让学生能更好地理解知识实质，才能更好地培养和唤醒学生的应用意识与解决问题在于能力．从各设区市考生答卷情况看，学生阅读理解能力、信息捕捉能力、将实际问题数学化的能力都相对较差，因此应用题教案中教师不要为了节省时间而包办题目的阅读、理解、数学化，而要让学生充分参与阅读理解、数学建模，求解检验的全过程，将培养学生的数学化意识和能力渗透到平时的课堂教案中．数学建模能力是在知识传授和学习过程得到培养和发展的，数学的每个内容和知识点都有其相关的背景，若能在平时的教案中经常从新颖或陌生的情景中让学生参与新知识形成发生的过程，则一定会使学生更好更深刻地理解知识、方法，同时能使学生会学数学，学会分析解决问题，培养自己的数学能力．

4．注重能力，渗透思想，有效训练，

教案中，要让学生亲身经历数学问题的提出过程、解决方法的探索过程、问题结论的深化过程、方法能力的迁移过程．其中运算能力、推理能力、抽象概括能力的培养，是课程标准的目标要求，也是社会发展的需求．数学教案中，要把培养学生的创新意识和应用意识作为基本目标，鼓励学生独立思考，逐步学会用已有的数学知识去探索、解决新的数学问题．要变革教材内容，多给学生创造用所学知识解决实际问题的机会，对同一个或同一类数学问题要赋予不同的数学情景，培养学生在不同的数学情景中用相同的数学思想方法处理问题的能力．要善于将学生从思维定势中解脱出来，养成多角度、多侧面分析问题的习惯，以培养学生思维的广阔性、缜密性和创新性．对数学教材中的例题、习题、思考题、探究题、复习题等，不能就题做题，要以题论法，以题为载体，阐述试卷的条件加强、条件弱化、结论开放、变换结论、多种解法、与其它试卷的联系与区别、其中蕴含的数学思想方法等，将试卷的知识价值、教育价值一一解剖，做到举一反三、以点带面，这样既可以控制训练量，又能够提高训练的实效性，做到切实减轻学生负担．

5．整合知识，承接高中，提升能力

数学学科不仅具有逻辑上的严密性，系统的完整性等特点，而且各部分之间的内容也是相互渗透，横向联系十分紧密．纵观近年来各设区市中考试卷，许多试卷都力求在不同知识网络的交汇点上提出问28 / 29 题、展开设问，关注知识间的渗透，关注与高中后续学习内容的有机承接．因此，数学教案中要根据数学学科本身的知识特征，注重知识纵、横间的联系与转化，搞好数学知识间的整合，使学生在获取知识的同时拓宽思路，提高分析问题和解决问题的能力，使其创造性思维、解决问题的能力、创新意识等得到培养．例如在教案四边形时，可以与图形的变换相联系，让学生在四边形中寻找可以通过平移、旋转、轴对称重合的图形，再利用图形变换角度来研究特殊四边形的性质，这样既有机的整合了这两章节的知识，又培养了学生解几何综合题的能力．教案中还要重视对高中后续学习内容的深刻把握，要熟悉哪些内容与高中数学内容密切相关的或具有一定的基础要求，哪些思想方法在高中阶段会有更多的运用和更高的要求，以便在相关知识的教案中加以归纳和渗透，以提升学生继续学习乃至终生学习的能力．

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