2019年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷新课标1)24311

2023年12月11日发(作者：香港dse考试2022数学试卷)

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（ ）

A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}

2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面对应的点为（x，y），则（ ）

A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1

C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝1

3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（ ）

A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a

4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）

A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm

5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（ ）

A．

B．

C．

D．

1 / 28 6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）

A．B．C．D．

7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（ ）

A．B．C．D．

8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（ ）

A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+

9．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（ ）

A．an＝2n﹣5B．an＝3n﹣10C．Sn＝2n2﹣8nD．Sn＝n2﹣2n

10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（ ）

A．+y2＝1B．+＝1

C．+＝1D．+＝1

11．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论：

2 / 28 ①f（x）是偶函数

②f（x）在区间（，π）单调递增

③f（x）在[﹣π，π]有4个零点

④f（x）的最大值为2

其中所有正确结论的编号是（ ）

A．①②④B．②④C．①④D．①③

12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（ ）

A．8πB．4πC．2πD．π

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为．

14．（5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a42＝a6，则S5＝．

15．（5分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是．

16．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，•＝0，则C的离心率为．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

3 / 28 17．（12分）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin

C．

（1）求A；

（2）若a+b＝2c，求sinC．

18．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．

19．（12分）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；

（2）若＝3，求|AB|．

20．（12分）已知函数f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：

（1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；

（2）f（x）有且仅有2个零点．

21．（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白4 / 28 鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api﹣1+bpi+cpi+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设α＝0.5，β＝0.8．

（i）证明：{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；

（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：

5 / 28 （1）++≤a2+b2+c2；

（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（ ）

A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}

【考点】1E：交集与其运算；73：一元二次不等式与其应用．

【分析】利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．

【解答】解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，

∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题．

2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面对应的点为（x，y），则（ ）

A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1

C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝1

【考点】A4：复数的代数表示法与其几何意义；J3：轨迹方程．

【分析】由z在复平面对应的点为（x，y），可得z＝x+yi，然后根据|z﹣i|＝1即可得解．

【解答】解：∵z在复平面对应的点为（x，y），

∴z＝x+yi，

6 / 28 ∴z﹣i＝x+（y﹣1）i，

∴|z﹣i|＝，

∴x2+（y﹣1）2＝1，

故选：C．

【点评】本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属基础题．

3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（ ）

A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a

【考点】4M：对数值大小的比较．

【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而得出a，b，c的大小关系．

【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，

b＝20.2＞20＝1，

∵0＜0.20.3＜0.20＝1，

∴c＝0.20.3∈（0，1），

∴a＜c＜b，

故选：B．

【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题．

4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）

7 / 28 A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm

【考点】31：函数的概念与其构成要素；F4：进行简单的合情推理．

【分析】充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高．

【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，

说明头顶到咽喉的长度小于26cm，

由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是≈0.618，

可得咽喉至肚脐的长度小于≈42cm，

由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，

可得肚脐至足底的长度小于＝110，

即有该人的身高小于110+68＝178cm，

又肚脐至足底的长度大于105cm，

可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，

即该人的身高大于65+105＝170cm，

故选：B．

【点评】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．

5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（ ）

A．

B．

C．

D．

【考点】3A：函数的图象与图象的变换．

8 / 28 【分析】由f（x）的解析式知f（x）为奇函数可排除A，然后计算f（π），判断正负即可排除B，C．

【解答】解：∵f（x）＝，x∈[﹣π，π]，

∴f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），

∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；

又f（）＝，因此排除B，C；

故选：D．

【点评】本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．

6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）

A．B．C．D．

【考点】CB：古典概型与其概率计算公式．

【分析】基本事件总数n＝26＝64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m＝＝20，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．

【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，

基本事件总数n＝26＝64，

该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m＝＝20，

则该重卦恰有3个阳爻的概率p＝＝＝．

故选：A．

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能9 / 28 力，是基础题．

7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（ ）

A．B．C．D．

【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．

【分析】由（﹣）⊥，可得，进一步得到，然后求出夹角即可．

【解答】解：∵（﹣）⊥，

∴

＝，

∴

＝＝，

∵，

∴．

故选：B．

【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．

8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（ ）

A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+

10 / 28 【考点】EF：程序框图．

【分析】模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A的值，观察规律即可得解．

【解答】解：模拟程序的运行，可得：

A＝，k＝1；

满足条件k≤2，执行循环体，A＝，k＝2；

满足条件k≤2，执行循环体，A＝，k＝3；

此时，不满足条件k≤2，退出循环，输出A的值为，

观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A＝．

故选：A．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

9．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（ ）

A．an＝2n﹣5B．an＝3n﹣10C．Sn＝2n2﹣8nD．Sn＝n2﹣2n

【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．

【分析】根据题意，设等差数列{an}的公差为d，则有，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n项和即可．

【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，

由S4＝0，a5＝5，得

，∴，

∴an＝2n﹣5，，

故选：A．

【点评】本题考查等差数列的通项公式以与前n项和公式，关键是求出等差数列的公差以11 / 28 与首项，属于基础题．

10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（ ）

A．+y2＝1B．+＝1

C．+＝1D．+＝1

【考点】K4：椭圆的性质．

【分析】根据椭圆的定义以与余弦定理列方程可解得a＝，b＝，可得椭圆的方程．

【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，

又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，

又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，

∴|AF2|＝a，|BF1|＝a，

在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，

在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝，

根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得+＝0，解得a2＝3，∴a＝．

b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．

所以椭圆C的方程为：+＝1．

故选：B．

【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题．

11．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论：

①f（x）是偶函数

②f（x）在区间（，π）单调递增

③f（x）在[﹣π，π]有4个零点

12 / 28 ④f（x）的最大值为2

其中所有正确结论的编号是（ ）

A．①②④B．②④C．①④D．①③

【考点】2K：命题的真假判断与应用．

【分析】根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．

【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，

当x∈（，π）时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx，

则f（x）＝sinx+sinx＝2sinx为减函数，故②错误，

当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+sinx＝2sinx，

由f（x）＝0得2sinx＝0得x＝0或x＝π，

由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，

当sin|x|＝1，|sinx|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，

故正确是①④，

故选：C．

【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以与利用三角函数的性质是解决本题的关键．

12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（ ）

A．8πB．4πC．2πD．π

13 / 28 【考点】LG：球的体积和表面积．

【分析】由题意画出图形，证明三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球O的体积．

【解答】解：如图，

由PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，

则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC于G，

则AC⊥BG，又PO⊥AC，PO∩BG＝O，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC，

∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB，

又∠CEF＝90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面PAC，

∴正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，

把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，

其直径为D＝．

半径为，则球O的体积为．

故选：D．

【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为y＝3x．

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】对y＝3（x2+x）ex求导，可将x＝0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．

14 / 28 【解答】解：∵y＝3（x2+x）ex，

∴y\'＝3ex（x2+3x+1），

∴当x＝0时，y\'＝3，

∴y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线斜率k＝3，

∴切线方程为：y＝3x．

故答案为：y＝3x．

【点评】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题关键，属基础题．

14．（5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a42＝a6，则S5＝．

【考点】89：等比数列的前n项和．

【分析】根据等比数列的通项公式，建立方程求出q的值，结合等比数列的前n项和公式进行计算即可．

【解答】解：在等比数列中，由a42＝a6，得q6a12＝q5a1＞0，

即q＞0，q＝3，

则S5＝＝，

故答案为：

【点评】本题主要考查等比数列前n项和的计算，结合条件建立方程组求出q是解决本题的关键．

15．（5分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 0.18 ．

15 / 28 【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．

【分析】甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率．

【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．

设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，

甲队以4：1获胜包含的情况有：

①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，

②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036，

③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，

④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，

则甲队以4：1获胜的概率为：

p＝p1+p2+p3+p4＝0.036+0.036+0.054+0.054＝0.18．

故答案为：0.18．

【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

16．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，•＝0，则C的离心率为 2 ．

16 / 28 【考点】KC：双曲线的性质．

【分析】由题意画出图形，结合已知可得F1B⊥OA，写出F1B的方程，与y＝联立求得B点坐标，再由勾股定理求解．

【解答】解：如图，

∵＝，且•＝0，∴OA⊥F1B，

则F1B：y＝，

联立，解得B（，），

则，，

∴＝4c2，

整理得：b2＝3a2，∴c2﹣a2＝3a2，即4a2＝c2，

∴，e＝．

故答案为：2．

【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin

C．

（1）求A；

（2）若a+b＝2c，求sinC．

17 / 28 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．

【分析】（1）由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，再由余弦定理能求出A．

（2）由已知与正弦定理可得：sin（C﹣）＝，可解得C的值，由两角和的正弦函数公式即可得解．

【解答】解：（1）∵△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．

设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin

C．

则sin2B+sin2C﹣2sinBsinC＝sin2A﹣sinBsinC，

∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，

∴cosA＝＝＝，

∵0＜A＜π，∴A＝．

（2）∵a+b＝2c，A＝，

∴由正弦定理得，

∴

解得sin（C﹣）＝，∴C﹣＝，C＝，

∴sinC＝sin（）＝sincos+cossin＝+＝．

【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．

18 / 28 【考点】LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角与求法．

【分析】（1）过N作NH⊥AD，证明NM∥BH，再证明BH∥DE，可得NM∥DE，再由线面平行的判定可得MN∥平面C1DE；

（2）以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面A1MN与平面MAA1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．

【解答】（1）证明：如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1，且，

又MB∥AA1，MB＝，∴四边形NMBH为平行四边形，则NM∥BH，

由NH∥AA1，N为A1D中点，得H为AD中点，而E为BC中点，

∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE，

∴NM∥DE，

∵NM⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，

∴MN∥平面C1DE；

（2）解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则N（，，2），M（，1，2），A1（，﹣1，4），

，，

19 / 28 设平面A1MN的一个法向量为，

由，取x＝，得，

又平面MAA1的一个法向量为，

∴cos＜＞＝＝＝．

∴二面角A﹣MA1﹣N的正弦值为．

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．

19．（12分）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；

（2）若＝3，求|AB|．

【考点】K8：抛物线的性质．

【分析】（1）很具韦达定理以与抛物线的定义可得．

（2）若＝3，则y1＝﹣3y2，⇒x1＝﹣3x2+4t，再结合韦达定理可解得t＝1，x1＝3，x2＝，再用弦长公式可得．

20 / 28 【解答】解：（1）设直线l的方程为y＝（x﹣t），将其代入抛物线y2＝3x得：x2﹣（t+3）x+t2＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2＝＝2t+，①，x1x2＝t2②，

由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝2t++＝4，解得t＝，

直线l的方程为y＝x﹣．

（2）若＝3，则y1＝﹣3y2，∴（x1﹣t）＝﹣3×（x2﹣t），化简得x1＝﹣3x2+4t，③

由①②③解得t＝1，x1＝3，x2＝，

∴|AB|＝＝．

【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．

20．（12分）已知函数f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：

（1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；

（2）f（x）有且仅有2个零点．

【考点】6D：利用导数研究函数的极值．

【分析】（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），求出原函数的导函数，进一步求导，得到f″（x）在（﹣1，）上为减函数，结合f″（0）＝1，f″（）＝﹣1+＜﹣1+1＝0，由零点存在定理可知，函数f″（x）在（﹣1，）上存在唯一得零点x0，结合单调性可得，f′（x）在（﹣1，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，可得f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；

（2）由（1）知，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；由于f′（x）在（x0，）上单调递减，且f′（x0）＞0，f′（）＜0，可得函数f′（x）在（x0，）上存在唯一零点x1，结合单调性可知，当x∈21 / 28 （x0，x1）时，f（x）单调递增；当x∈（）时，f（x）单调递减．当x∈（，π）时，f（x）单调递减，再由f（）＞0，f（π）＜0．然后列x，f′（x）与f（x）的变化情况表得答案．

【解答】证明：（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），

f′（x）＝cosx，f″（x）＝﹣sinx+，

令g（x）＝﹣sinx+，则g′（x）＝﹣cosx＜0在（﹣1，）恒成立，

∴f″（x）在（﹣1，）上为减函数，

又∵f″（0）＝1，f″（）＝﹣1+＜﹣1+1＝0，由零点存在定理可知，

函数f″（x）在（﹣1，）上存在唯一的零点x0，结合单调性可得，f′（x）在（﹣1，x0）上单调递增，

在（x0，）上单调递减，可得f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；

（2）由（1）知，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）单调递增，f′（x）＜f′（0）＝0，f（x）单调递减；

当x∈（0，x0）时，f′（x）单调递增，f′（x）＞f′（0）＝0，f（x）单调递增；

由于f′（x）在（x0，）上单调递减，且f′（x0）＞0，f′（）＝＜0，

由零点存在定理可知，函数f′（x）在（x0，）上存在唯一零点x1，结合单调性可知，

当x∈（x0，x1）时，f′（x）单调递减，f′（x）＞f′（x1）＝0，f（x）单调递增；

当x∈（）时，f′（x）单调递减，f′（x）＜f′（x1）＝0，f（x）单调递减．

当x∈（，π）时，cosx＜0，﹣＜0，于是f′（x）＝cosx﹣＜0，f（x）单调递减，

其中f（）＝1﹣ln（1+）＞1﹣ln（1+）＝1﹣ln2.6＞1﹣lne＝0，

f（π）＝﹣ln（1+π）＜﹣ln3＜0．

于是可得下表：

22 / 28 x （﹣1，0）

0 （0，x1

（） （） π

x1）

0

0

+ 0 ﹣ ﹣ ﹣ ﹣

f′（x） ﹣

f（x） 减函数 增函数 大于0 减函数 大于0 减函数 小于0

结合单调性可知，函数f（x）在（﹣1，]上有且只有一个零点0，

由函数零点存在性定理可知，f（x）在（，π）上有且只有一个零点x2，

当x∈[π，+∞）时，f（x）＝sinx﹣ln（1+x）＜1﹣ln（1+π）＜1﹣ln3＜0，因此函数f（x）在[π，+∞）上无零点．

综上，f（x）有且仅有2个零点．

【点评】本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与推理运算能力，难度较大．

21．（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api﹣23 / 28 1+bpi+cpi+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设α＝0.5，β＝0.8．

（i）证明：{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；

（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

【考点】8B：数列的应用；8I：数列与函数的综合；CG：离散型随机变量与其分布列．

【分析】（1）由题意可得X的所有可能取值为﹣1，0，1，再由相互独立试验的概率求P（X＝﹣1），P（X＝0），P（X＝1）的值，则X的分布列可求；

（2）（i）由α＝0.5，β＝0.8结合（1）求得a，b，c的值，代入pi＝api﹣1+bpi+cpi+1，得到（pi+1﹣pi）＝4（pi﹣pi﹣1），由p1﹣p0＝p1≠0，可得{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为公比为4，首项为p1的等比数列；

（ii）由（i）可得，p8＝（p8﹣p7）+（p7﹣p6）+…+（p1﹣p0）+p0，利用等比数列的前n项和与p8＝1，得p1＝，进一步求得p4＝．P4表示最终认为甲药更有效的概率，结合α＝0.5，β＝0.8，可得在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．

【解答】（1）解：X的所有可能取值为﹣1，0，1．

P（X＝﹣1）＝（1﹣α）β，P（X＝0）＝αβ+（1﹣α）（1﹣β），P（X＝1）＝α（1﹣β），

∴X的分布列为：

X

P

﹣1

（1﹣α）β

0

αβ+（1﹣α）（1﹣β）

1

α（1﹣β）

（2）（i）证明：∵α＝0.5，β＝0.8，

24 / 28 ∴由（1）得，a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1．

因此pi＝0.4pi﹣1+0.5pi+0.1pi+1（i＝1，2，…，7），

故0.1（pi+1﹣pi）＝0.4（pi﹣pi﹣1），即（pi+1﹣pi）＝4（pi﹣pi﹣1），

又∵p1﹣p0＝p1≠0，∴{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为公比为4，首项为p1的等比数列；

（ii）解：由（i）可得，

p8＝（p8﹣p7）+（p7﹣p6）+…+（p1﹣p0）+p0＝，

∵p8＝1，∴p1＝，

∴P4＝（p4﹣p3）+（p3﹣p2）+（p2﹣p1）+（p1﹣p0）+p0＝p1＝．

P4表示最终认为甲药更有效的概率．

由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．

【点评】本题是函数与数列的综合题，主要考查数列和函数的应用，考查离散型随机变量的分布列，根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

25 / 28 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．

【分析】（1）把曲线C的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入2ρcosθ+ρsinθ+11＝0，可得直线l的直角坐标方程；

（2）写出与直线l平行的直线方程为，与曲线C联立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式大于0求得m，转化为两平行线间的距离求C上的点到l距离的最小值．

【解答】解：（1）由（t为参数），得，

两式平方相加，得（x≠﹣1），

∴C的直角坐标方程为（x≠﹣1），

由2ρcosθ+ρsinθ+11＝0，得．

即直线l的直角坐标方程为得；

（2）设与直线平行的直线方程为，

联立，得16x2+4mx+m2﹣12＝0．

由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得m＝±4．

∴当m＝4时，直线与曲线C的切点到直线的距离最小，为．

【点评】本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：

（1）++≤a2+b2+c2；

（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．

【考点】R6：不等式的证明．

【分析】（1）利用基本不等式和1的运用可证，（2）分析法和综合法的证明方法可证．

26 / 28 【解答】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．

要证（1）++≤a2+b2+c2；因为abc＝1．

就要证：++≤a2+b2+c2；

即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；

即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；

2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0

（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；

∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．

∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．

即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．

故++≤a2+b2+c2得证．

（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；

即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．

（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；

（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；

当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；

∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．

（a+b）≥2；（b+c）≥2；（c+a）≥2；

当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；

∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8••＝24abc＝24；

当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；

27 / 28 故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．

故得证．

【点评】本题考查重要不等式和基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法．

28 / 28